Capítulo 8: Estado. Samir A. M. Martins 1. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Associação ampla entre CEFET MG e UFSJ

(1)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados

Cap´ıtulo 8:

Realimenta¸c˜

ao de Estados e Estimadores de

Estado

Samir A. M. Martins1

1_{UFSJ / Campus Santo Antˆ}_{onio, MG – Brasil}

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica Associa¸cão ampla entre CEFET–MG e UFSJ

(2)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Conteúdo:

1 Introdu¸c˜ao

2 Realimenta¸c˜ao de estados

3 Regula¸c˜ao e Seguimento de Referˆencia

4 Realimenta¸c˜ao com estados estimados

5 Realimenta¸c˜ao de Estados Estimados

(3)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados •Anteriormente: conceitos de

⇒ Controlabilidade e Observabilidade paraestudar

estrutura interna eestabelecer rela¸c˜oes entre as descri¸c˜oes internas e externas.

•Neste cap´ıtulo: implica¸c˜oes desses conceitos no projeto de controle de sistemas.

⇒ Malha Aberta:

u(t) dependende apenas de r(t)

⇒ Malha fechada:

u(t) dependende r(t) e dey(t)

u

r y

p

Figura:Projeto de sistema de controle

(4)

⇒ Malha Aberta: u(t) dependende apenas de r(t)

⇒ Malha fechada:

u(t) dependende r(t) e dey(t)

u

r y

p

(5)

⇒ Malha Aberta: u(t) dependende apenas de r(t)

⇒ Malha fechada: u(t) dependende r(t) e dey(t)

u

r y

p

(6)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Objetivos de projeto: malha fechada

•Assegurar estabilidade

•Reduzir os efeitos de varia¸c˜oes de parˆametros.

•Suprimir ru´ıdos e dist´urbios (efeitos de carga).

Estudos apenas para sistemasinvariantes no tempo.

(7)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Objetivos de projeto: malha fechada

•Assegurar estabilidade

•Reduzir os efeitos de varia¸c˜oes de parˆametros.

•Suprimir ru´ıdos e dist´urbios (efeitos de carga).

Estudos apenas para sistemasinvariantes no tempo.

(8)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados •Seja o sistema

˙x = Ax + bu (1)

y = cx (2)

•Considere a lei de controle

u = r − kx = r − [ k1 k2 · · · kn ]x = r − n

X

i=1

kixi (3)

⇒ Valores ki s˜ao reais e constantes. ⇒ Denomina-se realimenta¸c˜ao de estados.

(9)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Diagrama de blocos r u z k a i c b d _x + + y + −

(10)

•Levando (3) em (1)-(2):

˙x = (A − bk)x + br (4)

y = cx (5)

(11)

Teorema 8.1

O par (A − bk, b), para qualquer vetor real constante b de dimensões n × 1, é controlável se e somente se o par (A, b) é controlável.

Prova: Considere n = 4 e as matrizes de controlabilidade de (1) e (4), respectivamente:

C = [ b Ab A2_b _A3_{b ]}

e

C_f = [ b (A − bk)b (A − bk)2b (A − bk)3b ]

(12)

Teorema 8.1

O par (A − bk, b), para qualquer vetor real constante b de dimensões n × 1, é controlável se e somente se o par (A, b) é controlável.

Prova: Considere n = 4 e as matrizes de controlabilidade de (1) e (4), respectivamente:

C = [ b Ab A2_b _A3_{b ]}

e

C_f = [ b (A − bk)b (A − bk)2b (A − bk)3b ]

(13)

Que pode ser reescrito como

C_f = C     1 −kb −k(A − bk)b −k(A − bk)2_b 0 1 −kb −k(A − bk)b 0 0 1 −kb 0 0 0 1     | {z } Posto Completo (6)

e portanto tem o mesmo posto de C. Note que:

⇒Cada entrada da matriz mais `a direita de (6) ´e um escalar.

(14)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Observa¸cões. . .

•Veja na Figura 2 que r n˜ao controla x diretamente.

⇒ gera u para controlar x.

⇒ se u não controla x então r também não!

•Controlabilidade ´e invariante sob qualquer realimenta¸c˜ao de estados.

•Observabilidade n˜ao !

(15)

(16)

(17)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Exemplo 8.1

Considere o sistema control´avel e observ´avel (Teste!)

˙x = 1 2 3 1 x + 0 1 u y = 1 2 x

•Suponha u = r − 3 1 x que resulta em ˙x = 1 2 0 0 x + 0 1 r y = 1 2 x

cuja matrizes de controlabilidade e observabilidade s˜ao (Verifique!): C_f = 0 2 1 0 O_f = 1 2 1 2

Portanto, Cf possui posto completo e Of n˜ao. S. A. M. Martins Controle Moderno

(18)

Objetivo

Mostrar que a realimenta¸cão de estados pode ser usada para alocar os autovalores da malha fechada em posi¸cões arbitrárias.

•Considere ˙x = 1 3 3 1 x + 1 0 u

⇒ cujo polinˆomio caracter´ıstico ´e

det(sI − A) = ∆(s) = (s − 1)2− 9 = (s − 4)(s + 2)

⇒ Portanto, autovalores em 4 e −2.

•Suponha u = r −

k1 k2 x

(19)

resultando em: ˙x = 1 3 3 1 − k1 k2 0 0 x + 1 0 r = 1 − k1 3 − k2 3 1 | {z } Af(k1,k2)=Af(k) x + 1 0 r

•Novo polinˆomio caracter´ıstico

∆f(s) = (sI − Af(k)) = s2+ (k1− 2)s + (3k2− k1− 8) (7)

•Para autovalores λ1 e λ2:

∆desejado(s) = (s − λ1)(s − λ2) = s2− (λ1+ λ2)s + λ1λ2 (8) S. A. M. Martins Controle Moderno

(20)

•Pode-se igualar os coeficientes de (7) e (8): 1 0 −1 3 k1 k2 = 2 − λ1− λ2 8 + λ1λ2 •Se λ1 = −1 + 2j e λ2 = −1 − 2j: 1 0 −1 3 k1 k2 = 4 13 ⇒ k = 4 17 3 ⇒ No matlab: >> lamb1 = -1+2j; lamb2 = -1-2j; >> A = [1 0; -1 3]; B = [2-lamb1-lamb2; 8+lamb1*lamb2]; >> k = A\B; format rat; disp(k)

(21)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Teorema 8.2

•Objetivo: preparar condi¸c˜oes para um procedimento mais geral para o projeto de k.

•Considere (1) com a equa¸c˜ao caracter´ıstica

∆(s) = det(sI − A) = sn+ α1sn−1+ . . . + αn−1s + αn= 0 (9)

Se (1) é controlável, então ela pode ser transformada usando ¯ x = Px em que Q = P−1= b Ab · · · An−2_b _An−1_b        1 α1 · · · αn−2 αn−1 0 1 · · · αn−3 αn−2 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 α1 0 0 · · · 0 1        (10)

(22)

o que resulta na forma canˆonica control´avel ˙¯ x = A¯¯x + ¯bu =        −α₁ −α₂ · · · −α_n−1 −α_n 1 0 · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 1 0        ¯ x +        1 0 .. . 0 0        u(11) y = ¯c¯x = β1 β2 · · · βn−1 βn ¯x (12)

•Além disso a fun¸cão de transferência de (1)–(2) é ˆ g(s) = β1s n−1_{+ β} 2sn−2+ . . . + βn−1s + βn sn_{+ α} 1sn−1+ . . . + αn−1s + αn (13)

(23)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Prova

•Sejam C e ¯C as matrizes de controlabilidade de (1) e (11).

•C e ¯C s˜ao quadradas (no caso SISO)

•Se (1) é controlável (C é não-singular) o mesmo vale para (11) ( ¯C).

•C = PC ⇒ P = ¯¯ CC−1 ou Q = P−1= C ¯C−1

(24)

•Mostra-se que a matriz1 _C¯−1 _{resulta em}

¯ C−1 =        1 α1 · · · αn−2 αn−1 0 1 · · · αn−3 αn−2 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 α1 0 0 · · · 0 1        (14)

⇒ Note que αn não aparece em (14). •Substituindo (14) em Q = C ¯C−1 _obt´_{em-se (10).} •Note que (11) é a realiza¸cão de (13).

⇒ Portanto, (11)-(12) — e consequentemente (1)-(2) — ´e uma realiza¸c˜ao de (13), o que estabelece o teorema.

1

Veja cômputo de ¯C à pág. 186

(25)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Um resultado mais geral

Teorema 8.3

Se o sistema n-dimensional (1)-(2) é controlável, então a lei de realimenta¸cão de estados u = r − kx, k ∈ R1×n pode alocar de forma arbitrária os autovalores de A − bk, desde que os

autovalores complexos sejam atribu´ıdos em pares complexos conjugados.

•Prova:

⇒ (1) controlável⇒ pode ser transformado na forma canônica controlável (11)–(12).

⇒ Sejam ¯A e ¯b as matrizes em (11), ent˜ao: ¯

A = PAP−1; b = Px¯

(26)

⇒ Substituindo ¯x = Px na realimenta¸c˜ao de estados: u = r − kx = r − kP−1¯x = r − ¯k¯x

portanto,

¯

k = kP−1 ⇒ k = ¯kP

⇒ Os autovalores do sistema s˜ao os mesmos em qualquer representa¸c˜ao, pois:

¯

A − ¯b¯k = P(A − bk)P−1

e portanto ¯A − ¯b¯k e A − bk possuem os mesmos autovalores.

⇒ Para qualquer conjunto desejado de autovalores, pode-se obter:

∆_desejado(s) = (s + λ1)(s + λ2) · · · (s + λn)

= sn+ ¯α1s(n−1)+ · · · + ¯αn−1s + ¯αn (15)

(27)

portanto,

¯

k = kP−1 ⇒ k = ¯kP

¯

A − ¯b¯k = P(A − bk)P−1

= sn+ ¯α1s(n−1)+ · · · + ¯αn−1s + ¯αn (15)

(28)

portanto,

¯

k = kP−1 ⇒ k = ¯kP

¯

A − ¯b¯k = P(A − bk)P−1

= sn+ ¯α1s(n−1)+ · · · + ¯αn−1s + ¯αn (15) S. A. M. Martins Controle Moderno

(29)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados ⇒ Escolhendo-se ¯ k = ¯ α1− α1 α¯2− α2 · · · α¯n−1− αn−1 α¯n− αn (16) a equa¸cão realimentada torna-se

˙¯ x = ( ¯A − ¯b¯k)¯x + ¯br =        − ¯α1 − ¯α2 · · · − ¯αn−1 − ¯αn 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 0        ¯ x +        1 0 0 .. . 0        r(17) y = β1 β2 · · · βn−1 βn ¯x (18)

(30)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados ⇒ Escolhendo-se ¯ k = ¯ α1− α1 α¯2− α2 · · · α¯n−1− αn−1 α¯n− αn (16) a equa¸cão realimentada torna-se

˙¯ x = ( ¯A − ¯b¯k)¯x + ¯br =        − ¯α1 − ¯α2 · · · − ¯αn−1 − ¯αn 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 0        ¯ x +        1 0 0 .. . 0        r(17) y = β1 β2 · · · βn−1 βn ¯x (18)

(31)

⇒ Como (17) está na forma companheira, o polinômio caracter´ısticos de ( ¯A − ¯bk) e consequentemente de (A − bk) são iguais a (15)

Portanto, o ssitema realimentado possui os autovalores desejados!

⇒ O ganho k ´e computado como: k = kP = ¯¯ k ¯CC−1 = k¯        1 α1 · · · αn−2 αn−1 0 1 · · · αn−3 αn−2 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 α1 0 0 · · · 0 1        −1 b Ab · · · An−1_b −1 | {z } P⇒melhor calcularP−1_{=C ¯}_C−1

(32)

(33)

(34)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Fun¸cão de Transferência

•Considere a planta descrita por (A, b, c).

⇒ Se o par (A, b) é controlável ⇒ pode-se transformar (A, b, c) na forma controlável (11)–(12) e

⇒ sua fun¸cão de transferência é dada por ˆ g(s) = c(sI − A)−1b = β1s n−1_{+ β} 2sn−2+ . . . + βn−1s + βn sn_{+ α} 1sn−1+ . . . + αn−1s + αn

(35)

Fun¸c˜ao de Transferˆencia do Sistema Realimentado

•Após a realimenta¸cão, a equa¸cão de estados torna-se (A − bk, b, c).

⇒ Ainda terá forma canônica controlável (17)–(18);

⇒ Possui fun¸c˜ao de transferˆencia ˆ gDesejado(s) = c(sI − A + bk)−1b = β1s n−1_{+ β} 2sn−2+ . . . + βn−1s + βn sn_{+ ¯}_α 1sn−1+ . . . + ¯αn−1s + ¯αn (19)

(36)

•Note que os zeros n˜ao foram afetados

•Se algum dos novos p´olos coincide com algum dos zeros haver´a cancelamento

Portanto, realimenta¸c˜ao de estados pode afetar observabilidade!

(37)

•Note que os zeros n˜ao foram afetados

•Se algum dos novos p´olos coincide com algum dos zeros haver´a cancelamento

Portanto, realimenta¸c˜ao de estados pode afetar observabilidade!

(38)

•Considere o pˆendulo invertido estudado no Exemplo 6.2 com

˙x =     0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 5 0     x +     0 1 0 −2     u y = 1 0 0 0 x •Pode-se obter: ∆(s) = s2(s2− 5) = s4_{+ 0} |{z} α1 s3 −5 |{z} α2 s2+ 0 |{z} α3 s + 0 |{z} α4

(39)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados •Calculando P−1 = C ¯C−1: P−1 =     0 1 0 2 1 0 2 0 0 −2 0 −10 −2 0 −10 0         1 0 −5 0 0 1 0 −5 0 0 1 0 0 0 0 1     =     1 0 −5 0 0 1 0 −5 0 0 1 0 0 0 0 1     , logo: (20) P =     0 0 0 −1₂ 0 0 −1 2 0 0 −1 3 0 − 1 6 −1₃ 0 −1₆ 0    

(40)

•Autovalores desejados: −1.5 ± 0.5j e −1 ± j. Logo:

∆Desejado(s) = (s + 1.5 + 0.5j)(s + 1.5 − 0.5j)(s + 1 + j)(s + 1 − j) = s4+ 5 |{z} ¯ α1 s3+ 10.5 |{z} ¯ α2 s2+ 11 |{z} ¯ α3 s + 5 |{z} ¯ α4 (21)

•Para o projeto de ¯k, usa-se (16): ¯ k = 5 − 0 10.5 − (−5) 11 − 0 5 − 0 = 5 15.5 11 5 ⇒ e recupera-se k fazendo k = ¯kP = −5 3 − 11 3 − 103 12 − 13 3

(41)

(42)

(43)

•Os autovalores foram deslocados de {0, 0, ±j√5} para {−1.5 ± 0.5j, −1 ± j}.

•No matlab, use place: >> format rat >> A = [0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 5 0]; >> b = [0 1 0 -2]’; >> polos = [-1.5+0.5j -1.5-0.5j -1+j -1-j]; >> k = place(A,b,polos) k = -5/3 -11/3 -103/12 -13/3

(44)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Escolha dos pólos

•P´olos r´apidos (parte real muito negativa) leva a sinais de controle grandes.

⇒ pode ocorrer satura¸c˜ao.

•Pólos lentos (próximos à origem) serão dominantes.

⇒ Sistema ter´a resposta lenta.

•Parte imagin´aria com m´odulo elevado: maior overshoot.

Veja regi˜oes da figura 8.3!

⇒ Observe em 8.3.(a) a regi˜ao: interna ao c´ırculo, dentro do cone e a esquerda de −σ: boa localiza¸c˜ao!

⇒ No caso discreto no tempo: z = es

(45)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Escolha dos pólos

•P´olos r´apidos (parte real muito negativa) leva a sinais de controle grandes.

⇒ pode ocorrer satura¸c˜ao.

•Pólos lentos (próximos à origem) serão dominantes.

⇒ Sistema ter´a resposta lenta.

•Parte imaginária com módulo elevado: maior overshoot. Veja regiões da figura 8.3!

⇒ Observe em 8.3.(a) a regi˜ao: interna ao c´ırculo, dentro do cone e a esquerda de −σ: boa localiza¸c˜ao!

(46)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Comentários sobre Controle Ótimo

•Busca-se um controlador k tal que a fun¸c˜ao de custo J =

Z ∞

0

[x0(t)Qx(t) + u0(t)Ru(t)]dt seja minimizada.

⇒ Q pondera os desvios de x(t) em rela¸c˜ao ao ponto de equil´ıbrio (x = 0).

⇒ R pondera o sinal de controle: quanto maior R, menor a energia dispon´ıvel.

(47)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Procedimento 8.1

Problema

Dado um par (A, b) control´avel, A ∈ Rn×n, b ∈ Rn×1, encontre k ∈ R1×n tal que (A − bk) possua qualquer conjunto de

autovalores desejado que n˜ao contenha os autovalores de A.

Procedimento:

1 Escolha F ∈ Rn×n com os autovalores desejados.

2 Selecione qualquer ¯k ∈ R1×n tal que (F, ¯k) seja observ´avel. 3 _{Encontre o ´}_{unico T solu¸}_c˜_{ao de AT − TF = b¯}_k

4 _{Calcule k = ¯}_kT−1

(48)

Procedimento 8.1: que bruxaria ´e essa?

•Do procedimento, vemos que ¯k = kT.

•Levando em AT − TF = b¯k: (A − bk)T = TF ou A − bk = TFT−1

Portanto, trata-se de uma transforma¸c˜ao de similaridade!

(49)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Exemplo no Matlab A = [0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 5 0]; b = [0 1 0 -2]’; F = diag([-2 -3 -4 -5]); kb = [1 1 1 1]; O = obsv(F,kb); rank(O) T = lyap(A,-F,-b*kb) k = kb*inv(T) eig(A-b*k)

(50)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Existência de T não-singular

Teorema 8.4

Se A e F não possuem autovalores em comum, então a solu¸cão T de AT − TF = b¯k é não singular se e somente se (A, b) é controlável e (F, ¯k) é observável.

(51)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Escolha de F

•Dado o polinômio caracter´ıstico desejado, monte F na forma companheira e selecione ¯k = [1 0 · · · 0] que o par (F, ¯k) será observável.

•Autovalores complexos: use F na forma modal.

⇒ Exemplo: autovalores {λ1, α1± β1j, α2± β2j} F =       λ1 0 0 0 0 0 α1 β1 0 0 0 −β₁ α1 0 0 0 0 0 α2 β2 0 0 0 −β2 α2      

(52)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Escolha de ¯k

•k poss´ıveis (basta ter entrada n˜¯ ao nula para cada bloco da diagonal): ¯ k = [1 1 0 1 0], ¯ k = [1 1 0 0 1], ¯ k = [1 1 1 1 1], etc.

•Use a fun¸c˜ao lyap(A,B,C) que resolve a equa¸c˜ao AT + TB + C = 0

(53)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Regula¸cão

•Deficiência importante da realimenta¸cão de estados: não anula o erro entre a sa´ıda y(t) e a referência r(t).

⇒ Util para regula¸´ c˜ao e nem tanto para seguimento de referˆencia (controle servo).

⇒ Controle em regula¸cão ⇒ levar o sistema de uma condi¸cão dada para a condi¸cão de equil´ıbrio, com um comportamento especificado.

⇒ Regula¸c˜ao ⇒ r(t) = 0.

(54)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Controle Servo

•Mais complexo que o controle para regula¸c˜ao.

•Al´em de k deve-se ajustar um ganho p na lei de controle:

u(t) = pr(t) − kx(t) (22)

⇒ resulta em fun¸c˜ao de transferˆencia equivalente a (13) com um ganho direto:

ˆ g(s) = pβ1s n−1_{+ β} 2sn−2+ . . . + βn−1s + βn sn_{+ ¯}_α 1sn−1+ . . . + ¯αn−1s + ¯αn (23)

(55)

•Usando Teorema 5.2, p´ag. 123, para uma entrada em degrau com aplitude a, a sa´ıda do sistema ser´a

y(t) = aˆg(0) = pβn ¯ αn

•Para y(t) = u(t) ´e necess´ario ˆ g(0) = pβn ¯ αn = 1 ⇒ p = α¯n βn ⇒ o que requer

βn6= 0 ⇒ Sistema n˜ao possui zero na origem.

(56)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Resumindo. . .

Ajuste para entrada em degrau

Dado (A, b, c), se (A, b) é controlável então faz-se a

realimenta¸cão de estados para ajustar os autovalores da malha fechada (A − bk) em qualquer posi¸cão desejada de forma a prover regula¸cão ao sistema.

Em seguida coloca-se um ganho direto p =α¯n

βn

como em (23), provendo seguimento de referˆencia em degrau (de qualquer amplitude).

(57)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Resumindo. . .

Ajuste para entrada em degrau

Dado (A, b, c), se (A, b) é controlável então faz-se a

realimenta¸cão de estados para ajustar os autovalores da malha fechada (A − bk) em qualquer posi¸cão desejada de forma a prover regula¸cão ao sistema. Em seguida coloca-se um ganho direto p =α¯n

βn

como em (23), provendo seguimento de referˆencia em degrau (de qualquer amplitude).

(58)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Robustez no seguimento de referência

•Solu¸cão para entradas em degrau (inclusão do ganho de caminho direto) não é adequado se os parâmetros da planta mudam ou não são bem conhecidos.

⇒ Neste caso: falta robustez ao seguimento de referˆencia.

⇒ Inclui caso em que uma perturba¸c˜ao constante w(t) com amplitude desconhecida pode afetar a sa´ıda da planta (efeito de carga).

(59)

•Alternativa: Realimenta¸cão unitária de sa´ıda com integra¸cão do sinal de erro

˙x(t) = Ax(t) + bu(t) + bw(t) (24)

y(t) = cx(t) (25)

(60)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Diagrama − b i c a k x dx ub w ka s 1 r u0 u y dxa xa + + + + + + +

Figura:Topologia para controle servo.

(61)

Do diagrama temos: ˙ xa= r − y = r − cx u(t) = v(t) − kx(t) = kaxa | {z } v(t) −kx = −k ka x xa Definindo: ˜ x = x xa ; A =˜ A − bk bka −c 0 ; b =˜ 0 1 ; e = b 0 ˜ c = c 0

(62)

Assim, ˙x ˙ xa = A − bk bka −c 0 x xa + 0 1 r + b 0 w y = c 0 x xa Levando em (24)–(25): ˜ x = ˜A˜x + ˜br + ew y = ˜c˜x

(63)

Teorema 8.5

Se (A, b) é controlável e se ˆg(s) = c(sI − A)−1b não possui zeros em s = 0, então todos os autovalores de Ã podem ser alocados

arbitrariamente selecionando o ganho [−k ka]

(64)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Prova

•Assume-se que (A, b, c) pode ser colocado na forma canônica controlável (11)–(12) e sua fun¸cão de transferência é dada por (13).

•Sem zeros em s = 0 ⇒ βn6= 0. ⇒ Mostra-se que o par

A 0 −c 0 , b 0 (26) ´e control´avel⇔ βn6= 0.

(65)

•Pode-se mostrar que a matriz de controlabilidade do par (26): possui determinante −βn (veja p´ag. 245 para n = 4).

•Conclui-se que, se (A, b) é controlável e ˆg(s) não possui zero em s = 0, então o par (26) é controlável.

⇒ Segue-se que, do Teorema 8.3, todos os autovalores de ˜A podem serarbitrariamente escolhidos por uma adequada sele¸c˜ao de [−k ka]

(66)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Estabiliza¸cão

•Suponha que a equa¸cão de estados não seja controlável.

•A equa¸c˜ao de estados pode, ent˜ao, ser transformada em _˙¯ xc ˙¯ x¯c = _¯ Ac A¯12 0 A¯c¯ | {z } ˜ Ac ¯ xc ¯ x¯c + _¯ bc 0 u (27)

em que ( ¯Ac, ¯bc) ´e control´avel.

•Como Ãcé bloco triangular, seus autovalores são dados pelos de

¯

Ace de ¯A¯c.

(67)

•Introduzindo a realimenta¸c˜ao de estados: u = r − kx = r − ¯k¯x = r −_¯ k1 k¯2 ¯ xc ¯ x¯c resulta em ˙¯ xc ˙¯ x¯c = _¯ Ac− ¯bck¯1 A¯12− ¯bck¯2 0 A¯c¯ ¯ xc ¯ x¯c + _¯ bc 0 r (28)

⇒ A¯¯c não é afetada pela realimenta¸cão⇒ controlabilidade

de (A, b) é necessária e suficiente para que seja poss´ıvel alocar os autovalores de (A − bk) em quaisquer posi¸cões.

(68)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Coloca¸cão do Problema •Dado o sistema: ˙x = Ax + bu (29) y = cx (30) ⇒ Matrizes A, b e c são conhecidas. O problema

Estimar x a partir de u e y com o conhecimento de A, b e c.

•Pode-se duplicar o sistema orignal:

˙ˆx = Aˆx + bu (31)

em que ˆx ´e uma estimativa de x.

(69)

˙ˆx = Aˆx + bu (31)

(70)

˙ˆx = Aˆx + bu (31)

(71)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Observador em malha aberta

b dhx b i c a x dx s u y + + o hx hy + + a c i

(72)

•Neste caso tem-se o estimador em malha aberta 4.

⇒ Se o sistema e o observador possuem as mesmas condi¸c˜oes iniciais, x(t) = ˆx(t), ∀t ≥ 0.

⇒ Se (29)–(30) ´e observ´avel, pode-se estimar o estado inicial em um dado instante.

•Desvantagens:

1 Estado inicial precisa ser calculado a cada uso do observador.

2 Se algum autovalor de A possui parte real positiva, ent˜ao

pequenos desvios de ˆx(t) em rela¸c˜ao a x(t) implicar´a em erros crescentes com o tempo.

(73)

•Neste caso tem-se o estimador em malha aberta 4.

⇒ Se o sistema e o observador possuem as mesmas condi¸c˜oes iniciais, x(t) = ˆx(t), ∀t ≥ 0.

⇒ Se (29)–(30) ´e observ´avel, pode-se estimar o estado inicial em um dado instante.

•Desvantagens:

1 Estado inicial precisa ser calculado a cada uso do observador.

2 Se algum autovalor de A possui parte real positiva, ent˜ao

pequenos desvios de ˆx(t) em rela¸c˜ao a x(t) implicar´a em erros crescentes com o tempo.

(74)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Uma alternativa. . .

•Usar adiferen¸ca entre a sa´ıdas real (y(t)) e estimada (ˆy(t)) para corrigir os estados estimados.

•Corre¸c˜ao de estados proporcional a y(t) − ˆy(t):

Corre¸c˜ao(t)= L(y(t) − ˆy(t)) = L(y(t) − cˆx(t) | {z }

ˆ y(t)

)

•Nova equa¸c˜ao do estimador

˙ˆx = Aˆx + bu + L(y − cˆx) (32)

(75)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Realimenta¸cão de y − ˆy b c l si−a x − + + dhx b c s u y o hx hy + + a i

Figura:Estimador de estados em malha fechada.

(76)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Comportamento do erro de estima¸cão

•Seja e(t) = x(t) − ˆx(t) o erro de estima¸c˜ao.

⇒ Derivando: ˙e(t) = ˙x − ˙ˆx = Ax + bu − (Aˆx + bu + L(y − cˆx)) = (A − Lc)x − (A − Lc)ˆx = (A − Lc)(x − ˆx) = (A − Lc)e (33)

⇒ A taxa com a qual e(t) aproxima-se de zero pode ser arbitrariamente escolhida ajustando-se os autovalores de (A − Lc).

(77)

•Se todos os autovalores de (A − Lc) possuem parte real negativa e menor que −σ, então todos os elementos de e(t) convergirão para zero em taxas mais rápidas que e−σt.

•Portanto, a escolha adequada de L dispensa o c´alculo de x(t0)

⇒ mesmo com erro inicial grande, rapidamente ˆx(t) −→ x(t).

•Quais autovalores escolher para (A − Lc)?

⇒ Mesma regi˜ao discutida no caso de realimenta¸c˜ao de estados;

⇒ Se o estimador ´e usado para realimenta¸c˜ao de estados⇒

seus autovalores devem ser mais r´apidos que os da malha fechada;

⇒ Limita¸cão: quanto mais rápido o estimador, maiores serão os problemas devidos a satura¸cão e ru´ıdo.

(78)

(79)

(80)

(81)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Se existe perturba¸cão. . .

•Considere o sistema

˙x(t) = Ax(t) + bu(t) + Ew(t) y(t) = cx(t) + du(t) + Fw(t)

(34)

⇒ O observador ´e dado por:

˙ˆx = Aˆx + bu +Corre¸c˜ao (35)

Corre¸c˜ao= L(y − ˆy) = L[y − (cˆx + du)] (36) = Ax + bu + Ly − Lcˆx − Ldu (37) = (A − Lc)ˆx + (b − Ld)u + Ly (38)

⇒ Usando (38), (34) e e = x − ˆx:

˙e(t) = (A − Lc)e(t) + (E − LF)w(t) (39)

(82)

(34)

⇒ Usando (38), (34) e e = x − ˆx:

˙e(t) = (A − Lc)e(t) + (E − LF)w(t) (39)

(83)

(34)

⇒ Usando (38), (34) e e = x − ˆx:

˙e(t) = (A − Lc)e(t) + (E − LF)w(t) (39)

(84)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Procedimento 8.O1

Teorema 8.O3

Considere o par (A, c). Todos os autovalores de (A − Lc) podem ser arbitrariamente escolhidos selecionando-se um vetor real L se e somente se (A, c) (ou (A0, c0)) é observável (controlável).

•Procedimento 8.O1

2 _{Selecione qualquer L ∈ R}n×1 _{tal que (F, L) seja control´}_avel. 3 Encontre o único T solu¸cão de TA − FT = Lc. T é não

singular, conforme Teorema 8.4, p´ag. 240.

4 _{Uma estimativa de x ´}_{e gerada por}

˙z = Fz + Tbu + Ly (40)

ˆ

x = T−1z (41)

(85)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Procedimento 8.O1

Teorema 8.O3

Considere o par (A, c). Todos os autovalores de (A − Lc) podem ser arbitrariamente escolhidos selecionando-se um vetor real L se e somente se (A, c) (ou (A0, c0)) é observável (controlável).

•Procedimento 8.O1

2 _{Selecione qualquer L ∈ R}n×1 _{tal que (F, L) seja control´}_avel. 3 Encontre o único T solu¸cão de TA − FT = Lc. T é não

singular, conforme Teorema 8.4, p´ag. 240.

˙z = Fz + Tbu + Ly (40)

ˆ

x = T−1z (41)

(86)

Seja o erro dado por ˜ e = x − ˆx ⇒ Te = Tx − Tˆx |{z} z ⇒ ˜e = Tx − z Derivando: ˙˜e = T ˙x − ˙z

Usando: ˙x = Ax + bu e, da equa¸c˜ao de Silvester (Lyapunov), TA = Lc + FT:

˙˜e = TAx + Tbu

| {z } T ˙x −(Fz + Tbu + L y z}|{ cx ) | {z } ˙z = (FT + Lc)x − (Fz + Lcx) = F(Tx − z | {z } ˜ e ) = F˜e (42)

(87)

•Se F ´e est´avel, lim

t→∞e(t) = 0

⇒ portanto z(t) aproxima-se de Tx(t)

⇒ de forma equivalente: Tˆx(t) aproxima-se de Tx(t)⇔

ˆ

x(t) −→ x(t)

•Toda a discuss˜ao feita sobre a escolha de F e ¯k (aqui L) aplica-se novamente.

(88)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Estimador de ordem reduzida

Note que o sistema2 (29)-(30) pode ser levado à forma canônica observável: ˙x = A0x + c0u =     −α1 1 0 0 −α2 0 1 0 −α₃ 0 0 1 −α4 0 0 0     x +     β1 β2 β3 β4     u (43) y = b0x = [1 0 0 0] x

⇒ veja eq. (7.14) `a p´ag. 188.

•Neste caso, a sa´ıda y ´e o estado x1. Logo, precisam ser

estimados n − 1 estados.

2_{Aqui foi usado n = 4. Vale para qualquer n.} S. A. M. Martins Controle Moderno

(89)

Procedimento para Estimador de Ordem Reduzida •Procedimento 8.R1

1 Escolha F ∈ Rn−1×n−1 com os autovalores desejados. 2 Selecione qualquer L ∈ Rn−1×1 tal que (F, L) seja

control´avel.

3 Encontre o ´unico T solu¸c˜ao de TA − FT = Lc. Note que

T ∈ Rn−1×n.

˙z = Fz + Tbu + Ly (44) ˆ x = c T −1 y z (45) que ´e um sistema de dimens˜ao n − 1.

(90)

•Seja o sistema em malha aberta

˙x = Ax + bu (46)

y = cx (47)

tal que (A, c) é observável e (A, b) é controlável.

•Seja a lei de controle dada por

u = r − kˆx (48)

em que o estimador tem dinˆamica dada por

˙ˆx = (A − Lc)ˆx + bu + Ly (49) resulta no sistema indicado na figura 6.

(91)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Observador em malha aberta

+ a i c b d x + y e z u + r − h k

Figura:Realimenta¸c˜ao de estados estimados.

(92)

•Levando a lei de controle (48) em (46)-(47) e (49) resulta em

˙x = Ax − bkˆx + br (50) ˙ˆx = (A − Lc)ˆx + b(r − kˆx) + Lcx (51) ⇒ ou ainda ˙x ˙ˆx = A −bk Lc A − Lc − bk x ˆ x + b b r (52) y = c 0 x ˆ x (53)

(93)

•Seja a transforma¸c˜ao x e = x x − ˆx = I 0 I −I x ˆ x = P x ˆ x •Fazendo ¯x = Px em (52)-(53): ˙x ˙e = A − bk bk 0 A − Lc x e + b 0 r (54) y = c 0 x e (55)

(94)

Introdu¸cão Realimenta¸cão de estados Regula¸cão e Seguimento de Referência Realimenta¸cão com estados estimados Realimenta¸cão de Estados Estimados Portanto. . .

•Matriz bloco triangular em (54) assegura independˆencia de projeto para o estimador e controlador.

⇒ Propriedade da separa¸c˜ao

⇒ Sistema em malha fechada possui autovalores do controlador (A − bk) e do estimador (A − Lc).

⇒ Equa¸cão (54)não é controlável!

⇒ Fun¸cão de transferência é dada por3 ˆ

gf = c(sI − A + ¯bk)−1b

⇒ Não há diferen¸ca se o estimador é empregado ou não: ele é completamente cancelado.

3_{Veja Teorema 6.6, p´}_{ag. 159}