Estimação dos Parâmetros de Linhas de Transmissão
Não Transpostas por meio de Registros de Faltas
E. C. M. Costa, J. T. R. Pineda, S. Kurokawa
Resumo Propõe-se um método de estimação dos parâmetros longitudinais e transversais de linhas de transmissão, transpostas ou não, por meio de medições registradas nos terminais da linha durante uma falta. Para tanto, a linha é desacoplada em seus modos de propagação, sendo cada modo representado e modelado como uma linha de transmissão monofásica por meio de um único circuito π. O processo de estimação dos parâmetros é realizado no domínio modal, ou seja, são estimadas a resistência, indutância e a capacitância de cada modo de propagação por meio do método dos mínimos quadrados. Em sequência, os parâmetros modais são convertidos para o domínio das fases e as matrizes [Z] e [Y] calculadas em função dos valores estimados.
Palavras-chaves Estimação de parâmetros, linhas de transmissão, transmissão de energia, sistemas de potência.
I.INTRODUÇÃO
O conhecimento prévio dos parâmetros de linhas de transmissão é um fator importante para confiabilidade do sistema elétrico como um todo. A precisão na identificação desses parâmetros está diretamente associada com diversos procedimentos que garantem maior estabilidade e qualidade na transmissão e distribuição de energia elétrica, tais como: detecção e localização de faltas ao longo de linhas de transmissão ou cabos subterrâneos utilizados na distribuição; parametrização da proteção do sistema; análise da coordenação de isolamento; conhecimento prévio das características de propagação do sistema e eventuais sobretensões transitórias.
Convencionalmente, os parâmetros de linhas de transmissão são calculados com base na estrutura física e geométrica das torres e da linha (altura das fases, geometria das torres, características do solo, propriedades dos cabos, etc), levando em conta a corrente de retorno pelo solo e o efeito pelicular sobre os condutores das fases. O cálculo dos parâmetros em função da frequência é descrito na literatura técnica por meio de diversas aproximações fazendo uso das funções de Bessel e Carson [1]. Tais aproximações desconsideram a variação das características dielétricas do ar para diversas condições climáticas, variações na condutividade do solo e diversas características físicas e geométricas da linha. Dessa forma, pode-se concluir que o cálculo dos parâmetros elétricos de linhas de transmissão está sujeito a diversas imprecisões que podem refletir no desempenho do sistema como um todo.
Outro método aplicado na identificação dos parâmetros de linhas de transmissão, amplamente abordado na literatura técnica mais recente, é a estimação desses parâmetros por
meio de medições síncronas de corrente e tensão nos terminais da linha por meio de dispositivos de medição fasorial denominados Phasor Measurements Units (PMUs) e Global Position System (GPS), ou então, por meio de registros de faltas obtidos por relés de proteção em ambos os terminais da linha [2, 3].
Neste artigo técnico, um método é proposto para estimação da impedância longitudinal e da admitância transversal de linhas de transmissão não transpostas, com ou sem plano de simetria vertical. Vale ressaltar que grande parte dos métodos descritos na literatura técnica é aplicada apenas para linhas transpostas e com plano de simetria vertical. O método proposto é desenvolvido utilizando-se técnicas de desacoplamento modal e representação da linha por três circuitos independentes, por meio de três modos de propagação totalmente desacoplados um dos outros [4]. São utilizadas medições de corrente e de tensão obtidas ao mesmo tempo nos dois terminais da linha, a partir de relés de proteção durante uma falta monofásica (tipo de falta mais comum em linhas de transmissão).
II.PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO
As características de propagação de linhas de transmissão são dadas em função dos parâmetros longitudinais e transversais. O método proposto nesta pesquisa é aplicado na obtenção da matriz de impedância [Z] e de admitância [Y], descritas para uma linha com n fases como [1]:
(1) (2)
Os parâmetros Zii e Yii, na diagonal principal, são
descritos como parâmetros próprios enquanto que os parâmetros acima ou abaixo das diagonais principais, Zij e Yij,
são os parâmetros mútuos das matrizes [Z] e [Y], respectivamente.
As impedâncias próprias e mutuas da matriz [Z] são caracterizadas por resistência e indutância variáveis com a frequência, como descrito de forma genérica na expressão em (3).
(3) As resistências próprias são variáveis em função da frequência, implícita na velocidade angular ω, devido ao efeito pelicular e ao efeito da corrente de retorno pelo solo. Por outro lado, as impedâncias mútuas são variáveis em função da frequência exclusivamente devido ao efeito da corrente pelo solo.
A partir da matriz de impedância em (1), as matrizes com os parâmetros longitudinais R e L são descritas [1]:
(4) (5)
Analogamente à matriz [Z], as resistências e indutâncias próprias da linha encontram-se na diagonal principal de [R] e [L], enquanto que os parâmetros mútuos encontram-se fora da diagonal principal.
Por outro lado, a matriz [Y] em (2) é caracterizada por capacitâncias próprias e mútuas invariáveis em função da frequência, calculadas convencionalmente pelo conhecido método das imagens. Ou seja, as matrizes [Y] e [C] podem ser expressas para uma linha com n fases como [1]:
(6)
Logo, a matriz de admitância é expressa para uma linha de transmissão com n fases por:
(7)
Na modelagem de linhas de transmissão, as condutâncias G são convencionalmente desconsideradas. Portanto, a matriz de admitância da linha é composta apenas pelos termos imaginários associados às capacitâncias próprias e mútuas da matriz [C].
III.ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS LONGITUDINAIS Inicialmente, considera-se o registro de p amostras de correntes e tensões nos terminais emissor e receptor de uma linha de transmissão trifásica com simetria vertical, tal como a torre descrita na fig. 1.
Fig. 1. Linha de transmissão 440 kV com circuito simples. As correntes e tensões obtidas durante uma falta monofásica ao longo da linha são descritas nos dois terminais da como: (8) (9) (10) (11)
Os vetores transpostos [iA]m e [iB]m são compostos das
correntes nas fases 1, 2 e 3 nos terminais emissor e receptor da linha, A e B, respectivamente. Os vetores [vA]m e [vB]m são
compostos das tensões nas três fases, nos terminais emissor e receptor, sendo m = 1, 2, ...,p. O sobrescrito T indica que o vetor está transposto.
Portanto, considera-se conhecidos p registros de corrente e tensão nos terminais emissor e receptor da linha durante uma falta monofásica. Dessa forma, essas correntes e tensões podem ser descritas no domínio modal, ou seja, a linha trifásica é desacoplada em três modos de propagação independentes em função das correntes e tensões de fase nos terminais A e B. As relações entre correntes e tensões de fase e nos modos são expressas em (12)-(15) [4].
(12) (13) (14) (15) As correntes nos três modos de propagação são calculadas
nos terminais A e B por meio de (12) e (15), respectivamente. As tensões modais são calculadas por meio de (14) e (15) nos terminais A e B, respectivamente. A matriz de transformação modal [T] é obtida a partir dos parâmetros próprios e mútuos das matrizes de impedância [Z] e admitância [Y] da linha [4].
As matrizes [iAM]m e [iBM]m são matrizes diagonais, sem
(16) (17)
Os três modos de propagação α, β e 0 são desacoplados um dos outros, pois as matrizes (16) e (17) não apresentam termos mútuos. A mesma descrição pode ser estendida para os vetores com as tensões modais nos terminais A e B:
(18) (19)
Considerando que as correntes e tensões modais são conhecidas nos modos de propagação α, β e 0; as matrizes com resistências, indutâncias e capacitâncias modais podem ser expressas como:
(20)
(21)
(22)
As matrizes [RM], [LM] e [CM] são as matrizes diagonais
com as resistências, indutâncias e capacitâncias modais. Os modos α, β e 0 podem ser representados como três linhas de transmissão monofásicas independentes uma das outras. Dessa forma, cada modo de propagação pode ser modelado como um circuito equivalente π, como na fig. 2.
Fig. 2. Modo de propagação modelado como um circuito π. O circuito equivalente da fig. 2 representa os modos de propagação, sendo o subscrito M referente a α, β e 0. Portanto, com base na descrição matricial dos parâmetros modais e na representação equivalente da fig. 2, o seguinte sistema de equações diferenciais é descrito:
(23) Sendo as matrizes [ΔvM]m e [iλM]m as quedas de tensão
entre os dois terminais no domínio dos modos e as correntes modais que fluem através das resistências RM,
respectivamente, tal como descrito na fig. 2. As matrizes [ΔvM]m e [iλM]m são descritas para os registros de corrente e
tensão m como: (24) (25)
As correntes modais através das capacitâncias shunt descritas na fig. 2 são expressas na forma matricial como:
(26) (27) Como mencionado anteriormente, a condutância transversal é convencionalmente desconsiderada na modelagem de linhas de transmissão. Portanto, (26) e (27) estão em função apenas de CM. As matrizes com as correntes
iAq e iBq são descritas para os modos de propagação α, β e 0
como: (28) (29)
Relacionando (23), (27) e (28), [iAqM] é expressa em
função de [iBqM], [vAqM] e [vBM]:
(30) Sendo [Q]m expressa como:
(31) As matrizes com as derivadas das tensões nos terminais A e B são expressas também como matrizes diagonais:
(32)
(33)
A matriz diagonal com as correntes através da indutância modal genérica LM, como descrito na fig. 2, é expressa como:
(34) Substituindo [iBqM]m em (34), o vetor de corrente [iAqM]m
pode ser reformulado em função das correntes e tensões modais nos terminais A e B:
(35) A matriz [I] é a matriz identidade. Portanto, a partir da relação entre (34) e (35), a matriz diagonal [iλM]m é descrita
como:
(36) Calculados [ΔvM]m, [iλM]m, [iAqM]m e [iBqM]m; o sistema de
equações diferencias composto por (23), (26) e (27), levando em conta p amostras de corrente e tensão para cada modo, é solucionado por meio do método dos mínimos quadrados. Os valores de R, L e C são calculados para cada modo a partir de três sistemas de equações diferenciais com base em (23), (26) e (27).
Conhecidas as resistências, indutâncias e capacitâncias dos modos α, β e 0; as matrizes modais [RM], [LM] e [CM] em
(20)-(22), respectivamente, são calculadas. Em sequência, as matrizes [R], [L] e [C] podem ser finalmente estimadas por meio da transformação modal para o domínio das fases, fazendo uso da mesma matriz de transformação utilizada em (12)-(15) [4]. (37) (38) (39)
Calculadas as matrizes com os parâmetros de fase, as matrizes de impedância [Z] e de admitância [Y] podem ser estimadas.
IV.PARÂMETROS ESTIMADOS
O desempenho do método proposto é avaliado com base na estrutura da linha descrita na fig. 1. Trata-se de uma linha trifásica convencional de 440 kV com circuito simples. O terminal emissor da linha encontra-se conectado a uma fonte trifásica balanceada de 440 kV/60 Hz. O terminal receptor está conectado a uma carga trifásica de 500 MVA e fator de potência 0.97. Os registros de corrente e tensão são simulados considerando-se um curto-circuito monofásico na fase 1, próximo ao terminal conectado à carga. Os parâmetros utilizados na simulação da falta e de referência para a avaliação dos parâmetros estimados são [3]:
(40) (41) (42)
Com base na torre descrita na fig. 2 e nos parâmetros dados em (40)-(42), verifica-se que a linha de transmissão de 440 kV apresenta plano de simetria vertical e trata-se de uma linha não transposta.
Os registros da falta são coletados de 0 < t < 0.3 s, desde a ocorrência da falta até a abertura dos disjuntores com aproximadamente 0.3 s. A frequência de registro das amostragens de corrente e tensão é de 1 kHz, embora atualmente existam relés digitais com frequência de leitura muito acima do valor proposto.
Os erros relativos, calculados com base nos valores de referência na matriz [R] em (40), são descritos na fig. 3.
Fig. 3. Erros relativos das resistências próprias e mútuas estimadas. Observa-se na fig. 3 que grande parte dos parâmetros estimados na matriz [R] apresenta erros abaixo de 6%. As resistências R22 e R33 apresentam erros de aproximadamente 10%. No entanto, a resistência própria R11 mostra um erro relativo de aproximadamente 6%.
Os erros relativos calculados a partir dos termos estimados da matriz [L] são descritos na fig. 4.
Fig. 4. Erros relativos das indutâncias próprias e mútuas estimadas. Os parâmetros próprios de [L] mostram erros relativos muito próximos de zero, enquanto que a maioria dos parâmetros mútuos apresentam erros relativos em torno de 4%. Apenas os termos mútuos L23 e L32 apresentam erro
relativo em torno de 8%. Ressaltando que L23 = L32, pois ambos os termos representam a mesma indutância mútua entre as fases 2 e 3 da linha de transmissão.
Os erros relativos calculados a partir dos termos estimados da matriz [C] são descritos na fig. 5.
Fig. 5. Erros relativos das capacitâncias próprias e mútuas estimadas. Os maiores erros relativos na estimação de [C] foram observados nos termos mútuos entre as fases 2 e 3, e entre 1 e 3, aproximadamente 6%. Os outros termos mútuos apresentaram erros abaixo de 4%. As capacitâncias próprias apresentam erros relativos de aproximadamente 1%.
V.OBSERVAÇÕES FINAIS
Os parâmetros estimados por meio do método proposto mostram-se relativamente precisos se comparados às possíveis imprecisões inerentes aos métodos convencionais de cálculo, devido às aproximações espúrias fazendo uso das funções de Bessel e Carson, como descrito anteriormente no corpo do artigo. Ademais, a maioria dos parâmetros estimados em [R], [L] e [C] apresentam erros relativos abaixo de 6%, com base nos valores de referência estabelecidos na simulação das correntes e tensões nos terminais da linha.
A maioria dos métodos de estimação disponíveis na literatura técnica é aplicada em linhas de transmissão transpostas, enquanto que o método proposto é avaliado com base em uma linha de transmissão sem transposição das fases. A estimação dos parâmetros de uma linha transposta é consideravelmente mais simples se comparada à estimação dos mesmos parâmetros de um sistema sem transposição. Dessa forma, espera-se que o método proposto apresente resultados ainda mais precisos se aplicado à estimação dos parâmetros elétricos de uma linha de transmissão transposta, com ou sem plano de simetria vertical.
Outro aspecto diretamente relacionado ao desempenho do método de estimação proposto é a taxa de amostragem adotada de 1 kHz. Com o exponencial incremento do poder de processamento não só dos computadores, mas dos atuais dispositivos digitais aplicados à aquisição de dados, a taxa de amostragem considerada poderia ser significantemente maior, resultando em erros relativos ainda menores que os obtidos. Propõe-se em próximos estudos uma avaliação detalhada do desempenho do método proposto em função da frequência de amostragem, tanto para linhas transpostas quanto para linhas sem transposição.
AGRADECIMENTOS
Essa pesquisa recebeu suporte financeiro da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP (Proc. 2013/00974-5).
REFERÊNCIAS
[1] F. Rachidi, S. V. Tkachenko. Electromagnetic field interaction with transmission lines: from classical theory to HF radiation effects, Ashurst Lodge: WIT Press, 2008.
[2] C. S. Indulkar, K. Ramalingam. “Estimation of transmission line parameters from measurements”, Int. J. Electrical Power and Energy Systems, vol. 30, n. 5, pp. 337-342, 2008.
[3] R. Schultze, P. Schegner, R. Zivanovic, “Parameter identification of unsymmetrical transmission lines using fault records obtained from protective relays”, IEEE Trans. Power Delivery, vol. 26, n. 2, pp.1265-1272, 2011.
[4] L. M. Wedephol, H. V. Nguyen, G. D. Irwin, “Frequency-dependent transformation matrices for untransposed transmission lines using Newton-Raphson method”, IEEE Trans. Power Syst., vol. 11, n. 3, pp. 1538-1546, 1996.
BIOGRAFIA
Eduardo C. Marques da Costa (educosta@pea.usp.br)
é mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista FEIS/UNESP (2009), doutor pela Universidade de Campinas - UNICAMP (2013) com estágio na Universidade de Manitoba, Canadá. Atualmente é Professor Doutor no Depto. de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - PEA/EPUSP.
Julia Teresa R. Pineda é engenheira eletricista pela
Universidad Nacional Autonoma de Honduras (2011), mestre em Engenharia Elétrica e atualmente doutoranda pela Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista - FEIS/UNESP.
Sérgio Kurokawa (kurokawa@dee.feis.unesp.br) é
doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade de Campinas - UNICAMP (2003) e Livre Docente pela Universidade Estadual Paulista - FEIS/UNESP (2008). Atualmente é Professor Adjunto III no Depto. de Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista - FEIS/UNESP.
