Existência e estabilidade de Soluções do tipo ondas solitárias para a equação Korteweg-de Vries (KdV)

Texto

(1)Instituto de Matemática Universidade Federal de Alagoas. Existência e Estabilidade de Soluço˜ es do Tipo Ondas Solitárias para a Equaça˜ o Korteweg-de Vries (KdV). autor: Isnaldo Isaac Barbosa orientador: Amauri da Silva Barros. Outubro, 2009.

(2) Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale. B238e. Barbosa, Isnaldo Isaac. Existência e estabilidade de soluções do tipo ondas solitárias para a equação Korteweg-DE Vries (KdV) / Isnaldo Isaac., 2009. 68 f. Orientador: Amauri da Silva Barros. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2009. Bibliografia: f. 67-68. 1. Equações diferenciais. 2. Ondas (Matemática). 3. Hipersuperfícies. 4. Curvatura média. 5. Curvatura de Ricci. 6. Alexandrov, teorema de. 7. Obata, teorema de. 8. Variedade riemanniana compacta. I. Título. CDU: 517.9.

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(4) Agradecimentos. Primeiramente agradeço a Deus por ter me tirado do lamaçal do pecado e posto nos seus caminhos. Agradeço a minha amada, Sirlene Vieira de Souza, que esteve sempre ao meu lado nos momentos felizes e nos momentos tristes. Agradeço também aos Professor Doutores Amauri Barros, Adán Corcho, Krerley Oliveira, Marcos Petrúcio, Adela´ılson Peixoto e Adriano Aguiar pela grande contribuiça˜ o e incentivo que foi dada a` minha formaça˜ o acadêmica e profissional. Quero agradeçe ao Marcos Petrúcio, aos Professores Mestres Paulo Lemos, Francisco Barros e Adroaldo Dorvillé pelos excelentes cursos ministrados, em particular ao u´ ltimo, responsável por quatro disciplinas importantes na minha formaça˜ o. Agradeço aos amigos que ganhei durante o curso de Mestrado em Matemática pelas boas conversas, ambiente agradável e cr´ıticas construtivas. Agradeço aos meus companheiro de todas as horas: Adriano Barbosa, Karla Katerine, Abrãao Rêgo, Joab Jucá e Gregório Manoel, pela amizade e apoio. Gostaria de citar todos que contribiram para esta conquista mas isto consumiria muitas páginas.. i.

(5) Resumo. Neste trabalho demonstraremos um teorema de Boa Colocaça˜ o Local e em seguida de Boa Colocaça˜ o Global para a Equaça˜ o Korteweg-de Vries nos espaços de Sobolev fazendo uso das leis de conservaça˜ o desta equaça˜ o, das propriedades do grupo associada a mesma e de algumas estimativas obtidas por Kenig, Ponce e Vega em ([6]). Demonstraremos ainda a existência e estabilida de soluço˜ es tipo ondas solitárias para a Equaça˜ o Korteweg-de Vries, para obter o resultado de estabilidade usamos o Lema de Compacidade Concentrada de P. Lions, nesta parte o resultado de boa colocaça˜ o global e´ utilizado de forma essencial, assim como as leis de conservaça˜ o para esta equaça˜ o, pois para utilizar esta técnica resolvemos um problema variacional de minimizaça˜ o. A u´ ltima parte desta dissertaça˜ o esta baseada no trabalho de Jonh Albert ([20]).. iii.

(6) Abstract. In this paper we demonstrate a theorem of Well-Posedness Local and followed by Well-Posedness Global Equation Korteweg-de Vries in Sobolev spaces by making use of conservation laws of this equation, the properties of the group associated with it, and some estimates obtained by Kenig , Ponce and Vega in ([6]). We also demonstrated the existence and stability of solitary wave type solutions for Equation Korteweg-de Vries, to obtain the result of stability we use the lemma Concentrated compactness of P. Lions, in part the result of good global placement is used in a critical, and the conservation laws for this equation, because using this technique to solve a variational minimization problem. Latter part of this thesis is based on the work of John Albert ([20]).. v.

(7) ´ Sumario. Introduça˜ o 1. 2. 3. 1. Preliminares 1.1 Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 1.2.1 O Espaço de Schwartz . . . . . . . . . 1.2.2 Distribuiço˜ es Temperadas . . . . . . . 1.2.3 Operaça˜ o de Convoluça˜ o . . . . . . . . 1.2.4 Derivadas Fracionárias . . . . . . . . . 1.3 Os Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . 1.4 Espaços de Banach Mistos e suas Propriedades 1.5 Variaça˜ o de Gâteaux e derivada de Fréchet . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. Boa Colocaça˜ o Local e Global para a Equaça˜ o Korteweg-de Vries 2.1 Sistemas Integráveis e Leis de Conservaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . 2.2 KdV Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Estimativas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 O problema de Cauchy para a equaça˜ o KdV em espaços de Sobolev com s > 3/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Boa Colocaça˜ o Global para a equaça˜ o KdV em espaços de Sobolev com s ≥ 1, s ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . H s (R), . . . . . H s (R), . . . . .. Existência e Estabilidade de soluço˜ es tipo Ondas solitárias para a Equaça˜ o KdV 3.1 Existência de soluço˜ es tipo Ondas solitárias para a Equaça˜ o KdV . . . . . . . . 3.2 Lema de Compacidade Concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Estabilidade de soluço˜ es tipo Ondas Solitárias para a Equaça˜ o KdV . . . . . .. Referências Bibliográficas. 5 5 7 8 11 12 13 13 15 18 23 23 26 27 31 43 45 45 48 50 70. vii.

(8) ˜ Introduçao. Nossa proposta neste trabalho e´ estudar um resultado de boa colocaça˜ o global e as propriedades de existência e estabilidade de soluço˜ es tipo ondas solitárias para a Equaça˜ o de Korteweg-de Vries (KdV) ut + uux + uxxx = 0. (1). para x, t ∈ R e u(x, t) ∈ R, ou seja, u : R × R −→ R. Associado a esta equaça˜ o temos o Problema de Valor Inicial (PVI) ut + uux + uxxx = 0, u(x, 0) = u0 (x).. (2). A equaça˜ o (1) possui infinitas leis de conservaça˜ o, sendo duas delas muito u´ teis, a saber, o momento Z 1 u2 dx M (u) = 2 R e a energia 1 E(u) = 2. Z 1 3 2 (ux ) − u dx . 3 R. Estas duas quantidades são importantes tanto na demonstraça˜ o da boa colocaça˜ o global, como na investigaça˜ o de estabilidade. Destacamos que cronologicamente, o primeiro tratamento matemático do problema da estabilidade de ondas solitárias foi feito por Jeseph Valentin Boussinesq, em 1871, com relaça˜ o a` s ondas solitárias associadas a` equaça˜ o 2 3u 2 uxx utt − ghuxx − gh +h = 0. (3) 2h 3 xx 1.

(9) Tal equaça˜ o, que viria a ser conhecida como equaça˜ o de Boussinesq clássica, modela a propagaça˜ o unidimensional de ondas de a´ gua ao longo de um canal com fundo plano e profundidade constante h, as quais têm um largo comprimento de onda e uma pequena amplitude em comparaça˜ o com h. Assim, a elevaça˜ o u da superf´ıcie de a´ gua, considerada como funça˜ o da coordenada x ao longo do canal e do tempo t, satisfaz aproximadamente a` equaça˜ o (3), onde g e´ a aceleraça˜ o gravitacional. Usando esta equaça˜ o, Boussinesq obteve uma representaça˜ o expl´ıcita de ondas solitárias, u(x, t) = φ(x − ct), em termos de funço˜ es elementares, a saber, φ(z) = k1 (c)sech2 (k2 (c)z), onde k1 (c) = 3c/2, k2 (c) = c/2. O tipo de estabilidade que Boussinesq estudou foi aquele chamado de estabilidade orbital, o qual consiste essencialmente em ver que uma pequena pertubaça˜ o da onda solitária φ irá evoluir pelo fluxo gerado por (3) sem fortes mudanças de forma e perto da onda φ, para todo tempo t. Atualmente, sabe-se que seus resultados formais continham algumas lacunas. A primeira prova rigorosa da estabilidade de ondas solitárias assoaciada a` equaça˜ o de evoluça˜ o não-lineares apareceu um século mais tarde, em 1972, apresentada por T. B. Benjamim, sobre as ondas solitárias associadas a` equaça˜ o KdV (1). Tais ondas são dadas por φ(x − ct) = k1 (c)sech2 (k2 (c)(x − ct)) .. (4). Quanto a resultados de Boa Colocaça˜ o Local e Global, Kenig, Ponce e Vega, fazendo uso do Lema de Compacidade Concentrada de Lions nos espaços de Bourgain tem obtidos bons resultados, apresentaremos alguns resultados neste dissertaça˜ o. No primeiro cap´ıtulo desta dissertaça˜ o apresentamos os resultados que serão utilizados no decorrer deste trabalho. No cap´ıtulo seguinte apresentamos as ferramentas a serem usadas para se obter a boa colocaça˜ o local e em seguida global para a equaça˜ o KdV nos espaços de Sobolev. Iniciamos o u´ ltimo cap´ıtulo mostrando a existência de soluço˜ es tipo onda solitária para a equaça˜ o KdV, em seguida apresentamos o Lema de Compacidade Concentrada de Lions o qual não demonstramos. Porém explicamos como usaremos o mesmo para obtermos o resultado de estabilidade. Por fim, encerramos este cap´ıtulo demonstrando que as soluço˜ es tipo onda solitária formam um conjunto orbitalmente estável em H1 (R), obeservando que kuk2H1 (R) = kuk2L2 (R) + kuk2L2 (R) com respeito ao fluxo gerado pela equaça˜ o KdV (1). Para o bom entendimento do que pretendemos fazer, segue abaixo a definiça˜ o do que entendemos por Boa Colocaça˜ o. 2.

(10) Definiça˜ o 0.1 (Boa Colocaça˜ o) Dados X e Y dois espaços de Banach e T0 ∈ (0, +∞), dizemos que o problema de Cauchy ∂t u(t) = F (t, u(t)) ∈ X, (5) u(0) = φ ∈ Y. onde F : [0, T0 ] × Y −→ X e´ uma funça˜ o cont´ınua, e´ localmente bem posto se (a) existe T ∈ (0, T0 ] e uma funça˜ o u ∈ C([0, T ]; Y ) tal que u(0) = φ e a equaça˜ o diferencial e´ satisfeita no sentido que. u(t + h) − u(t). lim − F (t, u(t)) = 0, ∀t ∈ [0, T ], h−→0 h X onde as derivadas em 0 e T são calculdas a` direita e a` esquerda; (b) o problema (5) tem, no máximo, uma soluça˜ o em C([0, T ]; Y ); (c) a aplicaça˜ o φ 7−→ u e´ cont´ınua. Mais precisamente, sejam φn ∈ Y , n ∈ N, tal que −→ φn Y φ∞ , e sejam un ∈ C([0, Tn ]; Y ) as correspondentes soluço˜ es. Seja T ∈ (0, T∞ ). Então as soluço˜ es un podemser estendidas ao intervalo [0, T ] para todo n suficientemente grande e lim sup kun (t) − u(t)kY = 0. n−→∞ t∈[0,T ]. Se qualquer uma dessas condiço˜ es não for satisfeita, o problema e´ dito mal-posto. Os principais resultados deste trabalho são: Teorema de Boa Colocaça˜ o Local Consideremos o PVI (2.16) e seja s > 3/4. Então para cada u0 ∈ H s (R) existe T = T (||u0 ||Hs ) > 0 (com T (ρ) → ∞ para ρ → 0) e uma u´ nica soluça˜ o u(t) de (2.16) satisfazendo u ∈ C([−T, T ] : H s (R)), ∂x u ∈ L4 ([−T, T ] : L∞ (R)),. s ∂u Dx ∂x ∞ 2 < ∞,. (6) (7) (8). Lx LT. kukL2x L∞ < ∞. T. (9). Além disso, para qualquer T 0 ∈ (0, T ) existe uma vizinhança V de u0 em H s (R) tal que a funça˜ o u e0 → u e(t) de V sobre a classe definida por (2.17)-(2.20) com T 0 no lugar de T e´ Lipschitz. 3.

(11) Teorema de Boa Colocaça˜ o Global Se s ∈ N, então o PVI (2) e´ globalmente bem posto em Hs (R). Teorema de Estabilidade Orbital Para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que se ku0 − φc kH1 (R) < δ, então a soluça˜ o u(x, t) do PVI (2) com u(x, 0) = u0 satisfaz inf ku(·, t) − φc (· + y)kH1 (R) < ε, ∀t ∈ R.. y∈R. 4.

(12) 1. Preliminares. Neste cap´ıtulo temos como objetivo apresentar a teoria necessária para o desenvolvimento dos cap´ıtulos posteriores deste trabalho.. 1.1. Resultados Básicos. Nesta seça˜ o escreveremos algumas desigualdades e teoremas que serão aplicados nos próximos cap´ıtulos. Iniciamos fixando a notaça˜ o de alguns espaços de funço˜ es. O conjunto de todas as funço˜ es de U ⊂ Rn em R que são k vezes diferenciáveis e sua ke´ sima derivada e´ cont´ınua será denotado por C k (U ). O conjunto das funço˜ es de U ⊂ Rn em R que são infinitamente diferenciáveis será donotado por C ∞ (U ). Quando escrevermos C0k (U ) estaremos falando das funço˜ es que pertencem a C k (U ) porém tendem a zero quando a variável independente se aproxima da fronteira do conjunto. Analogamente, definimos C0∞ (U ). Agora definimos os espaços Lp (Rn ). Definiça˜ o 1.1 Seja 1 ≤ p ≤ ∞ e U ⊂ Rn . Denotaremos por Lp (U ) o conjunto de todas as funço˜ es f : U → C mensuráveis, tais que. kf kLp (U ).  Z 1/p  p  |f (x)| dx < ∞, se 1 ≤ p < ∞, = U   sup |f (x)| < ∞, se p = ∞. x∈U. Nos espaços Lp (U ) temos as seguites desigualdades: 5. (1.1).

(13) Lema 1.1 Considere p, q ≥ 1 e. 1 1 + = 1. p q. (i) Desigualdade de Hölder: Sejam f ∈ Lp (R) e g ∈ Lq (R). Então f g ∈ L1 (R) e kf gkL1 (R) ≤ kf kLp (R) kgkLq (R) .. (1.2). (ii) Desigualdade Integral de Minkowski: p1 p p1 Z Z Z Z p |f (x, y)| dx dy |f (x, y)| dy ≤ dx. X. Y. Y. X. (iii) Desigualdade de Young: Dados a, b > 0 tem-se que 1 1 ab ≤ ap + bq . p q. (1.3). Além disso, para todo ε > 0 tem-se que existe Cε > 0 tal que ab ≤ εap + Cε bq .. (1.4). Demonstraça˜ o. Demonstraremos apenas as duas u´ ltima desigualdade, a primeira pode ser encontradas em diversos textos de análise funcional, por exemplo, em [11]. Demonstrac ¸ a˜ o do item (ii). A afirmaça˜ o e´ clara se p = ∞. Se p < ∞ fazemos F (x) = Z |f (x, y)| dy. Pelo teorema de dualidade e pela desigualdade de Hölder, segue que Y. kF kLp0 = x. sup. |f (x, y)| dy dx. g(x). kgk. p0 =1 Lx. . Z. Z. Y. X. Z Z =. |f (x, y)| g(x)dxdy. sup kgk. p0 =1 Lx. Y. X. Z ≤. sup kgk. p0 =1 Lx. Y. kf kLpx kgkLp0 dy x. Z = Y. kf kLpx dy.. Deste modo, |f (x, y)| dy X. p1. p. Z Z. dx. Z Z ≤. Y. Y. 6. X. p1 |f (x, y)| dx dy. p.

(14) Demonstraça˜ o do item (i). Como a, b > 0, temos que a · b = exp(log(a · b)) = exp(log a + log b) 1 1 p q = exp log a + log b p q 1 1 ≤ exp (log ap ) + exp (log bq ) p q 1 p 1 = a + bq . p q. (pela convexidade de exp(x)). Isso demonstra a primeira afirmaça˜ o. Para mostrar a segunda afirmaça˜ o basta observar que para todo ξ > 0, usando a afirmaça˜ o já provada, temos que a · b = ξa ·. 1 q ξp b ≤ ap + b. ξ p qξ q. Agora, dado ε > 0 tomamos ξ > 0 satisfazendo ε = ξ p /p, ou seja, ξ = (pε)1/p , isso prova a 1 ε1−q segunda afirmaça˜ o onde Cε = q = q−1 . qξ qp Apresentaremos agora o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que será utilizado para provar a boa colocaça˜ o local e global. Teorema 1.1 (Teorema Ponto Fixo de Banach.) Se M e´ um espaço métrico completo, toda contraça˜ o f : M → M possui um u´ nico ponto fixo em M . Mais precisamente, se escolhermos um ponto qualquer x0 ∈ M e x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), ..., xn+1 = f (xn ), ... a seqüeˆ ncia (xn ) converge em M e a = lim xn e´ o u´ nico ponto fixo de f . Demonstraça˜ o. Por ser um resultado clássico não o demonstraresmo aqui, porém podemos citar ([7]) como uma boa referência para a demonstraça˜ o deste resultado. . 1.2. A Transformada de Fourier. Nesta seça˜ o estudaremos as principais propriedades da transformada de Fourier no espaço de Schwarz S(R) e em seguida apresentaça˜ o de forma sucinta as Distribuiço˜ es Temperadas 7.

(15) (definimos os conjunto das Distribuiço˜ es Temperadas como sendo o dual topológico do espaço de Schwarz). Para finalizar, definiremos a convoluça˜ o para funço˜ es não-periódicas e apresentamos, através da Transforma de Fourier, o que entedemos por derivadas Fracionárias.. 1.2.1. O Espaço de Schwartz. Definiça˜ o 1.2 O Espaço de Schwartz, que denotaremos por S (R), e´ a coleça˜ o das funço˜ es f : R → C infinitamente diferenciáveis em R tais que, para todos α, β ∈ Z+ , existe uma constante Cα,β com

(16) α (β)

(17)

(18) x f (x)

(19) ≤ Cα,β , ∀x ∈ R, (1.5) onde f (β) e´ a β-ésima derivada de f . Note que se f ∈ S(R) então |x2 f (β) (x)| ≤ C2,β e portanto |f (β) (x)| ≤ C2,β /x2 . Com isso, podemos concluir que f (β) ∈ Lp (R) quaisquer que sejam p ∈ [1, +∞] e β ∈ N. Esta observaça˜ o prova que S(R) ⊂ Lp (R) com p ∈ [1, +∞], o teorema abaixo nos fornece uma propriedade do espaço de Schawartz bastante explorada neste trabalho, de forma impl´ıcita. Teorema 1.2 O espaço de Schwartz, e´ denso em Lp (R) com p ∈ [1, +∞]. ( n ) X Demonstraça˜ o. Sabemos que o conjunto S = χAj das combinaço˜ es lineares de funço˜ es j=1. caracter´ısticas χAj de subconjuntos Aj ⊂ R mensuráveis e limitados e´ denso em Lp (R). Então, só resta mostrar que se A ⊂ R for limitado e mensurável , para cada ε > 0, existe φ ∈ S(R) tal que kφ − χA kLZp < ε. Com efeito, dado ε > 0, sejam K um compacto e O um aberto tais que K⊂A⊂Oe

(20) φ

(21) K = 1. Então. χpO−K (x)dx < εp . Escolhamos φ ∈ C0∞ (R) com 0 ≤ φ ≤ 1, supp φ ⊂ O e. R. kφ −. χA kpLp (R). Z. p. Z. |φ − χA | dx =. = R. χpO−K (x)dx < εp .. R. Proposiça˜ o 1.1 Se f ∈ S(R), então a funça˜ o g(x) = xα f (β) (x) também está em S(R), quaisquer que sejam α, β ∈ Z+ . 0. 0. Demonstraça˜ o. A funça˜ o g e´ infinitamente diferenciável e xα g (β ) (x), quaisquer que sejam α0 , β 0 ∈ Z+ , e´ uma soma finita de termos da forma xn f (m) (x), logo limitada. 8.

(22) Agora daremos a definiça˜ o da Transformada de Fourier em S(R). Definiça˜ o 1.3 A funça˜ o fb : R → C dada por fb(ξ) = (2π)−1/2. Z. f (x) e−iξx dx, com ξ ∈ R,. (1.6). R. e´ chamada transformada de Fourier da funça˜ o f : R → C. Teorema 1.3 Se f ∈ S (R), então fb ∈ S (R). Demonstaça˜ o. Se α , β ∈ Z+ , obtemos ξ α fˆ(β) (ξ) = (−i)β+α (iξ)α xβ f b(ξ) α d β+α β = (−i) x f b(ξ) dxα = gb (ξ) , dα onde g = (−i)β+α α xβ f . Então, vemos que g ∈ S(R) ⊆ L1 (R), logo gb e´ limitada, isto e´ , dx ξ α fˆ(β) (ξ) e´ limitada, o que prova que fb ∈ S(R). Assim, podemos saber quem e´ o espaço das transformadas de S(R): Teorema 1.4 A transformada de Fourier define uma bijeça˜ o linear de S(R) em si mesmo e sua inversa e´ dada por 1 f (x) = √ 2π ∨. Z. +∞. f (ξ) eiξx dξ, x ∈ R, f ∈ S(R).. (1.7). −∞. Agora podemos iniciar o estudo do tema central desta seça˜ o, a saber, o comportamento da transformada de Fourier em S(R). Teorema 1.5 Seja f ∈ S (R). Então f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N e f (α) b(ξ) = (iξ)α fb(ξ), ξ ∈ R. 9. (1.8).

(23) Demonstraça˜ o. Já vimos que f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N. Agora note que integrando por partes obtem-se, −1/2. 0. Z. +∞. f 0 (x) e−iξx dx. (f )b(ξ) = (2π). −∞ Z +∞ −1/2 −iξx −iξx x=∞ (−iξ)f (x) e dx f (x) e |x=−∞ − = (2π) −∞ Z +∞ −1/2 −iξx −iξx x=∞ f (x) e dx f (x) e |x=−∞ + iξ = (2π) −∞. = iξ fb(ξ) , ξ ∈ R, pois os termos de fronteira são nulos uma vez que f ∈ S (R). Agora, vamos utilizar induça˜ o simples e integraça˜ o por partes, para concluir a demonstraça˜ o. Suponha que a sentença e´ válida para todo β ∈ N tal que β < α. Então f. (α). b(ξ) = (2π)−1/2. Z. +∞. f (α) (x) e−iξx dx. −∞.

(24) x=+∞ Z

(25) (α−1) −iξx

(26) f e +iξ

(27). −1/2. = (2π). x=−∞. = iξi. α−1 α−1. ξ. !. +∞. f (α−1) (x) e−iξx dx. −∞. fb(ξ). = iα ξ α fb(ξ) . o que completa a demonstraça˜ o. α. d dxα agindo em S (R) e´ transformado no operador de multiplicaça˜ o por (iξ)α . Por exemplo se α = 2 temos, O teorema acima tem extrema relevância na teoria. O mesmo nos diz que o operador. . d2 f − 2 dx. ∧. (ξ) = ξ 2 fb(ξ) .. (1.9). Isso nos permite transformar equaço˜ es diferenciais ordinárias em equaço˜ es algébricas e nos pemitirá, mais tarde, reduzir equaço˜ es diferenciais parciais a equaço˜ es diferenciais ordinárias. Tendo em vista as observaço˜ es precedentes, e´ natural tentar identificar a imagem de S (R) sob a transformada de Fourier e descobrir se podemos invertê-la. 10.

(28) Proposiça˜ o 1.2 Se f ∈ S (R) então fb e´ infinitamente diferenciável e vale fˆ(β) (ξ) = (−i)β xβ f b(ξ) .. (1.10). Demonstraça˜ o. Derivando sob o sinal de integraça˜ o, mostramos que fb e´ infinitamente diferenciável e Z +∞ ∂ (β) −1/2 (β) ˆ f (ξ) = (2π) f (x) e−iξx dx ∂ξ −∞ Z +∞ (−ix)β f (x) e−iξx dx = (2π)−1/2 −∞ β β = (−i) x f b(ξ). . 1.2.2. Distribuiço˜ es Temperadas. Vamos agora introduzir um produto interno em S(R): se f, g ∈ S(R), Z +∞ (f |g) = f (x)g(x)dx.. (1.11). −∞. Podemos mostrar que (·|·) definido em (1.11) e´ de fato um produto interno em S(R) (veja a proposiça˜ o 1.1 do cap´ıtulo 6 de [1]). Se f ∈ S(R), definiremos 1/2 Z +∞ 2 1/2 |f (x)| dx . (1.12) kf kL2 (R) = (f |f ) = −∞. Pelo Teorema da Representaça˜ o de Riesz, todo funcional linear T : S(R) → R e´ da forma T (φ) = (f |φ), para algum f ∈ S. Definiça˜ o 1.4 O conjunto das distribuiço˜ es temperadas, denotado por S 0 (R), e´ o dual topológico de S(R). Em outras palavras, T ∈ S 0 (R) se e só se T : S(R) → R e´ um funcional linear cont´ınuo. Notemos que para verificar que um funcional linear T : S(R) → R e´ cont´ınuo, basta provar que T ϕk → 0 para toda ϕk → 0. Vamos considerar o seguinte exemplo: os elementos de Lp (R) com 1 ≤ p ≤ ∞ definem distribuiço˜ es temperadas através da fórmula Z Tf (ϕ) = f (x)ϕ(x)dx, f ∈ Lp (R), ϕ ∈ S(R). (1.13) R. 11.

(29) De fato, pela desigualdade de Hölder, temos, |Tf (ϕ)| ≤ kf kLp kϕkLq , p−1 + q −1 = 1. (1.14). e a afirmaça˜ o acima segue de (1.14).. 1.2.3. Operaça˜ o de Convoluça˜ o. Definiça˜ o 1.5 Se f ∈ L1 (R) e g : R → C e´ limitada e seccionalmente cont´ınua em qualquer intervalo fechado, a convoluça˜ o de f e g e´ a funça˜ o f ∗ g : R → C definida por Z +∞ f (y) g (x − y) dy, x ∈ R. (1.15) (f ∗ g) (x) = −∞. Uma observaça˜ o importante a fazer e´ que, a integral em (1.15) converge, pois como g e´ limitada, existe M > 0 tal que |g (x)| ≤ M, ∀x ∈ R, e portanto Z. +∞. |f (y) g (x − y)| ≤ M |f (y)| ⇒ −∞. |f (y) g (x − y)| dy ≤ M kf kL1 (R) < +∞.. O estudo da convoluça˜ o para funço˜ es de L1 (R) e´ bem delicado. Se f e g são funço˜ es de L1 (R), não e´ verdade, em geral, que o produto f g pertença a L1 (R); portanto, para tais funço˜ es a integral em (1.15) pode não estar definida para todo x. Por esse motivo, vamos estudar a convoluça˜ o no espaço de Schwarz, que e´ um bom espaço para a convoluça˜ o. Mostraremos mais adiante que a convoluça˜ o de fato define uma operaça˜ o em S. Proposiça˜ o 1.3 Sejam f, g, h ∈ S(R) e λ ∈ C. Então: (a)f ∗ g ∈ S(R), (b) f ∗ g = g ∗ f , (c) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h), (d) (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h, (e) (λf ) ∗ g = λ(f ∗ g) = f ∗ (λg). Demonstraça˜ o. A demonstraça˜ o dos itens acima segue usando alguns teoremas de análise. Nota 1.1 Salientamos que a expressão (f ∗ g) ∗ h faz sentido uma vez que f ∗ g ∈ L1 (R) pelo lema anterior e h e´ limitada. 12.

(30) Teorema 1.6 Se f, g ∈ S(R), então (f ∗ g)b(ξ) =. √ 2π fb(ξ)b g (ξ), ∀ξ ∈ R.. (1.16). Além disso vale a identidade de Parseval kf k2L2 (R) = kfˆk2L2 (R) .. (1.17). Demonstraça˜ o. Ver ([18]).. 1.2.4. Derivadas Fracionárias. A partir da Transformada de Fourier podemos generalizar a noça˜ o de derivadas. Podemos ver a derivaça˜ o como um operador de S(R) em S(R), ou seja, D : S(R) → S(R) f 7→ f 0 . Assim, fica bem definido o que viria a ser a k-ésima derivada de uma funça˜ o; bastaria aplicar o operador D k-vezes a` funça˜ o em questão. Tendo em vista o operador acima, fixando s ∈ R, definimos o seguinte Operador de Riesz: Ds : S(R) → S(R) f. ∨ 7→ Ds f := (iξ)s fb .. Pelo que já vimos, se s ∈ N esta noça˜ o coincide com a derivada já conhecida.. 1.3. Os Espaços de Sobolev. Seja s ∈ R. Os espaços de Sobolev (do tipo L2 ) em R são os seguintes subconjuntos de S (R): o n s 0 2 s 2 2 ˆ f (ξ) ∈ L (R) . H (R) = f ∈ S (R) ; 1 + ξ 0. O espaço H s (R) , s ∈ R, e´ de Hilbert quando munido do produto interno 13.

(31) Z. 1 + ξ2. hf, gis :=. s. fˆ (ξ) gˆ (ξ)dξ.. R. A norma proveniente deste produto interno e´ Z

(32) 2 s

(33)

(34)

(35) 2 kf kHs (R) = 1 + ξ 2

(36) fˆ (ξ)

(37) dξ.. (1.18). R. Em particular, H 0 (R) = L2 (R). No caso de s ∈ N, temos que kf k2Hs (R). s X j 2 ∂x f 2 . = L (R). (1.19). j=0. Também utilizaremos os espaços de Sobolev homogêneos, definidos para s ∈ R por n o 0 H˙ s := H˙ s (R) = f ∈ S (R) ; Ds f ∈ L2 (R) , com. d sf kf kH˙ s = D. L2 (R). .. Note que se f ∈ H s (R), então kf kH˙ s. d sf = D. L2 (R). Z. ∞. = −∞. 12

(38)

(39)

(40) ˆ

(41) 2 |ξ|

(42) f (ξ)

(43) dξ < ∞. s 2. Logo, conclu´ımos que H s (R) ⊆ H˙ s (R), para todo s ∈ R. Exibiremos agora algumas propriedades dos espaços definidos anteriormente. Proposiça˜ o 1.4 Propriedades dos espaços de Sobolev. 0. (i) Se s < s0 , então Hs (Rn ) ⊆ Hs (Rn ); (ii) Se s1 ≤ s ≤ s2 , com s = θs1 + (1 − θ)s2 , 0 ≤ θ ≤ 1, então 1−θ kf kHs (R) ≤ kf kθHs1 (R) kf kH s2 (R) .. 14. (1.20).

(44) Definiça˜ o 1.6 Sejam X e Y espaços de Banach. Diremos que X está imerso compactamente em Y , e escreveremos X ,→ Y, quando: (i) kxkY ≤ C kxkX , ∀x ∈ X e alguma contante C. (ii) Cada sequência limitada em X e´ pré-compacta em Y . Teorema 1.7 (Rellich-Kondrachov) Assuma que U contido em Rn e´ aberto e limitado com ∂U de classe C 1 . Suponha 1 ≤ p < n. Então, H1 (U ) ,→ Lq (U ), para cada 1 ≤ q <. (1.21). 2n . n−2 . Teorema 1.8 (Desigualdade de Gagliardo-Niremberg) Sejam q, r ∈ [1, +∞) e j, m ∈ N ∪ {0}, tal que 0 ≤ j ≤ m. Então k∂xj ukLp (R) ≤ C(j, m, q, r, θ)k∂xm ukLr (R) · kukLq (R) para todo θ ∈ [. j , 1] e p satisfazendo m 1 =j+θ p. . 1 1 − m + (1 − θ) r q. A demonstraça˜ o pode ser vista em ([17]). . 1.4. Espaços de Banach Mistos e suas Propriedades. Para 1 ≤ p, q < ∞. Lpx LqT e´ o espaço de Banach Misto definido por o n p q Lx LT := f : R × [−T, T ] :−→ R; kf kLpx Lq < +∞ , T. 15.

(45) onde. Z. kf kpLq [−T,T ]. kf kLpx Lq = T. 1/p. Z. +∞. Z. T. = −∞. R. pq ! p1 . |f (x, t)|q dt dx. (1.22). −T. Quando p = ∞ ou q = ∞ usaremos uma definiça˜ o similar, envolvendo a norma do supremo essencial. O espaço LpT Lqx e´ definido como acima, invertendo-se apenas a ordem de integraça˜ o. Vale mencionar também que se escrevemos T = ∞ na norma acima significa. Z kf kLpx Lqt =. kf kpLq (R). 1/p. Z. +∞. Z. +∞. = −∞. R. pq ! p1 . |f (x, t)|q dt dx. −∞. Um resultado que será utilizado com muita frequência e´ a desigualdade:. ∞ 2 Lema 1.2 Sejam f ∈ L2x L∞ ao f g ∈ L2x L2T e vale T e g ∈ Lx LT , ent˜. kf gkL2x L2 ≤ kf kL2x L∞ kgkL∞ 2 . x L T. T. 16. T. (1.23).

(46) Demonstraça˜ o. Pela desigualdade de Hölder, (1.2) temos +∞. Z kf gkL2x L2. T. T. Z. = −∞. −T T. +∞ Z. Z. |f (x, t)|2 |g(x, t)|2 dtdx. = −∞. ! 21. T. ≤. sup. . |f (x, t)|2 |g(x, t)|2 dtdx. −T t∈[−T,T ]. −∞ +∞. Z =. sup. . |f (x, t)|2. Z. −∞ t∈[−T,T ]. ! 21. T. |g(x, t)|2 dtdx. −T. +∞. Z. 21. −T. +∞ Z. Z. 21 |(f g)(x, t)| dtdx 2. ≤. sup. . |f (x, t)|2 sup. Z. x. −∞ t∈[−T,T ]. −T. +∞. Z. sup. =. . |f (x, t)|2 dx sup. Z. sup {|f (x, t)|}. ! 21 |g(x, t)|2 dt. −T. dx. t∈[−T,T ]. −∞. T.  21. !2. +∞. = . Z. x. −∞ t∈[−T,T ]. . ! 21 |g(x, t)|2 dt dx. T. Z. T. sup x. 12 ! |g(x, t)| dt 2. −T. = kf kL2x L∞ kgkL∞ 2 , x L T. T. o que prova o Lema. Teorema 1.9 (Teorema das Três Linhas) Seja F uma funça˜ o cont´ınua e limitada definida sobre S = {z = x + iy; 0 ≤ x ≤ 1} com F anal´ıtica no interior de S. Se para cada y ∈ R |F (iy)| ≤ M0 e |F (1 + iy)| ≤ M1 , então para todo z = x + iy ∈ S |F (x + iy)| ≤ M01−x M1x . Este teorema apesar de seu aspecto simples tem como consequência resultados fortes como por exemplo o teorema de Riesz-Thorin enuciado abaixo. 17.

(47) Teorema 1.10 (Riesz-Thorin) Sejam p0 6= p1 e q0 6= q1 . Seja T um operador linear limitado de Lp0 (X, A, µ) em Lq0 (Y, B, ν) com norma M0 e de Lp1 (X, A, µ) em Lq1 (Y, B, ν) com norma M1 . Então T e´ limitado de Lpθ (X, A, µ) em Lqθ (Y, B, ν) com norma Mθ tal que Mθ ≤ M01−θ M1θ . Aqui, Mθ = sup f 6=0. kT f kqθ com kf kpθ 1−θ θ 1 1−θ θ 1 = + , = + , ∀θ ∈ (0, 1). pθ p0 p1 qθ q0 q1. Demonstraça˜ o: A demonstraça˜ o do mesmo pode ser encontrada em [10]. Lema 1.3 Sejam α ∈ (0, 1) e α1 , α2 ∈ [0, α] onde α = α1 + α2 . Sejam p, p1 , p2 , q, q1 , q2 ∈ 1 1 1 1 1 1 (1, ∞) tal que = + e = + . Então p p1 p2 q q1 q2 kDxα (f g) − f Dxα g − gDxα f kLpx Lq ≤ c kDxα1 f kLpx1 Lq1 kDxα2 gkLpx2 Lq2 . T. T. T. (1.24). Além disso, para α1 = 0 o valor q1 = ∞ e´ permitido. Demonstraça˜ o: A demonstraça˜ o do mesmo e´ feita no apêndice de [6].. 1.5. Variaça˜ o de Gâteaux e derivada de Fréchet. Nesta seça˜ o vamos introduzir alguns conceitos básicos do cálculo variacional. Podemos olhar o cálculo variacional como o cálculo diferencial no espaço de funço˜ es onde tentamos, sobre espaços apropriados, encontrar curvas que minimizem certos funcionais. Definiça˜ o 1.7 Sejam X um espaço de Banach e F : X −→ R um funcional. Se existe um funcional linear L em X tal que 1 F (u + sh) − F (x) − L(sh) = 0, s−→∞ s lim. (1.25). para todo h ∈ X tal que o limite existe, então δu F (h) := L(h) e´ chamada de Variaça˜ o de Gâteaux de F em u na direça˜ o de h ∈ X. 18.

(48) Fixando u ∈ X, o subconjunto Λu = {h ∈ X; ∃ δu F (h)} de direço˜ es cuja variaça˜ o de Gâteux existe e´ chamado espaço das variaço˜ es admiss´ıveis de X. Note que Λu e´ um subespaço vetorial de X. Com efeito, dados α, β ∈ R e h1 , h2 ∈ Λu temos, pela linearidade de L, que: αL(h1 ) + βL(h2 ) = L(αh1 + βh2 ),. (1.26). ou seja, αh1 + βh2 ∈ Λu . A funça˜ o δu F : Λu −→ R tal que para cada h associe δu F (h) e´ chamada de Variaça˜ o de Gâteaux de F e u no espaço de variaço˜ es admiss´ıveis de X. Definiça˜ o 1.8 Se Λu = X, δu F e´ chamada de derivada de Gâteaux de F em u. Neste ponto, fazemos a observaça˜ o se s ∈ R (suficientemente pequeno), podemos pensar numa funça˜ o real s 7−→ F (u + sh) e logo, se existe a variaça˜ o de Gâteaux de F em u na direça˜ o h, devemos ter

(49)

(50) d δu F (h) = F (u + sh)

(51)

(52) . ds s=0 Agora, afim de esclarecer a noça˜ o de derivada de Gâteaux e também para uso futuro calcularemos a derivada de Gâteaux de dois funcionais. Z 1 u2 dx. Pela observaça˜ o feita Exemplo 1.1 Seja M : S(R) −→ R definido por M (u) = 2 R acima, se a deriva de Gâteaux existe na direça˜ o u então

(53)

(54) d δu M (h) = M (u + sh)

(55)

(56) ds s=0

(57) Z

(58) d 1 2 (u + sh) dx

(59)

(60) = ds 2 R

(61) Z Z s=0 Z

(62) d 1 2 2 2 = u (x)dx + 2su(x)h(x)dx + s h (x)dx

(63)

(64) ds 2 R R s=0 Z

(65) R Z

(66) Z

(67)

(68)

(69)

(70) 1 d d 1 d 2 2

(71)

(72) = u (x)dx

(73) + s u(x)h(x)dx

(74) + s h(x)dx

(75)

(76) 2 ds ds 2 ds R R R s=0 s=0 s=0 Z = uhdx. R. Assim, vemos que a derivada de Gâteaux de M em u e´ o funcional linear δu M (h) = hu, hiL2 (R) , onde u, h ∈ C0∞ (R), isso pelo Teorema de Representaça˜ o de Riesz. 19.

(77) Vamos agora para o próximo exemplo. Z Z 1 1 2 3 Exemplo 1.2 Defina E : S(R) −→ R por E(u) = ux dx − u dx . Vamos calcu2 3 R R lar a derivada de Gâteaux de E.

(78)

(79) d E(u + sh)

(80)

(81) δu E(h) = ds s=0 Z

(82) Z

(83) d 1 1 2 3 = [(u + sh)x ] dx − (u + sh) dx

(84)

(85) ds 2 3 ZR

(86) ZR

(87) s=0 2 Z

(88)

(89)

(90)

(91) s d d d 1 2 2 ux dx

(92)

(93) + s ux hx dx

(94)

(95) + hx dx

(96)

(97) = ds 2 R ds ds 2 R Z ZR 2Z

(98) s=0

(99) s=0

(100) s=0

(101)

(102)

(103) s s d 1 d d − u3 dx

(104)

(105) − u2 hdx

(106)

(107) − uh2 dx

(108)

(109) ds 6 R ds 2 R ds 2 R s=0 s=0

(110) s=0 3Z

(111) d s h3 dx

(112)

(113) − ds 6 R Z s=0 Z 1 u2 hdx = ux hx dx − 2 RZ ZR = − uxx hdx − u2 hdx R ZR 1 2 = − uxx + u h dx 2 R 2 = h−uxx − u , hiL2 (R) . Portanto, δu E(h) = h−uxx − u2 , hiL2 (R) , ∀u, h ∈ C0∞ (R). Escolhemos estes dois funcionais pois os mesmos estm ligados diretamente com a equaça˜ o KdV, como veremos no final do próximo cap´ıtulo. Daremos agora a definiça˜ o de derivada de Fréchet. Definiça˜ o 1.9 Seja X um espaço de Banach e F : X −→ R. F e´ dita diferenciável no sentido de Fréchet em u ∈ X, se existe um funcional linear limitado em X, denotado por DF (u), tal que 1 F (u + h) − F (u) − DF (h) = 0. khk−→0 khk lim. 20. (1.27).

(114) Se DF (u) = 0, então u e´ chamado ponto cr´ıtico de F . Se X0 ⊂ X e´ um subespaço e DF (u) = 0 como funcional linear em X0 , então u e´ chamado ponto cr´ıitico de F em X0 . Note que se F e´ diferenciável no sentido de Fréchet em u ∈ X, então existe a derivada de Gâteaux de F em u. De fato, sendo F diferenciável no sentido de Fréchet, 1 lim F (u + h) − F (u) − DF (h) = 0, khk−→0 khk ou seja, 1 1 lim F (u + sh) − F (u) − DF (sh) = lim F (u + sh) − F (u) − DF (sh) = 0. s−→0 s kshk−→0 kshk Assim DF (u) = δu F . Apresentaremos agora o Teorema de Multiplicador de Lagrange para espaços de dimença˜ o infinita. Teorema 1.11 (Multiplicador de Lagrange) Sejam f, h : X −→ Z dois funcionais continuamente diferenciáveis no sentido de Fréchet. Se o funcional f tem um extremo local restrito a h(u) = c que e´ um valor relugar no ponto u0 , então existe um elemento z0∗ ∈ Z ∗ tal que o funcional Lagrangiano L(u) = f (u) + z0∗ h(u) e´ estacionário em x0 , ou seja, δu0 f + z0∗ δu0 h = 0. Este teorema será fundamental na caracterizaça˜ o da o´ rbita da soluça˜ o tipo onda solitária para a KdV. Usaremos o mesmo para os funcionais M e E, para obter o resultado de estabilidade das soluço˜ es tipo ondas solitárias.. 21.

(115)

(116) 2. ˜ Local e Boa Colocaçao ˜ Global para a Equaçao Korteweg-de Vries. Neste cap´ıtulo demonstraremos a Boa Colocaça˜ o Local e Global para a Equaça˜ o Korteweg-de Vries. Estes resultados, principalmente o de boa colocaça˜ o global, são essenciais para obtermos o resultado sobre estabilidade. Inicialmente estabeleceremos algumas leis de conservaça˜ o para a equaça˜ o KdV e em seguida encontraremos uma soluça˜ o formal para a KdV usando a Transformada de Fourier. Feito isto, demonstraremos algumas estimativas para a KdV e em seguida provaremos um teorema de boa colocaça˜ o local. Encerramos este cap´ıtulo provando um teorema de boa colocaça˜ o global.. 2.1. Sistemas Integráveis e Leis de Conservaça˜ o. Nesta seça˜ o veremos como muitas propriedades das soluço˜ es da KdV podem ser obtidas apenas a partir do estudo da expressão da equaça˜ o, ou seja, de suas propriedades algébricas. Lembremos da expressão da Equaça˜ o KdV em R × R.. ut + uux + uxxx ,. (2.1). Estamos interessados nas soluço˜ es que tendem a zero quando a variável independente tende ao infinio juntamente com todas as suas derivadas. Para começarmos a estudar tais propriedades, reescrevemos a equaça˜ o (2.1) na seguinte forma: 1 2 (2.2) ut = ∂x −uxx − u . 2 23.

(117) Integrando sobre a reta e lembrando que u → 0 (assim como todas as suas derivadas) quando x → ±∞, podemos escrever Z Z Z d 1 2

(118)

(119) x=∞ 1 2 dx = −uxx − u

(120) = 0. u dx = ut dx = ∂x −uxx − u dt R 2 2 x=−∞ R R Ou seja, Z u dx = A1 , R. onde A1 e´ uma constante. Z T1 dx,. A expressão acima e´ uma grandeza conservada, ou seja, ao longo do fluxo pela KdV, R. onde T1 = u, não se altera. Fisicamente significa que a massa não se altera, portanto, temos uma expressão para a conservaça˜ o da massa. Podemos começar a procurar por outras grandezas conservadas, em particular associadas a outras entidades f´ısicas. Multiplicando a equaça˜ o (2.1) por u obtemos uut + uuxxx + u2 ux = uut + (ux uxx + uuxxx ) − ux uxx + u2 ux = 0,. (2.3). que podemos reescrevê-la na forma 1 2 1 2 1 3 ∂t u + ∂x uuxx − ux + u = 0, 2 2 3 ou ainda, ∂t. 1 2 u 2. . = −∂x. 1 2 1 3 uuxx − ux + u . 2 3. (2.4). Integrando sobre a reta e lembrando que u → 0 (assim como todas as suas derivadas) quando x → ±∞, podemos escrever Z Z 1 2 d 1 2 u dx = ∂t u dx dt R 2 2 R Z 1 2 1 3 = − ∂x uuxx − ux + u dx 2 3 R

(121) 1 1

(122) x=∞ = − uuxx − u2x + u3

(123) = 0, 2 3 x=−∞ ou seja, Z. u2 dx = A2 ,. R. 24.

(124) onde A2 e´ uma constante. Z. 2. Portanto, escrevendo T2 = u temos que. T2 dx e´ constante, e temos uma segunda lei de R. conservaça˜ o, esta associada a conservaça˜ o do momento. Com um pouco mais de trabalho podemos obter uma terceira lei de conservaça˜ o, desta vez associada a energia. Multiplicando a equaça˜ o (2.1) por 3u2 obtemos 3u2 ut + 3u2 uxxx + 3u3 ux = 0.. (2.5). Agora, derivando a equaça˜ o (2.1) em relaça˜ o a x e em seguida multiplicando por 6ux , temos 6ux utx + 6ux uxxxx + 6u3x + 6ux uuxx = 0.. (2.6). Subtraindo (2.5) de (2.6) obtemos 6ux uxt + 6(ux )3 + 6uux uxx + 6ux uxxxx − 3u2 ut − 3u3 ux − 3u2 uxxx = 6ux uxt − 3u2 ut + −3u3 ux + (6ux uxxxx + 6uxx uxxx ) + (6uxx uxxx ) + 6(ux )3 + 12uux uxx + −3u2 uxxx − 6uux uxx = 0, ou ainda, 2. 3. ∂t 3(ux ) − u. . 3 4 2 2 + ∂x − u + 6ux uxxx − 6uxx + 6uux − 3u uxx = 0. 4. Esta u´ ltima equaça˜ o pode ser reescrita como 1 3 1 4 2 2 2 ∂t (ux ) − u = −∂x − u + 2ux uxxx − 2uxx + 2uux − u uxx . 3 4. (2.7). 1 Assim obtemos T3 = (ux )2 − u3 que e´ nova lei de conservaça˜ o para a equaça˜ o KdV. 3 E´ importante notar que sempre que tivermos uma expressão da forma ∂T ∂X + =0 ∂t ∂x e condiço˜ es de contorno apropriadas, Z no caso X → 0 quando x → ±∞, teremos uma lei de conservaça˜ o, que pode ser escrita T dx = A, onde A e´ uma constante. R. 25.

(125) Dado que em um problema f´ısico t´ıpico as leis de conservaça˜ o aplicadas são exatamente aquelas associadas a massa e energia, poder-se-ia pensar, a primeira vista, que as três leis enunciadas acima esgotam as leis de conservaça˜ o da KdV. No entanto, com muito esforço, Miura, Gardner e Kruskal em 1968, ver [15], encontraram mais oito leis de conservaça˜ o independentes, totalizando onze. Para surpresa de muitos, provou-se em seguida que a KdV possui um número infinito de leis de conservaça˜ o, e que além disto, esta caracter´ıstica e´ compartilhada por um grande número de equaço˜ es diferenciais (aquelas que recebem o nome de sistemas integráveis). Maiores detalhes ver [8]. Durante nosso trabalho faremos uso de duas lei de conservaça˜ o especiais. Por isso, destacaremos as mesmas e passaremos a denotá-las como funcionais. Z 1 u2 dx M (u) = 2 R e 1 E(u) = 2. 2.2. Z R. 1 3 (ux ) − u dx. 3 2. KdV Linear. Consideremos o problema de Cauchy envolvendo a equaça˜ o Korteweg-de Vries (KdV) linear, isto e´ , ∂t u(x, t) + ∂x3 u(x, t) = 0, (2.8) u(x, 0) = u0 (x). Aplicando formalmente a Transformada de Fourier em relaça˜ o a x neste sistema obtemos as relaço˜ es ∂t u b(ξ, t) + (iξ)3 u b(ξ, t) = 0, u b(ξ, 0) = u b0 (ξ). 3. Multiplicando a equaça˜ o ∂t u b(ξ, t) + (iξ)3 u b(ξ, t) = 0 pelo fator integrante e(iξ) t , temos a equaça˜ o 3 3 ∂t u b(ξ, t)e(iξ) t + (iξ)3 e(iξ) t u b(ξ, t) = 0. Observando que . ∂t u b(ξ, t)e. (iξ)3 t. . 3. 3. = ∂t u b(ξ, t)e(iξ) t + (iξ)3 e(iξ) t u b(ξ, t), 26.

(126) obtemos a relaça˜ o 3 ∂t u b(ξ, t)e(iξ) t = 0. Integrando em relaça˜ o a variável t, temos a igualdade 3. u bt (ξ, t)e(iξ) t = u b0 (ξ), ou seja, 3. 3. u bt (ξ, t) = e−(iξ) t u b0 (ξ) = eiξ t u b0 (ξ). Agora, aplicando a Transformada inversa de Fourier obtemos uma descriça˜ o para a soluça˜ o do sistema (2.8) que e´ da forma 3. 3. u(x, t) = (eiξ t u b0 (ξ))∨ (x) = ((eiξ t )∨ ∗ u0 )(x).. (2.9). Denotaremos por W (t) o operador de L2 (R) em L2 (R) dado por W (t)u0 (x) := (St ∗ u0 )(x), onde 3. St (x) = (eiξ t )∨ (x). Temos então u(x, t) = W (t)u0 (x) = (St ∗ u0 )(x). Além disso, temos que W (t)u0 e´ dado por Z. ∞. W (t)u0 (x) = c −∞. 3. u b0 (ξ)eiξ t eiξx dξ,. onde c e´ uma constante real.. 2.3. Estimativas Lineares. Nesta seça˜ o demonstraremos algumas desigualdades fundamentais para a prova do teorema de boa colocaça˜ o local. Teorema 2.1 27.

(127) (i) Se u0 ∈ L2 (R) então. ∂. W (t)u0 ∂x. ≤ c||u0 ||L2 (R) .. (2.10). 2 L∞ x Lt. (ii) Se g ∈ L1x L2t então para qualquer T > 0. Z t ∂. 0 0 0. W (t − t )g(x, t )dt. ∂x. 2 L∞ T Lx. 0. ≤ c||g||L1x L2T .. Z. 2. ∞. Demonstraça˜ o. Consideremos u0 ∈ L (R) e W (t)u0 (x) = c −∞. (2.11). 3. u b0 (ξ)eiξ t eiξx dξ.. Derivando W (t)u0 (x) com relaça˜ o a variável x e fazendo a mudança de variável ξ 3 = η, temos que. ∂x W (t)u0 (x) = = = =. Z ∞ iξ 3 t iξx ∂x c u b0 (ξ)e e dξ −∞ Z ∞ 3 c u b0 (ξ)eiξ t iξeiξx dξ Z−∞ ∞ 1/3 c u b0 (η 1/3 )eiηt η 1/3 eiη x η −2/3 dη Z−∞ ∞ 1/3 c ei(tη+xη ) u b0 (η 1/3 )η −1/3 dη. −∞. 28.

(128) Usando agora a Identidade de Parseval (na variável t), temos Z ∞ 2 |∂x W (t)u0 (x)|2 dt k∂x W (t)u0 kL2t = −∞

(129) 2 Z ∞

(130) Z ∞

(131)

(132) 1/3 i(tη+xη ) 1/3 −1/3

(133) dt

(134) c e u b (η )η dη = 0

(135)

(136) −∞ −∞

(137) 2 Z ∞

(138) Z ∞ h i

(139)

(140) 1/3 2 −1/3 ixη 1/3 itη

(141)

(142) dt = c η e u b (η ) e dη 0

(143)

(144) −∞ −∞ Z ∞

(145)

(146) 2

(147) −1/3 ixη1/3

(148) = c2 e u b0 (η 1/3 )

(149) dη

(150) η Z−∞

(151) 2 ∞

(152)

(153)

(154)

(155)

(156) −1/3

(157) 2

(158) ixη 1/3

(159) 2

(160) 1/3

(161) 2

(162) η u b0 (η )

(163) dη = c

(164) e −∞ Z ∞

(165)

(166) 2 2 b0 (η 1/3 )

(167) dη |η|−2/3

(168) u = c Z−∞ ∞

(169)

(170) 2

(171) ξ 3

(172) −2/3 |b = c u0 (ξ)|2 ξ 2 dξ Z−∞ ∞ 2 |b u0 (ξ)|2 dξ = c −∞. = c kub0 k2L2 (R) 2. = c2 ku0 k2L2 (R) . Logo,. ∂. W (t)u0 ∂x. 2 L∞ x Lt. n o = sup k∂x W (t)u0 kL2t x∈R. n o = sup c ku0 kL2 (R) x∈R. = c ku0 kL2 (R) . O que demonstra (2.10). Para a prova de (ii) inicialmente afirmamos que. Z t. ∂ 0 0 0. W (t − t )g(x, t )dt 2 ≤ c||g||L1x L2t . ∂x 0 Lx. (2.12). De fato, a desigualdade (2.12) e´ consequência imediata de (2.10), das propriedades do grupo e da desigualdade que veremos a seguir. 29.

(173) Da isometria do grupo em L2 (R), e da comutatividade do grupo com relaça˜ o a derivada, temos as relaço˜ es Z ∞ Z ∞. ∂ ∂. 0 0 0 0 0 0. = W (t − t )g(x, t )dt W (t)W (−t )g(x, t )dt ∂x ∂x 2 2 −∞ −∞ Lx Lx. Z ∞. ∂ = W (−t0 )g(x, t0 )dt0 W (t) ∂x 2 −∞ Lx Z ∞. ∂. = W (−t0 )g(x, t0 )dt0 ∂x 2 −∞. Lx. ≤ c||g||L1x L2t , o que demonstra (2.12). A desigualdade (2.12) implica na seguinte estimativa Z t. ∂. 0 0 0. W (t − t )g(x, t )dt ≤ c||g||L1x L2t . ∂x 0 L∞ L2x T. O que completa a demonstraça˜ o de (2.11). Teorema 2.2 Estimativas Lineares: (i) Se u0 ∈ H˙ 1/4 (R) então 1/4 D u0 2 . kW (t)u0 kL4x L∞ ≤ c L (R) t. (2.13). (ii) Se u0 ∈ L2 (R) então. 1/4 Dx W (t)u0 4 ∞ ≤ c ku0 k 2 . L (R) L L t. x. (2.14). (iii) Seja s > 3/4. Então para qualquer u0 ∈ H s (R) e qualquer ρ > 3/4 ||W (t)u0 ||L2x L∞ ≤ c(1 + T )ρ ||u0 ||H s (R) . T. (2.15). Demonstraça˜ o. Este resultados são de extrema importância para nossos resultados de boa colocaça˜ o local e global. O primeiro resultado e´ demonstrado em [5]. A prova do segundo e do terceiro resultado está em [6], lema 2.4 e corolário 2.9, respectivamente. 30.

(174) 2.4. O problema de Cauchy para a equaça˜ o KdV em espaços de Sobolev H s(R), com s > 3/4.. A seguir desenvolveremos uma das partes principais do nosso trabalho que e´ a boa colocaça˜ o local no tempo para o PVI ut + uux + uxxx = 0 (2.16) u(x, 0) = u0 (x). Mais precisamente, provaremos o seguinte teorema: Teorema 2.3 Consideremos o PVI (2.16) e seja s > 3/4. Então para cada u0 ∈ H s (R) existe T = T (||u0 ||H s (R) ) > 0 (com T (ρ) → ∞ para ρ → 0) e uma u´ nica soluça˜ o u(t) de (2.16) satisfazendo u ∈ C([−T, T ] : H s (R)), ux ∈ L4 ([−T, T ] : L∞ (R)),. s ∂u Dx ∂x ∞ 2 < ∞,. (2.17) (2.18). kukL2x L∞ < ∞.. (2.20). (2.19). Lx LT T. Além disso, para qualquer T 0 ∈ (0, T ) existe uma vizinhança V de u0 em H s (R) tal que a funça˜ o u e0 → u e(t) de V sobre a classe definida por (2.17)-(2.20) com T 0 no lugar de T e´ Lipschitz. Antes de demonstrarmos o Teorema 2.3 faremos uma motivaça˜ o para o funcional utilizado na prova deste teorema. Aplicando a transformada de Fourier com respeito a variável x no sistema (2.16), obtemos [ ∂t u b(ξ, t) + (iξ)3 u b(ξ, t) + u∂ x u(ξ, t) = 0 . (2.21) u b(ξ, 0) = ub0 (ξ). 3. Multiplicando a primeira equaça˜ o de (2.21) pelo fator integrante e(iξ) t , obtemos 3 3 3 u bt e(iξ) t + (iξ)3 u be(iξ) t + e(iξ) t fb(t) = 0,. onde f (x, t) = u(x, t)∂x u(x, t) e´ uma constante. Observando que d 3 3 3 (b ue(iξ) t ) = u bt e(iξ) t + (iξ)3 u be(iξ) t , dt 31.

(175) obtemos a relaça˜ o d 3 3 (b ue(iξ) t ) = −fb(t)e(iξ) t . dt Integrando em relaça˜ o a variável t, temos a igualdade Z t 3 0 (iξ)3 t fb(t0 )e(iξ) t dt0 , e u b(t) = ub0 − 0. ou ainda, −(iξ)3 t. −e. u b(t) = ub0 e. −(iξ)3 t. t. Z. 3 0 fb(t0 )e(iξ) t dt0 .. 0. Portanto, aplicando a transformaça˜ o inversa obtemos a equaça˜ o . −(iξ)3 t ∨. −(iξ)3 t. Z. t. 3 0 fb(t0 )e(iξ) t dt0. ∨. ) − e 0 Z t ∨ 3 0 3 eiξ (t−t ) fb(t0 ) dt0 . = (ub0 eiξ t )∨ −. u(t) = (ub0 e. 0. 3 0 ∨ 3 Sabemos que W (t)u0 = (eiξ t ub0 )∨ e eiξ (t−t ) fb(t0 ) = W (t − t0 )f (t0 ) = W (uux )(t0 ) , então temos a identidade Z t ∂u 0 W (t − t ) u u(t) = W (t)u0 − (t0 )dt0 . (2.22) ∂x 0 Isto e´ , se u satisfaz o sistema (2.16) então u satisfaz a equaça˜ o integral (2.22). Demonstraça˜ o do Teorema 2.3. Consideremos um intervalo [−T, T ] e uma funça˜ o w : R × [−T, T ] → R,. em H s (R).. Com o objetivo de simplificar as notaço˜ es considere as normas λT1 (w) := max ||w(t)||H s (R) , t∈[−T,T ]. λT2 (w) :=. Z. T. −T. 4 !1/4 ∂w. (·, t) dt , ∂x. ∞ 32. (2.23). (2.24).

(176) λT3 (w). Z T s ∂ . := Dx w = sup ∂x L∞ 2 x −T x L T.

(177)

(178) 2 !1/2

(179) s ∂

(180)

(181) Dx w(x, t)

(182) dt ,

(183) ∂x

(184). (2.25). , para ρ > 3/4, λT4 (w) := (1 + T )−ρ ||w||L2x L∞ T. (2.26). ΛT (w) := max λTj (w).. (2.27). j=1,...,4. Vamos considerar também o espaço métrico completo XT := {w ∈ C([−T, T ] : H s (R)); ΛT (w) < ∞},. (2.28). com a métrica d(w1 , w2 ) := ΛT (w1 − w2 ). Vale destacar que a escolha do conjunto de normas acima e do espaço métrico XT e´ a essência da demonstraça˜ o do teorema. Tais escolhas decorrem de várias tentativas e observaço˜ es na busca de estimativas da norma H s (R). Vejamos inicialmente que XT 6= Ø. Para tanto, obsevemos que se u0 ∈ H s (R) então usando as propriedades do grupo e as desigualdades (2.10), (2.14) e (2.15) temos que λT1 (W (t)u0 ) = =. max ||W (t)u0 ||H s (R). t∈[−T,T ]. max ||u0 ||H s (R) = ||u0 ||H s (R) ,. t∈[−T,T ]. λT2 (W (t)u0 ) = = ≤ ≤. 4 !1/4 ∂W (t)u0. dt (·, t) ∂x. −T ∞. W (t) ∂u0 (·, t). 4 ∞ ∂x L L. T x. W (t) ∂u0 (·, t). 4 ∞ ∂x Lt Lx. 1/4 ∂u0 . c Dx ∂x 2 Z. T. L (R). ≤ c||u0 ||L2 (R) ≤ c||u0 ||H s (R) , 33.

(185) . ∂ s. W (t)u λT3 (W (t)u0 ) = D 0 ∞ 2 x ∂x L L. x T s ∂. ≤ Dx ∂x W (t)u0 ∞ 2 Lx Lt. c||Dxs u0 ||L2 (R). ≤ ≤ c||u0 ||L2 (R) ≤ c||u0 ||H s (R) e λT4 (W (t)u0 ) = (1 + T )−ρ ||W (t)u0 ||L2x L∞ T ≤ (1 + T )−ρ c(1 + T )ρ ||u0 ||H s (R) = c||u0 ||H s (R) . Assim, se u0 ∈ H s (R) então para qualquer T > 0, W (t)u0 ∈ XT com ΛT (W (t)u0 ) = max λTj (W (t)u0 ) dependendo de ||u0 ||H s (R) mas não de T e portanto XT 6= Ø. j=1,...,4. Nosso principal objetivo agora será mostrar que existe T = T (ku0 kH s (R) ) > 0 (dependendo de ||u0 ||H s (R) de uma maneira apropriada) e a = a(ku0 kH s (R) ) > 0 tal que se v ∈ XTa então u = φ(v) ∈ XTa e φ : XTa → XTa e´ uma contraça˜ o. Uma vez provado isto segue-se, do Teorema do Ponto Fixo de Banach, que existe um u´ nico u ∈ XTa tal que φu0 (u) = u, isto e´ , Z t ∂u 0 (t0 )dt0 . W (t − t ) u u(t) = W (t)u0 − ∂x 0 Para isto, denotemos por u = φ(v) = φu0 (v) a soluça˜ o do PVI linear não-homogêneo ∂t u + ∂x3 u + v∂x v = 0 u(x, 0) = u0 (x),. (2.29). onde u0 ∈ H s (R) e XTa := {w ∈ XT ; ΛT (w) ≤ a}. Agora considermos a equaça˜ o integral de PVI (2.29), ou seja, Z t ∂v 0 (t0 )dt0 . u(t) = W (t)u0 − W (t − t ) v ∂x 0. (2.30). A seguir, estabeleceremos uma sequência de Lemas, a qual fornece estimativas que serão utilizadas mais adiante. 34.

(186) Lema 2.1 . s. ∂v ∂v Dx v. + v ≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 .. ∂x L2x L2 ∂x L2x L2 T. (2.31). T. Demonstraça˜ o. Usando as definiço˜ es das normas e propriedades do supremo obtemos as seguintes desigualdades. ∂v v ∂x 2 2 Lx L. !1/2. ∂v 2 v dx ∂x 2 −∞ LT !1/2

(187)

(188) 2 Z T Z ∞

(189)

(190) ∂v dxdt |v|2 sup

(191)

(192)

(193)

(194) ∂x x −T −∞ ! !1/2

(195)

(196) 2 Z T Z ∞

(197) ∂v

(198) 2 sup

(199)

(200)

(201)

(202) sup |v| dx dt ∂x x [0,T ] −∞ −T !1/2 Z

(203)

(204) 2 !1/2 Z ∞ T

(205) ∂v

(206) |v|2 dx sup

(207)

(208)

(209)

(210) dt sup ∂x x [0,T ] −∞ −T !1/2 Z !1/2 2 T . ∂v sup ||v||2H s (R) dt [0,T ] −T ∂x L∞ (R) !1/2 Z T 2 ∂v sup ||v||H s (R) dt [0,T ] −T ∂x L∞ (R) !1/4 Z 1/4 Z T 4 T ∂v dt 1dt sup ||v||H s (R) [0,T ] −T ∂x L∞ (R) −T Z. =. T. ≤. ≤. =. ≤. =. ≤. ∞. = cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v) ≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 . ∂v Agora, usando o Lema (1.3) com f = v, g = , α, p, q, p2 e q2 apresentado nos preliminares, ∂x deduzimos a seguinte desigualdade s. Dx v ∂v . ∂x L2x L2. T. Z. T. ≤ c −T. !1/2 !1/2.

(211) 2 Z T Z ∞

(212) ∂v 2

(213)

(214) ∂v s 2 v

(215) vDxs

(216) dxdt +c . ∂x ∞ ||Dx v||L2 (R) dt

(217) ∂x

(218) −T −∞ L (R) 35.

(219) Como Z. T. −T. ∂v 2 v. ∂x ∞ L. !2 1/2 2 ∂v . v. ||Dxs v||2L2 (R) dt sup ||Dxs v||L2 (R) dt ≤  ∂x ∞ [−T,T ] −T (R) L (R) !1/2 Z T ∂v 2 s. v = sup ||Dx v||L2 (R) ∂x ∞ dt [−T,T ] −T L (R) !1/4 Z 4 1/4 Z T T ∂v s. v. ≤ sup ||Dx v||L2 (R) 1dt ∂x ∞ dt [−T,T ] −T −T L (R) !1/4 4 Z T . ∂v v. ≤ cT 1/4 sup ||Dxs v||L2 (R) ∂x ∞ dt [−T,T ] −T L (R) 1/4 T T = cT λ2 (v)λ1 (v) . !1/2. Z. T. Z. T. e Z. T. −T. Z. ∞. −∞. !1/2

(220)

(221)

(222) s ∂v

(223) 2

(224) vDx

(225) dxdt =

(226) ∂x

(227). Z. ∞. −∞. −T. !1/2

(228)

(229)

(230) s ∂v

(231) 2

(232) vDx

(233) dtdx

(234) ∂x

(235). s ∂v . = vDx ∂x 2 2 L L x T s ∂v ≤ kvkL2x L∞ Dx T ∂x . 2 L∞ x LT. ρ. −ρ. ≤ (1 + T ) (1 + T ). s ∂v kvkL2x L∞ Dx T ∂x L∞ 2 x L. T. = (1 +. T )ρ λT4 (v)λT3 (v). obtemos as seguintes sequências de desigualdades . s ∂v Dx v. ≤ cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v) + c(1 + T )ρ λT4 (v)λT3 (v). ∂x L2x L2 T. ≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 , o que completa a demonstraça˜ o da desigualdade (2.31). Lema 2.2 λT1 (u). Z. T. ≤ ||u0 ||H s (R) + −T. 36. ∂v 0 0 v. ∂x s (t )dt . H (R). (2.32).

(236) Demonstraça˜ o. Usando as propriedades do grupo e a equaça˜ o (2.30) segue que. λT1 (u) = = = = = ≤ ≤ =. max ||u||H s (R). Z t. ∂v 0 0 0. max W (t − t ) v (t )dt W (t)u − 0 s t∈[−T,T ] ∂x 0 H (R). Z t. ∂v 0 0 0. max W (t)u − W (t) W (−t ) v (t )dt 0 s t∈[−T,T ] ∂x 0 H (R). Z t. ∂v (t0 )dt0 max W (−t0 ) v W (t) u0 − s. t∈[−T,T ] ∂x 0 H (R). Z t. ∂v max u0 − W (−t0 ) v (t0 )dt0 . s t∈[−T,T ] ∂x 0 H (R) # ". Z t . ∂v (t0 )dt0 max ||u0 ||H s (R) + W (−t0 ) v s − t∈[−T,T ] ∂x 0 H (R) # " Z T ∂v 0 0. v max ||u0 ||H s (R) + ∂x s (t )dt t∈[−T,T ] −T H (R) Z T ∂v 0 0 v. ||u0 ||H s (R) + ∂x s (t )dt , −T H (R) t∈[−T,T ]. o que completa a demonstraça˜ o de ( 2.32). . Lema 2.3. " λT2 (u) ≤ c ||u0 ||H s (R) +. Z. T. −T. 37. # ∂v 0 0 v. ∂x s (t )dt . H (R). (2.33).

(237) Demonstraça˜ o. Usando as propriedades do grupo, a equaça˜ o (2.30) e a inequaça˜ o (2.14) obtemos as seguintes desigualdades. λT2 (u) = =. =. =. ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤. !1/4 4. ∂u 0 (·, t) ∞ dt ∂x −T L (R) !1/4 4. Z t Z T. ∂ ∂v 0. W (t − t0 ) v (t0 )dt0 (·, t) ∞ dt ∂x W (t)u0 − ∂x 0 −T L (R) !1/4 4 Z T Z t ∂. ∂v. W (−t0 ) v dt0 (t0 )dt0 (·, t) ∂x W (t)u0 − W (t). ∂x −T 0 L∞ (R) !1/4 4 Z T Z t ∂. ∂v 0 W (t) u0 − W (−t0 ) v (t0 )dt0 (·, t) ∂x ∞ dt ∂x −T 0 L (R) !1/4. Z T Z t 4 ∂. ∂v 0 W (t) u0 − W (−t0 ) v (t0 )dt0 (·, t) ∂x ∞ dt ∂x −T 0 L (R). Z t. ∂v W (−t0 ) v (t0 )dt0 c 2 u0 − ∂x 0 L (R). Z t. ∂v W (−t0 ) v c (t0 )dt0 u0 − s ∂x 0 H (R). Z t. ∂v W (−t0 ) v (t0 )dt0 c s u0 − ∂x 0 H (R) " # Z t. . ∂v 0 0 0 c ||u0 ||H s (R) + W (−t ) v (t )dt − s ∂x 0 H (R) # " Z T ∂v 0 0. v c ||u0 ||H s (R) + ∂x s (t )dt . −T H (R) Z. T. Lema 2.4 " λT3 (u) ≤ c ||u0 ||H s (R) +. Z. T. −T. 38. # ∂v 0 0 v. ∂x s (t )dt . H (R). (2.34).

(238) Demonstraça˜ o. Usando as propriedades do grupo e a desigualdade (2.10) temos que. ∂ s. λT3 (u) = D u x ∂x ∞ 2 L L. x T Z t s ∂. ∂v 0 0 0 . = Dx W (t − t ) v W (t)u0 − (t )dt ∂x ∂x 2 0 L∞ x LT. Z t. s ∂ ∂v W (−t0 ) v (t0 )dt0 = ∞ 2 Dx ∂x W (t)u0 − W (t) ∂x 0 L L. x T Z t s ∂. ∂v = W (−t0 ) v (t0 )dt0 Dx ∂x W (t) u0 − ∞ 2 ∂x 0 Lx LT Z t s. ∂v 0 0 0 ≤ D W (−t ) v u − (t )dt 0 x. 2 ∂x 0 L (R). Z t. ∂v (t0 )dt0 ≤ c W (−t0 ) v s u0 − ∂x 0 H (R). Z t. ∂v (t0 )dt0 = c W (−t0 ) v s u0 − ∂x 0 H (R) " # Z t. . ∂v ≤ c ||u0 ||H s (R) + W (−t0 ) v (t0 )dt0 − s ∂x 0 H (R) # " Z T ∂v 0 0. v ≤ c ||u0 ||H s (R) + ∂x s (t )dt . −T H (R). . Lema 2.5. " λT4 (u) ≤ c ||u0 ||H s (R) +. Z. T. −T. 39. # ∂v 0 0 v. ∂x s (t )dt . H (R). (2.35).

(239) Demonstraça˜ o. Usando as propriedades do grupo e a desigualdade (2.15) temos que. λT4 (u) = (1 + T )−ρ ||u||L2x L∞ T. Z t. ∂v 0 −ρ 0 0 W (t − t ) v = (1 + T ) W (t)u0 − (t )dt ∂x 0 L2x L∞. T Z t. ∂v = (1 + T )−ρ W (−t0 ) v (t0 )dt0 W (t)u0 − W (t) 2 ∞ ∂x 0 Lx LT. Z t. ∂v 0 0 0 = (1 + T )−ρ W (t) u − W (−t ) v (t )dt 0. 2 ∞ ∂x 0 Lx LT. Z t. ∂v −ρ ρ 0 0 0 ≤ (1 + T ) c(1 + T ) u0 − W (−t ) v (t )dt ∂x 0 H s (R). Z t. ∂v 0 0 0 (t )dt = c u − W (−t ) v 0 s. ∂x 0 H (R) # ". Z t . ∂v (t0 )dt0 ≤ c ||u0 ||H s (R) + W (−t0 ) v s − ∂x 0 H (R) " # Z T ∂v 0 0. v ≤ c ||u0 ||H s (R) + ∂x s (t )dt . −T H (R) " #. Z t . ∂v 0 0 0 ≤ (1 + T )−ρ kW (t)u0 kL2x L∞ + W (t − t ) v ∂x (t )dt 2 ∞ T 0 Lx L Z t T . ∂v 0 0 0 (t )dt = (1 + T )−ρ kW (t)u0 kL2x L∞ + (1 + T )−ρ W (t − t ) v. 2 ∞ T ∂x 0 Lx L T. 40.