ORBITAS DE LYAPUNOV NO PROBLEMA DE n V ORTICES NO PLANO E NA ESFERA

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO ˆ CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA NATUREZA ´ ˜ EM MATEMATICA ´ PROGRAMA DE POS-GRADUAC ¸ AO. ´ ORBITAS DE LYAPUNOV NO PROBLEMA DE n ´ VORTICES NO PLANO E NA ESFERA. ADECARLOS COSTA CARVALHO. RECIFE-PE 2012.

(2) ´ ORBITAS DE LYAPUNOV NO PROBLEMA DE n ´ VORTICES NO PLANO E NA ESFERA. ADECARLOS COSTA CARVALHO. Tese apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Matemática.. Orientador: Prof. Dr. Hildeberto Eulalio Cabral. RECIFE-PE 2012.

(3) ..

(4)

(5) .. ` minha fam´ılia A.

(6) RESUMO. Neste trabalho tratamos da existência de órbitas periódicas numa vizinhan¸ca de equil´ıbrios relativos no problema de n vórtices no plano e na esfera. Mais especificamente, no plano, o equil´ıbrio relativo consiste de n vórtices unitários nos vértices de um pol´ıgono regular inscrito numa circunferência centrada na origem com e sem um vórtice de intensidade κ no centro. Na esfera consiste de n vórtices unitários nos vértices de um pol´ıgono regular inscrito numa circunferência em uma latitude fixa da esfera com e sem um vórtice de intensidade κ no pólo norte. A ferramenta básica utilizada é o Teorema do Centro de Lyapunov.. ´ Palavras-chave: Teorema do Centro; Equil´ıbrios Relativos; Orbitas Periódicas..

(7) ABSTRACT. In this work we treat of the existence of periodic orbits in a neighborhood of relative equilibria in the n-vortices problem in the plane and in the sphere. More specifically, in plan, the relative equilibria consists of n unit strength vortices at the vertices of a regular polygon inscribed in a circle centered at the origin with and without a vortex in the center with strength κ. In the sphere consists of the n vortex unit at the vertices of a regular polygon inscribed in a circle at a latitude of the sphere fixed with and without a vortex with strength κ at the north pole. The basic tool used is the Lyapunov center theorem.. Key-words: Center Theorem; Relative Equilibria; Periodic Orbits..

(8) AGRADECIMENTOS. Agrade¸co primeiramente a Deus e à minha fam´ılia por motivos óbvios.. Ao professor Hildeberto Eulalio Cabral que merece todo o meu respeito e admira¸cão pelos conhecimentos cient´ıficos e pessoais que me foram passados durante os u ´ltimos seis anos, em particular durante a elabora¸cão de minha disserta¸cão de mestrado e agora minha tese de doutorado que em ambas foi meu orientador.. Aos demais professores do DMAT-UFPE, especialmente aos professores Francesco Russo, Francisco Brito, Henrique Araujo, Lucas Catão, Eduardo Leandro, Fernando Cardoso, Claudio Cuevas e Manuel Lemos que foram meus professores nas disciplinas do mestrado ou doutorado. ` funcionárias do DMAT-UFPE Tania, Fátima e Claudia por sempre ajudarem. Aos meus As professores do DEMAT-UFMA, onde fiz minha gradua¸cão, pelos seus incentivos. Aos professores do DMAI-UFS pelo apoio durante o u ´ ltimo ano.. A todos os amigos que consegui durante o mestrado ou doutorado pelos momentos compartilhados. Dentre eles vou citar Abiel Costa, Joilson Ribeiro, Jose Francisco, Marcelo Fernandes e Zaqueu Ramos que em algum momento tiveram a paciência de morar sob o mesmo teto que eu.. Gostaria de agradecer a Renata Limeira Carvalho por ser minha companheria durante (e depois do) o curso compartilhando todos os momentos, bons e ruins, principalmente os ruins sem hesitar em momento algum.. Ao CNPq pelo apoio financeiro durante os quatro anos do doutorado..

(9) ´ SUMARIO. Introdu¸ c˜ ao. 8. ´ 1 Orbitas de Lyapunov no Problema de n V´ ortices no Plano. 10. 1.1. Formula¸cão do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.2. Anel de vórtices no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.3. Anel com um vórtice adicional na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. ´ 2 Orbitas de Lyapunov no Problema de n V´ ortices na Esfera 2.1. 2.2. Anel de vórtices em uma latitude fixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.1.1. Matrizes circulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.1.2. ´ Orbitas de Lyapunov próximas a um anel de vórtices em uma latitude fixa 24. Anel com um vórtice no pólo norte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.2.1. Formula¸cão do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.2.2. Região em que µb n2 c tem valor absoluto maior que os dos demais autovalores conhecidos. 2.2.3. 2.3. 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. ´ Orbitas de Lyapunov próximas a um anel de vórtices em uma latitude fixa com um vórtice no pólo norte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. Dois vórtices em uma latitude fixa e um no pólo norte . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 2.3.1. ´ Orbitas de Lyapunov para n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 2.3.2. Região de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. Referˆ encias. 66.

(10) Introdu¸c˜ ao Equil´ıbrios relativos no problema de n vórtices pontuais são solu¸cões periódicas especiais: num certo sistema de coordenadas rotatórias elas são estacionárias. Para revisão e diversos resultados sobre tais equil´ıbrios ver [1, 14]. A existência e estabilidade de equil´ıbrios relativos tem sido estudada por diversos autores como [5, 6, 7, 10, 11]. A existência de equil´ıbrios relativos na esfera bem como a existência de simetrias desses equil´ıbrios foram estudadas em [11]. A estabilidade não-linear do anel poligonal no plano com e sem um vórtice na origem foi estudada em [6]. A estabilidade não-linear do equil´ıbrio poligonal com n vórtices em uma latitude fixa da esfera com e sem a presen¸ca de um vórtice no pólo norte foi estudado em [5] e [7]. Em [10], foi estudado a estabilidade linear e não-linear de dois aneis na esfera com e sem vórtices nos pólos. Outro tema que tem sido bastante pesquisado no problema de n vórtices é o da existência de o´rbitas periódicas como vemos em [3, 4, 9, 18].. Neste trabalho, estamos interessados na existência de órbidas periódicas na vizinhan¸ca de uma classe de equil´ıbrios relativos no plano e na esfera. Mais especificamente, no plano, o equil´ıbrio relativo consiste de n vórtices unitários nos vértices de um pol´ıgono regular inscrito numa circunferência unitária centrada na origem com e sem um vórtice de intensidade κ na origem. Na esfera temos n vórtices unitários nos vértices de um pol´ıgono regular inscrito numa circunferência em uma latitude fixa da esfera com e sem um vórtice de intensidade κ no pólo norte. Chamaremos tais configura¸cões de anel de v´ ortices com um v´ ortice na origem (ou no p´ olo).. A ferramenta básica utilizada aqui é o Teorema do Centro de Lyapunov (1.2) que garante, sob certas condi¸cões, a existência de uma fam´ılia de órbitas periódicas emanando de um equil´ıbio do problema (´ orbitas de Lyapunov). Várias são as demonstra¸cões existentes para este teorema, em [17] usa-se o método das séries majorantes, em [12] e [13] o método da continua¸cão de Poincaré e em [16], o teorema é demonstrado como corolário do Teorema da Bifurca¸cão de Hopf.. 8.

(11) 9 No cap´ıtulo 1, tratamos da existência de órbitas de Lyapunov no caso planar. Para o cálculo da Hessiana do problema no equil´ıbrio relativo seguimos o que foi feito em [6]. Este cap´ıtulo foi dividido em se¸cões. Na se¸cão 1.1 tratamos da formula¸cão do problema. Na se¸c˜ ao 1.2 abordamos o caso de um anel de vórtices e obtemos como resultado o Teorema 1.5. Na se¸c˜ ao 1.3 analisamos o caso de um anel de vórtices com um vórtice central de intensidade κ e obtemos como resultado o Teorema 1.6.. No cap´ıtulo 2, abordamos a existência de órbitas de Lyapunov no caso esférico. Para o cálculo da Hessiana no equil´ıbrio, seguimos o que foi feito no artigo [7]. O cap´ıtulo foi dividido em se¸cões. Na se¸cão 2.1 tratamos do caso de um anel de vórtices em uma latitude fixa. A se¸c˜ ao foi dividida em subse¸cões. Na subse¸cão 2.1.1 apresentamos alguns resultados sobre matrizes circulantes necessários para o cálculo do polinônio caracter´ıstico do problema. Na subse¸cão 2.1.2 provamos o Teorema 2.3.. Ainda no cap´ıtulo 2 e passando à se¸cão 2.2, tratamos o caso de um anel de vórtices com um vórtice no pólo norte. Diferentemente dos casos anteriores, neste não conseguimos determinar todos os autovalores do problema. De fato, seis autovalores não foram determinados devido à complexidade do polinômio caracter´ıstico do problema. Dividimos a se¸cão em subse¸cões. Na subse¸cão 2.2.1 apresentamos a formula¸cão do problema onde encontramos todos os autovalores, exceto os seis mencionados acima. Na subse¸cão 2.2.2 encontramos um região do plano z − κ (z é a coordenada do anel no eixo polar e κ é a intensidade do vórtice polar) em que um dos autovalores, µb n2 c , tem valor absoluto maior do que os dos demais autovalores conhecidos. Na subse¸cão 2.2.3 temos como objetivo provar o Teorema 2.9. Com este fim, nos restringimos às regiões de estabilidade dadas em [7] garantindo que todos os autovalores do problema sejam imaginários puros possibilitando que apliquemos o Teorema do Centro comparando o autovalor µb n2 c com os seis autovalores supracitados, mesmo não tendo suas expressões expl´ıcitas. Na se¸cão 2.3 tratamos o caso de um anel com dois vórtices em latitude fixa com um vórtice no pólo norte. Este caso foi considerado separadamente devido as fórmulas utilizadas no caso geral não valerem para n = 2. Na subse¸cão 2.3.1 demonstramos o Teorema 2.23 sobre existência de órbitas periódicas. Na subse¸cão 2.3.2 tratamos da estabilibidade desta configura¸cão (n = 2). Provamos o Teorema 2.27 que nos dá regiões no plano z − κ em que o equil´ıbrio relativo em questão é estável..

(12) Cap´ıtulo 1 ´ Orbitas de Lyapunov no Problema de n V´ ortices no Plano Neste cap´ıtulo vamos estudar a existência de órbitas periódicas no problema de n v´ ortices no plano próximas a equil´ıbrios relativos. Mais especificamente na vizinhan¸ca do equil´ıbrio relativo formado por n vórtices idênticos localizados nos vértices de um pol´ıgono regular com e sem a presen¸ca de um outro vórtice localizado na origem.. 1.1. Formula¸c˜ ao do problema Consideremos n+1 vórtices pontuais no plano com posi¸cão qj = (xj , yj ) e intensidades κj ,. 0 ≤ j ≤ n. As equa¸cões diferenciais que regem o movimento destes vórtices têm sua formula¸c˜ ao Hamiltoniana devida a Kirchhoff [8], a saber ∂U , ∂yj ∂U , = − ∂xj. κj x˙ j. =. κj y˙ j sendo U a fun¸cão U =−. X. q κi κj log. (xi − xj )2 + (yi − yj )2 .. (1.1). i<j. Podemos escrevê-las na forma mais compacta M q˙ = J∇U (q),. 10. (1.2).

(13) 11 onde q = (x0 , · · · , xn , y0 , · · · , yn )T , M = diag(κ0 , κ1 , · · · , κn , κ0 , κ1 · · · , κn ) e J a matriz simplética canônica, isto é,.  J =.  0. In+1. −In+1. 0. .. Um equil´ıbrio relativo é uma configura¸cão de vórtices que se torna uma solu¸cão estacionária em um sistema de coordenadas rotatórias. Para estudarmos equil´ıbrios relativos de (1.2) passemos, então, do sistema de coordenadas fixas para um sistema de coordenadas rotatórias com velocidade angular ν em torno da origem usando a mudan¸ca de variáveis q = exp(νJt)Q. Desta forma M Q˙ = M (−νJe−νJt q + e−νJt q) ˙ = M [−νJe−νJt eνJt Q + e−νJt M −1 J∇U (eνJt Q)] = J[−νM Q + ∇U (Q)] e portanto a equa¸cão se torna M Q˙ = J∇H(Q),. (1.3). ν H(Q) = U (Q) − QT M Q. 2. (1.4). com. A configura¸cão Q0 é um equil´ıbrio de (1.3), se e somente se −νM Q0 + ∇U (Q0 ) = 0. (1.5). e, por conseguinte, a velocidade angular ν deve ser da forma ν=. Q0T ∇U (Q0 ) . QT0 M Q0. Proposi¸ c˜ ao 1.1. Para a fun¸c˜ ao U em (1.1), temos QT ∇U (Q) = −. X i<j. κi κj .. (1.6).

(14) 12 Demonstra¸c˜ ao. De fato, sendo U (Q) = − U (λQ) = −. X. P. κi κj log |Qi − Qj |, temos para λ > 0. i<j. κi κj log λ −. i<j. = − log λ. X. X. κi κj log |Qi − Qj |. i<j. κi κj + U (Q).. i<j. Agora, derivando em rela¸cão a λ e fazendo λ = 1, temos o resultado. Conclu´ımos que a velocidade angular para uma solu¸cão de equil´ıbrio, Q0 , do sistema (1.3) deve satisfazer. P ν=−. i<j κi κj . QT0 M Q0. (1.7). Notemos que o sistema linearizado de (1.3) no equil´ıbrio Q0 é. M Q˙ = J(−νM + D2 U (Q0 ))Q.. (1.8). Nosso interesse é mais especificamente a configura¸cão, Q0 , que consiste de n vórtices idênticos com intensidade κ0 = · · · = κn−1 = 1 localizados nos vértices de um pol´ıgono regular inscrito numa circunferência unitária centrada na origem. Consideraremos dois casos: com e sem a presen¸ca de um vórtice de intensidade κn = κ localizado na origem. A fun¸cão Hamiltoniana (1.1) pode então ser escrita na seguinte forma: U = U1 + κU2 ,. (1.9). onde as fun¸cões acima são dadas por X. U1 = −. log |Qi − Qj |. 0≤i<j<n. e U2 = −. n−1 X. log |Qj − Qn |.. j=0. Sendo QT0 M Q0. =. n−1 X. 2 (x20j + y0j )=n. j=0. e, tomando κn = κ, temos X i<j. κi κj =. X 0≤i<j<n. κi κj +. n−1 X j=0. κj κn =. n(n − 1) + nκ, 2.

(15) 13 donde obtemos de (1.7) que ν=−. 1.2. n−1 − κ. 2. (1.10). Anel de v´ ortices no plano Com o intuito de provar a existência de órbitas periódicas numa vizinha¸ca do equil´ıbrio. relativo, Q0 , usaremos o Teorema do Centro devido a Lyapunov. Para uma demonstra¸cão deste Teorema ver [12, 13, 17, 16]. A versão em [12] é a que enunciaremos aqui.. Consideremos a equa¸cão diferencial x˙ = f (x), onde f : U → Rm é uma fun¸cão suave no aberto U ⊂ Rm e seja x0 um equil´ıbrio desta equa¸c˜ ao. Teorema 1.2 (Teorema do Centro de Lyapunov). Suponha que a equa¸c˜ ao x˙ = f (x) admita uma integral, Ψ, n˜ ao-degenerada e tenha um equil´ıbrio x0 de forma que os autovalores de A = Df (x0 ) sejam ±ωi, λ3 , · · · , λm , onde ωi 6= 0 é imagin´ ario puro. Se λj /iω ∈ / Z para j = 3, · · · , m, ent˜ ao existe uma fam´ılia a 1-parˆ ametro de ´ orbitas peri´ odicas emanando do equil´ıbrio. Além disso, quando nos aproximamos do equil´ıbrio ao longo da fam´ılia, o per´ıodo tende a 2π/|ω|. Observa¸ c˜ ao 1.3. Uma integral Ψ é não-degenerada se ∇Ψ(x) 6= 0 sobre órbitas periódicas. Notemos que no caso Hamiltoniano x˙ = J∇H(x) a fun¸cão Hamiltoniana H é sempre uma integral não-degenerada e A = JG, com G = D2 H(x0 ). Voltemos ao nosso problema de n vórtices no plano. Consideremos primeiramente o caso de um anel de vórtices. Neste caso κ = 0, o potencial é U = U1 e devemos encontrar os autovalores do sistema linearizado (1.8), ou seja, devemos encontrar as ra´ızes de |λI + νJ − JM −1 D2 U (Q0 )| = |λJ − νI + M −1 D2 U (Q0 )| = 0. A matriz λJ − νI + M −1 D2 U (Q0 ) pode ser escrita na forma em blocos  . . −νI + K. λI. −λI. −νI − K. ,.

(16) 14 com K = M −1. . ∂2U ∂xr ∂xs. .  . obtemos a fórmula. . Usando a identidade. I. −BD−1. 0. I.  .  A B. . =. A−. C D

(17)

(18)

(19) A B

(20)

(21)

(22) C D. BD−1 C C.  0. ,. D.

(23)

(24)

(25)

(26) = |DA − DBD−1 C|

(27)

(28). (1.11). para o cálculo do determinante de uma matriz 2m × 2m dada por blocos m × m. Segue-se que

(29)

(30)

(31) −νI + K λI −1 2 |λJ − νI + M D U (Q0 )| =

(32)

(33)

(34) −λI −νI − K

(35)

(36)

(37) λI νI + K =

(38)

(39)

(40) −νI + K λI.

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46).

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52).

(53)

(54) =

(55) (λ2 + ν 2 )I − K 2

(56) . No caso em tela, U = U1 e M = I, assim   0 0   0 c1    0 0  2   0 0 ∂ U1  = K=  0 0 ∂xr ∂xs   . .  . .  . .    0 0  0 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. ···. c4 .. .. 0. 0. c4 · · ·. 0. ···. 0. 0 c3. 0.  0   0    0    c3   , 0   ..   .    0   0. com 1 cr = − (r − 2)(n − r), 2 logo. (1.12).

(57) 15            K2 =          . . 0. 0. 0. ···. 0. 0 c21 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0 c23. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. c24 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0. 0. 0. ···. c24. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0   0    0    0   . 0   ..   .    0   c23. Portanto,.

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72) αI − K 2

(73) =

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86). 0. 0. 0. ···. 0. 0 α − c21. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. α. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0 α − c23. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. α − c24 · · · .. .. . .. 0 .. .. 0. 0. 0. 0. 0. ···. α − c24. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. α. 0.

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92) 0

(93)

(94)

(95) 0

(96)

(97)

(98) 0

(99)

(100)

(101) 0

(102)

(103) ..

(104) .

(105)

(106)

(107) 0

(108)

(109)

(110) α − c23

(111) 0. com α = λ2 + ν 2 . Segue de (1.10) e (1.12) que ν 2 = c21 , logo λ2 + ν 2 − c21 = λ2 e, assim, o polinômio caracter´ıstico para n impar é n+1. p(λ) = λ2 (λ2 + ν 2 )2. 2 Y. (λ2 + ν 2 − c2j )2. (1.13). j=3. e para n par é n/2 Y 2 2 2 (λ2 + ν 2 − c2j )2 . p(λ) = λ (λ + ν ) λ + ν − c n+2 2. 2. 2 2. 2. (1.14). j=3. A presen¸ca do autovalor zero é devida a invariância por rota¸cão. Podemos eliminar este autovalor utilizando uma integral primeira do sistema mantendo os demais autovalores. Observa¸ c˜ ao 1.4. Para aplicarmos o Teorema do Centro precisamos de um autovalor imaginário puro e simples. Para n ´ımpar todas as ra´ızes de (1.13) têm multiplicidade pelo menos dois, logo neste caso não podemos aplicar o Teorema. Por outro lado, para n par o polinômio (1.14) tem p ao simples. Além disso, de (1.10) e (1.12) segue as ra´ızes λ = ± c2r0 − ν 2 com r0 = n+2 2 que s˜.

(112) 16 que c1 =. n−1 2. e ν = − n−1 2 , logo c2r0 − ν 2 = c2r0 − c21 =. 1 2 2 1 n (n − 8n + 8) = n2 [(n − 8)n + 8] > 0 64 64. para todo n ≥ 8. Assim, o autovalor. p. c2r0 − ν 2 é real para n ≥ 8 enquanto que para n = 4, 6 é. imaginário puro. Desta forma, obtemos o seguinte teorema: Teorema 1.5. No caso do anel de v´ ortices sem um v´ ortice na origem podemos aplicar o Teorema √ do Centro (1.2), para n = 4 e n = 6 com os autovalores λ = 2i e λ = 32 i, respectivamente. Isto é, podemos garantir a existência de uma fam´ılia de ´ orbitas peri´ odicas emanando do equil´ıbrio. Demonstra¸c˜ ao. Segue de (1.14) que o polinômio caracter´ıstico para n = 4 é p(λ) = e para n = 6 é. p(λ) = λ. 2. 1 2 2 λ (λ + 2)(4λ2 + 9)2 16. 25 λ + 4. 2. 2. 2. (λ + 4). 2. 9 λ + 4 2. .. Portanto, para n = 4, temos (3i/2) 3 √ = √ ∈ /Z 2i 2 2 e para n = 6, temos 5 (5i/2) = , (3i/2) 3. 2i 4 = (3i/2) 3. ambos não inteiros.. 1.3. Anel com um v´ ortice adicional na origem Neste caso temos n vórtices localizados nos vértices de um n-pol´ıgono regular com inten-. sidade unitária e um vórtice com intensidade κ localizado na origem e devemos considerar o potencial U = U1 + κU2 dado em (1.9). A fun¸cão U2 contribui para o cálculo de fatores. ∂2U ∂xr ∂xs. com os.

(113) 17           . 1,. r + s = 2 mod n, 0 ≤ r, s ≤ n − 1. ∂ 2 U2 √ = − n, r = 2, s = n ou r = n,  ∂xs ∂xr          0, demais casos então, para K = M −1. . ∂2U ∂xr ∂xs. s=2. , com M = diag(1, · · · , 1, κ, 1, · · · , 1, κ), temos. .  ···. 0 κ 0  0   0 c1 + κ 0 0    κ 0 0 0   K= 0 0 0  0  . .. .. ..  .. . . .    0 0 c3 + κ  0  √ 0 0 − n 0. ··· ··· ···. ··· ···. 0. 0.    0 0  √  0 −κ n     c3 + κ 0   .. ..  . .    0 0   0 0. e          2 K =        . κ2. 0 κ)2. 0. 0. ···. 0. √ −κ2 n. 0. 0. ···. 0. 0. 0. ···. 0. 0. (c3 + κ)2 · · · .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0. (c1 +. 0. 0. κ2 (n + 1). 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 √ −κ n. 0. 0. 0. ···. (c3 + κ)2. 0. 0. 0. 0. ···. 0. nκ. Portando, fazendo novamente α = λ2 + ν 2 , obtemos.          .        .

(114) 18 |αI − K 2 | =

(115)

(116) √

(117) α − κ2 κ2 n 0 0 0

(118)

(119) √

(120) κ n α − nκ 0 0 0

(121)

(122)

(123) 0 0 α − (c21 + κ)2 0 0

(124)

(125)

(126) 0 0 0 α − κ(n + κ) 0

(127)

(128)

(129) 0 0 0 0 α − (c23 + κ)2

(130)

(131) .. .. ..

(132) 0 0 . . .

(133)

(134)

(135)

(136) 0 0 0 0 0. ··· ··· ··· ··· ··· .. . ···.

(137)

(138)

(139)

(140)

(141)

(142) 0

(143)

(144)

(145) 0

(146)

(147)

(148) 0

(149)

(150)

(151) 0

(152)

(153) ..

(154) .

(155)

(156)

(157) α − (c23 + κ)2

(158) 0. e, consequentemente, o polinômio caracter´ıstico para n impar é n+1. p(λ) = λ2 (λ2 + ν 2 )(λ2 − κ + c21 )2. 2 Y. (λ2 − (cj + κ)2 + ν 2 )2. (1.15). j=3. e para n par é. p(λ) = λ2 (λ2 + ν 2 )(λ2 − κ + c21 )2 (ν 2 − (c n+2 + κ)2 + λ2 ) 2. n/2 Y. (λ2 − (cj + κ)2 + ν 2 )2 .. (1.16). j=3. Novamente temos a presen¸ca do autovalor zero devida a invariância por rota¸cão. Podemos eliminar este autovalor utilizando uma integral primeira do sistema mantendo os demais autovalores. Para aplicarmos o Teorema do Centro precisamos de um autovalor que seja imaginário puro e simples. Temos dois casos a considerar: o autovalor λ = i|ν| que é um autovalor comum p p para todo n ≥ 3 e λr0 = (cr0 + κ)2 − ν 2 = (cr0 − c1 )(2κ + cr0 + c1 ) com r0 = n+2 e 2 que ´ simples apenas quando n é par e é imaginário puro para κ > −. cr0 +c1 . 2. Assim, podemos provar. o seguinte teorema. Teorema 1.6. No caso do anel de v´ ortices com um v´ ortice de intensidade κ na origem podemos aplicar o Teorema do Centro nos seguintes casos: 1. Para todo n ≥ 3 com autovalor λ = i|ν| quando: κ 6= com α =. √. cr −αc1 α−1. +αc1 e κ 6= − cr1+α ,. 1 − m, m ∈ Z tal que m ≤ 1.. 2. Para n par com autovalor λ =. p. (cr0 + κ)2 − ν 2 , r0 =. n+2 2. se.

(159) 19 • κ>−. cr0 +c1 ; 2. • κ 6=. (c21 −c2r0 )m−(c21 −c2r ) 2(cr −c1 )−2m(c1 −cr0 ) ,. • κ 6=. cr0 −αc1 α−1. • κ 6=. m(cr0 −c1 )+c21 (1−2m)(cr0 −c1 ) ,. m ∈ Z e 3 ≤ r ≤ n2 ; q c +αc ∗ e κ 6= − r01+α 1 , com α = m−1 m , m ∈ Z = Z − {0}; m ∈ Z.. λ Demonstra¸c˜ ao. No caso 1, devemos analisar o quociente i|ν| quando p p λ = (cr + κ)2 − ν 2 e λ = κ − c21 . √ 2 −ν 2 (cr +κ)2 −ν 2 Supondo que o quociente é um n´ umero inteiro, então (cr +κ) também será i|ν| −ν 2. um n´ umero inteiro, digamos (cr + κ)2 − ν 2 = m, −ν 2 com m um n´ umero inteiro. De (1.10) e de (1.12), sabemos que ν=−. n−1 − κ = −(c1 + κ), 2. assim (cr + κ)2 − 1 = −m ν2 (cr + κ)2 − 1 = −m (c1 + κ)2 (cr + κ)2 =1−m (c1 + κ)2 √ cr + κ = ± 1 − m, c1 + κ logo κ= com α =. √. cr −αc1 α−1. +αc1 ou κ = − cr1+α ,. 1 − m. Vamos analisar agora o quociente. √. κ−c21 i|ν| .. inteiro, teremos que κ − c21 = m, −ν 2 para algum m ∈ Z. Novamente, usando a igualdade ν=−. n−1 − κ = −(c1 + κ), 2. obtemos κ − c21 =m −(c1 + κ)2. Sendo este um n´ umero.

(160) 20 ou mκ2 + (2c1 m − 1)κ + (m + 1)c21 = 0. Observemos que o discriminante da fun¸cão quadrática em κ acima satisfaz (2c1 m − 1)2 − 4m(m + 1)c21 = −mc21 − mc1 + 1 < 0 para todo n ≥ 3 e m ≥ 1 o que implica que o quociente. √. κ−c21 i|ν|. não pode ser um n´ umero. inteiro .. Portanto, podemos aplicar o Teorema do Centro desde que κ 6= com α =. √. cr −αc1 α−1. +αc1 e κ 6= − cr1+α ,. 1 − m.. Passemos a considerar o caso 2. Como ν = −(c1 + κ), temos (cr + κ)2 − ν 2 = (cr − p c1 )(2κ+cr +c1 ). Analisemos primeiro o quociente λλr , onde λr = (cr − c1 )(2κ + cr + c1 ) p para 3 ≤ r ≤ n2 e λ = (cr0 − c1 )(2κ + cr0 + c1 ) com r0 = n+2 2 . Supondo que p (cr − c1 )(2κ + cr + c1 ) p (cr0 − c1 )(2κ + cr0 + c1 ) seja um n´ umero inteiro, então (cr − c1 )(2κ + cr + c1 ) = m, (cr0 − c1 )(2κ + cr0 + c1 ) para algum m ∈ Z. Assim teremos κ= Consideremos agora o quociente ter que. −|ν|2 λ2. (c21 − c2r0 )m − (c21 − c2r ) . 2(cr − c1 ) − 2m(c1 − cr0 ) λν λ ,. onde λν = i|ν|. Se este quociente é inteiro devemos. também é inteiro, digamos −ν 2 = m, (cr0 + κ)2 − ν 2. com m ∈ Z − {0}. Então devemos ter (cr0 + κ)2 − ν 2 1 = 2 −ν m.

(161) 21 (cr0 + κ)2 1 +1= 2 −ν m 1−m (cr0 + κ)2 = 2 −(c1 + κ) m r cr0 + κ m−1 =± , c1 + κ m logo κ= q com α =. cr0 −αc1 α−1. ou κ = −. cr0 +αc1 1+α ,. m−1 m .. Por u ´ltimo devemos analisar o quociente λ21 λ2. inteiro temos que. λ1 λ ,. onde λ1 =. p. κ − c21 . Este quociente sendo. também é inteiro, ou seja, κ − c21 = m, (cr0 − c1 )(2κ + cr0 + c1 ). com m ∈ Z. Logo. κ=. m(cr0 −c1 )+c21 (1−2m)(cr0 −c1 ) .. Portanto, o Teorema do Centro pode ser aplicado sempre que ocorrem as condi¸cões: κ>−. cr0 +c1 , 2. r0 =. n+2 2 ;. • κ 6=. (c21 −c2r0 )m−(c21 −c2r ) 2(cr −c1 )−2m(c1 −cr0 ) ,. • κ 6=. cr0 −αc1 α−1. • κ 6=. m(cr0 −c1 )+c21 (1−2m)(cr0 −c1 ) , m. m ∈ Z e 3 ≤ r ≤ n2 ; q c +αc e κ 6= − r01+α 1 , com α = m−1 m ; ∈ Z..

(162) Cap´ıtulo 2 ´ Orbitas de Lyapunov no Problema de n V´ ortices na Esfera Neste cap´ıtulo, assim como no anterior, estamos interessados em mostrar a existência de órbitas periódicas próximas a certos tipos de equ´ılibrios relativos do problema de vórtices pontuais. No entanto, neste estudamos o problema de n + 1 vórtices na esfera unitária e o equil´ıbrio relativo consiste de n vórtices idênticos localizados nos vértices de um pol´ıgono regular em uma latitude fixa da esfera com e sem um outro vórtice localizado no pólo norte. Considerando o movimento de n vórtices na esfera unitária com κj a intensidade e qj (t) a posi¸cão do j-ésimo vórtice, a equa¸cão do movimento deste vórtice é dado por q˙j =. X i6=j. 2.1. κi. qi × qj . |qj − qi |2. (2.1). Anel de v´ ortices em uma latitude fixa Veremos que a matriz Hessiana no equil´ıbrio em questão é uma matriz diagonal em blocos. formada por duas matrizes circulantes. Assim, vamos come¸car com algumas propriedades destas matrizes. Para mais detalhes sobre este tema podemos citar [2].. 22.

(163) 23. 2.1.1. Matrizes circulantes. Uma matriz circulante é uma matriz da forma  a0. a1 a2 · · ·.    an−1 a0 a1 · · · A = circ(a0 , · · · , an−1 ) =   .. .. ..  . . .  a1 a2 a3 · · ·.  an−1 an−2 .. ..       . a0. podendo ser escrita na forma: circ(a0 , · · · , an−1 ) = (ajk ) = (ak−j ) onde o ´ındice k − j é tomado módulo n. Seja ω = e. 2πi n. raiz n-ésima da unidade. Ent˜ ao os. autovetores da matriz circulante A são dados pelas colunas da matriz       W =    . 1. 1. 1. ···. 1. ω. ω2. ···. 1 .. .. ω2 .. .. ω4 .. .. ···. 1 ω n−1 ω 2(n−1) · · ·.  1.   ω n−1    2(n−1)  ω   ..  .  2 (n−1) ω. e seus autovalores são dados por. λj =. n−1 X. ak ω jk ,. j = 0, 1, · · · , n − 1.. (2.2). k=0. Agora, consideremos.  b0. b1 b2 · · ·.    bn−1 b0 b1 · · · B=  .. .. ..  . . .  b1 b2 b3 · · ·.  bn−1 bn−2 .. ..       . b0. uma outra matriz circulante com autovalores dados por. σj =. n−1 X k=0. bk ω jk ,. j = 0, 1, · · · , n − 1.. (2.3).

(164) 24 Então os autovalores da matriz AB são dados por j = 0, 1, · · · , n − 1.. µj = σj λj ,. (2.4). De fato, se vj é a j-ésima coluna de W , então Avj = λj vj. e. Bvj = σj vj ,. logo ABvj = A(Bvj ) = A(σj vj ) = σj Avj = σj λj vj . Segue, então, que σj λj , j = 0, 1, · · · , n − 1 são os autovalores de AB. Notemos também que BAvj = B(Avj ) = B(λj vj ) = λj Bvj = λj σj vj = σj λj vj , ou seja, as matrizes AB e BA coincidem numa base, logo, são iguais. Portanto, duas matrizes circulantes de ordem n quaisquer comutam.. 2.1.2. ´ Orbitas de Lyapunov pr´ oximas a um anel de v´ ortices em uma latitude fixa. O problema de n vórtices na esfera unitária pode ser descrito pelas coordenadas cil´ındricas (ϕ, z), sendo z a distância vertical do plano equatorial ao vórtice e ϕ a longitude. Nestas coordenadas a fun¸cão Hamiltoniana para n vórtices unitários com posi¸cão (ϕj , zj ) é [7] n−1 n−1 q q 1X X 2 2 H = H1 = log 1 − zi zj − 1 − zi 1 − zj cos(ϕi − ϕj ) . 2. (2.5). i=0 j=i+1. Passamos para um sistema de coordenadas rotatórias com velocidade angular ν em torno do eixo polar utilizando a mudan¸ca de coordenadas ϕ ej = ϕj + tν. zej = zj ,. j = 0, · · · , n − 1.. Por simplicidade, continuaremos utilizando a nota¸cão (ϕ, z) em vez de (ϕ, e ze). Nestas coordenadas rotatórias a fun¸cão Hamiltoniana H se torna n−1 n−1 n−1 q q X 1X X 2 2 H = H1 = log 1 − zi zj − 1 − zi 1 − zj cos(ϕi − ϕj ) − ν zi , 2 i=0 j=i+1. i=0. (2.6).

(165) 25 cujas derivadas parciais são dadas por −zk +. ∂H1 ∂zj. =. ∂H1 ∂ϕj. =. z q j 1−zj2. q. 1 − zk2 cos(ϕj − ϕk ) n−1 1X q −ν q 2 2 1 − z 2 cos(ϕ − ϕ ) 1 − z z − 1 − z k=0 j k j k j k q q n−1 1 − zj2 1 − zk2 sen(ϕj − ϕk ) 1X q . q 2 2 1 − z 2 cos(ϕ − ϕ ) 1 − z z − 1 − z k=0 j k j k j k. (2.7). (2.8). Estamos interessados no equil´ıbrio relativo, Q0 , que consiste de n vórtices unitários localizados nos vértices de um pol´ıgono regular em uma latitude fixa z, −1 < z < 1, isto é, zj = z e ϕj = 2πj/n com j = 0, 1, · · · , n − 1. Lema 2.1. Para que a configura¸c˜ ao Q0 seja estacion´ aria devemos ter ν=− Demonstra¸c˜ ao. Fazendo. ∂H1 ∂z0 (Q0 ). ν =. =. =. (n − 1)z . 2(1 − z 2 ). = 0 em (2.7) com, obtemos. √ z 2 n−1 1 X −z + √1−z 2 1 − z cos(ϕj − ϕk ) √ √ 2 1 − z 2 − 1 − z 2 1 − z 2 cos(ϕj − ϕk ) 1 2 1 2. = −. k=1 n−1 X k=1 n−1 X k=1. −z(1 − cos(ϕj − ϕk )) (1 − z 2 )(1 − cos(ϕj − ϕk )) −z 1 − z2. (n − 1)z , 2(1 − z 2 ). como quer´ıamos demonstrar.. As derivadas parciais de segunda ordem de H1 são: ∂ 2 H1 ∂zi2 ∂ 2 H1 ∂zi ∂zj ∂ 2 H1 ∂ϕ2i ∂ 2 H1 ∂ϕi ∂ϕj ∂ 2 H1 ∂zi ∂ϕj. =. (n − 1)(n − 5 − 6z 2 ) , 12(1 − z 2 )2 1. = −. 4(1 − n2 − 1 = − , 12. =. z 2 )2 sen2 (j. 1 , − i)π/n. 4 sen2 (j. = 0.. − i)π/n. i 6= j. ,. i 6= j.

(166) 26 Desta forma, a matriz Hessiana G de H1 é a matriz 2n × 2n em blocos dada por  G=. . ∂ 2 H1 ∂z 2. 0. 0. ∂ 2 H1 ∂ϕ2. ,. sendo que ∂ 2 H1 /∂z 2 e ∂ 2 H1 /∂ϕ2 são matrizes circulantes de ordem n. Vimos que os autovalores de uma matriz circulante são da forma dada em (2.2). Usando as identidades para n ≥ 2 (ver [7]) n−1 X j=1 n−1 X j=1. 1 sen2 jπ/n. sen2 kjπ/n sen2 jπ/n. n−1 X j=1 n−1 X. 2πj sen2 n cos2. j=1. 2πj n. =. n2 − 1 ; 3. (2.9). = k(n − k)  . k = 0, 1, · · · , n;. 0. =. para n = 2.  n/2   2 =  n/2. (2.10). (2.11). para n > 2 para n = 2. (2.12). para n > 2. obtemos que os autovalores de ∂ 2 H1 /∂z 2 no equil´ıbrio são: λj =. −(n − 1)(1 + z 2 ) + j(n − j) com j = 0, 1, · · · , n − 1, 2(1 − z 2 )2. enquanto que os autovalores de ∂ 2 H1 /∂ϕ2 no equil´ıbrio são: σj = −. j(n − j) com j = 0, 1, · · · , n − 1. 2. Estamos interessados nos autovalores da matriz  JG = . 0. ∂ 2 H1 ∂ϕ2. 2 − ∂∂zH21. 0.  .. Segue de (1.11) que o polinômio caracter´ıstico de JG é dado por

(167)

(168)

(169) µIn |µI2n − JG| =

(170)

(171) 2

(172) ∂∂zH21 Como. ∂ 2 H1 ∂z 2. e. ∂ 2 H1 ∂ϕ2.

(173) 2

(174)

(175)

(176) 2 2

(177) − ∂∂ϕH21

(178)

(179) 2

(180) =

(181) µ I + ∂ H1 ∂ H1

(182) .

(183)

(184) ∂ϕ2 ∂z 2

(185) µIn

(186). são circulantes, os autovalores de. ∂ 2 H1 ∂ 2 H1 ∂z 2 ∂ϕ2. são σj λj , j = 0, 1, · · · , n − 1.. Portanto, o polinômio caracter´ıstico de JG é. p(µ) =. n−1 Y j=0. (µ2 + σj λj ).. (2.13).

(187) 27 Assim como no caso planar, a invariância por rota¸cão no problema na esfera dá origem ao autovalor zero. Podemos eliminar este autovalor utilizando uma integral primeira do sistema mantendo os demais autovalores. Observa¸ c˜ ao 2.2. Para aplicar o Teorema do Centro precisamos de um autovalor imaginário puro simples. Como, das expressões acima, vemos que σ0 = 0, λj = λn−j e σj = σn−j para j = 1, 2, · · · , n − 1, um autovalor simples vai ocorrer somente se n for par e j =. n 2.. Para que este autovalor, µn/2 ,. seja imaginário puro é necessário que λn/2 < 0, o que implica: z2 >. (n − 2)2 . 4(n − 1). Esta u ´ltima desigualdade para z 2 < 1 só pode ocorrer se n < 7. Portanto, para n = 2, n = 4 e n = 6 o autovalor. q µn/2 = i σn/2 λn/2. é simples e imaginário puro quando z 2 > (n − 2)2 /(4(n − 1)). Assim temos o seguinte teorema:.

(188) 28 Teorema 2.3. Para o anel de v´ ortices em uma latitude fixa podemos aplicar o Teorema do Centro nos seguintes casos: q 1. n = 2 com autovalor µ1 =. −z 2 4(1−z 2 )2. q 2. n = 4 com autovalor µ2 =. para z 2 > 0; q para z 2 > 1/3 e z 6= ± 13 +. −1+3z 2 (1−z 2 )2. com m ≥ 2,. 3 4m2. inteiro. q 2) 3. n = 6 com autovalor µ3 = 9(−4+5z para z 2 > 1/5 satisfazendo 4(1−z 2 )2 q 36m2 (a) z 6= ± 40m 2 −25 onde m ≥ 3, inteiro; q 2 −24 (b) z 6= ± 36m onde m ≥ 2, inteiro. 45m2 −40 Demonstra¸c˜ ao. Segue da observa¸c˜ ao (2.2) que os autovalores µn/2 , n = 2, 4, 6 são simples e imaginários puros para z 2 > 0, z 2 > 1/3 e z 2 > 1/5, respectivamete. Segue de (2.13) que o polinômio caracter´ıstico para n = 2 é p(µ) = µ para n = 4 é. p(µ) = µ. 2. 2. z2 µ + 4(1 − z 2 )2 2. 9z 2 µ + 4(1 − z 2 )2 2. 2 . ,. 3z 2 − 1 µ + (1 − z 2 )2. . 2. e para n = 6 é 2. p(µ) = µ. z2 µ + 4(1 − z 2 )2. 2 . Devemos provar que o quociente. µ µn/2. 2(5z 2 − 3) µ + (1 − z 2 )2. 2 . 2. 2. 9(5z 2 − 4) µ + 4(1 − z 2 )2 2. .. não é inteiro na região enunciada.. Para n = 2, o resultado segue do fato que não há outro autovalor para avaliar.. Para n = 4, devemos avaliar o quociente. µ µ2. q quando µ =. s µ1 = µ2 Se. µ1 µ2. é inteiro, digamos. 9 . −4(1 − 3z 2 ). s 9 = m, −4(1 − 3z 2 ). logo. r z=±. 3 1 + . 3 4m2. −9z 2 , 4(1−z 2 )2. ou seja, o quociente.

(189) 29 Como z 2 < 1 temos m ≥ 2. µ µ3. Para n = 6, devemos avaliar o quociente. Se o primeiro quociente. µ µ3. q =. 25z 2 −9(4−5z 2 ). s. q quando µ =. 2. z − 4(1−z 2 )2 e µ =. q 2 −3) − 2(5z . (1−z 2 )2. é inteiro, digamos. 25z 2 = m, −9(4 − 5z 2 ). com m ∈ Z+ , logo. r z=±. 36m2 . 40m2 − 25. Como z 2 < 1 temos m ≥ 3.. Se o segundo quociente. µ µ3. é inteiro, digamos s. 8(5z 2 − 3) = m, 9(5z 2 − 4). com m ∈ Z+ , temos. r z=±. 36m2 − 24 . 45m2 − 40. Como z 2 < 1 temos m ≥ 2.. 2.2. Anel com um v´ ortice no p´ olo norte Nesta se¸cão consideramos o caso de um anel com n vórtices, n ≥ 3, em uma latitude fixa. na esfera unitária e um vórtice adicional no pólo norte.. 2.2.1. Formula¸ c˜ ao do problema. Para estudarmos o movimento próximo dessa configura¸cão precisamos de um sistema de coordenadas adequado. Assim como em [7], utilizaremos coordenadas cartesianas (xn , yn , zn ) para o vórtice próximo ao pólo, uma vez as coordenadas cil´ındricas não estão definida nos pólos. O sistema de equa¸cões que descreve tal movimento é ∂H ϕ˙ j = − ∂z j. z˙j =. ∂H κx˙ n = −zn ∂y n. ∂H κy˙ n = zn ∂x , n. ∂H ∂ϕj ,. 0 ≤ j ≤ n − 1;. j = n,.

(190) 30 onde H é a fun¸cão H = H1 + H2 com. H1 =. n−1 n−1 q q 1X X 2 2 log 1 − zi zj − 1 − zi 1 − zj cos(ϕi − ϕj ) 2. (2.14). q κX log[1 − zj zn − 1 − zj2 (xn cos ϕj + yn sen ϕj )], 2. (2.15). i=0 j=i+1. n−1. H2 =. j=0. ou seja, a fun¸cão H é a soma do Hamiltoniano, H1 , do problema sem o vórtice no pólo e a fun¸c˜ ao H2 . Observa¸ c˜ ao 2.4. Notemos que o sistema acima não é um sistema Hamiltoniano, mas a fun¸c˜ ao H continua sendo uma integral não-degenerada do sistema possibilitando que apliquemos o Teorema do Centro. Passando a um sistema de coordenadas rotatórias com velocidade angular ν em torno do eixo polar, a fun¸cão H se torna . . n−1 X. H = H1 + H2 − ν . zj + κzn  .. (2.16). j=0. Estamos interessados na configura¸c˜ ao, Q0 , que consiste de n vórtices unitários nos vértices de um n-pol´ıgono regular em uma latitude fixa z, −1 < z < 1, e um vórtice com intensidade κ localizado no pólo norte, ou seja, xn = 0, yn = 0 e zn = 1. Lema 2.5. Para que a configura¸c˜ ao, Q0 , acima seja um equil´ıbrio relativo devemos ter ν=−. (n − 1)z κ − . 2 2(1 − z ) 2(1 − z). Demonstra¸c˜ ao. Para Q0 ser equil´ıbrio devemos ter. ∂H ∂z0 (Q0 ). = 0. Isto é.   n−1 ∂H1 ∂H2 ∂ X + −ν zj + κzn  = 0, ∂z0 ∂z0 ∂z0 j=0. o que implica ν=. ∂H1 ∂H2 + . ∂z0 ∂z0. Do lema (2.1), segue que (n − 1)z ∂H1 =− . ∂z0 2(1 − z 2 ). (2.17).

(191) 31 De (2.15) temos  −zn − √ z0 2 (xn cos ϕ0 + yn sen ϕ0 ) ∂H2 κ 1−z  p 0 =  ∂z0 2 1 − z0 zn − 1 − z02 (xn cos ϕ0 + yn sen ϕ0 ) . e, assim, em Q0 , temos. ∂H2 −κ = , ∂z0 2(1 − z). logo ν=−. (n − 1)z κ − , 2(1 − z 2 ) 2(1 − z). como quer´ıamos demonstrar. O problema pode ser escrito na forma. M Q˙ = JN ∇H(Q) onde Q = (ϕ0 , ϕ1 , · · · , ϕn−1 , xn , z0 , z1 , · · · , zn−1 , yn ) e N = diag(1, · · · , 1, zn , 1, · · · , 1, zn ). Então o sistema linearizado no equil´ıbrio Q0 é M Q˙ = JDf (Q0 )Q,. f (Q) = N ∇H(Q). (2.18).

(192) 32 onde Df (Q) = . =. +. ∂2H ∂ϕ20. ··· .. .. ∂2H ∂ϕn−1 ∂ϕ0.      ∂2H  zn ∂ 2 H  ∂ϕ0 ∂xn · · · zn ∂ϕn−1 ∂xn   ∂2H ∂2H ···  ∂ϕ0 ∂z0 ∂ϕn−1 ∂z0  ..   .  2H ∂2H zn ∂ϕ∂0 ∂y · · · zn ∂ϕn−1 ∂yn n  0 0 ···  0 ··· 0  . .. ..  .    0 · · · 0 ∂zn ∂H 0 · · ·  ∂xn ∂xn   0 ··· 0 0 0 ···   . ..  .. .   ∂zn ∂H 0 · · · 0 ∂x 0 ··· n ∂yn. ∂2H ∂xn ∂ϕ0. 2. ∂2H ∂z0 ∂ϕ0. 2. ··· .. .. ∂2H ∂zn−1 ∂ϕ0. 2. ∂2H ∂yn ∂ϕ0. 2. zn ∂∂xH2. H zn ∂z∂0 ∂x n. ···. ∂ H zn ∂zn−1 ∂xn. H zn ∂y∂n ∂x n. ∂2H ∂xn ∂z0. ∂2H ∂z02. ··· .. .. ∂2H ∂zn−1 ∂z0. ∂2H ∂yn ∂z0. ···. ∂ H zn ∂zn−1 ∂yn. n. 2. 2. H zn ∂x∂n ∂y n. H zn ∂z∂0 ∂y n . 0. 0. 0. ∂zn ∂H ∂yn ∂xn. 0. 0. 0. ∂zn ∂H ∂yn ∂yn.        .      . Se Q0 for o equil´ıbrio em questão, então xn = yn = 0, zn = 1,. ∂zn ∂xn. =. 2. ∂zn ∂yn. 2.               . H zn ∂y∂n ∂y n. = 0, logo. Df (Q0 ) = D2 H(Q0 ), ou seja, Df (Q0 ) será a matriz Hessiana de H. Desta forma, obtemos que o sistema linearizado (2.18) assume a forma M Q˙ = JGQ, com G = D2 H(Q0 ). Notemos que as matrizes M −1 e J comutam, logo podemos escrever o sistema linearizado na forma Q˙ = JM −1 GQ.. (2.19). A fim de aplicar o Teorema do Centro, tentaremos encontrar os autovalores da matriz JM −1 G acima. Para o cálculo da matriz Hessiana de H, a fun¸cão H2 contribui com os seguintes termos:.

(193) 33. ∂ 2 H2 ∂zi ∂zj ∂ 2 H2 ∂zi2 ∂ 2 H2 ∂ϕi ∂ϕj ∂ 2 H2 ∂ϕj ∂xn ∂ 2 H2 ∂ϕj ∂yn ∂ 2 H2 ∂zj ∂xn ∂ 2 H2 ∂zj ∂yn ∂ 2 H2 ∂x2n 2 ∂ H2 ∂xn ∂yn onde r =. √. = 0,. i 6= j. = −. κ 2(1 − z)2 0 ≤ i, j ≤ n − 1. = 0, = = = = =. κr sen 2jπ/n , 2(1 − z) κr cos 2jπ/n − , 2(1 − z) κ cos 2jπ/n − , 2r(1 − z) κ sen 2jπ/n − , 2r(1 − z) ∂ 2 H2 κn = ∂yn2 4. 0≤j ≤n−1 0≤j ≤n−1 0≤j ≤n−1 0≤j ≤n−1. = 0,. 1 − z2.. A matriz Hessiana de H no equil´ıbrio Q0 se torna                  G=               . . 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. σ1. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. σ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. ··· .. .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. σn−1. α. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. ···. α. σn. 0. β. 0. ···. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. λ0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. ···. 0. β. 0. λ1. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. ··· .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. λ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. λn−1. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. β. 0 −α. 0.   −α    0   ..  .    0    0    0    0     0   ..  .    β   λn.

(194) 34 onde α = β = σj. =. λj. =. σn =. p κr n/2 2(1 − z) p κ n/2 − 2r(1 − z) j(n − j) − , j = 0, 1, · · · , (n − 1) 2 −(n − 1)(1 + z 2 ) + j(n − j) − κ(1 + z)2 , 2(1 − z 2 )2 κn λn = − + κν. 4. (2.20) (2.21) (2.22) j = 0, 1, · · · , (n − 1). (2.24). logo, a matriz M −1 G é                  −1 M G=               . 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. σ1. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. −α. 0 .. .. 0 .. .. σ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. ··· .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. σn−1. α. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. α κ. σn κ. 0. β κ. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. 0. λ0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. 0. β. 0. λ1. 0. ···. 0. 0. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. ··· .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. λ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. λn−1. β. 0. ···. 0. 0. 0. 0. 0. ···. β κ. λn κ. Podemos escrever a matriz M −1 G na forma em blocos  M −1 G = .  A B. . C D logo.  JM −1 G = . com. . 0. 0 − ακ.  C. D. −A −B. ,. (2.23).                                .

(195) 35         A=      . 0. 0. ···. 0. 0 σ1. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. σ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. σn−1. 0. 0. 0. ···. α κ. 0.         C=      . 0. 0. 0 ···. 0. 0. 0 ···. 0 .. .. 0 .. .. 0 ··· .. . . . .. 0. 0. 0 ···. 0 − ακ. 0 ···. . . 0   0    0   ..  .     α  .        B=      . σn κ. . . 0 0   0 β    0 0   .. ..  . .     0 0   0 0.        D=      .  0. 0. 0 ···. 0. 0. 0. 0 ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. 0 ··· .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0 ···. 0. 0. β κ. 0 ···. 0. 0   −α    0   ..  .     0   0 . λ0. 0. 0. ···. 0. 0. λ1. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. λ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. λn−1. 0. 0. 0. ···. β κ. 0   0    0   ..  .     β  . λn κ. O polinômio caracter´ıstico de JM −1 G é dado por

(196)

(197)

(198) C − µIn+1 D −1 −1 det(JM G − µI2n+2 ) = |JM G − µI2n+2 | =

(199)

(200)

(201) −A −B − µIn+1

(202)

(203)

(204) A B + µI =

(205)

(206)

(207) C − µI D.

(208)

(209)

(210)

(211)

(212)

(213).

(214)

(215)

(216)

(217)

(218)

(219). = |DA − D(B + µI)D−1 (C − µI)|, onde λn λn−1 − β 2 6= 0 e na u ´ltima igualdade usamos a fórmula (1.11). Sendo.

(220) 36.         DA =       .  λ0. 0. 0. ···. 0. 0. λ1. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. λ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. λn−1. 0. 0. 0. ···. β κ. 0    0     0    ..   .     β  . λn κ.  0. 0. ···. 0. 0 σ1. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. σ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. σn−1. 0. 0. 0. ···. α κ. 0.         =       . 0. 0. 0 σ1 λ 1. 0. ···. 0. 0. 0. ···. 0. 0. σ 2 λ2 · · · .. .. . .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. ···.        D(B + µI) =       . σn−1 λn−1 + βσn−1 κ. αβ κ. αλn−1 +. αλn κ2. +. σn λn κ2. +. βσn κ αβ κ.        ,      .  λ0. 0. 0. ···. 0. 0. λ1. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. λ2 · · · .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. λn−1. 0. 0. 0. ···. β κ. 0    0     0    ..   .     β  . λn κ.  µ. 0. 0 ···. 0. 0. µ. 0 ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. µ ··· .. . . . .. 0 .. .. 0. 0. 0 ···. µ. 0. β κ. 0 ···. 0. .  0 0  µλ0   0 µλ1 0    0 0 µλ2  =  . .. ..  .. . .   2  β 0  0 κ  βλn 0 0 κ2. D−1 (C − µI) =. σn κ. . . e. 0   0    0   ..  .     α  . ···. 0. ···. 0. ··· .. .. 0 .. .. ···. µλn−1. ···. βµ κ. 0.   −αλ1    0    ..  .    βµ   µλn κ. 0   −α    0   ..  .     0   µ.

(221) 37         =       . . λ−1 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. λ−1 1. 0. ···. 0. 0. 0 .. .. 0 .. .. ··· λ−1 2 .. .. . .. 0 .. .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. − βs. 0. 0. 0. ···. λn κs β − κs. −1 0  −µλ0   0 −µλ−1 1    0 0  = . ..  .. .    αβ 0  κs  αλn−1 0 − κs. λn−1 s. ···. 0.              .  −µ. 0. 0. ···. 0. −µ. 0. ···. 0 .. .. 0 .. .. 0. 0. 0. − ακ. 0. 0. ···. 0. βλ−1 1. −µλ−1 ··· 2 .. .. . .. 0 .. .. 0 .. . βµ s µλn−1 − s. 0. 0. ···. n − µλ κs. 0. ···. βµ κs. −µ · · · .. .. . .. . 0. ···. 0. ···. 0. 0   0 β    0 0   .. ..  . .     −µ 0   0 −µ.              . onde κs = λn λn−1 − β 2 , obtemos D(B + µI)D−1 (C − µI) =         =      .  −µ2.        =      . −µ2. 0. +. 0. α2 λ1 λn−1. 0. − βκλµ1. 2. n − βµλ + κ2 λ1. −µ2. αβ 2 µ κ2 s. +. 0. − βκλµ1. 2. . βλn κ2 λ1. e, por conseguinte,. 0. ··· ···. −µ2 · · · .. .. . .. 0 .. .. −. αµλn λn−1 κ2 s. 0. α2 λ1 λn−1 κs. 0 .. .. 0. −. 0 −µ2. +. α κ. ···. 0. ···. 1 − αβµλ κs. −µ2 · · · .. .. . .. 0 .. .. 0. 0. κs. 0 .. .. 0 . 0. µ. 0 βµ +. 0 .. .. 0 .. .. 0. ···. −µ2 λn λn−1 +β 2 µ2 κs. 0. ···. 0. β 2 λn κ2 λ1.  0 1 − αβλ κs µ. 0. β+. αλ1 λn−1 s. 0 .. .. 0 .. . β3 κλ1. 0. ···. −µ2. 0. ···. 0. −µ2 +. αµλ1 λn−1 s. . β 2 λn κ2 λ1.   µ            . +. β3 κλ1 β 2 µ2 −µ2 λn λn−1 κs.              .

(222) 38 DA − D(B + µI)D−1 (C − µI) =         =      .  µ2 µ2. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. +a. 0. ···. 0. bµ. cµ. µ 2 + σ 2 λ2 · · · .. .. . .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0 .. .. 0. dµ. 0. ···. 0. gµ. 0. ···. µ2 + σn−2 λn−2 µ2 + e 0. µ2 + i. h. onde a = σ 1 λ1 − c = −β −. α2 λ1 λn−1 κs. αλ1 λn−1 s. e = σn−1 λn−1 +. g=. βλn κ2 λ1. i=. αβ κ. +. +. αβ κ. α κ. σn λn κ2. b=. αβλ1 κs. d=. β2 κλ1. f = αλn−1 +. h=. −. βσn−1 κ. +. βσn κ. −. αλn κ2. β 2 λn . κ2 λ1. Agora, calculando o determinante de JM −1 G − µI, obtemos. f. β3 κλ1.              .

(223) 39.

(224)

(225)

(226)

(227)

(228)

(229)

(230)

(231)

(232)

(233)

(234) −1 |JM G − µI| =

(235)

(236)

(237)

(238)

(239)

(240)

(241)

(242)

(243)

(244)

(245)

(246)

(247)

(248)

(249)

(250)

(251)

(252)

(253)

(254)

(255)

(256) =

(257)

(258)

(259)

(260)

(261)

(262)

(263)

(264)

(265)

(266)

(267). µ2. 0. 0. ···. 0. 0. µ2 + a. 0. ···. 0. 0 .. .. 0 .. .. µ2 + σ2 λ2 · · · .. .. . .. 0 .. .. 0. 0. 0. ···. µ2 + σn−2 λn−2. 0. dµ. 0. ···. 0. 0. gµ. 0. ···. 0. ···. 0. µ2 + σ2 λ2 · · · .. .. . .. 0 .. .. µ2. 0. 0 .. . 0. 0. ···. µ2 + σ2 λ2. 0. 0. ···. 0. 0. 0. ···. 0. 0. 0. ···. 0. = |P |µ. 2. n−2 Y.

(268)

(269)

(270) 0 0

(271)

(272) bµ cµ

(273)

(274)

(275)

(276) 0 0

(277)

(278) ..

(279) .

(280)

(281)

(282) 0 0

(283)

(284)

(285) 2 µ +e f

(286)

(287)

(288) 2 h µ +i