Aulas5_6_7_ESZS012-17 - Aplicações de Elementos Finitos para Engenharia

Prof. Dr. Wesley Góis – CECS/UFABC

São Bernardo do Campo, março de 2019

ESZS012-17 - Aplicações de Elementos

Finitos para Engenharia

Primeiro Quadrimestre de 2019

-Universidade Federal do ABC

CECS – Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências

Sociais Aplicadas

Soluções Aproximadas pelo Método

dos Elementos Finitos

Ø

A Técnica dos Elementos Finitos em barras sob força normal

A Técnica dos Elementos Finitos fornece uma metodologia para geração de funções de aproximação que se aplica à forma fraca obtida pelo (P.T.V.), pelo Método da Energia ou pelos métodos dos resíduos ponderados.

Neste curso è Emprego da Técnica dos Elementos Finitos no P.T.V.

i

φ

Técnica dos Elementos Finitos no P.T.V.è Método dos Elementos Finitos (MEF)

Neste caso, as condições de contorno naturais estão incluídas no trabalho das forças externas e somente as condições de contorno essenciais precisam ser impostas na aproximação.

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dos Elementos Finitos

( )

( )

u x% = α φ x c / i 1,..., N=

1

Além disso, a abordagem será “à lá” Galerkin, no sentido de que as funções peso (que aproximam os campos de deslocamentos virtuais) serão as mesmos adotadas para aproximar os campos de deslocamentos reais.

Segundo a metodologia proposta pela técnica, mantém-se a característica de que a aproximação seja construída num espaço de dimensão finita, a partir de uma combinação linear de funções base. No caso de aproximações construídas por base de funções em uma variável,tem-se:

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dos Elementos Finitos

A particularidade da técnica está no significado dado aos coeficientes αi e na forma de obtenção das funções base φi .

Nesse sentido, realiza-se, inicialmente, uma “discretização” do domínio fechado da solução, isto é, introduzindo-se um número de pontos (propositadamente igual ao número de coeficientes ) ditos nós , em posições que incluem também o contorno.

N

i

α

i

x

Cada par de nós consecutivos delimita, por sua vez, um elemento finito, de modo que o conjunto de pontos define um número de elementos. O conjunto de nós e elementos compõem o que se denomina por malha.

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dos Elementos Finitos

Domínio

Domínio Discretizado

1 ₂ 3 4 5 6L LN

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Definida a malha, impõem-se que os coeficientes sejam iguais aos valores pontuais da função incógnita em cada nó, conforme indica a relação seguinte: i α

( )

2

As funções base são então construídas a partir da idéia de que a aproximação seja a mais simples possível, observando-se a compatibilidade com maior ordem de derivada presente na expressão do P.T.V., ou nas integrais que definem as formas bilineares, tendo-se, agora, os limites dos elementos como referência.

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Ø

Aproximações com Continuidade de Ordem Zero: barras

sob força normal

L L

0 EAu δu dx¢ ¢ 0 pδudx 0 δu

-

ò

ò

P.T.V.

Aproximação compatível mais simples possível, em coerência com as exigências do P.T.V. é a linear por partes.

Essa aproximação garante continuidade de ordem zero (sobre os valores da função) em todo o domínio da solução, enquanto que as derivadas de ordem um apresentam-se contínuas por partes, isto é, no interior de cada elemento.

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Nota-se que em consequencia do significado dado aos coeficientes , o valor da aproximação entre os pontos nodais fica definido por interpolação dos próprios valores nodais.

i

Observando-se a (1), cada função base em princípio possui valores definidos em todo o domínio, porém é atrelada a um nó. Porém, mais especificamente, para que (2) seja verificada é necessário que cada função base assuma valor unitário no nó ao qual está atrelada e valor nulo nos nós restantes da malha de elementos finitos.

( )

φ x

Tendo-se em vista, então, a aproximação linear por partes indicada na figura anterior e as condições postadas acima, o método propõe que cada função tenha por suporte (região onde toma valores diferentes de zero) nos dois elementos adjacentes ao nó.

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( )

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Esta figura ilustra essa característica, com as funções base representadas por relações lineares (‘tendas’).

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De acordo com esse critério, a função base tem por suporte a região definida entre os nós e , sendo expressa pelas relações:

( )

(

)

(

)

( )

3

Passando a analisar, agora, a forma aproximada da relação de equilíbrio obtida do P.T.V., a matriz e o vetor assumem uma composição característica em razão da definição dada às funções base.

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Por exemplo, a matriz passa a ter dimensão definida pelo número de pontos nodais. Por outro lado, considerando-se a sua definição: as componentes que envolvem índices e

não pertencentes ao mesmo elemento serão nulas, em virtude, justamente do formato ‘tenda’ e do suporte compacto das funções base. K i

(

)

Por essa mesma razão, os elementos não-nulos da matriz se acumularão em torno da diagonal principal, dando à matriz o

chamado formato em BANDA. K

Quanto ao vetor , , suas componentes serão calculadas a partir de integrais definidas sobre o suporte de cada função base.L Lj = L φ

( )

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Ø

Exemplo - Discretização

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11 12 13 21 22 23 31 32 33 K K K K K K K K K K é ù ê ú = ê ú ê ú ë û 1 2 3 L L L L é ù ê ú = ê ú ê ú ë û 1 2 3 u α u u é ù ê ú = ê ú ê ú ë û % % %

(

)

K = B φ ,φ =

ò

ò

ò

( )

ò

ò

ò

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1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 EA EA ph 0 h h ₂ u ph ph EA EA EA EA u h h h h 2 2 u ph EA EA 0 ₂ h h -é ù _{ì ü} ê ú _{ï ï} ê _{ú ì ü ï ï} ê_{- æ ö -} ú_{ï ï ï ï} + = + ê ç ÷ _{ú í ý í} ý ê è ø úï ï ï ï î þ ê _- ú _{ï ï} ê ú _{ï ï} î þ ê ú ë û % % % 1 2 L h h 2 = = 1 2 3 2 2 pL 0 L L _u 4 2 4 2 pL EA u L L L 2 u 2 2 pL 0 L L 4 -é ù ì ü ê ú ï ï ì ü ê ú ï ï - - ï ï ï ï ê ú_{í ý í= ý} ê _{ú ï ï ï ï} ê _{- ú î þ ï ï} ê ú _{ï ï} ê ú ë û î þ % % %

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( )

( )

( )

( )

u

%

x

h

( )

( )

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e h e i j ij ₀ e e K =

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

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e e e e e e e 11 12 e 1 e e e e 21 22 2 e e 1 1 _ph h h K K L ₂ K EA ; L 1 1 ph K K L h h 2 -é ù _{ì ü} ê ú _{ï ï} é ù _{ê ú} ì ü_{ï ï ï ï} = _{ê ú} = = _{í ý í}= _ý ê- ú _{ï ï} ë û _{ê ú} î þ ï ï ï ï î þ ë û e e 2 2 pL L L 4 K EA ; L 2 2 pL L L 4 -é ù ì ü ê ú ï_ï ï_ï = ê ú = _{í ý} -ê ú _{ï ï} ê ú ï ï ë û î þ

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( ) ( ) ( )

(

)

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T ne ne e e e e e e 1 e 1 K A K A ; L A L = = =

å

å

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( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 ₂ 1 3 A u 1 0 u u 0 1 u u 0 0 ì ü é _{ù ì ü} ï ï _{= ê ú}ï ï í ý _{ê ú}í ý ï ï _{ê ú}ï_î ï_þ ë û î þ % _% % % % 123 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 ₂ 2 3 A u 0 0 u u 1 0 u u 0 1 ì ü é _{ù ì ü} ï ï _{= ê ú}ï ï í ý _{ê ú}í ý ï ï _{ê ú}ï_î ï_þ ë û î þ % _% % % % 123 ( ) ( ) ( )T ( ) ( ) ( )T ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 K = A K A + A K A ; L= A L + A L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 12 1 1 2 2 21 22 11 12 2 2 21 22 K K 0 0 0 0 K K K 0 0 K K 0 0 0 _{0 K K} é _{ù é ù} ê _{ú ê ú} = ê _{ú ê}+ _ú ê _{ú ê ú} ê ú ë û ë û ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 L 0 L L L 0 _L ì _{ü ì ü} ï _{ï ï ï} ï ï = _{í ý í}+ _ý ï ï ï ï î þ ï ï î þ

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A

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Ø

Aproximações com Continuidade de Ordem Um: Caso das

Vigas em Flexão

ò

ò

Aproximação compatível mais simples possível deve ter continuidade nas ordens um e zero em todo o domínio do problema, sendo contínua por partes na ordem dois (isto é, dentro de cada elemento finito).

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A construção de tal tipo de aproximação pelo MEF segue a mesma metodologia apresentada anteriormente, devendo as funções base, atreladas aos nós, apresentar continuidade na primeira derivada.

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1 e0

v φ

e1 e1

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( )

( )

( ) (

)

v x% = v φ x +v φ¢ x i = 1,L,n

Dois Parâmetros Nodais

Deslocamento Rotação

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i 1

φ

i0

φ

São responsáveis estritamente pela aproximação do campo de deslocamentos e, nesse sentido, apresentam valor unitário no nó i , porém com primeira derivada nula no mesmo nó.

Têm por objetivo realizar exclusivamente a aproximação das primeiras derivadas, possuindo a característica de apresentar um valor unitário para a sua primeira derivada no nó i enquanto que o seu valor primitivo é nulo no mesmo nó. Ainda por definição, nos outros nós os valores e derivadas de cada uma das funções são nulos.

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3 2 3 2 2 2 e 3 2 3 2 2 2 12 6 12 6 L L L L 6 4 6 2 L L L L K EI 12 6 12 6 L L L L 6 2 6 4 L L L L é _- ù ê ú ê ú ê _- ú ê ú = _{ê ú} ê_{- - -} ú ê ú ê ú ê - ú ë û 2 e 2 qL 2 qL 12 L qL 2 qL 12 ì ü ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï = í ý ï ï ï ï ï ï ï_- ï ï ï î þ

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