Novos materiais fotorrefrativos : propriedades ópticas e elétricas

(1)

(2)

ii . .

(3)

(4)

iv .

.

“Jabez invocou o Deus de Israel, dizendo: Oh! Tomara que me aben¸coes e me alargues as fronteiras, que seja comigo a Tua mão e me preserves do mal, de modo que não me sobrevenha afli¸cão! E Deus lhe concedeu o que lhe tinha pedido.” I Crônicas 4:10 “Pois Tu és a minha esperan¸ca, Senhor Deus, a minha confian¸ca desde a minha mo-cidade.” Salmos 71:5

(5)

v .

(6)

vi

Agradecimentos

Agrade¸co

“ Àquele que é poderoso por fazer infinitamente mais do que tudo quanto pedi-mos, ou pensapedi-mos, conforme o seu poder que opera em nós”, Deus.

ao prof. Dr. Jaime Frejlich, pela orienta¸cão, dedica¸cão, ensinamentos e momen-tos agradáveis na hora do café. Com certeza, este agradecimento não expressa toda a minha gratidão e carinho que eu tenho por este exemplo de vida.

ao prof. Dr. Jesiel Freitas Carvalho do Instituto de F´ısica da Universidade Federal de Goi´as pelas amostras de BTO e, principalmente, por todo o apoio e amizade.

ao prof. Dr. Jean-Claude Launay do ICMCB, CNRS, Universit´e Bordeaux 1, France pelas amostras de CdTe e discuss˜oes.

ao prof. Dr. Paulo Sakanaka pela ajuda com o software Mathematica.

ao prof. Dr. S. G. Odoulov e prof. Dr. K. Shcherbin do “Institute of Physics, National Academy of Sciences” em Kiev na Ucrânia pelas preciosas contribui¸cões neste trabalho. ao meus pais, Joel e Izaura, e minha irmãzinha querida Christiane por todo o apoio e amor.

aos amigos de trabalho Pedro, Luiggi, Jackson, Rodrigo, em especial, Ero que assumiu muito bem o papel de minha m˜ae.

aos amigos rev. Guilherme, Claúdia (minha outra mãe), Rafinha, Renato, Matthew, Murilo, Alberto, Jan etc. Aos amigos virtuais Kerion, Illerom, Zodrol, Dornim, Nuriah, Kaliyah, Nairiel etc, pelo companheirismo e pelas horas de distra¸cão.

em especial, `a Re, Si e Jorge pelo companheirismo, ajuda, incentivo e amizade. Pessoas que marcaram minha vida e com certeza tudo isto seria muito dif´ıcil sem vocˆes.

`a todos do corpo docente e administrativo do Instituto de F´ısica da Universidade Estadual de Campinas que colaboraram para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

(7)

vii Somos gratos à FAPESP - Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo e à CAPES - Coordena¸cão de Aperfei¸coamento Pessoal de Ensino Superior pelo apoio financeiro concedido.

(8)

viii

Quadro de S´ımbolos

H Altura do cristal ∆ Amplitude de oscila¸c˜ao

δ Amplitude de oscila¸c˜ao reduzida ~

E Campo el´etrico

ESC Campo espacial de cargas

ED Campo espacial de difus˜ao

q Carga elétrica α Coeficiente de absor¸cão D Coeficiente de difusão σ Coeficiente de fotocondutividade σ Condutividade σd Condutividade no escuro kB Constante de Boltzman

γR Constante de recombina¸c˜ao de el´etrons livres

ǫ Constante diel´etrica h Constante de Plank λ Comprimento de onda

λv Comprimento de onda do Veloc´ımetro Doppler

~

J Densidade de corrente total j0 Densidade de corrente m´edia

(9)

ix N−

A Densidade de aceitadores

ND Densidade de doadores

N+

D Densidade de doadores ionizados

n Densidade de el´etrons livres

nph Densidade de el´etrons livre foto-excitados

nd Densidade de el´etrons livres re-emitidos termicamente

∆ Deslocamento do padr˜ao de “speckle” dl Diˆametro de abertura da lente

do Distância do plano principal de entrada da lente até a lâmina difusora

di Distˆancia do plano principal de sa´ıda da lente at´e o plano da imagem no cristal

Φ Eficiˆencia quˆantica dos geradores de portadores de carga d Espessura do cristal

σph Fotocondutividade

iph Fotocorrente

ν Freq¨uˆencia da luz

Ω Freqüência de vibra¸cão angular f Freqüência de vibra¸cão

I Intensidade da luz W Largura da guassiana

ℓ Largura do cristal

Imax M´axima intensidade de luz

(10)

x ER M´odulo do campo el´etrico

∇ Operador diferencial ε0 Permeabilidade no v´acuo

RS Raio m´edio do “speckle”

S Seçcão transversal de foto-excita¸cão G Taxa de gera¸cão de portadores livres

β Taxa de excita¸c˜ao t´ermica

R Taxa de recombina¸c˜ao de el´etrons livres com os centros ionizados T Temperatura

t Tempo

τSC Tempo de resposta para a forma¸c˜ao do campo de cargas espacial

τM Tempo de Maxwell

(11)

xi

Lista de publica¸c˜

oes

• T. O. dos Santos, J. C. Launay and J. Frejlich. Photo-electromotive-force from volume speckle pattern vibration with large amplitude. J. Appl. Phys. 103, 1131041-6, 2008.

• T. O. Santos, J. C. Launay, S. G. Odoulov and J. Frejlich. The speckle photo-electromotive force on a vanadium-doped CdTe Crystal. J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 10 (2008) 104007.

• J. Frejlich, R. Montenegro, T. O. dos Santos and J. F. Carvalho. Characterization of pho-torefractive undoped and doped sillenite crystals using holographic and photoconductivity techniques. J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 10 (2008) 104005.

• T. O. dos Santos, J. Frejlich, J. C. Launay, K. Shcherbin. Speckle photo electromotive force in CdTe:V and CdTe:Ge for measurement of vibration with large amplitude. Applied Physics B: Lasers and Optics. DOI: 10.1007s00340-009-3437-8 (2009).

(12)

xii

RESUMO

Foi realizado o estudo de novos materiais fotorrefrativos através das técnicas Fotocon-dutividade Resolvida por Comprimento de Onda e Speckle-foto-fem. Dentre esses materiais encontram-se titanosillenitas com diferentes dopantes e os materiais fotorrefrativos do grupo II-VI como o telureto de cádmio (CdTe) e telureto de zinco (ZnTe), também dopados, e cujo interesse está no fato de terem uma banda proibida menor que as sillenitas, e serem bem mais rápidos que as sillenitas. O modelo matemático que descreve o efeito foto-fem com um padrão de “speckle” oscilante e de grande amplitude foi desenvolvido, tornando-se o modelo mais completo até hoje existente. O novo modelo prêve o aparecimento de um máximo no sinal de speckle-foto-fem para um determinado valor da amplitude normalizada sobre o tamanho do speckle δ, em conformidade com os resultados experimentais. Verificou-se também, que a posi¸cão deste máximo depende fortemente da rela¸cão entre a condutividade no escuro e fo-tocondutividade (Rd). Através da técnica Fotocondutividade Resolvida por Comprimento de

Onda foi estudado as amostras de BTO puro e dopado, CdTe e ZnTe dopados, onde foi poss´ıvel identificar alguns estados localizados dentro da banda proibida destes materiais. A partir disto, alguns cristais, como o BTO, Cdte:V e CdTe:Ge foram selecionados para os experimentos de medidas de vibra¸cões transversais utilizando a técnica speckle-foto-fem. Os experimentos de speckle-foto-fem foram, pela primeira vez, utilizados para caracterizar materiais fotorrefrativos, a partir da determina¸cão do tempo de resposta e da estimativa da condutividade no escuro.

(13)

xiii

ABSTRACT

A study of new photorefractive materials was performed through the techniques of wa-velength resolved photoconductivity and Speckle-photo-fem. Among this materials are the titanosillenites with different dopants and the group II-IV Photorefractive materials like the Cadmium telluride (CdTe) and the Zinc telluride (ZnTe), also doped, which are interesting for having a band gap smaller than that of the sillenites, and for being a lot faster than the sillenites. The mathematical model that describes the Photo-emf effect with an oscillating and high amplitude speckle pattern was developed, becoming the most complete model in existence. The new model predicts the presence of a maximum in the signal of speckle-photo-emf for a determined value of the amplitude normalized over the size of the speckle δ, in conformity with the experimental results. Was also verified that the position of this maximum is strongly depen-dent on the relation between the dark conductivity and photoconductivity (Rd). Through the

technique of wavelength resolved photoconductivity the samples of pure and doped BTO, CdTe and ZnTe were studied and it was possible to identify some localized states inside the band gap of those materials. From that, some crystals like the BTO, CdTe:V and CdTe:Ge were se-lected for the experiments on transversal vibration measurement using the Speckle-photo-emf technique. The speckle-photo-emf experiments were, for the first time, used to characterize photorefractive materials, from the determination of the response time and the estimate of their dark conductivity.

(14)

Sum´

ario

I

Introdu¸c˜

ao

1

1 Introdu¸c˜ao 2 1.1 Motiva¸c˜ao e Objetivos . . . 3

II

Teoria

5

2 MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 6 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 6

2.2 Modelo de transporte de banda . . . 8

2.3 Materiais . . . 11

2.3.1 Sillenitas . . . 11

2.3.2 Semicondutores . . . 12

3 FOTO-FEM NUM PADR ˜AO DE SPECKLE 14 3.1 Modelo te´orico . . . 15

3.1.1 Padr˜ao de luz estacion´ario . . . 15

3.1.2 Padr˜ao de luz oscilante . . . 18

3.2 Conclus˜oes . . . 22

III

Experimentos

24

4 FOTOCONDUTIVIDADE 25 4.1 Fotocondutividade resolvida por comprimento de onda . . . 25

4.1.1 Resultados e discuss˜oes . . . 27

4.2 Conclus˜oes . . . 34 xiv

(15)

SUM ´ARIO xv

5 SPECKLE-FOTO-FEM (SFE) 37

5.1 Montagem experimental . . . 37

5.2 Medida de vibra¸c˜oes mecˆanicas . . . 40

5.2.1 CdTe:V . . . 40 5.2.2 CdTe:Ge . . . 42 5.2.3 BTO . . . 44 5.3 Caracteriza¸c˜ao de materiais . . . 45 5.3.1 CdTe:V . . . 46 5.3.2 CdTe:Ge . . . 47 5.3.3 BTO . . . 49 5.4 Conclus˜oes . . . 50

IV

Conclus˜

oes e Perspectivas

53

6 Conclus˜oes Gerais 54

V

Apˆ

endice

56

A Dados experimentais 57

B Simula¸c˜ao de iΩ ₅₉

(16)

Lista de Tabelas

2.1 Dimens˜oes e composi¸c˜oes das amostras da fam´ılia sillenita. . . 12

2.2 Dimens˜oes das amostras semicondutoras. . . 13

5.1 Resumo dos resultados. . . 51

C.1 Comprimentos de onda dos LEDs e respectivas energias [1]. . . . 60

(17)

Lista de Figuras

2.1 Mecanismos num cristal fotorrefrativo sob ilumina¸c˜ao. . . 7

2.2 Diagrama de bandas de energia. . . 8

3.1 Esquema simplificado do padr˜ao de “speckle” sobre a amostra. . . 16

3.2 M´odulo do campo espacial ER. . . 18

3.3 M´odulo do campo espacial m´edio EmR. . . 20

3.4 C´alculo te´orico do coeficiente b1 da fotocorrente. . . 22

4.1 Montagem experimental da t´ecnica Fotocondutividade resolvida por compri-mento de onda. . . 26

4.2 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o BTO. . . 28

4.3 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o BTO, na escala linear. . . 29

4.4 Coeficiente de absor¸c˜ao e coeficiente de fotocondutividade medido no BTO. . . . 29

4.5 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o cristal de BTO:Pb. . . 30

4.6 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o cristal de BTO:V. . . 30

4.7 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o BTO:Zr. . . 31

4.8 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o BGeO. . . 31

4.9 Compara¸c˜ao entre a fotocondutividade do BTO e BGeO. . . 32

4.10 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o cristal de CdTe:V. . . 33

4.11 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o cristal de CdTe:Ge. . . 33

4.12 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para o cristal de CdTe:Bi. . . 34

4.13 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para os cristais ZnTe:V e ZnTe:V:Al. . . 35

4.14 Coeficiente de fotocondutividade vs hν para os cristais ZnTe:V e ZnTe:V:Al. . . 35

5.1 Montagem experimental da t´ecnica Speckle-foto-fem. . . 38

(18)

LISTA DE FIGURAS xviii

5.2 Aparato experimental da t´ecnica Speckle-foto-fem. . . 38

5.3 iΩ _{em fun¸c˜ao de δ para o cristal de CdTe:V, com λ = 1064nm. . . 40}

5.4 iΩ _{em fun¸c˜ao de δ para o cristal de CdTe:V, com λ = 532nm.} _{. . . 41}

5.5 iΩ _{em fun¸c˜ao de δ para o cristal de CdTe:Ge, com λ = 1064nm. . . 42}

5.8 iΩ _{vs δ, com m´axima intensidade de luz e λ = 532nm, para o BTO. . . 44}

5.9 iΩ _{vs δ, com filtro de 5.3% e λ = 532nm, para o BTO. . . 44}

5.10 iΩ _{vs I para o CdTe:V. . . 45}

5.11 iΩ _{vs I para o CdTe:Ge. . . 45}

5.12 Condutˆancia da amostra de CdTe:V em fun¸c˜ao I. . . 46

5.13 iΩ _{em fun¸cão da freq¨}_{uência de vibra¸cão, para o CdTe:V e λ = 1064nm. . . 47}

5.14 1/τSC em fun¸c˜ao da irradiˆancia sobre o cristal de CdTe:V. . . 47

5.15 iΩ _{em fun¸c˜ao de Ω/2π, para o cristal CdTe:Ge e λ = 1064nm. . . 48}

5.16 1/τSC em fun¸c˜ao da irradiˆancia sobre o cristal de CdTe:Ge. . . 48

5.17 iΩ _{em fun¸c˜ao de Ω/2π, para o cristal CdTe:Ge e λ = 532nm. . . 49}

5.18 1/τSC em fun¸c˜ao da intensidade de luz sobre o cristal de CdTe:Ge. . . 49

5.19 iΩ _{em fun¸c˜ao de f para o cristal de CdTe:Ge, com λ = 1064nm. . . 50}

5.20 Vis˜ao ampliada da figura 5.19. . . 50

5.21 iΩ _{vs Ω/2π, intensidade m´axima e λ = 532nm, para o BTO. . . 51}

(19)

Parte I

Introdu¸c˜

ao

(20)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Materiais fotorrefrativos são fotocondutores e eletro-ópticos. O efeito fotorrefrativo é o fenômeno pelo qual o ´ındice de refra¸cão local de um meio é modificado pela ilumina¸cão de um feixe de luz com varia¸cão espacial de intensidade e é a combina¸cão da fotocondutividade e do efeito eletro-óptico [2]. Este efeito foi descoberto em 1966 por Ashkin et al. [3] em diferentes cristais ferroelétricos, e foi considerado como “dano óptico”, uma vez que, causava uma indesejável mudan¸ca no ´ındice de refra¸cão do cristal, como escrito em seu artigo:

“The effect, although interesting in its own, is highly detrimental to the optics of nonlinear devices based on these crystals.”

Em 1968, Chen et al. [4, 5] propuseram que este “dano” poderia ser usado para armaze-namento de dados. E, em 1969, Chen et al. [6] publicaram o primeiro modelo sobre migra¸cão de cargas em cristais ferroelétricos, que consistia basicamente na excita¸cão de portadores com um padrão de luz não uniforme, na forma¸cão de uma corrente de arraste, implicando no surgi-mento de um campo de cargas espaciais. Através do efeito eletro-óptico, esse campo de cargas espaciais provocava a altera¸cão do ´ındice de refra¸cão, com o mesmo per´ıodo espacial do padrão de luz. Esses materiais, que são fotocondutores e eletro-ópticos, foram conhecidos como fo-torrefrativos. No entanto, todas as teorias sobre transporte de cargas em fotorrefrativos eram lineares, não se considerava o efeito de campo fotogerado na difusão e deriva dos portadores de cargas. Isto foi modificado por Kim et al., em 1974 [7], que desenvolveu a teoria dinâmica não-linear incorporando um “feedback” entre o campo fotogerado e a densidade de portadores de carga. Mas foi em 1979 que Kukharev et al. [8] publicaram o modelo mais completo. Este

(21)

CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO 3 modelo descrevia a forma¸cão de uma rede de ´ındice com a mesma freqüência da distribui¸cão de luz incidente e levava em conta o campo elétrico externo, efeito fotovoltaico no volume, entre outros. Este modelo é até hoje o modelo com melhor fundamenta¸cão teórica. Cada vez mais os materiais fotorrefrativos se tornaram interessantes e foram surgindo novas aplica¸cões como: memórias holográficas, conjuga¸cão de fase, interferometria holográfica dinâmica e padrão de reconhecimento [9, 10].

Para poder determinar as melhores aplica¸cões dos materiais fotorrefrativos é necessário que eles sejam caracterizados. Técnicas como a holografia, “fringe-locked”, estudo da fotocorrente, entre outras podem ser utilizadas para caracteriza¸cão destes materiais. Uma outra possibili-dade, é através do efeito foto-fem (for¸ca eletromotriz foto-induzida) que detecta a grade de cargas espaciais fotoinduzidas via corrente elétrica (corrente foto-fem), sob ilumina¸cão não-estacionária. O efeito foto-fem, também, pode ser observado em materiais fotocondutores que não apresentam o efeito eletro-óptico, uma vez que não é necessário a forma¸cão de um holo-grama, pois difra¸cão de luz não é usada. O primeiro experimento envolvendo este efeito foi publicado em 1986 [11]. Desde então, vários trabalhos foram publicados sobre a aplicabilidade do efeito para a deteçcão de vibra¸cões mecânicas [12, 13, 14, 15, 16]. Esta técnica, ainda, pode ser utilizada para a caracteriza¸cão de materiais aliada às técnicas holográficas e/ou como uma forma alternativa para caracterizar materias onde não é poss´ıvel o uso das técnicas holográficas (por exemplo, em materias com elevada competi¸cão elétron-buraco).

O sinal foto-fem pode ser produzido por um padrão de franjas ou por um padrão de “spec-kle”. Neste trabalho de tese, nós utilizamos o efeito foto-fem com um padrão de “spec“spec-kle”. O uso deste padrão é experimentalmente mais simples que o uso de um padrão de franjas, mas o modelo matemático e a análise dos resultados é muito mais complexa. A técnica foto-fem-speckle também tem interesse tecnológico, pois é um método interessante para medir vibra¸cões mecânicas e é bastante promissora para a caracateriza¸cão de materiais.

1.1 Motiva¸c˜

ao e Objetivos

O objetivo desta tese foi o estudo de novos materiais fotorrefrativos. Dentre esses materiais encontram-se titanosillenitas dopadas com diferentes elementos, produzidas no Instituto de F´ısica da Universidade Federal Goi´as. A dopagem desta sillenita tinha como objetivo verificar

(22)

CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO 4 o efeito dos diferentes dopantes sobre suas propriedades. Também foram estudados materiais fotorrefrativos do grupo II-VI como o CdTe e ZnTe, também dopados, e cujo interesse está no fato de terem uma banda proibida menor que as sillenitas, e serem bem mais rápidos que as sillenitas. Estes materiais do grupo II-VI foram fabricados na Fran¸ca e na Ucrânia.

As técnicas de estudo utilizadas foram algumas já desenvolvidas no laboratório (condutivi-dade no escuro, fotocondutivi(condutivi-dade e holografia) e outras, como o efeito de for¸ca eletromotriz com ilumina¸cão speckle (speckle-foto-fem), que foram desenvolvidas especificamente nesta tese.

No decorrer desta pesquisa constatamos que a técnica speckle-foto-fem era muito apropriada para a caracteriza¸cão dos materiais, mas sobretudo para a medida de vibra¸cões mecânicas. Constatamos também que não existia um modelo matemático completo para esta técnica, o que prejudicava as aplica¸cões. Por esse motivo a maior parte do trabalho de tese foi centrada no modelamento matemático e nas aplica¸cões desta técnica. Assim foi desenvolvido o modelo matemático mais completo que existe na atualidade sobre o speckle-foto-fem, e que foi divulgado em diversas revistas especializadas.

Este trabalho de tese está dividido em duas partes. A primeira é a abordagem teória sobre os materiais fotorrefrativos e o desenvolvimento de uma teoria mais exata para descrever o efeito foto-fem para um padrão de ilumina¸cão “speckle” guassiano estacionário e vibrante. A segunda parte traz a caracteriza¸cão dos materiais estudados através da técnica fotocorrente resolvida por comprimento de onda e speckle-foto-fem, bem como os resultados sobre as medidas de vibra¸cões mecânicas.

Destacam-se como contribui¸cões originais desta tese o desenvolvimento do modelo ma-temático mais completo que descreve o efeito foto-fem com um padrão de “speckle” oscilante e de grande amplitude com a verifica¸cão experimental e a viabiliza¸cão da técnica Speckle-foto-fem para medida de vibra¸cões mecânicas e caracateriza¸cão de materias.

(23)

Parte II

Teoria

(24)

Cap´ıtulo 2

MATERIAIS FOTORREFRATIVOS

2.1 Introdu¸c˜

ao

Os materiais fotorrefrativos são fotocondutores e eletro-ópticos e por apresentarem estas pro-priedades são de grande interesse cient´ıfico e tecnológico. Eles podem exibir também efeitos magneto-ópticos, atividade óptica, piezoeletricidade, fotocromismo etc, o que os fazem mais complexos e ainda mais interessantes. A combina¸cão do efeito eletro-óptico e da fotoconduti-vidade é a propriedade básica que permite o registro óptico nesses materiais.

As impurezas, vacâncias ou defeitos no cristal permitem a fotocondutividade via excita¸cão de portadores de carga até a banda de condu¸cão e/ou valência. Quando um padrão de interferência de luz incide sobre um cristal gera, por causa da fotocondutividade, uma modula¸cão espacial de cargas elétricas pois os portadores se acumulam nas regiões menos iluminadas. Devido a esta modula¸cão de carga, aparece uma modula¸cão de campo elétrico a qual, via efeito eletro-óptico, produz uma modula¸cão espacial de ´ındice de refra¸cão, ficando assim registrado o padrão de luz no material e dando lugar eventualmente a um holograma no volume [17, 7, 18, 19, 20, 21]. Esta situa¸cão está ilustrada no esquema da figura 2.1.

´

E interessante notar que o campo espacial de cargas formado devido as cargas fotogeradas é defasado em rela¸cão ao padrão de luz incidente sobre o material fotorrefrativo [8, 22, 23, 24]. Este comportamento é chamado de efeito ou resposta não local [23]. Em outras palavras, o efeito fotorrefrativo é uma não linearidade óptica em que a mudan¸ca do ´ındice de refra¸cão não é local, ou seja, a varia¸cão máxima do ´ındice pode estar defasado espacialmente do máximo do padrão de luz [25]. Na verdade, a mudan¸ca no ´ındice de refra¸cão responde ao gradiente espacial

(25)

CAPÍTULO 2. MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 7 da distribui¸cão de intensidade ao invés da própria intensidade [23].

Figura 2.1: Os vários mecanismos que ocorrem em um cristal fotorrefrativo quando iluminado por um padrão de interferência luminoso. A luz incidente (a) gera uma modula¸cão na densidade de cargas (b), que dá origem a um campo espacial de cargas (c). O resultado é a modula¸cão do ´ındice de refra¸cão (d) via efeito eletro-óptico [26]. φ é a diferen¸ca de fase.

Resumindo, o efeito fotorrefrativo consiste em quatro processos fundamentais [2]: 1. Foto-ioniza¸c˜ao de impurezas e gera¸c˜ao de portadores de cargas.

2. Distribui¸c˜ao dos portadores de cargas.

3. Forma¸cão do campo espacial de cargas foto-induzidas. 4. Forma¸cão de uma rede de ´ındice via efeito eletro-óptico

Neste cap´ıtulo descreveremos a teoria envolvida no processo de registro de hologramas em cristais fotorrefrativos. Em seguida, serão analisadas duas interessantes classes de materiais: os compostos da fam´ılia sillenita e alguns semicondutores. A caracteriza¸cão destes materiais é

(26)

CAPÍTULO 2. MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 8 importante, pois através do conhecimento de alguns parâmetros e dos seus tempos de resposta, torna-se poss´ıvel a otimiza¸cão de suas aplica¸cões.

2.2 Modelo de transporte de banda

Este modelo propõe a presen¸ca de centros fotoativos (doadores e aceitadores) no interior da banda proibida, a partir de onde podemos excitar portadores de cargas para a banda de condu¸cão e/ou valência, onde eles se difundem até serem presos em centros ionizados (aceita-dores). Estes processos microscópicos de gera¸cão e recombina¸cão determinam as caracter´ısticas macroscópicas dos cristais, como por exemplo, sua absor¸cão e fotocondutividade, uma vez que elas dependem fortemente da concentra¸cão dos centros fotoativos e seus estados de valência [27]. A figura 2.2 ilustra o modelo de um centro, num diagrama de bandas de energia. Na presen¸ca de ilumina¸cão não-uniforme os portadores de cargas - elétrons (e−

) e/ou buracos (h+_{) - s˜ao}

fo-toinduzidos dos centros doadores ND, localizados na banda proibida, para a banda de condu¸c˜ao

e/ou valência, e são transportados por difusão (ou por arraste, devido a presen¸ca de um campo elétrico externo) para regiões menos iluminadas. Após várias exita¸cões e recombina¸cões, estes portadores de cargas se acumulam nas regiões escuras do cristal. E, assim, o campo espacial de cargas vai sendo constru´ıdo até que a corrente de difusão esteja contra-balanceada com a corrente de arraste (regime estacionário) [8, 22, 23, 28].

Figura 2.2: Modelo de um centro no qual um só conjunto de centros dá origem a elétrons na banda de condu¸cão.

Vamos supor um material possuidor de um único tipo de centro doador foto-ativo de onde somente os elétrons são foto-excitados. Para estes elétrons na banda de condu¸cão a equa¸cão de

(27)

CAP´ITULO 2. MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 9 continuidade ´e dada por [2, 18, 28, 21, 18, 7, 1]:

∂n

∂t = G − R + 1

q∇ · ~~ J (2.1)

onde n é a densidade de elétrons livres, q a carga elétrica, t o tempo, G e R são, respectivamente as taxas de gera¸cão e recombina¸cão de elétrons livres e ~J a densidade de corrente eletrônica total.

A densidade de corrente consiste na contribui¸cão dos portadores de carga de deriva devido o campo elétrico e a difusão devido ao gradiente de densidade de cargas, assim podemos escrever:

~

J = qnµ ~E + kBT µ~∇n (2.2)

onde µ ´e a mobilidade, ~E o campo el´etrico, kBT o produto da constante de Boltzmann e a

temperatura. O campo elétrico obedece à equa¸cão de Poisson dada por: ~

∇ · ε0ǫ ~E = q(ND+− NA− n) (2.3)

onde ε0 é a permeabilidade no vácuo e ǫ a constante dielétrica, ND+ a densidade de doadores

ionizados e NA ´e a densidade de centros n˜ao foto-ativos. O termo NA aparece para manter a

neutralidade elétrica do material. Na ausência de ilumina¸cão temos [2]:

N_D+− NA− n = 0 (2.4)

A equa¸c˜ao de continuidade para os doadores ionizados ´e dada por: ∂N_D+

∂t = G − R (2.5)

Esta equa¸cão assume que os doadores não possuem mobilidade e as transi¸cões significativas são aquelas através de excita¸cão térmica ou luminosa, do elétron do n´ıvel do doador para a banda de condu¸cão e a recombina¸cão do elétron da banda de condu¸cão com o n´ıvel doador ionizado. A taxa de gera¸cão é linearmente proporcional ao número de doadores ocupados, à probabilidade que os estados da banda de condu¸cão não estarem ocupados e à probabilidade da taxa de ioniza¸cão. Sendo este último, consistindo na combina¸cão da foto-excita¸cão com a re-emissão térmica. Assim podemos escrever:

(28)

CAPÍTULO 2. MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 10 onde S é a seçcão transversal de foto-excita¸cão, I a intensidade da luz e β a taxa de excita¸cão térmica de elétrons. Similarmente, a taxa de recombina¸cão é linearmente proporcional ao número de elétrons livres e aos centros ionizados, dada por:

R = γRND+n (2.7)

onde γRé a constante de recombina¸cão de elétrons com centros ionizados.

As equa¸cões 2.1 à 2.7, possuem um grande número de parâmetros, e para diferentes si-tua¸cões é poss´ıvel encontrar os parâmetros que governam as solu¸cões destas equa¸cões. No caso de ilumina¸cão uniforme, onde a intensidade da luz é espacialmente constante, em um es-tado estacionário as derivadas temporais e espaciais são nulas. Assim, ~∇ · ~J = 0 e ∂ND+

∂t = 0.

Combinando a equa¸c˜ao 2.6 com a equa¸c˜ao 2.7, temos:

(ND − ND+)SI + (ND − ND+)β = γRND+n (2.8)

Assumindo que o tempo de vida do el´etron livre ´e dado por:

τ = 1/γRND+ (2.9)

E sendo a taxa de gera¸cão de elétrons escrita em fun¸cão do coeficiente de absor¸cão da luz:

(ND − ND+)S = αΦ (2.10)

onde Φ é a eficiência quântica para a gera¸cão de elétrons livres. A densidade de elétrons livres na banda de condu¸cão é dada por:

n = αΦIτ + (ND− ND+)βτ (2.11)

Nesta última equa¸cão, há duas contribui¸cões para a densidade de elétrons livres na banda de condu¸cão, a primeira é devida à foto-excita¸cão (nph) e a outra devida à re-emissão térmica

(nd), desta forma podemos escrever:

n = nph+ nd (2.12)

Com,

nph= αΦIτ (2.13)

(29)

CAPÍTULO 2. MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 11 A condutividade do material (σ) é escrita em fun¸cão da densidade de elétrons livres na banda de condu¸cão, assim podemos expressá-la em termos da fotocondutividade σph e da

condutivi-dade no escuro σd (a excita¸cão térmica dos portadores de carga na ausência de luz determina

a condutividade no escuro):

σ = qµ(nph+ nd) = σph+ σd (2.15)

Com,

σph= qµαΦτ I (2.16)

σd= qµ(ND− ND+)βτ (2.17)

No caso em que a re-emissão térmica for desconsiderada, a condutividade do material será linearmente dependente da intensidade da luz.

2.3 Materiais

2.3.1 Sillenitas

A estrutura sillenita é cúbica de corpo centrado com grupo espacial I23. Possui fórmula qu´ımica Bi12MO20com M = Si, Ge, Ti etc ou como misturas isomorfas (Bi, Ga), (Bi, V) e outros [29, 28].

O átomo M está ligado a quatro átomos de oxigênio O(3), formando um tetraedro regular. O tetraedro [MO4] ocupa os vértices e o centro da cela unitária [29].

Dentre as sillenitas, o Bi12T iO20 (BTO) se destaca por apresentar baixa atividade ´optica,

fotocondutividade e coeficiente eletro-´optico mais elevados e maior sensibilidade na regi˜ao do vermelho [30].

As amostras sillenitas foram caracterizados principalmente pela técnica Fotocondutividade Resolvida em Comprimento de Onda. Dentre estes materias, o cristal de BTO puro foi selecio-nado para os experimentos de Speckle-foto-fem, uma vez que os espectros de fotocondutividade resolvida em comprimento de onda mostraram se tratar de cristais com alta fotocondutividade na região espectral de nosso interesse [31]. A tabela 2.1 apresenta as dimensões das amostras utilizadas nos experimentos.

(30)

CAP´ITULO 2. MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 12

Tabela 2.1: Dimens˜oes e composi¸c˜oes das amostras da fam´ılia sillenita.

Amostra Composi¸c˜ao espessura largura altura

d (mm) ℓ (mm) H (mm)

BTO-008 Bi12TiO20 3.45 3.95 6.00

BTO:V-J16a Bi12(Ti0.83V0.17)O20.09 2.4 4.7 5.2

BTO:Pb BTO+570 ppm Pb1 _1.80 _4.60 _4.30

BTO:Zr 10Bi2O3+0.95TiO2+0.05ZrO21 1.45 4.5 6.5

BGeO Bi12GeO20 0.85 5.0 10.0

1_{Composi¸c˜ao no cristal}

2.3.2 Semicondutores

Os compostos semicondutores, tais como, arseneto de gálio (GaAs) e telureto de cádmio (CdTe), possuem coeficientes eletro-ópticos similares, em magnitude, aos das sillenitas e mobilidade muito maiores. Desta forma, a condutividade no escuro, sendo proporcional à mobilidade, também é muito maior e, portanto, o tempo de decaimento no escuro é pequeno. O resultado é que os compostos semicondutores não têm capacidade de armazenamento holográfica a longo prazo.

Estes materiais têm a banda proibida no limite próximo ao infravermelho, podendo ser utilizados para holografia nessa faixa espectral, diferente das sillenitas que possuem maior sensibilidade na região do vis´ıvel [30]. Por outro lado, por serem rápidos, são ideais para o estudo de vibra¸cões ultra-sônicas e por esse motivo o efeito foto-fem tem sido intensamente investigado em semicondutores como GaAs e CdTe [13].

Neste trabalho foram estudados alguns novos materiais semicondutores interessantes, como o telureto de zinco dopado com vanádio e alum´ınio-vanádio (ZnTe:V e ZnTe:Al:V) e CdTe dopado com vanádio, germânio e bismuto (CdTe:V, CdTe:Ge e CdTe:Bi), que serão descritos brevemente a seguir.

2.3.2.1 Telureto de c´admio (CdTe)

O telureto de cádmio é um semicondutor da fam´ılia II-VI com estrutura cúbica de face centrada [28]. O CdTe é um material promissor para fotodetectores, células solares e filtros por ter uma

(31)

CAPÍTULO 2. MATERIAIS FOTORREFRATIVOS 13 larga faixa de sensibilidade na região do infra-vermelho próximo. Também é interessante para o processamento de informa¸cões [32], por possuir um tempo de resposta muito mais curto (devido a alta mobilidade elétrica) que os cristais óxidos, como as sillenitas e o LiNbO3 [33]. E

a adi¸cão, tais como V, Ti, Ge e outras, podem formar n´ıveis de impurezas profundos (aceitadores e doadores) próximos ao meio da banda proibida destes materiais [34, 35, 36] diminuindo assim a condutividade no escuro, que é importante em termos de aplica¸cões.

Nós estudamos os cristais CdTe:V, CdTe:Ge e CdTe:Bi através das técnicas de Fotocondu-tividade Resolvida em Comprimento de Onda e, principalmente, pela técnica speckle-foto-fem.

2.3.2.2 Telureto de zinco (ZnTe)

O telureto de zinco (ZnTe) é um semicondutor da fam´ılia II-VI. Quando dopado com vanádio observa-se uma melhora na resposta fotorrefrativa deste material [37]. Similarmente ao que acontece com o CdTe, esta dopagem pode formar n´ıveis de impurezas profundos (aceitadores e doadores) próximo ao meio da banda proibida destes materiais [37].

O ZnTe se destaca por possuir uma banda proibida mais larga que o CdTe, podendo ser estudado na região do espectro do vis´ıvel. Na tabela 2.2 está apresentada as dimensões das amostras utilizadas nos experimentos.

Tabela 2.2: Dimens˜oes das amostras semicondutoras.

Amostra espessura largura altura d (mm) ℓ (mm) H (mm) CdTe:V-BR4Z1Mb 2.6 4.2 9.39 CdTe:Ge-N191 4.0 5.0 7.0 CdTe:Bi-17(3) 2.0 4.75 10.45 ZnTe:Al:V-THM15 1.77 5.3 10.0 ZnTe:V-THM12 2.32 3.35 4.44

(32)

Cap´ıtulo 3

FOTO-FEM NUM PADR ˜

AO DE

SPECKLE

O padrão de “speckle” pode ser compreendido como uma distribui¸cão granular e aleatória da intensidade de luz causada por uma superf´ıcie rugosa quando iluminada por luz coerente (laser). O movimento oscilante do “speckle” sobre uma amostra fotocondutora induz uma for¸ca ele-tromotriz permitindo que uma fotocorrente flua pelo material. Como a amplitude de oscila¸cão do padrão de luz e a fotocorrente resultante não são lineares, esta última apresenta diversos termos harmônicos na freqüência de oscila¸cão Ω. O primeiro harmônico contém informa¸cões que permitem determinar a amplitude da oscila¸cão mecânica e o tempo de resposta (τSC) para

a forma¸cão do campo de cargas espaciais no material. Este tempo depende, dentre outros parâmetros, do tempo de relaxamento (ou dielétrico) de Maxwell [28, 38]:

τSC ∝ τM=

ǫε0

σ (3.1)

onde ǫ é a constante dielétrica, ε0 é a permissividade do vácuo e σ é a condutividade dada pela

equa¸c˜ao 2.15.

A for¸ca foto-eletromotriz é induzida em materiais fotorrefrativos ou, simplesmente, fotocon-dutores quando iluminados por um padrão de luz não-estacionário. Os portadores de cargas fotogerados nos estados extendidos (banda de condu¸cão ou valência) se movem através do campo espacial de cargas que surge quando o tempo de resposta é muito maior que o per´ıodo de vibra¸cão. Se o padrão de luz move-se muito mais rápido que a resposta do campo espacial de cargas, mas mais lento que o tempo de vida dos portadores de cargas livres nestes estados extendidos, os portadores seguiram o movimento oscilatório do padrão, mas o campo espacial

(33)

CAPÍTULO 3. FOTO-FEM NUM PADR ÃO DE SPECKLE 15 de cargas não. Desta forma, os portadores de cargas livres não estarão em equil´ıbrio, como con-sequência, uma corrente surgirá. Este efeito necessariamente não requer a modula¸cão do ´ındice de refra¸cão, mas depende da proje¸cão de um padrão de luz sobre a amostra para estabelecer a modula¸cão do campo espacial de cargas [28, 38].

Para vibra¸cões muito mais rápidas que τSC, ou seja, para a condi¸cão:

τSCΩ ≫ 1 (3.2)

onde Ω é a freqüência angular da vibra¸cão do padrão de luz sobre o cristal fotorrefrativo, o sinal do primeiro harmônico da fotocorrente gerada não mais depende de τSC e o sistema fica

parti-cularmente interessante para medir vibra¸cões mecânicas que possam produzir esses padrões de luz “speckle” oscilante. Um trabalho anterior [16], desenvolvido em nosso laboratório, mostrou a presen¸ca de um máximo caracter´ıstico no sinal da fotocorrente para uma determinada rela¸cão amplitude de oscila¸cão-tamanho do “speckle”. Esse máximo é interessante do ponto de vista prático pois permitiria calibrar o sistema de medida, aumentando o interesse tecnológico desta técnica. No entanto, a teoria desenvolvida na ref.[16] utiliza aproxima¸cões que poderiam com-prometer as conclusões finais. Neste cap´ıtulo, nós desenvolvemos uma teoria mais exata para descrever o efeito foto-fem para um padrão de ilumina¸cão “speckle” gaussiano estacionário e vibrante.

3.1 Modelo te´

orico

3.1.1 Padr˜

ao de luz estacion´

ario

A luz sobre o material pode assumir um padrão de distribui¸cão randômica de “speckle”, sendo descrito por discos de Airy, com um raio que representa o raio médio do “speckle”, dado por [39, 16, 40, 12]:

RS =

1, 22diλ

dl

(3.3) onde di é a distância do plano principal de sa´ıda da lente até o plano da imagem projetado,

sob a face de entrada do cristal, λ ´e o comprimento de onda da luz incidente e dl o diˆametro

de abertura da lente. Entretanto, é mais conveniente descrever o “speckle” como um conjunto de distribui¸cões gaussianas de luz com largura W = RS/2. Isto devido à fun¸cão Gaussiana

(34)

CAPÍTULO 3. FOTO-FEM NUM PADR ÃO DE SPECKLE 16 ser similar à fun¸cão de Airy no intervalo de -1 < x < 1 e o manuseio matemático da fun¸cão Gaussiana é mais fácil [16]. Na figura 3.1 está esquematizado o padrão de “speckle” (manchas em vermelho) que incide sobre a amostra com o sistema de referência adotado, onde d e ℓ são, respectivamente, a espessura e a largura da amostra.

Figura 3.1: Esquema simplificado do padr˜ao de “speckle” (manchas em vermelho) que incide sobre a amostra.

A irradiância num padrão de luz estacionário, para coordenadas normalizadas (x = X/W e y = Y/W), será dada por:

I = I0e −r2

(3.4) onde X e Y s˜ao coordenadas no plano transversal ao feixe de luz e

r2 = x2+ y2 (3.5)

O padrão de “speckle” excita elétrons para a banda de condu¸cão que difundem e são apri-sionados nas regiões menos iluminadas, gerando uma modula¸cão de cargas que dá surgimento a um campo elétrico espacial. Usando a equa¸cão 2.2, na condi¸cão estacionária e no caso de ilumina¸cão uniforme, a componente do campo fotogerado, ao longo da dire¸cão x será [13, 41]:

Ex =

j0

qµn(x) −

D∇n(x)

µn(x) (3.6)

onde j0 é a densidade de corrente média ao longo da dire¸cão x, D é o coeficiente de difusão

(D = kBT µ/q) e e ´e a carga.

Fazendo a integra¸cão da equa¸cão 3.6 ao longo do caminho de 0 até L, onde L é a distância entre os eletrodos, temos:

Z L

(35)

CAPÍTULO 3. FOTO-FEM NUM PADR ÃO DE SPECKLE 17 Este termo é nulo devido a natureza potencial do campo elétrico e assumindo a configura¸cão de curto-circuito da amostra [13, 41]. Para o segundo termo do lado direito da equa¸cão 3.6, teremos: D µ Z L 0 ∇n(x) n(x) dx = D µ Z L 0 ∂ln(n(x)) ∂x dx = D µ[ln(n(L)) − ln(n(0))] = 0 (3.8) Este termo se anula pois na configura¸cão de curto-circuito a densidade de portadores de cargas livres será a mesma nas extremidades da amostra, ou seja, n(L) = n(0) (condi¸cão de contorno). Assim, o primeiro termo do lado direito da equa¸cão 3.6, só poderá ser satisfeito se j0 = 0. Isto significa que quando um padrão de luz estacionário incide sobre o material, não

haverá corrente fluindo na amostra e, portanto, não haverá a for¸ca foto-eletromotriz no material [13, 41].

Para a irradiância dada pela equa¸cão 3.4, a densidade de portadores de cargas livres (equa¸cão 2.12) será:

n = n0_phe−(r2)

+ nd (3.9)

Assim, podemos conhecer a forma do campo fotogerado para esta distribui¸cão de luz. Para isto, usaremos a equa¸cão 2.2, nas condi¸cões mencionadas anteriormente (estacionária e ilu-mina¸cão uniforme), com a densidade de portadores de cargas livres dada pela equa¸cão 3.9. Assim, o campo fotogerado será:

~ E = J~ qµ[n0 phe −(r2) + nd] − D µ ~ ∇[n0 phe −(r2) + nd] [n0 phe −(r2) + nd] (3.10) cujas componentes ser˜ao:

Ex = E0+ 2EDxe −r2 e−r2 + Rd (3.11) Ey = 2EDye−r 2 e−r2 + Rd (3.12) ER= q E2 x+ Ey2 (3.13) com ED = D W µE0 = j0 qµn0 ph (3.14) Rd= nd n0 ph (3.15) onde ED é o campo de difusão, E0 é o campo elétrico externo aplicado e ER é o módulo do

(36)

CAP´ITULO 3. FOTO-FEM NUM PADR ˜AO DE SPECKLE 18

Figura 3.2: M´odulo do campo espacial ER, para ED = 1kV/m, E0 = 0 e Rd = 0.001.

3.1.2 Padr˜

ao de luz oscilante

Neste caso, será considerado um deslocamento ∆ do padrão de “speckle”, ao longo da dire¸cão x, a intensidade de luz I, para coordenadas normalizadas (x = X/W e y = Y/W), será [16]:

I = I0e −[y2+(x+δ sin(Ωt))2] (3.16) com δ = ∆ W = ∆ RS/2 (3.17) Desta forma, a densidade de portadores de cargas livres (equa¸c˜ao 2.12) pode ser re-escrita como:

n(r, t) = n0_phe−(r2+δ2

2)e−[2xδ sin(Ωt)− δ2

2 cos(2Ωt)]+ n_d (3.18)

Supondo que o tempo de resposta caracter´ıstico τSC seja muito maior do que o per´ıodo

caracter´ıstico do padr˜ao vibrante (ΩτSC ≫ 1) e, este ´ultimo muito maior do que o tempo de

vida do foto-elétron τ (Ωτ ≪ 1), as componentes da densidade de corrente média, equa¸cão 2.2, ao longo da dire¸cão x e y serão:

hjxi = qµhn(r, t)iEmx+ kBT µh(∇n(r, t))xi = j0 (3.19)

(37)

CAP´ITULO 3. FOTO-FEM NUM PADR ˜AO DE SPECKLE 19 sendo hn(r, t)i = n0_phe−(r2+δ2 2)f (x, δ, Ω) + n_d (3.21) h(∇n(r, t))xi = − 2 Wn 0 phe −(r2+δ2 2)[xf (x, δ, Ω) + δg(x, δ, Ω)] + n_d (3.22) h(∇n(r, t))yi = − 2 Wn 0 phe −(r2+δ2 2)yf (x, δ, Ω) + n d (3.23)

onde hi ´e a m´edia temporal e

f (x, δ, Ω) = Ω 2π Z 2π Ω −2π Ω e−[2xδ sin(Ωt)−δ2 2 cos(2Ωt)]dt (3.24) g(x, δ, Ω) = Ω 2π Z 2π_Ω −2π Ω sin(Ωt)e−[2xδ sin(Ωt)−δ2 2 cos(2Ωt)]dt (3.25)

Os portadores de cargas foto-excitados vibram com freqüência angular Ω na presen¸ca do campo estacionário médio cujas componentes, ao longo da dire¸cão x e y, são dadas por:

Emx = j0 qµhn(r, t)i− Dh(∇n(r, t))xi µhn(r, t)i (3.26) Emy = − Dh(∇n(r, t))yi µhn(r, t)i (3.27) Obtendo: Emx = E0 e−(r2+δ2 2)f (x, δ, Ω) + R_d + 2EDe −(r2+δ2 2)xf (x, δ, Ω) + δg(x, δ, Ω) e−(r2+δ2 2)f (x, δ, Ω) + R_d (3.28) Emy = 2EDe −(r2+δ2 2 ) yf (x, δ, Ω) e−(r2+δ2 2 )f (x, δ, Ω) + R_d (3.29) EmR= q E2 mx+ Emy2 (3.30)

onde EmR é o módulo do campo espacial médio. A figura 3.3 mostra o módulo do campo médio

que foi simulado para dois valores diferentes de Rd, em (a) para Rd = 0.0001 e (b) para Rd =

0.1. Na figura 3.3 podemos observar a influˆencia de Rd sobre o campo absoluto. Isto significa

que a condutividade no escuro do material n˜ao pode ser desprezada.

A densidade de corrente média usando a equa¸cão 2.2, na dire¸cão x, será dada por: ¯ jx(t) = 1 l l/2 Z −l/2 qµn(r, t)Emx dx + 1 l l/2 Z −l/2 kBT µ(∇n(r, t))x dx (3.31)

O segundo termo do lado direito da igualdade da equa¸c˜ao 3.31 ser´a nulo: 1 l l/2 Z −l/2 kBT µ(∇n(r, t))xdx = 0 (3.32)

(38)

Figura 3.3: M´odulo do campo espacial EmR para ED = 1kV/m, E0 = 0 e δ = 2.0 para (a) Rd =

0.0001; (b) Rd = 0.1.

Como mencionado na se¸cão 3.1.1, este termo se anula pois na amostra em curto-circuito levamos em considera¸cão que a concentra¸cão de portadores de cargas deve ser a mesma nas extremidades, ou seja, n(l/2, t) = n(−l/2, t), obedecendo as condi¸cões de contorno. Isto reduz a contribui¸cão da componente de difusão a zero [13, 41]. Assim, expressão para a densidade de fotocorrente média ao longo da distância entre eletrodos L, na dire¸cão x, ficará:

¯ jx(t) = 1 l l/2 Z −l/2 qµn(r, t)Emx dx (3.33)

com l ≡ L/W ≫ 1. O termo independente do tempo ´e

¯ jx0 = jDRd 1 l l/2 Z −l/2 E0 ED + 2e −(r2+δ2 2)(xf (x, δ, Ω) + δg(x, δ, Ω)) e−(r2+δ2 2)f (x, δ, Ω) + R_d dx (3.34) sendo jD = qµn0phED (3.35)

Devido `as propriedades de simetria, ¯jx0 pode ser simplificada resultando em:

¯ jx0= jDRd E0 ED 1 l l/2 Z −l/2 1 e−(r2+δ2 2)f (x, δ, Ω) + R_d dx (3.36)

(39)

CAP´ITULO 3. FOTO-FEM NUM PADR ˜AO DE SPECKLE 21 Similarmente, para o termo dependente do tempo, temos:

¯ jxt(t) = jD l l/2 Z −l/2 [E0 ED + 2e −(r2+δ2 2 )(xf (x, δ, Ω) + δg(x, δ, Ω))]e−(r 2₊δ2 2) e−(r2+δ2 2)f (x, δ, Ω) + R_d × (3.37) ×e−[2xδ sin(Ωt)−δ2 2 cos(2Ωt)] dx (3.38)

Mosquera em seu modelo publicado em 2004 [16] resolve esta equa¸cão fazendo uma ex-pansão em série da exponencial dependente do tempo e escreve as componentes da densidade de corrente média em termos dos harmônicos da frequência de vibra¸cão Ω, considerando ape-nas o primeiro termo desta série para calcular o primeiro harmônico da fotocorrente. Esta aproxima¸cão desconsidera os demais termos no cálculo, o que poderia comprometer o modelo matemático do efeito foto-fem num padrão de speckle. Para resolver a equa¸cão 3.38 e contribuir para o desenvolvimento de um modelo mais exato, nós escrevemos a equa¸cão 3.38 como uma Série de Fourier, uma vez que ¯jxt(t) é periódica em Ω, ficando:

¯ jx(t) = a0 2 + N =∞ X N =0 (aNcos NΩt + bNsin NΩt) (3.39) onde aN = Ω π 2π/Ω Z 0 j_x(t) cos NΩt dt (3.40) bN = Ω π 2π/Ω Z 0 j_x(t) sin NΩt dt (3.41)

Os coeficientes a1e b1, para o primeiro harmˆonico, foram calculados teoricamente em fun¸c˜ao

de δ. A simula¸cão teórica foi feita com o aux´ılio do software Mathematica cuja rotina está no apêndice B. O coeficiente a1 resultou ser sempre zero enquanto que o resultado obtido para

b1 est´a apresentado na figura 3.4 onde se pode observar um m´aximo para a fotocorrente em

uma posi¸cão fixa em 0.7 ≤ δ ≤ 0.9, dependendo da rela¸cão entre a condutividade no escuro e fotocondutividade (Rd). Esta rela¸cão Rd pode variar se a intensidade de luz sobre o cristal

muda ou se a condutividade no escuro aumenta quando a luz absorvida esquenta a amostra. Na teoria desenvolvida por Mosquera [16] este comportamento não é previsto e a posi¸cão do máximo é independente de Rd. O valor desse máximo diminui conforme y se afasta de zero,

(40)

Figura 3.4: Cálculo teórico do coeficiente b1 da fotocorrente (unidades arbitrárias) em fun¸cão da

amplitude de oscila¸c˜ao normalizada do padr˜ao de “speckle” sobre o cristal fotorrefrativo, para E0 = 0,

y = 0 e para diversos valores de Rd.

de y e então, para o cálculo da fotocorrente nos restringimos a y = 0, sem fazer a integra¸cão ao longo da coordenada y. O cálculo foi realizado sem aplica¸cão de campo externo E0, ou seja,

E0 = 0. A posi¸cão deste máximo é diferente mas não está longe do valor de δ = 0.76 obtido no

modelo aproximado da ref. [16].

3.2 Conclus˜

oes

O nosso modelo matemático mostrou a presen¸ca de um máximo no sinal de speckle-foto-fem para um determinado valor da amplitude normalizada sobre o tamanho do speckle δ. Esse valor depende principalmente da rela¸cão entre a condutividade no escuro e fotocondutividade máxima (Rd) no centro de cada “grão” de speckle. Esta rela¸cão entre a condutividade no escuro

e fotocondutividade m´axima (Rd), que n˜ao foi prevista no modelo desenvolvido por Mosquera

[16], pode variar se a intensidade de luz sobre o cristal muda ou se a condutividade no escuro aumenta quando a luz absorvida esquenta a amostra. Para vibra¸cões suficientemente rápidas este máximo varia entre 0.7 (para Rd= 1) e 0.9 (para Rd= 0). Este máximo é muito interessante

pois ele pode ser usando como referência para a calibra¸cão do sistema. Apesar do modelo teório ser complicado matematicamente a técnica Speckle-foto-fem é bastante simples uma vez que não requer um feixe de referência para criar um padrão de luz modulada espacialmente. No

(41)

CAPÍTULO 3. FOTO-FEM NUM PADR ÃO DE SPECKLE 23 cap´ıtulo 5 veremos os resultados experimentais que comprovam a presen¸ca deste máximo e, ainda, a aplica¸cão desta técnica para a caracteriza¸cão de materiais.

(42)

Parte III

Experimentos

(43)

Cap´ıtulo 4

FOTOCONDUTIVIDADE

A fotocondutividade é uma propriedade importante em alguns materiais fotossens´ıveis. No que se refere a materias fotorrefrativos assume um papel de grande importância uma vez que a excita¸cão dos portadores de cargas nos estados localizados na banda proibida, a difusão e arraste nos estados extendidos (banda de condu¸cão e banda de valência) e o seu aprisionamento fazem parte dos processos de transporte. Sendo os portadores excitados dos estados localizados, o conhecimento da posi¸cão (estados localizados ou centros fotoativos) dentro da banda proibida é essencial para determinar as suas aplica¸cões [31, 1, 42, 43].

Neste cap´ıtulo, apresentaremos os resultados das medidas de fotocondutividade realizadas em alguns materiais fotorrefrativos, como o BTO puro e dopado, CdTe e ZnTe dopados.

4.1 Fotocondutividade resolvida por comprimento de onda

Para mapear os estados localizados dentro da banda proibida foi utilizada a técnica da Foto-condutividade Resolvida por Comprimento de Onda através do instrumento de medida desen-volvido em nosso laboratório [31, 1]. Este instrumento é baseado em LEDs (“light-emitting diodes”) quase monocromáticos, variando entre 340-1050nm. A vantagem está na intensidade maior de luz comparada com o sistema clássico.

No aparato experimental, esquematizado na figura 4.1, os LEDs estão dispostos em um disco acoplado a um motor de passo. Na tabela C.1 no apêndice C apresenta os comprimentos de onda dos LEDs e respectivas energias em eV. A luz é coletada por um conjunto simples de lentes, e um difusor foi utilizado para manter a uniformidade do feixe. Este feixe é divido em

(44)

CAPÍTULO 4. FOTOCONDUTIVIDADE 26 dois por uma placa de vidro (BS), um dos feixes resultantes é coletado pelo fotodetector DR. O outro incide diretamente sobre a amostra, e a luz que passa através do material é coletada pelo fotodetector DT. A amostra é preparada com eletrodos laterais (configura¸cão transversal) e conectada a uma fonte de alta tensão. Um amplificador “lock-in”foi utilizado para medir as intensidades de luz, DR e DT, permitindo o cálculo do coeficiente de absor¸cão α e da intensidade de luz I(0) que incide sobre a amostra, bem como a fotocorrente iph.

O amplificador “lock-in”, o motor de passo e a fonte de alta tensão estão conectados a um computador, e são controlados por um programa adequado.

Figura 4.1: Montagem experimental da t´ecnica Fotocondutividade resolvida por comprimento de onda;

BS _{´e a placa de vidro; DT e DR s˜}_{ao os detectores; O computador controla o “Lock-in”, o motor}

de passo, a tens˜ao aplicada no cristal V e o controle dos sinais que chegar˜ao ao amplificador “Lock-in”SW.

O “coeficiente de fotocondutividade”σ da amostra é calculado através do valor da foto-corrente, da intensidade da luz incidente I(0) e do coeficiente de absor¸cão α, e é dado por [31, 43]: σ = σ(0)hν I(0) = iphℓhναd HdV I(0)(1 − e−αd ) (4.1)

onde σ(0) é a fotocondutividade, I(0) a irradiância, ambos na face de entrada do material, iphé

a fotocorrente, V é a tensão aplicada, hν é a energia fotônica, ℓ é a distância entre os eletrodos, H e d são a altura e a espessura da amostra, respectivamente.

(45)

CAPÍTULO 4. FOTOCONDUTIVIDADE 27 • Normal : nesta condi¸cão a amostra é previamente exposta à luz ambiente.

• Relaxado: a amostra ´e levada ao forno, permanecendo por poucas horas a uma tempera-tura entre 800_{C e 90}0_{C e mantida no escuro at´e o in´ıcio do experimento.}

• Pré-exposto: a amostra é exposta a um comprimento de onda selecionado por um tempo de 5 à 10 segundos antes de cada medida. Escolhendo o comprimento de onda adequado, alguns estados localizados na banda proibida se tornam cheios ou parcialmente cheios, podendo ser percebidos pela medida da fotocondutividade.

4.1.1 Resultados e discuss˜

oes

4.1.1.1 Sillenitas

A figura 4.2 (a) apresenta o resultado para o cristal de BTO não dopado (amostra BTO-008) para fins de compara¸cão com as outras amostras. Neste resultado, observamos o pico associado à banda proibida. É poss´ıvel perceber os “degraus”, que indicam a presen¸ca de estados localizados. A seta em vermelho indica o in´ıcio do degrau. Esses degraus ocorrem devido a excita¸cão de um novo centro fotoativo, ou seja, a medida que a energia do fóton aumenta, outros centros fotoativos são atingidos, e maior é a fotocondutividade [31, 42]. Neste caso, três experimentos foram realizados: a curva de c´ırculos apresenta o experimento no cristal termicamente relaxado; a de triângulos, a amostra foi pré-exposta com energia fotônica hν = 2.4eV; e a de quadrados o cristal foi exposto a ilumina¸cão ambiente (normal). No gráfico ampliado, figura 4.2 (b), fica claro a identifica¸cão dos estados localizados em 1.7 e 2.0eV, para a amostra pré-exposta. Acima desse valor, a análise do espectro fica camuflada pelos efeitos de fotoluminescência.

Esta técnica não permite distinguir se as energias são referidas à banda de condu¸cão (com elétrons como portadores) ou à banda de valência (com buracos como portadores). Com ex-perimentos auxiliares de holografia, sabemos que os portadores são, prioritariamente, elétrons [31, 42]. Também fica claro (figura 4.2 (a)) o efeito do relaxamento térmico (parcial) do BTO, onde a curva para a amostra relaxada quase não apresenta (ou aparecem muito reduzidos) os degraus, que são bem vis´ıveis na amostra pré-exposta. Podemos observar melhor esse efeito no espectro ampliado na figura 4.2 (b).

(46)

CAPÍTULO 4. FOTOCONDUTIVIDADE 28 condi¸cão é poss´ıvel perceber uma grande subida em 2.2eV, determinando o n´ıvel Fermi para o BTO [44, 45]. A partir deste n´ıvel, o resultado apresenta um pico em 3.2eV que caracteriza a banda proibida deste material.

Na figura 4.4, está apresentado o espectro de absor¸cão juntamente com o coeficiente de fotocondutividade para o BTO não dopado. Percebe-se uma queda no espectro de absor¸cão quando se aproxima do limite de banda ao invés de uma satura¸cão. Este comportamento indica que a radia¸cão detectada não é a transmitida pelo cristal, e sim, a radia¸cão emitida pela recombina¸cão do portador de carga com um centro foto-ativo [31, 1, 42]. Na técnica clássica que usa o espectrômetro, a radia¸cão luminescente não é detectada pois o detector se encontra longe da amostra, diferente da técnica da Fotocondutividade Resolvida por Comprimento de Onda onde a amostra está próximo da amostra. Apesar do espectro de absor¸cão conter radia¸cão luminescente, a medida de absor¸cão é necessária para processar os dados da fotocondutividade.

Figura 4.2: (a) Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica (hν) para um cristal de BTO não dopado, para as condi¸cões: relaxado, pré-exposto com hν = 2.4eV e normal, na escala logar´ıtmica; (b) Visão ampliada do coeficiente de fotocondutividade entre 1.0 e 2.5eV.

O resultado do coeficiente de fotocondutividade para o cristal BTO dopado com chumbo (BTO:Pb) está apresentado na figura 4.5 (a) e em escala ampliada na figura 4.5 (b). Compa-rando as curvas, percebe-se que o efeito da pré-exposi¸cão (com energia fotônica hν = 2.4eV) é relativamente fraco quando comparado com BTO puro, e não há quase diferen¸ca entre os expe-rimentos relaxado e normal e a identifica¸cão de degraus é dif´ıcil. E, ainda, a fotocondutividade

(47)

CAP´ITULO 4. FOTOCONDUTIVIDADE 29

Figura 4.3: Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para o cristal de BTO não dopado, para as condi¸cões: relaxado, pré-exposto com hν = 2.4eV e normal.

Figura 4.4: Coeficiente de absor¸c˜ao e coeficiente de fotocondutividade medido no BTO n˜ao dopado.

do BTO:Pb ´e uma ordem de grandeza menor que o BTO puro.

Na figura 4.6 (a) está apresentado o resultado do coeficiente de fotocondutividade para o cristal de BTO dopado com vanádio (amostra BTO:V-J16a). Pode-se perceber que quase não há efeito de pré-exposi¸cão (com hν = 2.4eV), e apenas se observa um crescimento monotonico da curva do coeficiente de fotocondutividade, com um degrau em 1.76 e 2.09eV (figura 4.6 (b)). A fotocondutividade desta amostra é duas ordens de grandeza menor que para o BTO puro.

(48)

Figura 4.5: (a) Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para o cristal de BTO:Pb, para as condi¸cões: relaxado, pré-exposto com hν = 2.4eV e normal, na escala logar´ıtmica;

(b) Vis˜ao ampliada do coeficiente de fotocondutividade entre 1.0 e 2.3eV.

Figura 4.6: (a) Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para o cristal de BTO:V, para as condi¸cões: relaxado, pré-exposto com hν = 2.4eV e normal, na escala logar´ıtmica;

é menos fotocondutor que o BTO puro (aproximadamente uma ordem de grandeza menos fotocondutor) e dois degraus podem ser identificados em 1.7 e 2.0eV (seta em vermelho), como observamos na figura 4.7 (a) e (b). É interessante salientar o efeito da pré-exposi¸cão (também com hν = 2.4eV) que, neste caso, é bem notável, diferentemente para o BTO:Pb e BTO:V quando pré-expostos.

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observa-CAP´ITULO 4. FOTOCONDUTIVIDADE 31

Figura 4.7: (a) Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para o cristal de BTO:Zr, para as condi¸cões: relaxado, pré-exposto com hν = 2.4eV e normal, na escala logar´ıtmica;

mos o aumento da fotocondutividade devido o efeito de pr´e-exposi¸c˜ao, com hν = 2.4eV, quando comparado com o termicamente relaxado. Um centro foto-ativo poder visto em 2.08eV.

As fotocondutividades do BTO não dopado e do BGeO, pré-expostos, são comparadas na figura 4.9. É interessante observar que nesta condi¸cão a diferen¸ca entre a fotocondutividade do BTO e do BGeO não é significativa.

Figura 4.8: Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para um cristal de BGeO, para as condi¸cões: relaxado e pré-exposto com hν = 2.4eV.

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Figura 4.9: Compara¸cão entre a fotocondutividade do BTO não dopado e BGeO sob condi¸cão de pré-exposi¸cão.

4.1.1.2 CdTe

As medidas realizadas nas amostras de CdTe com diferentes dopantes são menos interessantes pois o nosso sistema não nos permite explorar a faixa de 0.6 à 0.8eV onde esperamos encontrar o n´ıvel de Fermi, neste caso, fixado pelas impurezas de V3+_/V2+ _[28].

O coeficiente de fotocondutivadade para a amostra CdTe:V (amostra CdTe:V-BR4Z1Mb), na condi¸cão normal e pré-exposta com luz de energias fotônicas distintas, está apresentado na figura 4.10 onde vemos um pico por volta de 1.46eV caracterizando a banda proibida deste material. Notamos também a presen¸ca de um degrau em 1.36eV. Como a maior parte dos LEDs apresenta comprimentos de onda no vis´ıvel, apenas um pequeno espectro pode ser analisado. Verificamos, ainda, que a pré-exposi¸cão não alterou a fotocondutividade do material.

O resultado do coeficiente de fotocondutividade para o CdTe:Ge está apresentado na figura 4.11, este resultado tem um comportamento diferente das demais amostras de CdTe, indicando a presen¸ca de um segundo centro foto-ativo. Neste caso acreditamos que o pico em 1.46eV caracteriza a banda proibida pois a partir de 1.32eV observamos uma rápida subida e depois um decaimento. Um degrau em 1.2eV pode ser notado. Comparando a fotocondutividade do CdTe:Ge com o CdTe:V vemos que CdTe:Ge é uma ordem de grandeza menos fotocondutor que o CdTe:V. Os experimentos com pré-exposi¸cão não foram realizados nesta amostra por não

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Figura 4.10: Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para o cristal de CdTe:V para a condi¸cão normal e pré-exposta com luz de energia fotônica hν = 1.32, 1.40 e 1.47eV.

poder explorar as faixas abaixo de 1.0eV devido à limita¸cão no nosso sistema de medidas. Na figura 4.12 vemos o coeficiente de fotocondutividade para a amostra CdTe:Bi. Neste caso não foi observado nenhum degrau na faixa de medida. O interessante é observar que este material é uma ordem de grandeza mais fotocondutor que o CdTe:V.

Figura 4.11: Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para o cristal de CdTe:Ge para a condi¸cão normal.

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Figura 4.12: Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para o cristal de CdTe:Bi para a condi¸cão normal.

4.1.1.3 ZnTe

Os resultados para o ZnTe dopado com vanádio (amostra ZnTe:V-12) e dopado com vanádio e alum´ınio (amostra ZnTe:V:Al-THM-15) estão apresentados na figura 4.13. Este material é interessante por ter a banda proibida maior que o do CdTe, aproximadamente 2.1eV para as duas amostras. Na figura 4.14 está apresentado o coeficiente de fotocondutividade para a região de 1.0 até 2.1eV, onde observamos que a amostra ZnTe:V-12 apresenta claramente degraus em 1.46, 1.75 e 1.88eV, enquanto que a amostra ZnTe:V:Al-THM-15 não apresenta nenhum degrau, apenas um crescimento uniforme.

4.2 Conclus˜

oes

Para estes experimentos utilizamos configura¸cão transversal de eletrodos na amostra, para que fosse levado em considera¸cão a varia¸cão da fotocondutividade no seu volume, devido à absor¸cão de luz no material, permitindo melhor caracteriza¸cão das suas propriedades. Para isso é necessário a medida do coeficiente de absor¸cão e da fotocondutividade simultaneamente. Foram identificados vários degraus tanto nos compostos da fam´ılia sillenita quanto nos semicondutores do grupo II-VI. Em rela¸cão à fam´ılia sillenita, percebemos em todas as amostra uma grande subida em 2.2eV, que determina o n´ıvel Fermi.

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Figura 4.13: Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para os cristais ZnTe:V e ZnTe:V:Al para a condi¸cão normal.

Figura 4.14: Coeficiente de fotocondutividade em fun¸cão da energia fotônica para a região de 1.0 até 2.1eV para os cristais ZnTe:V e ZnTe:V:Al para a condi¸cão normal.

Nas amostras semicondutoras, o CdTe dopado com vanádio apresentou o pico de fotocondu-tividade bem definido em 1.46eV e, apesar das limita¸cões do aparato, um degrau foi observado. Já o CdTe:Ge apresentou um comportamento diferente sugerindo a presen¸ca de dois centros foto-ativos.

Apesar do aparato experimental n˜ao permitir explorar a faixa de 0.6 `a 0.8eV, onde espera-se uma maior sensibilidade dos compostos fotorrefrativos semicondutores, observamos que estas amostras mostraram-se mais fotocondutores que as sillenitas e, por isso, promissoras para

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CAP´ITULO 4. FOTOCONDUTIVIDADE 36 aplica¸c˜oes envolvendo o efeito foto-fem.

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Cap´ıtulo 5

SPECKLE-FOTO-FEM (SFE)

Neste cap´ıtulo estão apresentados os resultados das medidas de vibra¸cões usando a técnica Speckle-foto-fem e os resultados da caracteriza¸cão dos materiais estudados.

5.1 Montagem experimental

Tanto para medidas de vibra¸cões quanto para caracteriza¸cão de materiais através Speckle-foto-fem foi utilizada a montagem experimental ilustrado na figura 5.1. Um feixe de luz coerente, com comprimento de onda λ, incide sobre uma lâmina G de vidro fina e pequena, despolida nas duas faces e fixada no centro da membrana de um alto-falante comercial, que vibra contro-ladamente com freqüência angular Ω. Por causa do espalhamento de luz na lâmina, um padrão de “speckle” oscilante é formado, e capturado por uma lente L que o focaliza na superf´ıcie da amostra. Desta forma, a intensidade do “speckle” é aumentada, e conseqüentemente também a fotocorrente. O alto-falante é alimentado por um gerador de fun¸cões na faixa de freqüência de 1Hz-40MHz, e esta freqüência é usada como referência no amplificador “Lock-in” (Signal Recovery modelo 5210) para obter a leitura do primeiro harmônico em Ω da fotocorrente iΩ

gerada pelo “speckle” oscilante. A amostra pode ser preparada com eletrodos depositados nas laterais ou na superf´ıcie do cristal, orientados perpendicularmente à dire¸cão de vibra¸cão da lâmina, para que seja coletada a fotocorrente. A figura 5.2 mostra o aparato experimental da técnica Speckle-foto-fem.

Um feixe laser auxiliar de He-Ne, com comprimento de onda λv = 632.8nm, incide na aresta

lateral da lâmina, permitindo determinar a amplitude ∆ e o per´ıodo T de oscila¸cão do padrão

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CAP´ITULO 5. SPECKLE-FOTO-FEM (SFE) 38

Figura 5.1: Montagem experimental para medida da resposta foto-fem de “speckle” oscilante; L: lente convergente; G: lâmina rugosa vibrante; GF é o gerador de fun¸cões; AL é o amplificador “Lock-in”;

D _{´e o detector utilizado para medir a amplitude de oscila¸c˜}_{ao (∆) do padr˜}_ao.

Figura 5.2: (a) Aparato experimental utilizado nas medidas de Speckle-foto-fem; (b) Amostra de CdTe:V, com eletrodos na superf´ıcie, utilizada nos experimentos.

de luz por meio da t´ecnica de Velocimetria Doppler [46, 47]. Este sistema est´a esquematizado na parte inferior da figura 5.1.

(57)

CAPÍTULO 5. SPECKLE-FOTO-FEM (SFE) 39 A amplitude de oscila¸cão ∆ pode ser calculada usando a seguinte rela¸cão:

∆ = ν Ω =

λv/2di

2πf T do

(5.1) onde ν é a velocidade máxima da lâmina difusora, Ω é a freqüência de vibra¸cão angular dada por Ω = 2πf sendo f a freqüência vibra¸cão, λv é o comprimento de onda do feixe auxiliar,

neste caso, λv = 632.8nm, T é o per´ıodo de oscila¸cão na máxima velocidade da lâmina difusora,

doé a distância da lâmina até o plano principal de entrada da lente e di é a distância do plano

principal de sa´ıda da lente at´e o plano da imagem no cristal. A distˆancia di pode ser calculdada

por: 1 F = 1 do + 1 di (5.2) sendo F a distˆancia focal da lente.

O sinal do primeiro harmˆonico da fotocorrente (iΩ_{) foi medido em fun¸c˜ao da amplitude}

de vibra¸cão reduzida (δ), dada pela equa¸cão 3.17. Usando as equa¸cões 3.3 e 5.1 podemos re-escrever a equa¸cão 3.17 como:

δ = dlλv 2.44πf T λdo

(5.3) sendo dl o diˆametro da lente e λ o comprimento de onda do padr˜ao de “speckle”.

Os materiais estudados foram o Cdte:V (CdTe:V-BR4Z1Mb), crescido na Universidade de Bordeaux 1, Bordeaux, France, CdTe:Ge (CdTe:Ge-N191), crescido na “Chernivtsy National University”, Ucrânia, e o BTO (BTO-008), crescido no Laboratório de Crescimento de Cristais da Universidade Federal de Goiás. Os experimentos foram realizados utilizando uma objetiva fotográfica, de diâmetro dl = 25mm e distância focal F = 50mm, e as fontes de luz foram de

λ = 1064nm e 532nm para os cristais de CdTe e 532nm para o BTO. Foram utilizados filtros para variar as intensidades, posicionados entre a lˆamina difusora e a lente [48].

A lente produz um sinal speckle-foto-fem muito maior comparado com o aparato sem a lente. O “speckle” difuso transladaria diretamente o movimento transversal no cristal enquando que a lente produz uma desamplifica¸cão na imagem. Porém, a lente reduz o tamanho do “speckle” no plano da imagem tal que a desamplifica¸cão da amplitude de vibra¸cão é aproximadamente compensada .