Gabarito - Função Modular
Gabarito - Função Modular
1)
1) Construir o
Construir o gráfico da
gráfico da função definid
função definida em
a em
ℜℜ..
≥ ≥ < < < < − − − − ≤ ≤ − − = =2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
))
((
x x se se x x se se x x x x se se x x f f2)
2) Construa
Construa o g
o gráfico d
ráfico da fun
a função
ção
f f((
x x))
== x x 22 −−3
3
x x ++2
2
..
2 2 22 2 2 2 2 22
3
3
2
2,,
3
3
2
2 0
0
1
1
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2,,
3
3
2
2
0
0
1
1
2
2
x x x x ssee xx xx xx oouu xx x x x x x x xx ssee xx xx xx
−− ++ −− ++ ≥ ≥⇒
⇒
≤ ≤ ≥≥
− − + + ==
− − ++ −− −− ++ < <⇒
⇒
< < <<
-4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 --88 --66 --44 --22 00 22 44 66 88 x x y y 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 --22 --11 00 11 22 33 44 55 x x y y3) Construa o gráfico da função
f(
x)
= x 2 −2
x +x +2
.
< <⇒
< − + − ≥ ≤⇒
≥ − − = −2
0
0
2
,
2
2
0
0
2
,
2
2
2 2 2 2 2 x x x se x x x ou x x x se x x x x
< < + + + − ≥ ≤ + + − =2
0
,
2
2
2
0
,
2
2
)
(
2 2 x se x x x x ou x se x x x x f
< < + + − ≥ ≤ + − =2
0
,
2
3
2
0
,
2
)
(
2 2 x se x x x ou x se x x x f4) Construa o gráfico da função
f(
x)
= x 2 −4
− x −2
.
< < −⇒
< − + − ≥ − ≤⇒
≥ − − = −2
2
0
4
,
4
2
2
0
4
,
4
4
2 2 2 2 2 x x se x x ou x x se x x
<⇒
< − + − ≥⇒
≥ − − = −2
0
2
,
2
2
0
2
,
2
2
x x se x x x se x x 0 5 10 15 20 25 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y -2 2 24
x − =2
x − = 24
2
x − − − =x4
2 − x − x 2 +4
24
x −2
+ − x − x +2
x −2
6
2 + x − x − x 2 + x +2
x 2 −x −2
≥ − − < < − + + − − ≤ − + =2
,
2
2
2
,
2
2
,
6
)
(
2 2 2 x se x x x se x x x se x x x f5) Resolver as seguintes equações em
ℜ.
a)
3
x −1
=2
− = =⇒
− = =⇒
− = − = −3
1
1
1
3
3
3
2
1
3
2
1
3
x x x x x x1
,
3
1
− = Sb)
2
x −3
=−1
S = ∅c)
x 2 −4
x +5
=2
0
3
4
2
5
4
2 2 = + − = + − x x x x0
7
4
2
5
4
2 2 = + − − = + − x x x x4
12
16
)
3
(
1
4
)
4
(
4
2 2 = ∆ − = ∆ ⋅ ⋅ − − = ∆ − = ∆ b ac0
12
28
16
)
7
(
)
1
(
4
)
4
(
4
2 2 < − = ∆ − = ∆ ⋅ ⋅ − − = ∆ − = ∆ b ac -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y1 2
4 2
2
3
1
x x x ± = = ={ }
1
,
3
= S6) Resolver em
ℜas seguintes equações.
a)
4
x −1
−2
x +3
=0
0
3
2
1
4
x − − x + =3
2
1
4
x − = x +
− = =⇒
− = =⇒
− − = − + = −3
1
2
2
6
4
2
3
2
1
4
3
2
1
4
x x x x x x x x2
,
3
1
− = Sb)
x 2 +x −5
=4
x −1
= − + = − −⇒
+ − = − + − = − +0
6
5
0
4
3
1
4
5
1
4
5
2 2 2 2 x x x x x x x x x x0
4
3
2 − x − = x x 2 +5
x −6
=0
25
16
9
)
4
(
1
4
)
3
(
4
2 2 = ∆ + = ∆ − ⋅ ⋅ − − = ∆ − = ∆ b ac49
24
25
)
6
(
)
1
(
4
)
5
(
4
2 2 = ∆ + = ∆ − ⋅ ⋅ − + = ∆ − = ∆ b ac 1 23 5
2
4
1
x x x ± = = = − 1 25 7
2
1
6
x x x − ± = = = −{
−6
,
−1
,
1
,
4
}
= S7) Resolver as seguintes equações em
ℜ.
a)
2
x −5
= x −1
Só existirá resposta para essa equação se
x −1
≥0
Portanto:
x −1
≥0
⇒
x ≥1
= =⇒
+ = + + − = −⇒
+ − = − − = −2
4
5
1
2
5
1
2
1
5
2
1
5
2
x x x x x x x x x xComo as raízes são maiores que 1, o conjunto solução é:
{ }
2
,
4
= S
b)
2
x 2 +15
x −3
= x 2 +2
x −3
Só existirá resposta para essa equação se
x 2 +2
x −3
≥0
Portanto:
x 2 +2
x −3
≥0
16
12
4
)
3
(
1
4
)
2
(
4
2 2 = ∆ + = ∆ − ⋅ ⋅ − + = ∆ − = ∆ b ac 1 22 4
2
1
3
x x x − ± = = = −ou seja,
x ≤−3
ou x ≥1
Assim sendo:
13
0
0
)
13
(
0
13
3
2
3
15
2
2 2 2 − = = = + = + − + = − + x x x x x x x x x x6
3
1
6
19
17
361
72
289
)
6
(
3
4
)
17
(
4
0
6
17
3
3
2
3
15
2
2 2 2 2 2 − = =⇒
± − = = + = − ⋅ ⋅ − + = − = ∆ = − + + − − = − + x ou x x ac b x x x x x xAs raízes 0 e
3
1
não satisfazem à condição de existência da função
modular. Portanto, o conjunto solução é:
{
−6
,
−13
}
= S
8) Resolver em
ℜas inequações abaixo.
a)
4
−3
x ≤5
Pela condição de existência da função modular, teremos:
5
3
4
5
≤ − ≤ − x4
5
3
4
4
4
5
− ≤ − − ≤ − − xSubtraindo 4
1
3
9
≤ − ≤ − xDividindo por -3
3
1
3
≥ x ≥ −Reescrevendo
3
3
1
≤ ≤ − x3
3
1
/
− ≤ ≤ ℜ ∈ = x x Sb)
4
x −7
≥ −1
Para qualquer valor de
xo módulo, por definição, sempre será positivo.
ℜ= S
