AULA 6 – FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E OUTRAS FUNÇÕES ELEMENTARES

(1)

AULA 6 – FUNÇÃO QUADRÁTICA,

MODULAR E OUTRAS FUNÇÕES

ELEMENTARES

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

MATEMÁTICA I

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas cada uma das quais está ligada a um domínio Dicontido no domínio da f.

EXEMPLO

Seja a função f: ℜ→ℜdefinida por: f(x) = 1 para x < 0

f(x) = x + 1 para 0 ≤x < 2 f(x) = 3 para x ≥2

Ou ainda:

FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS ABERTAS

  

< ≤ +

< = 1,0 2

0 , 1 )

( x x

x x

f

y

f(x)=1

f(x)=x+1

f(x)=3

(2)

EXEMPLO

Seja a função f: ℜ→ℜdefinida por: f(x) = -x para x < -1

f(x) = x2_{- 1 para x}≥_-1

Ou ainda:

y

x

f(x)=-x _f(x)=x2_-1

1 1 3

  

− ≥ −

− < −

=

1 para

, 1

1 para

, )

( ₂

x x

x f

-1 -1

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Seja x∈ ℜ, define-se módulo ou valor absoluto de x, indicado por |x|, através da seguinte relação:

MÓDULO

  

< =

≥ =

0 se , -| |

0 se , | |

x x x

Isto significa que:

(i) O módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; (ii) O módulo de um número real negativo é igual ao oposto deste número.

(3)

PROPRIEDADES DO MÓDULO

Decorrem da definição as seguintes propriedades.

(i) |x| ≥0, ∀x ∈ ℜ, (ii) |x| = 0 ⇔ x = 0,

(iii) |x|.|y| = |xy|, ∀x, y ∈ ℜ, (iv) |x|2_{= x}2_,_∀_x_{∈ ℜ}_,

(v) |x+y| ≤|x| + |y|, ∀x, y ∈ ℜ, (vi) |x-y| ≥|x| - |y|, ∀x, y ∈ ℜ, (vii)|x| ≤a e a > 0 ⇔-a ≤x ≤a, (viii)|x| ≥a e a > 0 ⇔x ≤-a ou x ≥a.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome de função módulo ou modular quando a cada x∈ ℜassocia o elemento |x|∈ ℜ. Isto é:

FUNÇÃO MODULAR

Alternativamente, pode-se empregar o conceito de módulo: f : ℜ → ℜ

x →|x|

  

< −

≥ =

0 se ,

0 se , )

(

x x

x f

y

(4)

EXEMPLO 1

Construir o gráfico de f(x) = |x+1|.

Observar que:

  

− < −

−

− ≥ +

= +

1 se 1,

1 se , 1 | 1 |

x x

x

  

− < −

−

− ≥ +

=

1 se , 1

1 se , 1 )

(

x x

x f

Então, a função f é definida como uma função a duas sentenças:

EXEMPLO 1

Construir o gráfico de f(x) = |x+1|.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

  

− < −

−

− ≥ +

=

1 se , 1

1 se , 1 )

(

x x

x f

x y = |x+1|

-3 2

-2 1

-1 0

0 1

y

x

f(x)=-x-1 f(x)=x+1

(5)

EXERCÍCIO 1

Construir o gráfico de f(x) = |x-1|.

EXERCÍCIO 1

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Observar que:

  

< +

−

≥ −

= +

1 se 1,

1 se , 1 | 1 |

x x

x

  

< +

−

≥ −

=

1 se , 1

1 se , 1 )

(

x x

x f

(6)

  

< +

−

≥ −

=

1 se , 1

1 se , 1 )

(

x x

x f

x y = |x-1|

-1 2

0 1

1 0

2 1

y

x

f(x)=-x+1 f(x)=x-1

1 EXERCÍCIO 1

EXEMPLO 2

Construir o gráfico de g(x) = |x+1|+2.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Observar que:

  

− < −

−

− ≥ +

= +

1 se 1,

1 se , 1 | 1 |

x x

x

  

− < +

− −

− ≥ +

+ =

1 se , 2 1

1 se , 2 1 )

(

x x

x g

Então, a função g é definida como uma função a duas sentenças:

  

− < +

−

− ≥ +

=

1 se , 1

1 se , 3 )

(

x x

(7)

Construir o gráfico de g(x) = |x+1|+2.

  

− < +

−

− ≥ +

=

1 se , 1

1 se , 3 )

(

x x

x g

x y = |x+1|+2

-3 4

-2 3

-1 2

0 3

y

x

g(x)=-x+1 g(x)=x+3

-1 2

0 EXEMPLO 2

Observar que se f(x) = |x+1| e g(x) = |x+1|+2, então, g(x) = f(x)+2.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

y

x

g(x)=-x+1 g(x)=x+3

-1 2

0

f(x)=x+1

Deslocamento de cada ponto de g(x) em mais duas unidades

em relação à f(x) f(x)=-x-1

(8)

EXERCÍCIO 2

Construir o gráfico de g(x) = |x-1|+2.

EXERCÍCIO 2

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Observar que:

  

< +

−

≥ −

= −

1 se 1,

1 se , 1 | 1 |

x x

x

  

< +

+ −

≥ +

− =

1 se , 2 1

1 se , 2 1 )

(

x x

x g

  

< +

−

≥ +

=

1 se , 3

1 se , 1 )

(

x x

(9)

  

< +

−

≥ +

=

1 se , 3

1 se , 1 )

(

x x

x g

x y = |x-1|+2

-1 4

0 3

1 2

2 3

y

x

g(x)=-x+3 g(x)=x+1

1 2

0 EXERCÍCIO 2

Observar que se f(x) = |x-1| e g(x) = |x-1|+2, então, g(x) = f(x)+2.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

y

x

g(x)=-x+3 g(x)=x+1

1 2

0

Deslocamento de cada ponto de g(x) em mais duas unidades

em relação à f(x) EXERCÍCIO 2

(10)

EXEMPLO 3

Construir o gráfico de h(x) = |x+1|+ x - 1.

Observar que:

  

− < −

−

− ≥ +

= +

1 se 1,

1 se , 1 | 1 |

x x

x

  

− < −

+ − −

− ≥ −

+ + =

1 se , 1 1

1 se , 1 1 )

(

x x

x

x x

x x h

Então, a função h é definida como uma função a duas sentenças:

  

− < −

− ≥ =

1 se , 2

1 se , 2 ) (

x x x x

h

Construir o gráfico de h(x) = |x+1| + x - 1.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

  

− < −

− ≥ =

1 se , 2

1 se , 2 ) (

x x x x

h

x y = |x+1|+x-1

-3 -2

-2 -2

-1 -2

0 0

y

x

h(x)=-2

h(x)=2x

-1

(11)

EXERCÍCIO 3

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Observar que:

  

− < −

−

− ≥ +

= +

2 se 2,

2 se , 2 | 2 |

x x

x

  

− < −

+ − −

− ≥ −

+ + =

2 se , 1 2

2 se , 1 2 )

(

x x

x

x x

x x h

Então, a função h é definida como uma função a duas sentenças:

  

− < −

− ≥ +

=

2 se , 3

2 se , 1 2 ) (

x x x

(12)

Construir o gráfico de h(x) = |x+2| + x-1.

  

− < −

− ≥ +

=

2 se , 3

2 se , 1 2 ) (

x x x

x h

x y = |x+2|+x-1

-4 -3

-3 -3

-2 -3

-1 -1

y

x

h(x)=-3

h(x)=2x+1

-2

-3 0 EXERCÍCIO 3

EXEMPLO 4

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Observar que:

Assim:

-1/2 1

2x+1 -2x-1

-x+1 x-1

-1/2 1

-2x-1

-x+1

2x+1

-x+1 x-1 2x+1 Construir o gráfico de f(x) = |2x+1| + |x - 1|.

  

< +

−

≥ −

= −

1 se 1,

1 se , 1 | 1 |

x x

x

  

− < − −

− ≥ +

= +

2 / 1 se , 1 2

2 / 1 se , 1 2 | 1 2 |

x x

(13)

Então, a função f é definida como uma função a três sentenças: -1/2 1 -2x-1 -x+1 2x+1 -x+1 x-1 2x+1      − < + − − − < ≤ − + − + ≥ − + + = 2 / 1 se , 1 1 2 1 2 1 se , 1 1 2 1 se , 1 1 2 ) ( x x x x / x x x x x x f      − < − < ≤ − + ≥ = 2 / 1 se , 3 1 2 1 se , 2 1 se , 3 ) ( x x x / x x x x f EXEMPLO 4

Construir o gráfico de f(x) = |2x+1| + |x - 1|.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

(14)

EXEMPLO 5 Observar que: Assim: -1 -1/2 2x+1 -2x-1 -x-1 x+1 -1 -2x-1 -x-1 -2x-1 x+1 2x+1 Construir o gráfico de f(x) = |2x+1| + |x + 1|.

   − < − − − ≥ + = + 1 se 1, 1 se , 1 | 1 | x x x x x    − < − − − ≥ + = + 2 / 1 se , 1 2 2 / 1 se , 1 2 | 1 2 | x x x x x x+1 -1/2

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Então, a função f é definida como uma função a três sentenças:

(15)

Construir o gráfico de f(x) = |2x+1| + |x + 1|.

X y

-3 7

-2 4

-1 1

-1/2 1/2

0 2

1 5

y

x

f(x)=-x

f(x)=3x+2

2

1 0 -1/2 f(x)=-3x-2

4 EXEMPLO 5

    

− < − −

− < ≤ − −

− ≥ +

=

1 se , 2 3

2 / 1 1 se ,

2 / 1 se , 2 3 ) (

x x

x f

7

EXERCÍCIO 4

Construir o gráfico de f(x) = |x+1|+ |x-1|.

(16)

EXERCÍCIO 4

Construir o gráfico de f(x) = |x+1|+ |x-1|.

Observar que:    < + − ≥ − = − 1 se 1, 1 se , 1 | 1 | x x x x x    − < − − − ≥ + = + 1 se , 1 1 se , 1 | 1 | x x x x x Assim: -1 1 x+1 -x-1 -x+1 x-1 -1 1 -x-1 -x+1 x+1 -x+1 x-1 x+1

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Então, a função f é definida como uma função a três sentenças:

(17)

Construir o gráfico de f(x) = |x+1| + |x – 1|. X y -3 6 -2 4 -1 2 0 2 1 2 2 4

y

x

f(x)=x+2 f(x)=2x 2 1 0 -1 f(x)=-2x 6      − < − < ≤ − ≥ = 1 se , 2 1 1 se , 2 1 se , 2 ) ( x x x x x x f EXERCÍCIO 4 EXEMPLO 6

Construir o gráfico de g(x) = ||2x - 2| - 4|.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Analisar primeiramente |2x - 2| - 4:

   < + − ≥ − = − 1 se , 2 2 1 se , 2 2 | 2 2 | x x x x x    < − + − ≥ − − = 1 se , 4 2 2 1 se , 4 2 2 ) ( x x x x x g

(18)

Construir o gráfico de g(x) = |2x-2|-4.    < − − ≥ − = 1 se , 2 2 1 se , 6 2 ) ( x x x x x g

x y = |2x-2|-4

-1 0 0 -2 1 -4 2 -2

y

x

g(x)=-2x-2 g(x)=2x-6 -4 1 0 EXEMPLO 6

Mas, deseja-se construir o gráfico de g(x) = ||2x-2|-4|.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

   < − − ≥ − = 1 se ,| 2 2 | 1 se , | 6 2 | | ) ( | x x x x x g x |y| -1 0

0 |-2| = 2

1 |-4| = 4

2 |-2| = 2

(19)

y

x

g(x)=|-2x-2| g(x)=|2x-6| -4 1 0 EXEMPLO 6        − ≤ − − < < − + < ≤ + − ≥ − = 1 se , 2 2 1 1 se , 2 2 3 1 se , 6 2 3 se , 6 2 | ) ( | x x x x x x x x x g -1 3    < + − ≥ − = − 3 se , 6 2 3 se , 6 2 | 6 2 | x x x x x 4    − > + − ≤ − − = − − 1 se , 2 2 1 se , 2 2 | 2 2 | x x x x x EXERCÍCIO 5

(20)

EXERCÍCIO 5

Analisar primeiramente |2x - 2| - 2:

  

< +

−

≥ −

= −

1 se , 2 2

1 se , 2 2 | 2 2 |

x x

x

  

< −

+ −

≥ −

− =

1 se , 2 2 2

1 se , 2 2 2 ) (

x x

x g

  

< −

≥ −

=

1 se , 2

1 se , 4 2 ) (

x x

x g

Construir o gráfico de g(x) = |2x-2|-2.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

  

< −

≥ −

=

1 se , 2

1 se , 4 2 ) (

x x

x g

x y = |2x-2|-2

-1 2

0 0

1 -2

2 0

y

x

g(x)=2x-4 -2 g(x)=-2x 1

(21)

Mas, deseja-se construir o gráfico de g(x) = ||2x-2|-2|.    < − ≥ − = 1 se , | 2 | 1 se , | 4 2 | | ) ( | x x x x x g x |y| -1 2

0 |0| = 0

1 |-2| = 2

2 |0| = 0

y

x

g(x)=|-2x| g(x)=|2x-4| -2 2 0 EXERCÍCIO 5    < + − ≥ − = − 2 se , 4 2 2 se , 4 2 | 4 2 | x x x x x    > ≤ − = − 0 se , 2 0 se , 2 | 2 | x x x x x

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

(22)

Uma aplicação deℜ* em ℜ recebe o nome de função recíproca quando a cada x∈ ℜ* associa o elemento 1/x∈ ℜ. Isto é:

FUNÇÃO RECÍPROCA

f : ℜ*→ ℜ* x →1/x A função não está

definida para x = 0 ! Im = ℜ*(y≠0)

x y = 1/x

1/100 1/(1/100) = 100 1/10 1/(1/10) = 10 1 1/(1/1) = 1 10 1/(10) = 0.1 100 1/(100) = 0.01

y

x

-2 2

0 1 2 3

-1 1 3

-1 -2 -3 Hipérbole equilátera

Construir o gráfico de f(x) = 1/(x+1).

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

x y = 1/(x+1)

-11 -0.1

-3 -0.5

-2 -1

-1

-0 1

1 0.5

2 0.33

3 0.25

EXEMPLO 7

y

x

-2 2

0 1 2 3

-1 1 3

-1 -2 -3

(23)

Construir o gráfico de f(x) = 1/(x-1).

EXERCÍCIO 6

Construir o gráfico de f(x) = 1/(x-1).

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

x y = 1/(x-1)

-11 -0.08

-3 -0.25

-2 -0.33

-1 -0.5

0 -1

1

-2 1

EXERCÍCIO 6

y

x

-2 2

0 1 2 3

-1 1 3

-1 -2 -3

(24)

Construir o gráfico de f(x) = 1 + 1/x.

x y = 1+1/(x+1)

-11 0.90

-3 0.66

-2 0.5

-1 0

0

-1 2

2 1.5

3 1.33

11 1.90

EXEMPLO 8

Deslocamento em relação ao eixo x: y = 1

0 3

-1

y

x

-2 2

1 2 3 -1

1 -2

-3

Construir o gráfico de f(x) = -1 + 1/x.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

(25)

Construir o gráfico de f(x) = -1 + 1/x.

x y = -1+1/(x+1)

-11 -1-0.09=-1.09

-3 -1-0.25=-1.25

-2 -1-0.50=-1.50

-1 -1-1=-2

0

-1 -1+1=0

2 -1+0.50=-0.50

3 -1+0.33=-0.66

11 -1+0.09=-0.91

EXERCÍCIO 7

Deslocamento em relação ao eixo x: y = -1

0 3

-1

y

x

-2 2

1 2 3 -1

1 -2

-3

Construir o gráfico de f(x) = 1 + 1/( x + 1 ).

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

x y = 1+1/(x+1)

-11 -0.1+1 = 0.9

-3 -0.5+1 = 0.5

-2 -1+1 = 0

-1

-0 1+1 =2

1 0.5+1 = 1.5

2 0.33+1 =1.33

EXEMPLO 9

y

x

-2 2

0 1 2 3

-1 1 3

-1 -2 -3

Deslocamento em relação ao eixo y: x = -1

(26)

Construir o gráfico de f(x) = -1 + 1/( x - 1 ).

EXERCÍCIO 8

Construir o gráfico de f(x) = -1 + 1/( x - 1 ).

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

x y = 1+1/(x+1)

-11 -1-0.08 = -1.08 -3 -1-0.25 = -1.25 -2 -1-0.33 = -1.33

-1 -1-0.50=-1.50

0 -1-1 =-2

1

-2 -1+1 =0

3 -1+0.25 =-0.75

EXERCÍCIO 8

y

x

-2 2

0 1 2 3

-1 1 3

-1 -2 -3

Deslocamento em relação ao eixo y: x = 1

(27)

EXERCÍCIOS

(28)

EXERCÍCIOS

(29)

REFERÊNCIAS