UM MODELO DE OTIMIZAÇÃO ROBUSTA PARA O PROBLEMA INTEGRADO DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES E CORTE DE ESTOQUE COM CUSTOS INCERTOS

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UM MODELO DE OTIMIZAC¸ ˜AO ROBUSTA PARA O PROBLEMA INTEGRADO DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES E CORTE DE ESTOQUE

COM CUSTOS INCERTOS Douglas Jos´e Alem Junior

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computa¸cão Universidade de São Paulo – USP

Av. Trabalhador S˜ao-carlense, 400 – Caixa Postal 668 13560-970 – S˜ao Carlos – SP

dougalem@icmc.usp.br

Reinaldo Morabito

Departamento de Engenharia de Produ¸c˜ao Universidade Federal de S˜ao Carlos – UFSCar Via Washington Luiz, km. 235 – Caixa Postal 676

13565-905 – S˜ao Carlos – SP morabito@power.ufscar.br

RESUMO

Problemas integrados de dimensionamento de lotes e corte de estoque envolvem a deter-mina¸cão conjunta das decisões relativas à programa¸cão da produ¸cão em que o corte de estoque é um sub-processo que deve ser otimizado. Uma questão que surge ao modelar o PDLCE é como lidar com as incertezas que afetam ambos os problemas, pois a incerteza de um deles recai, inevitavelmente, sobre o outro. Motivado por essa questão, esse trabalho desenvolve um modelo matemático robusto para o PDLCE na situa¸cão em que os custos da fun¸cão objetivo são valores incertos. A formula¸cão robusta considera um parâmetro de controle da prote¸cão da fun¸cão ob-jetivo, que pode ser visto como um n´ıvel de aversão do decisor ao risco. Resultados numéricos confirmam que o valor da fun¸cão objetivo é deteriorada conforme a prote¸cão aumenta.

PALAVRAS-CHAVE: Dimensionamento de Lotes, Corte de Estoque, Otimiza¸c˜ao Robusta.

ABSTRACT

Integrated lot sizing and cutting stock problems involving decisions regarding the produc-tion planning in which the cutting stock stage must be optimized. One quesproduc-tion that arises in modeling the PDLCE is how to face it with the uncertainties that affect both problems, since the decisions are interdependent. Motivated by this question, this paper develops a robust mathe-matical model for the PDLCE where the costs of the objective function are uncertainty values. The robust formulation considers a parameter that controls the protection of the objective func-tion. This parameter can be seen as a risk aversion level of the decision maker. Numerical results confirmed that the value of the objective function is deteriorated as the protection increases. KEYWORDS: Lot Sizing, Cutting Stock, Robust Optimization.

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1. Introdu¸c˜ao

Nesse trabalho é apresentado um problema de dimensionamento de lotes integrado ao processo de corte de estoque (PDLCE). Esses tipos de problemas são comuns em indústrias papeleiras (Resp´ıcio e Captivo, 2002; Menon e Schrage, 2002; Correia et al., 2004; Poltronieri et al.) e moveleiras (Gramani e Fran¸ca, 2006; Silva et al., 2007), em que as decisões sobre os tamanhos dos lotes a serem produzidos relacionam-se às decisões do processo de corte de bobinas de papel e placas de madeira em itens menores demandados.

Uma questão que surge no PDLCE é como lidar com as incertezas que afetam as decisões do dimensionamento dos lotes e do corte de estoque. Como ambas as decisões são interdependentes, ´

e natural que a incerteza de um dos problemas recaia sobre o outro. Motivado por essa questão, esse trabalho propõe a utiliza¸cão de otimiza¸cão robusta para considerar o PDLCE com os custos da fun¸cão objetivo incertos.

No melhor do nosso conhecimento, não se tem trabalhos cient´ıficos que desenvolvem mo-delos matemáticos para o PDLCE com custos incertos. Porém, diversas aplica¸cões envolvendo problemas de planejamento agregado e cadeia de suprimentos na presen¸ca de incertezas têm sido publicadas, como Leung et al. (2006), Leung e Yue Wu (2004) e Bertsimas e Thiele (2006).

O presente trabalho está organizado da seguinte maneira. Na Se¸cão 2, o processo produtivo de uma indústria moveleira é brevemente descrito e um modelo matemático para representá-lo ´

e proposto. Na Se¸cão 3, desenvolve-se uma formula¸cão robusta para o PDLCE na presen¸ca de custos incertos. Na Se¸cão 4, uma heur´ıstica é proposta para resolver o problema. Na Se¸cão 5, alguns experimentos numéricos preliminares são mostrados. Na Se¸cão 6, discutem-se as considera¸cões finais e as perspectivas de trabalhos futuros.

2. Formula¸c˜ao matem´atica para o problema integrado

O processo de produ¸cão considerado consiste em cortar placas retangulares para a produ¸cão de pe¸cas necessárias para compor produtos (armários, camas, mesas, cadeiras, entre outros) de uma indústria moveleira. No processo de programar a produ¸cão, é preciso definir uma carteira de pedidos para um horizonte de planejamento discreto e finito e transformá-la numa demanda interna por pe¸cas. A matéria-prima é cortada na máquina seccionadora e origina as pe¸cas dos produtos finais demandados. Em seguida, as pe¸cas são furadas e prossegue-se com ou-tros estágios, os quais não serão considerados na modelagem por não serem considerados como gargarlos do processo de produ¸cão.

Sejam M , J , T , S e Pe os conjuntos de produtos, padrões de corte, per´ıodos de tempo, espessuras das placas e tipos de pe¸cas em cada placa de espessura e. Os conjuntos são indexados por i, j, t, e, pe, respectivamente. Os parâmetros e as variáveis de decisão do modelo matemático são dados a seguir.

Parˆametros

cit = custo de produzir uma unidade do produto i no per´ıodo t ; h+_it = custo de estocar uma unidade do produto i no per´ıodo t ;

h−_it = custo de atrasar a produ¸c˜ao de uma unidade do produto i no per´ıodo t ; cpet = custo da placa de espessura e no per´ıodo t ;

csjet = custo de prepara¸c˜ao para cortar o padr˜ao de corte j na placa de espessura e no per´ıodo t ;

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apjet = quantidade de pe¸cas do tipo p no padr˜ao de corte j da placa de espessura e no per´ıodo t ;

dit = demanda do produto i no per´ıodo t ;

rpi = quantidade de pe¸cas do tipo p necess´arias para compor uma unidade do produto i ; vjet = tempo para cortar uma placa de espessura e de acordo com o padr˜ao de corte j no per´ıodo t ;

tsjet = tempo de prepara¸c˜ao da serra para cortar o padr˜ao de corte j na placa de espessura e no per´ıodo t ;

bpet = tempo para furar uma pe¸ca do tipo p de espessura e no per´ıodo t ; capSt = capacidade regular da serra de corte no per´ıodo t ;

capS_to = capacidade extra da serra de corte dispon´ıvel no per´ıodo t ; capFt = capacidade da furadeira no per´ıodo t ;

Q =número suficientemente grande. Variáveis de decisão

xit = quantidade do produto i produzido no per´ıodo t ; I_it+ = quantidade do produto i estocado no final do per´ıodo t ; I_it− = quantidade do produto i em falta no per´ıodo t ;

yjet = quantidade de placas de espessura e cortadas segundo o padrão de corte j no per´ıodo t ; zjet = indica se a serra é utilizada para cortar o padrão de corte j na placa de espessura e no per´ıodo t ;

Ot = quantidade de horas extras de serra utilizadas no per´ıodo t ;

O PDLCE ´e ent˜ao formulado como o seguinte programa inteiro-misto: minimizar Φ = X i∈M X t∈T citxit+ h+_itI_it++ h−_itI_it− + X e∈S X j∈J X t∈T

(cpetyjet+ csjetzjet) + X t∈T cotOt (1) sujeito a: xit+ I_i,t−1+ − I_it++ I_it−− I_i,t−1− = dit i ∈ M, t ∈ T (2) I_i0+= I_i0−= 0 i ∈ M (3) X j∈J X t∈T apjetyjte≥ X i∈M rpixit p ∈ Pe, e ∈ S (4) X e∈S X j∈J

(vjetyjet+ tsjetzjet) ≤ capSt+ Ot t ∈ T (5)

Ot≤ capSto t ∈ T (6) X e∈S X p∈P X j∈J

bpetapjetyjet≤ capFt t ∈ T (7)

yjet ≤ Qzjet j ∈ J, e ∈ S, t ∈ T (8) Ot∈ R+ t ∈ T (9) xit, Iit+, I − it ∈ Z+ i ∈ M, t ∈ T (10) yjet ∈ Z+ j ∈ J, e ∈ S, t ∈ T (11) zjet∈ {0, 1} j ∈ J, e ∈ S, t ∈ T. (12)

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A fun¸cão objetivo (1) visa minimizar o balan¸co entre os custos de produ¸cão, de estoque, atrasos, perda de material, prepara¸cão e horas extras utilizadas pela serra. As restri¸cões (2) e (3) são as equa¸cões de balanceamento de estoque dos produtos finais e a condi¸cão inicial para os estoques e faltas, respectivamente. As restri¸cões (4) asseguram que a demanda interna de todas as pe¸cas seja satisfeita. As restri¸cões (5) garantem que a capacidade total de serra não seja ultrapassada. As restri¸cões (6) limitam a disponibilidade extra da serra. As restri¸cões (7) garantem que a capacidade da furadeira seja respeitada. As restri¸cões (8) estão relacionadas à prepara¸cão da máquina de corte. Finalmente, as restri¸cões (9), (10), (11) e (12) são referentes aos dom´ınios das variáveis de decisão.

3. Incertezas associadas aos custos do modelo integrado

Os custos da fun¸cão objetivo do modelo matemático (1)-(12) apresentam incertezas devido a vários fatores, como a falta de dados históricos para estimativas mais precisas, mudan¸cas econômicas, entre outros. Na maioria das aplica¸cões, os custos incertos são substitu´ıdos por valores médios ou valores que indicam situa¸cões de pior-caso. Tais abordagens podem não são ser muito adequadas: de um lado, solu¸cões de valores médios não necessariamente representam o problema tratado; por outro lado, situa¸cões de pior-caso são muito conservadoras.

Para lidar com os custos incertos, esse trabalho propõe a utiliza¸cão de otimiza¸cão robusta. Nesse contexto, mesmo uma perspectiva de pior caso não leva a solu¸cões muito conservadoras, pois a abordagem adotada permite ao decisor controlar a incorpora¸cão de incertezas ao modelo. Considere que cit, h+_it, h−_it, csjet, cpet e cot sejam variáveis aleatórias pertencentes aos intervalos: [cit, cit+ ˆcit], h h+_it, h+_it + ˆh+_it i , h h−_it, h−_it+ ˆh−_it i

, [csjet, csjet+ ˆcsjet], [cpet, cpet+ ˆcpet] e [cot, cot+ ˆcot], respectivamente. Os dados indicados com o s´ımbolo ‘til’ representam os desvios em rela¸cão aos valores nominais. Esses desvios são necessariamente não-negativos, uma vez que o interesse é controlar a deteriora¸cão da fun¸cão objetivo. Aplicando a abordagem de otimiza¸cão robusta descrita em Bertsimas e Sim (2003, 2004), a fun¸cão objetivo com custos incertos pode ser escrita como:

minimizar ˜Φ = X i∈M X t∈T citxit+ max Ωc X (i,t)∈Sc ˆ citxit+ X i∈M X t∈T h+_itI_it++ max Ω+_h X (i,t)∈S+_h ˆ h+_itI_it++X i∈M X t∈T h−_itI_it−+ + max Ω−_h X (i,t)∈S_h− ˆ h−_itI_it−+X j∈J X e∈S X t∈T

csjetzjet+ max

Ωcs X (j,e,t)∈Scs ˆ csjetzjet+ X j∈J X e∈S X t∈T cpetyjet+ + max Ωcp X (e,t)∈Scp ˆ cp_etyjet+ X t∈T cotOt+ max Ωco X t∈Sco ˆ cotOt, (13) em que • Ωc = {Sc|Sc ⊆ Jc, |Sc| ≤ Γc} e Jc= {(i, t)| ˆcit > 0}, • Ω+_h =S+ h|S + h ⊆ J + h, S_h+≤ Γ+_h e J_h+= n (i, t)| ˆh+_it > 0o, • Ω−_h =S_h−|S_h− ⊆ J_h−,S_h−≤ Γ−_h e J_h−= n (i, t)| ˆh−_it > 0 o , • Ω_cs = {Scs|Scs⊆ Jcs, |Scs| ≤ Γcs} e Jcs= {(j, e, t)| ˆcsjet > 0}, • Ω_cp= {Scp|Scp⊆ Jcp, |Scp| ≤ Γcp} e Jcp= {(e, t)| ˆcpet > 0}, • Ωco= {Sco|Sco⊆ Jco, |Sco| ≤ Γco} e Jco= {t| ˆcot> 0}.

Os parâmetros Γc, Γ+_h, Γ−_h, Γcs, Γcpe Γcorepresentam o n´ıvel de prote¸cão dos custos e são dados de entrada do problema. Por simplicidade de nota¸cão, em algumas partes do texto Γ será

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utilizado para representar o n´ıvel de prote¸cão. Esses parâmetros podem traduzir a aversão do decisor em rela¸cão ao risco, por exemplo. Se o decisor possuir alta aversão ao risco, ele desejará proteger-se contra todos os poss´ıveis aumentos dos custos ou, pelo menos, da maior parte deles. Assim, ele escolherá um Γ maior do que um decisor que tiver baixa aversão ao risco. Quando Γ = 0, as incertezas são ignoradas. Em contrapartida, a situa¸cão mais conservadora é obtida com Γ = |J |, i.e., todos os desvios dos custos são incorporados ao modelo.

A segunda parcela de (13) pode ser reescrita da seguinte maneira:

βc(xit, Γc)= max xit    X (i,t)∈Sc ˆ citxit: |Sc| ≤ Γc, Sc⊆ Jc    (14) = max zit    X (i,t)∈Jc ˆ citxitzit: X (i,t)∈Jc zit≤ Γc, 0 ≤ zit≤ 1, ∀(i, t) ∈ Jc    (15) = min ρc it,λc    X (i,t)∈Jc ρc_it+ Γcλc : ρcit+ λc ≥ ˆcitxit, λc ≥ 0, ρcit≥ 0, ∀(i, t) ∈ Jc    . (16)

O problema (16) é obtido tomando-se o dual do problema (15). Como (15) é fact´ıvel e limitado para todo Γc ∈ [0, |Jc|], as fun¸cões objetivos coincidem. Procedendo de forma análoga para as demais fun¸cões max(·) em (13), o modelo robusto correspondente ao modelo (1)-(12) torna-se: minimizar ˜ Φ = Φ + X (i,t)∈Jc ρc_it+ X (i,t)∈J_h+ ρh+_it + X (i,t)∈J_h− ρh−_it + X (j,t,e)∈Jcs ρcs_jte+ X (e,t)∈Jcp ρcp_et+ + λcΓc+ λ+_hΓ+_h + λ−_hΓ−_h + λcsΓcs+ λcpΓcp+ λcoΓco sujeito a: λc+ ρcit≥ ˆcitxit ∀(i, t) ∈ Jc λ+_h + ρh+_it ≥ ˆh+_itI_it+ ∀(i, t) ∈ J_h+ λ−_h + ρh−_it ≥ ˆh−_itI_it− ∀(i, t) ∈ J_h− λcs+ ρcsjte≥ ˆcsjtezjte ∀(j, e, t) ∈ Jcs λcp+ ρcpet ≥ ˆcpetyjet ∀(e, t) ∈ Jcp λco+ ρcot ≥ ˆcotOt ∀t ∈ Jco ρc_it∈ R+ ∀(i, t) ∈ Jc ρh+_it ∈ R+ ∀(i, t) ∈ J_h+ ρh−_it ∈ R+ ∀(i, t) ∈ Jh− ρcs jte ∈ R+ ∀(j, e, t) ∈ Jcs ρcp_et ∈ R+ ∀(e, t) ∈ Jcp ρco_t ∈ R+ ∀t ∈ Jco λc, λ+_h, λ−_h, λcs, λcp, λco∈ R+ (2) − (12). (17) 4. Método de Solu¸cão

Nessa se¸cão, apresenta-se uma heur´ıstica para resolver exemplos reais do problema (16). A heur´ıstica é baseada na relaxa¸cão linear das variáveis yjete das variáveis zjet, no arredondamento

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e fixa¸cão de variáveis. A implementa¸cão e a execu¸cão do procedimento foram feitas no software GAMS/CPLEX (Brooke et al., 2004). A seguir, são descritos os passos da heur´ıstica.

Passo 1. Resolva o problema (16) com yjet∈ Z+ e 0 ≤ zjet ≤ 1, para j ∈ J, e ∈ S, t ∈ T . Passo 2. Fa¸ca ¯yjet:= dyjete, para j ∈ J, e ∈ S, t ∈ T .

Passo 3. Resolva o problema (16) com ¯yjet fixado no valor arredondado e zjet com seu dom´ınio original, isto ´e, zjet∈ {0, 1}.

Esse procedimento não tem a garantia de encontrar solu¸cões fact´ıveis, principalmente em problemas com as capacidades de serra e de furadeira restritas. Porém, a heur´ıstica foi capaz de resolver todos os exemplos propostos em menos de 1 segundo. Para testar a sua qualidade, os gaps em rela¸cão à relaxa¸cão linear do problema (16) foram calculados. Tais resultados são discutidos e analisados na próxima se¸cão.

5. Experimentos Num´ericos

Nessa se¸cão, são apresentados alguns resultados numéricos relacionados à resolu¸cão do problema (17).

5.1. Descri¸c˜ao dos Dados

Os parâmetros utilizados para testar a formula¸cão matemática proposta foram baseados nos dados de uma empresa de móveis de pequeno porte situada no pólo moveleiro de Votu-poranga, no interior do estado de São Paulo. Foram selecionados 5 produtos para compor a carteira de pedidos: armário de 3 portas, armário de 4 portas, armário de 5 portas, cômoda e criado. Para esse estudo, foram consideradas placas de MDF de 2,75 por 1,83 metros de 6 espessuras distintas: 3, 9, 12, 15, 20 e 25 mm. Os produtos são compostos por 61 tipos de pe¸cas obtidas pelo corte das placas, de acordo com 71 padrões de corte pré-definidos que são utilizados pela empresa. A maioria dos padrões de corte são guilhotinados em dois estágios. Os mesmos padrões de corte foram adotados para os 4 per´ıodos (semanas) do horizonte de planejamento.

Os tempos associados aos processos foram estimados em 372 s para cortar um padr˜ao de corte, 5 s para furar uma pe¸ca e 60 s para preparar a serra. As capacidades da serra e da furadeira foram assumidas iguais a 8,8 horas por dia, isto ´e, 158400 segundos por semana. A capacidade extra da serra foi estimada em 31680 segundos por per´ıodo, o que equivale a 8,8 horas de trabalho extra por semana.

Os custos unitários de produ¸cão (em unidades monetárias, u.m.) foram considerados os mesmos para todos os per´ıodos: 298, 52; 375, 48; 447, 82; 131, 56 e 63, 64 u.m., para os armários de 3, 4 e 5 portas, cômoda e criado, respectivamente. Os custos de estocagem foram considerados iguais a 5% dos custos de produ¸cão e a penalidade por demanda não atendida, 1000 u.m. Os custos de prepara¸cão da serra foram assumidos iguais a 10 u.m. Os custos das placas (por m2) foram admitidos iguais 6, 51; 12, 85; 16, 64; 19, 82; 26, 88 e 37, 83 u.m., para as placas de 3, 9, 12, 15, 20 e 25 mm, respectivamente. O custo de horas extras foi considerado igual a 1 u.m. por segundo utilizado. Os desvios dos custos de produ¸cão, custos das placas, custos de estoque e de falta foram considerados 10% dos seus valores nominais. Os desvios dos custos de prepara¸cão foram estimados em 10 u.m. e os desvios dos custos de horas extras de serra, 1 u.m.

Nesses experimentos, considerou-se uma carteira de pedidos real da empresa. Apenas a demanda do armário de 3 portas foi estimada, umas vez que não se tinha informa¸cão a respeito da

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mesma. A Tabela 1 ilustra a demanda dos produtos nos 4 per´ıodos do horizonte de planejamento.

Produto t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

Arm´ario 3 portas 69 79 19 5

Cˆomoda 80 32 5 1

Criado 85 71 19 7

Tabela 1: Demanda dos produtos nos 4 per´ıodos.

Para analisar o impacto que o aumento do n´ıvel de prote¸cão de cada custo ocasiona no valor da fun¸cão objetivo do problema (17), resolveu-se o problema determin´ıstico em que todos os parâmetros de prote¸cão são nulos e realizaram-se 7 testes, como ilustra a Tabela 2:

Teste Γc Γ+h Γ − h Γcs Γcp Γco 1 [1,20] 0 0 0 0 0 2 0 [1,20] 0 0 0 0 3 0 0 [1,20] 0 0 0 4 0 0 0 [1,100] 0 0 5 0 0 0 0 [1,30] 0 6 0 0 0 0 0 [1,4] 7 [1,20] [1,20] [1,20] [1,50] [1,30] [1,4]

Tabela 2: Testes realizados.

O Teste 1, por exemplo, foi resolvido para Γc = 1, 2, · · · , 20, mantendo-se os outros n´ıveis de prote¸cão iguais a zero. O Teste 7 considerou 10 exemplares com n´ıveis de prote¸cão gerados aleatoriamente a partir de uma distribui¸cão uniforme.

5.2. An´alise dos Resultados

Os gaps foram calculados com base na diferen¸ca entre os limitantes superiores fornecidos pela heur´ıstica proposta e os limitantes inferiores dados pela relaxa¸cão linear do problema (16). O problema determin´ıstico gerou uma fun¸cão objetivo igual a 394826,4 u.m., e um gap de 3,126%. A introdu¸cão das incertezas nos custos cit, h−_it, csjet e cpet ocasionou uma deteriora¸cão no valor da fun¸cão objetivo do problema determin´ıstico, enquanto as incertezas associadas aos custos h+_it e cot não a influenciou. A Tabela 3 mostra o valor da fun¸cão objetivo sob máxima prote¸cão (F o∗), o respectivo valor Γ∗ e o máximo valor poss´ıvel para o n´ıvel de prote¸cão |Γ|. Em nenhum teste foi preciso considerar o n´ıvel de prote¸cão máximo para atingir a máxima deteriora¸cão da fun¸cão objetivo. O incremento da fun¸cão objetivo sob máxima prote¸cão é apresentado na quarta coluna da Tabela 3. No pior caso, houve uma deteriora¸cão no valor da fun¸cão objetivo de 4%, quando apenas o custo h−_it varia. Quando todos os custos variam, o aumento da fun¸cão objetivo é 7,11%, contra 30% que os parâmetros podem aumentar em média. Os gaps máximos e m´ınimos são explicitados nas duas últimas colunas da Tabela 3. Em média, o gap obtido é 0,8%.

Em média, apenas 30% da capacidade da furadeira foi utilizada. A capacidade regular da serra, em contrapartida, foi utilizada em sua totalidade na maioria dos exemplos executados. Além disso, cerca de 8% da capacidade extra da serra foi utilizada por per´ıodo. Por esses resultados, pode-se notar que a capacidade da furadeira está folgada, considerando os exemplos especificados. Quanto à serra, fica evidente que sua capacidade regular está restrita, pois é preciso usar cerca de 8% da capacidade extra.

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Embora o valor da fun¸cão objetivo seja monotonicamente não-decrescente com Γ, os in-crementos incorridos no valor da fun¸cão objetivo diminuem. Essa é uma caracter´ıstica da for-mula¸cão robusta adotada e não do problema considerado. As Figuras 1, 2, 3, 4 e 5 ilustram o comportamento do valor da fun¸cão objetivo com o aumento do n´ıvel de prote¸cão.

F o∗ |Γ| Γ∗ Varia¸c˜ao% Gap-Max Gap-Min

Teste 1 404275,1 20 14 2,39 0,811 0,790 Teste 2 394826,4 20 − − 0,809 0,809 Teste 3 404275,1 20 4 4,08 0,795 0,770 Teste 4 395296,4 1704 47 0,119 0,925 0,811 Teste 5 404275,1 30 14 2,39 0,811 0,790 Teste 6 394826,4 4 − − 0,809 0,809 Teste 7 422879,0 − 47 7,11 0,864 0,781

Tabela 3: Resultados dos testes realizados.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 394500 396000 397500 399000 400500 402000 403500 405000 Função objetivo Gama

Figura 1: Impacto da incerteza nos

custos cit. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 394500 396000 397500 399000 400500 402000 403500 405000 406500 408000 409500 411000 Função Objetivo Gama

custos h−_it. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 394800 394900 395000 395100 395200 395300 Função objetivo Gama

custos csjet. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 394500 396000 397500 399000 400500 402000 403500 405000 Função objetivo Gama

custos cpet. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 392500 395000 397500 400000 402500 405000 407500 410000 412500 415000 417500 420000 422500 425000 Função objetivo Gama

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6. Considera¸c˜oes Finais

Nesse trabalho, apresentou-se um modelo matemático robusto para o PDLCE na situa¸cão em que os custos da fun¸cão objetivo são variáveis aleatórias pertencentes a um intervalo pr´ e-definido. Um exemplo baseado em dados reais foi resolvido a partir de uma heur´ıstica simples. Para analisar o impacto das incertezas no valor da fun¸cão objetivo do problema determin´ıstico, foram realizados alguns testes computacionais. Para os exemplos considerados nesse trabalho, observou-se que, conforme o parâmetro de robustez Γ aumenta, o valor da fun¸cão objetivo deteriora-se (aumenta, no caso do problema tratado ser de minimiza¸cão). Como trabalhos futuros, pretende-se realizar experimentos computacionais adicionais com dados de custos mais realistas e propor uma formula¸cão matemática robusta para o PDLCE que considere as incertezas dos tempos de processamento e da demanda.

Agradecimentos

Os autores agradecem `a S´ılvia Maria Pereira dos Santos por gentilmente disponibilizar alguns dados referentes ao processo produtivo da empresa moveleira. Este trabalho foi desenvolvido com suporte financeiro parcial da FAPESP e CNPq.

Referˆencias

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