EXAME UNIFICADO DAS P ´OS-GRADUAC¸ ˜OES EM F´ISICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2016-1
Primeiro Semestre de 2016 - 09 de novembro de 2015
LEIA COM ATENC
¸ ˜
AO.
(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.) A PROVA ´E COMPOSTA DE 5 BLOCOS:
Bloco 1: Mecˆanica Cl´assica
Bloco 2: Ondas, Fluidos e Termodinˆamica Bloco 3: Eletromagnetismo
Bloco 4: Ondas Eletromagn´eticas, ´Otica e F´ısica Moderna Bloco 5: Mecˆanica Quˆantica
• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutorado devem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecˆanica Quˆantica).
• A escolha do bloco que N ˜AO ser´a corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto do caderno de respostas.
• Cada bloco cont´em 3 quest˜oes de m´ultipla escolha e uma quest˜ao discursiva.
• Duas respostas erradas a quest˜oes de m´ultipla escolha cancelam uma resposta correta a outra quest˜ao de m´ultipla escolha, dentro do universo de 12 quest˜oes de m´ultipla escolha dos 4 blocos escolhidos.
• Respostas em branco n˜ao tem nenhum efeito sobre a corre¸c˜ao das outras quest˜oes.
BLOCO 1: Mecˆ
anica Cl´
assica
M´
ultipla escolha
Problema 1: Um foguete se encontra distante de qualquer fonte de potencial gravitacional de tal forma que o sistema pode ser considerado isolado. Sabendo que este foguete estava inicialmente parado e depois seus motores s˜ao ligados expelindo gases a uma velocidade constante em rela¸c˜ao ao foguete podemos afirmar que:
a) O foguete se move no sentido oposto ao dos gases ejetados, assim como o centro de massa do sistema. b) O foguete se move no sentido oposto ao dos gases ejetados. No entanto o centro de massa do sistema
n˜ao se move.
c) A energia cin´etica do foguete aumenta, logo n˜ao existe conserva¸c˜ao do momento.
d) O foguete se move no sentido oposto ao dos gases ejetados. No entanto o centro de massa do sistema n˜ao se move, embora n˜ao exista conserva¸c˜ao do momento.
Problema 2: Em um sistema cl´assico unidimensional temos uma part´ıcula de massa m sujeita a um potencial da forma V (x) = xa4 −
b
x2 onde a > 0 e b > 0, como se mostra na Figura 1. ´E correto dizer que:
Figura 1: Problema 2.
a) A part´ıcula pode se mover desde x = −∞ at´e x = ∞, dependendo apenas da energia total.
b) A part´ıcula nunca vai ser observada na origem sendo imposs´ıvel transitar ao longo de todos os valores de x, independente do valor de sua energia.
c) Existem dois pontos de m´ınimo no potencial e uma part´ıcula com energia suficiente pode passar de um m´ınimo a outro.
Problema 3: Um sistema estelar isolado ´e constitu´ıdo apenas por duas estrelas de raios idˆenticos. A massa da estrela mais densa ´e cerca de 3 vezes a massa da estrela menos densa e elas interagem gravitacionalmente. Sabendo que seu movimento ´e limitado, ou seja, que as estrelas tem um afastamento m´aximo e tornam a se aproximar de forma peri´odica, determine qual das afirma¸c˜oes ´e verdadeira. a) A estrela menos densa tem uma ´orbita el´ıptica em torno da estrela mais densa.
b) O movimento pode ser compreendido como correspondendo a uma ´orbita el´ıptica da massa reduzida em torno da estrela mais densa.
c) O movimento pode ser compreendido como correspondendo a uma ´orbita el´ıptica da massa reduzida em torno do centro de massa do sistema.
d) Como o centro de massa n˜ao necessariamente se encontra sobre qualquer uma das estrelas ´e imposs´ıvel determinar qual a trajet´oria realizada em qualquer tipo de referencial ou sistema de coordenadas.
Discursiva
Problema 4: A Figura 2 mostra duas configura¸c˜oes distintas de um sistema de dois corpos com massas m1 e m2, com m2 > m1/2. Na configura¸c˜ao inicial (i) o sistema ´e solto com velocidade inicial
nula quando as distˆancias ao teto s˜ao l1 e l2. Seja ˆj o vetor unit´ario no eixo y de um referencial inercial
O, como se mostra na Figura 2. Suponha que o fio ´e inextens´ıvel, e que tanto o fio quanto as polias tˆem massa desprez´ıvel.
a) Qual ´e a rela¸c˜ao entre as velocidades do dois corpos?
b) Determine as velocidades ~v1 e ~v2 dos dois corpos, depois que o corpo de massa m2 desceu uma
distˆancia y2 (configura¸c˜ao (ii)).
c) A partir de seus resultados, calcule as acelera¸c˜es ~a1 e ~a2 dos dois corpos.
BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinˆ
amica
M´
ultipla escolha
Problema 5: Um sistema termodinˆamico, inicialmente em temperatura absoluta T1, cont´em uma
massa m de ´agua com calor espec´ıfico c. Calor ´e adicionado at´e que a temperatura sobe para T2. A
varia¸c˜ao de entropia da ´agua ´e: a) 0
b) T2 - T1
c) mc ln(T2 - T1)
d) mc ln(T2 / T1)
Problema 6: A tela do oscilosc´opio (Figura 3) exibe duas ondas senoidais de mesma frequˆencia. A varredura horizontal do oscilosc´opio est´a definida para 100 ns/cm e os ganhos verticais dos canais 1 e 2 s˜ao definidos em 2 V/cm cada um. O n´ıvel de tens˜ao-zero de cada canal ´e dada na direita da figura. A diferen¸ca de fase entre as duas ondas ´e aproximadamente:
a) 45o b) 75o c) 120o d) 180o
Figura 3: Problema 6.
Problema 7: Um fluido incompress´ıvel de densidade ρ flui atrav´es de um tubo horizontal de raio r e, em seguida, passa atrav´es de uma constri¸c˜ao de raio r/2. Se o fluido tem press˜ao P0 e velocidade v0
a) menor do que P0 e depende da velocidade na constri¸c˜ao e da velocidade antes da constri¸c˜ao.
b) menor do que P0 e n˜ao depende da velocidade na constri¸c˜ao. Depende apenas da press˜ao externa
sobre a constri¸c˜ao.
c) igual a P0, porque o fluido ´e incompress´ıvel.
d) maior do que P0 e depende da velocidade na constri¸c˜ao e da velocidade antes da constri¸c˜ao.
Discursiva
Problema 8: A equa¸c˜ao de estado para um mol de di´oxido de carbono (CO2) de g´as ´e dado por:
p + a
V2
(V − b) = RT onde a e b s˜ao constantes positivas.
a) Calcule o trabalho W1 realizado por um mol de g´as em uma expans˜ao isot´ermica revers´ıvel a partir
de um volume inicial V1 para um volume final V2, a temperatura T .
b) Qual seria o trabalho W2 calculado para o mesmo processo, mas considerando o di´oxido de carbono
como um g´as ideal?
BLOCO 3: Eletromagnetismo
M´
ultipla escolha
Problema 9: Um bal˜ao esf´erico infl´avel cont´em um objeto de carga positiva fixado ao seu centro. De que modo varia o potencial el´etrico, o campo el´etrico e o fluxo de campo el´etrico total na superf´ıcie do bal˜ao a medida que este se expande?
a) Todos os trˆes diminuem.
b) O potencial e campo el´etrico diminuem e o fluxo total aumenta. c) O potencial e campo el´etrico aumentam e o fluxo total diminui.
d) O potencial e campo el´etrico diminuem e o fluxo total permanece constante.
Problema 10: Considere a distribui¸c˜ao de potencial el´etrico indicado no gr´afico abaixo (Figura 4):
Figura 4: Problema 10.
Qual das seguintes configura¸c˜oes de carga, indicadas abaixo (Figura 5), d´a origem ao potencial acima?
Problema 11: Considere um pˆendulo suspenso no ponto P e contendo um disco met´alico na outra extremidade como se mostra na Figura 6. Dentro da regi˜ao A h´a um campo magn´etico externo −→Bext =
−|Bext|ˆz perpendicular ao plano de movimento do pˆendulo.
Figura 6: Problema 11.
Nota: θA´e o ˆangulo no qual o disco met´alico come¸ca a entrar na regi˜ao A.
Indique o gr´afico correto na Figura 7 com rela¸c˜ao ao campo magn´etico induzido no disco (−→Bind) ao longo
de meia oscila¸c˜ao.
Figura 7: Problema 11.
Discursiva
Problema 12: Considere o circuito da Figura 8.
a) Discuta qualitativamente qual ser´a a contribui¸c˜ao para o campo magn´etico no ponto P correspondente a cada segmento do circuito.
Figura 8: Problema 12.
c) Considere a situa¸c˜ao limite θ → 2π. Esboce o circuito nessa situa¸c˜ao e determine o novo campo magn´etico (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) no ponto P .
BLOCO 4: Ondas Eletromagn´
eticas, ´
Otica e F´ısica Moderna
M´
ultipla escolha
Problema 13: Os fenˆomenos chamados “altura aparente dos astros” e “miragem” s˜ao consequˆencias: a) da difus˜ao ou dispers˜ao da luz na atmosfera.
b) da forma esf´erica da Terra.
c) da varia¸c˜ao do ´ındice de refra¸c˜ao do ar com respeito a sua densidade. d) das grandes distˆancias entre os objetos e os olhos do observador.
Problema 14: A Figura 9 ilustra um experimento onde um feixe de luz atravessa a fronteira entre dois materiais, A e B, que possuem ´ındices de refra¸c˜ao nA e nB respectivamente, no sentido indicado
pelas setas da figura. O feixe de luz ´e transmitido atrav´es do material A, incidindo na interface entre os dois materiais fazendo um ˆangulo θA com a normal. O feixe emerge no material B formando um ˆangulo
θB com a normal e θA> θB.
Figura 9: Problema 14.
Podemos afirmar que:
(1) o ´ındice de refra¸c˜ao nA do material A ´e maior que o ´ındice de refra¸c˜ao nB do material B.
(2) a velocidade de propaga¸c˜ao da luz ´e menor no material B.
(3) os ˆangulos θA e θB est˜ao relacionados com os ´ındices de refra¸c˜ao nA e nB.
Escolha a alternativa correta.
b) As afirma¸c˜oes (1) e (3) est˜ao corretas. c) As afirma¸c˜oes (2) e (3) est˜ao corretas. d) Todas as afirma¸c˜oes est˜ao corretas.
Problema 15: Um astrˆonomo observou a luz proveniente de duas estrelas diferentes e concluiu que a temperatura da estrela A era maior que a temperatura da estrela B. Como pˆode o astrˆonomo ter chegado a esta conclus˜ao?
a) Observando a intensidade da luz emitida por cada estrela e atribuindo a temperatura mais alta `a estrela cuja a luminosidade ´e maior.
b) Observando o comprimento de onda emitido por cada estrela e atribuindo a temperatura mais alta `
a estrela que emite luz com maior comprimento de onda.
c) Observando o comprimento de onda emitido por cada estrela e atribuindo a temperatura mais alta `
a estrela que emite luz com menor comprimento de onda.
d) Observando o efeito Doppler e atribuindo a temperatura mais alta `a estrela com o maior desvio para o vermelho.
Discursiva
Problema 16: Uma fonte pontual de luz monocrom´atica de comprimento de onda λV est´a brilhando
atrav´es de duas fendas estreitas separadas por uma distˆancia d (d ´e da ordem de λV) iluminando um
anteparo que foi colocado a uma distˆancia D das fendas (D d) como se mostra na Figura 10.
a) Fa¸ca um diagrama esquem´atico do padr˜ao da intensidade da luz observada na tela.
b) Explique, apenas de forma qualitativa (n˜ao h´a necessidade de fazer as contas), por que observamos m´aximos e m´ınimos na tela.
c) Supondo que a distˆancia entre dois m´aximos de primeira ordem (centro do anteparo) para uma fonte de luz vermelha ´e ∆V e a distˆancia entre os dois primeiros m´aximos de primeira ordem da fonte de
luz azul ´e ∆A, calcule a raz˜ao ∆V/∆A em fun¸c˜ao dos comprimentos de onda λV e λA das fontes
BLOCO 5: Mecˆ
anica Quˆ
antica
(OBRIGAT ´ORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)
M´
ultipla escolha
Problema 17: Dois observ´aveis s˜ao ditos incompat´ıveis quando: a) eles n˜ao apresentam as mesmas simetrias.
b) os operadores associados a eles n˜ao comutam. c) eles n˜ao s˜ao associados `a mesma grandeza f´ısica. d) os operadores associados a eles comutam.
Problema 18: Uma part´ıcula de spin 1/2 passa por um detector, onde a componente Sz de seu spin ´e
medida, tendo valor Sz = ~/2. Em seguida, fazemos uma medida da componente Sx, obtendo Sx= ~/2.
Considere as seguintes afirma¸c˜oes:
(1) Uma nova medida de Sz levaria necessariamente a Sz = ~/2.
(2) Uma nova medida de Sx levaria necessariamente a Sx = ~/2.
(3) Uma nova medida de Sz levaria possivelmente a Sz = −~/2.
(4) Uma nova medida de Sx levaria possivelmente a Sx = −~/2.
Quais s˜ao as afirma¸c˜oes verdadeiras? a) apenas (1)
b) apenas (2) c) (1) e (4) d) (2) e (3)
Problema 19: Uma part´ıcula de massa m est´a sujeita a um potencial V (x) = mω2x2/2 (um oscilador harmˆonico simples unidimensional). Se ´e introduzida uma parede em x=0, de tal forma que V (x) = ∞ para x < 0 (sem alterar o potencial para x > 0), ent˜ao os n´ıveis de energia permitidos para o sistema s˜ao:
a) 0, ~ω/2, ~ω, ...
b) ~ω/2, 3~ω/2, 5~ω/2, ... c) 3~ω/2, 7~ω/2, 11~ω/2, ... d) ~ω, 2~ω, 3~ω, ...
Discursiva
Problema 20: Suponha que a fun¸c˜ao de onda abaixo est´a associada a uma part´ıcula de massa m sujeita a um potencial unidimensional. Sejam ainda C e x0 duas constantes reais positivas.
ψ(x) = C(x
2− x2
0) se −x0 < x < x0
0 se x < −x0 ou x > x0
a) ´E poss´ıvel mostrar que C e x0 satisfazem `a rela¸c˜ao C2 = (15/16)(1/x0)5. Indique qual o argumento
para chegar a este resultado. Apenas indique o argumento: neste item n˜ao ´e necess´ario fazer os c´alculos.
b) Calcule a incerteza do operador posi¸c˜ao ∆x =phx2i − hxi2.
c) Calcule a incerteza do operador momento linear ∆p.
d) Mostre explicitamente, utilizando os c´alculos anteriores, que o princ´ıpio da incerteza de Heisenberg ´
EXAME UNIFICADO DAS P ´OS-GRADUAC¸ ˜OES EM F´ISICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2016-1
First Semester 2016 - November 9
th, 2015
READ CAREFULLY.
THE EXAM CONSISTS OF 5 BLOCKS: Block 1: Classical Mechanics
Block 2: Waves, Fluids and Thermodynamics Block 3: Electromagnetism
Block 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern Physics Block 5: Quantum Mechanics
• All applicants must choose only 4 of the 5 blocks to solve. PhD candidates MUST choose the block 5 (Quantum Mechanics).
• The block that will NOT be corrected should be clearly registered in the cover sheet of the answer book.
• Each block consists of 3 multiple-choice questions and a discursive question.
• Two wrong answers to choice questions cancel one correct answer to another multiple-choice, within the universe of 12 multiple-choice questions of the 4 selected blocks.
• Blank answers will have no effect on the correction of other questions.
BLOCK 1: Classical Mechanics
Multiple-choice
Problem 1: A rocket is distant from any source of gravitational potential, such that the system can be considered isolated. Knowing that this rocket was initially at rest, and then its engines are turned on expelling gas at a constant speed relative to the rocket, we can say that:
a) The rocket moves in the opposite direction to the ejecting gas, as well as the center of mass of the system.
b) The rocket moves in the opposite direction to the ejecting gases. However the center of mass of the system is not moving.
c) The kinetic energy of the rocket increases, so there is no linear momentum conservation.
d) The rocket moves in the opposite direction to the ejecting gas. However the center of mass of the system does not move, although there is no momentum conservation.
Problem 2: In a one-dimensional classical system we have a particle of mass m subjected to a potential of the form V (x) = xa4 −
b
x2 where a > 0 and b > 0, as shown in Figure 1. It is correct to say that:
Figure 1: Problem 2.
a) The particle can move from x = −∞ to x = ∞ depending only on the total energy.
b) The particle will never be observed at the origin and it is impossible to move over all values of x regardless of its energy value.
c) There are two minima in the potential and a particle with enough energy would be able to pass from one minimum to another.
Problem 3: An isolated star system is composed only by two stars of identical radius. The mass of the denser star is 3 times the mass of the less dense and they interact gravitationally. Knowing that their movement is limited, i.e., the stars have a maximum distance and approach each other periodically, determine which of the statements is true:
a) The less dense star has an elliptical orbit around the denser star.
b) The movement can be understood as an elliptic orbit of the reduced mass around the denser star. c) The movement can be understood as an elliptic orbit of the reduced mass around the center of mass
of the system.
d) As the center of mass is not necessarily located in any of the stars, it is impossible to determine the trajectory performed on any type of referential or coordinate system.
Discursive
Problem 4: The Figure 2 shows two distinct configurations of a system of two bodies with masses m1
and m2, with m2 > m1/ 2. In the initial configuration (i) the system is released from rest with respect
to the inertial frame O. Let l1 and l2 be their respective distances from the ceiling. Let ˆj be the unit
vector on the y axis (see Figure 2). Assume the wire is inextensible and that both the wire and the pulleys have negligible masses.
a) What is the relation between the velocities of the two bodies?
b) Determine the velocities ~v1 and ~v2 of the two bodies, after the body of mass m2 came down a distance
y2 from the ceiling (configuration (ii)).
c) From the above result, evaluate the accelerations ~a1 and ~a2 of the two bodies.
BLOCK 2: Waves, Fluids and Thermodynamics
Multiple-choice
Problem 5: A thermodynamic system, initially at absolute temperature T1, contains a mass m of
water with specific heat capacity c. Heat is added until the temperature rises to T2. The change in
entropy of the water is: a) 0
b) T2 - T1
c) mc ln(T2 - T1)
d) mc ln(T2 / T1)
Problem 6: The oscilloscope screen (Figure 3) displays two sinusoidal waveforms of the same fre-quency. The horizontal sweep of the oscilloscope is set to 100 ns/cm and the vertical gains of channels 1 and 2 are each set to 2 V/cm. The zero-voltage level of each channel is given at the right in the figure. The phase difference between the two waveforms is about:
a) 45o b) 75o
c) 120o
d) 180o
Problem 7: An incompressible fluid of density ρ flows through a horizontal pipe of radius r and then passes through a constriction of radius r/2. If the fluid has pressure P0 and velocity v0 before the
constriction, the pressure in the constriction is:
a) lower than P0 and it depends on the velocity in the constriction and the velocity before the
constric-tion.
b) lower than P0 and it does not depend on the velocity in the constriction. It only depends on the
external pressure on the constriction.
c) equal to P0 because the fluid is incompressible.
d) higher than P0 and it depends on the velocity in the constriction and the velocity before the
con-striction.
Discursive
Problem 8: The state equation for a mole of carbon dioxide (CO2) gas is given by:
p + a
V2
(V − b) = RT where a and b are positive constants.
a) Calculate the work W1 done by one mole of gas in a reversible isothermal expansion from an initial
volume V1 to a final volume V2, at temperature T .
b) What would be the work W2 calculated for the same process but considering the carbon dioxide as
an ideal gas?
BLOCK 3: Electromagnetism
Multiple-choice
Problem 9: A spherical inflatable balloon contains a positively charged object in its center. As this balloon inflates, what happens to the electric potential, the electric field and the total electric field flux on the balloon surface? Suppose that the object remains at the center.
a) They all decrease.
b) The potential and electric field decrease while the total flux increases. c) The potential and electric field increase while the total flux decreases.
d) The potential and electric field decrease while the total flux remains constant.
Problem 10: Consider the electric potential distribution indicated in the following graph (Figure 4):
Figure 4: Problem 10.
What is the charge configuration shown in Figure 5 that produces this electric potential distribution?
Problem 11: Consider a pendulum held at P with a metallic disk at its extremity as shown in the Figure 6. In the region A there is an external magnetic field −→Bext = −|Bext|ˆz perpendicular to the
oscillation plane of the pendulum.
Figure 6: Problema 20.
Note: θA is the angle for which the metallic disk starts entering in region A.
Regarding the induced magnetic field on the metallic disk along half period, mark the correct answer in Figure 7.
Figure 7: Problem 11.
Discursive
Problem 12: Consider the circuit displayed in Figure 8.
a) Discuss in a qualitative way the contributions for the magnetic field at the point P from each circuit segment.
c) Consider the limit situation θ → 2π. Draw the new circuit in this situation and determine the new magnetic field (magnitude, direction and orientation) at the point P .
BLOCK 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern Physics
Multiple-choice
Problem 13: The phenomena called “apparent height of the stars” and “mirage” are direct conse-quences of:
a) diffusion or scattering of light in the atmosphere. b) the spherical shape of the earth.
c) the variation of the air refractive index with respect to its density. d) the large distances between the objects and the observer’s eyes.
Problem 14: In Figure 9, it is shown an experiment where a light beam crosses the boundary between two materials A and B, which have refractive indices nAand nB, respectively. The propagation direction
is indicated by the arrows in the figure. The light beam is transmitted through the material A, reaching the interface between the two materials at an angle θAto the normal. The beam emerges in the material
B forming an angle θB with the normal, and θA> θB.
Figure 9: Problem 14. Consider the following statements:
(1) The refractive index nA of material A is larger than the refractive index nB of the material B.
(2) The speed of light is smaller in material B.
(3) The angles θA and θB are related to the refractive indices nA and nB.
Choose the correct alternative:
c) Statements (2) and (3) are correct. d) All the statements are correct.
Problem 15: An astronomer observed the light coming from two different stars and found that the temperature of the star A was higher than the temperature of the star B. How could the astronomer have come to this conclusion?
a) By observing the intensity of light emitted by each star and assigning the highest temperature to the star with higher luminosity.
b) By observing the wavelength emitted by each star and assigning the highest temperature to the star that emits light with longer wavelength.
c) By observing the wavelength emitted by each star and assigning the highest temperature to the star that emits light with shorter wavelength.
d) By observing the Doppler effect and assigning the highest temperature to the star with the largest redshift.
Discursive
Problem 16: A monochromatic point source of wavelength λR is shining through two narrow slits
separated by a distance d (d is of the order of λR). The light source illuminates the screen which is
placed at a distance D from the slits (D d) as shown in Figure 10
Figure 10: Problem 16. a) Sketch the pattern of light intensity observed on the screen.
b) Explain only qualitatively (no need of calculations), why we observe high and low intensity peaks on the screen.
c) Let ∆Rbe the distance between the two first order maxima (at the center of the screen) for a red light
source, and ∆B the distance between the two first order maxima for a blue light source. Evaluate
BLOCK 5: Quantum Mechanics
Multiple-choice
Problem 17: Two observables are said to be incompatible when: a) they don’t present the same symmetries.
b) the operators associated to them do not commute. c) they are not associated to the same physical quantity. d) the operators associated to them commute.
Problem 18: A particle of spin 1/2 passes through a detector, in which the Sz component of its spin
is measured. The measured value is Sz = ~/2. Subsequently, a measurement of the Sx component is
performed, resulting in Sx = ~/2. Consider the following statements:
(1) A new Sz measurement would necessarily result in Sz = ~/2.
(2) A new Sx measurement would necessarily result in Sx = ~/2.
(3) A new Sz measurement would possibly result in Sz = −~/2.
(4) A new Sx measurement would possibly result in Sx = −~/2.
Which among the statements are true? a) only (1)
b) only (2) c) (1) and (4) d) (2) and (3)
Problem 19: A particle of mass m is subjected to a potential V (x) = mω2x2/2 (a unidimensional
simple harmonic oscilator). If a wall is introduced at x = 0, in such a way that V (x) = ∞ for x < 0 (with no modification of the potential for x > 0), then the allowed energy levels for the system are: a) 0, ~ω/2, ~ω, ...
b) ~ω/2, 3~ω/2, 5~ω/2, ... c) 3~ω/2, 7~ω/2, 11~ω/2, ... d) ~ω, 2~ω, 3~ω, ...
Discursive
Problem 20: Suppose that the following wavefunction is associated to a particle of mass m subjected to a unidimensional potential. Let C and x0 be two real positive constants.
ψ(x) = C(x
2− x2
0) if −x0 < x < x0
0 if x < −x0 or x > x0
a) It is possible to show that C and x0 satisfy the relation C2 = (15/16)(1/x0)5. Indicate the argument
that leads to this result. Just indicate the argument: in this item it is not necessary to perform the calculations.
b) Calculate the uncertainty of the position operator ∆x =phx2i − hxi2.
c) Calculate the uncertainty of the linear momentum operator ∆p.
d) Show explicitly, using the previous calculations, that the Heisenberg uncertainty principle is satisfied for this wavefunction.
