1) Determine a natureza da série + cosn n ) Determine o intervalo de convergência da seguinte série de potências. (x 1) n n3 n.

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

1◦ _{Ciclo em Engenharia Electromecˆanica}

1◦

Ciclo em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores Frequˆencia de C´alculo II – 1a _Frequˆencia

Ano Lectivo 2011/2012

23 de Abril de 2012 Dura¸c˜ao: 1h 45min

1) Determine a natureza da s´erie

+∞

X

n=1

cos n n2_{+ 2}.

2) Determine o intervalo de convergˆencia da seguinte s´erie de potˆencias

+∞

X

n=1

(x − 1)n n3n .

3) Seja f a fun¸c˜ao definida por

f(x, y) = ln(9 − x2− y2) +px2_{+ y}2_{− 1.}

a) Determine o dom´ınio de f e represente-o geometricamente.

b) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderˆencia e o derivado do dom´ınio f . c) Diga, justificando, se o dom´ınio de f ´e aberto, se ´e fechado e se ´e limitado.

4) Seja f : R2_{→ R a fun¸c˜ao definida por}

f(x, y) =    x2y x4_{+ y}2 se (x, y) 6= (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0). a) Calcule lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈A f(x, y) e lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈B f(x, y) com A=(x, y) ∈ R2_{: y = 0} e B =(x, y) ∈ R2_{: y = x}2 _.

b) O que pode concluir sobre a existˆencia de lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) e sobre a continuidade de f no ponto

(0, 0)?

c) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da fun¸c˜ao f no ponto (0, 0). 5) Seja f : R3_{→ R}2 _{a fun¸c˜ao dada por}

f(x, y, z) =x2+ 3y + z3,ex2+y. Determine a matriz jacobiana de f .

6) Seja f : R3→ R a fun¸c˜ao dada por

f(x, y, z) = x2+ sen(y + z2) + z4. a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule ∂

2_f

1) Determine a natureza da s´erie +∞ X n=1 cos n n2_{+ 2}. 1) Como 0 6     cos n n2_{+ 2}     = |cos n| n2_{+ 2} 6 1 n2 para qualquer n ∈ N e +∞ X n=1 1 n2 ´e convergente,

pelo crit´erio geral de compara¸c˜ao podemos concluir que a s´erie

+∞ X n=1     cos n n2_{+ 2}     ´e convergente, ou seja, a s´erie +∞ X n=1 cos n

n2_{+ 2} ´e absolutamente convergente.

Ora, as s´eries absolutamente convergentes s˜ao convergente e, consequentemente, a s´erie

+∞

X

n=1

cos n

n2_{+ 2} ´e convergente.

2) Determine o intervalo de convergˆencia da seguinte s´erie de potˆencias

+∞

X

n=1

(x − 1)n n3n .

2) Apliquemos `a s´erie dos m´odulos

+∞ X n=1     (x − 1)n n3n     = +∞ X n=1 |x − 1|n n3n o crit´erio de D’Alembert lim n→+∞ |x − 1|n+1 (n + 1)3n+1 |x − 1|n n3n = lim n→+∞ n3n_{|x − 1|}n+1 (n + 1) 3n+1_{|x − 1|}n = lim n→+∞ n n+ 1 1 3 |x − 1| = |x − 1| 3 .

Assim, se |x − 1| 3 <1 ⇔ |x − 1| < 3 ⇔ x − 1 < 3 ∧ x − 1 > −3 ⇔ x < 4 ∧ x > −2 ⇔ x ∈ ] − 2, 4[ a s´erie ´e convergente e se

|x − 1|

3 >1 ⇔ |x − 1| > 3

⇔ x − 1 > 3 ∨ x − 1 < −3 ⇔ x > 4 ∨ x < −2

⇔ x ∈ ] − ∞, −2[ ∪ ]4, +∞[ a s´erie ´e divergente.

Falta estudar a natureza da s´erie quando x = −2 e quando x = 4. Para x = 4 temos

+∞ X n=1 (4 − 1)n n3n = +∞ X n=1 3n n3n = +∞ X n=1 1 n.

isto ´e, quando x = 4 obtemos a s´erie harm´onica que ´e uma s´erie divergente. Quando x = −2 vem +∞ X n=1 (−2 − 1)n n3n = +∞ X n=1 (−3)n n3n = +∞ X n=1 (−1)n₃n n3n = +∞ X n=1 (−1)n1 n. Como lim n→+∞ 1 n = 0 e 1 n+ 1− 1 n = n− n − 1 n(n + 1) = − 1 n(n + 1) 60,

pelo crit´erio de Leibniz, a s´erie ´e convergente quando x = −2. Logo o intervalo de convergˆencia da s´erie +∞ X n=1 (x − 1)n 2n_{(n + 1)} ´e [−2, 4[.

3) Seja f a fun¸c˜ao definida por

f(x, y) = ln(9 − x2− y2) +px2_{+ y}2_{− 1.}

a) Determine o dom´ınio de f e represente-o geometricamente.

b) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderˆencia e o derivado do dom´ınio f . c) Diga, justificando, se o dom´ınio de f ´e aberto, se ´e fechado e se ´e limitado.

3a) O dom´ınio de f ´e o conjunto

Df =(x, y) ∈ R2: 9 − x2− y2 >0 ∧ x2+ y2− 1 > 0 . Como 9 − x2− y2 >0 ⇔ −x2− y2>−9 ⇔ x2+ y2 <9 e x2+ y2− 1 > 0 ⇔ x2+ y2>1, temos Df =(x, y) ∈ R2: x2+ y2 <9 ∧ x2+ y2 >1 =(x, y) ∈ R2_{: 1 6 x}2_{+ y}2 _{<9 .}

A representa¸c˜ao geom´etrica de Df ´e a seguinte:

x y 3 3 1 1 3b) int Df =(x, y) ∈ R2: x2+ y2 >1 ∧ x2+ y2 <9 ext Df =(x, y) ∈ R2: x2+ y2<1 ∨ x2+ y2 >9 fr Df =(x, y) ∈ R2: x2+ y2= 1 ∨ x2+ y2 = 9 Df =(x, y) ∈ R2: x2+ y2>1 ∧ x2+ y2 69 (Df) ′ =(x, y) ∈ R2_{: x}2_{+ y}2_{>1 ∧ x}2_{+ y}2 ₆₉

3c) Como int Df 6= Df, o dom´ınio de f n˜ao ´e um conjunto aberto. Tamb´em n˜ao ´e um conjunto

fechado pois Df 6= Df. Al´em disso, o dom´ınio de f ´e um conjunto limitado porque est´a contido

4) Seja f : R2_{→ R a fun¸c˜ao definida por} f(x, y) =    x2y x4_{+ y}2 se (x, y) 6= (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0). a) Calcule lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈A f(x, y) e lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈B f(x, y) com A=(x, y) ∈ R2_{: y = 0} e B=(x, y) ∈ R2_{: y = x}2 _.

b) O que pode concluir sobre a existˆencia de lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) e sobre a continuidade de f no ponto

(0, 0)?

c) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da fun¸c˜ao f no ponto (0, 0).

4a) Temos lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈A f(x, y) = lim x→0f(x, 0) = limx→0 x20 x4_{+ 0}2 = lim_x→0 0 x4 = lim_x→00 = 0 e lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈B f(x, y) = lim x→0f(x, x 2_{) = lim} x→0 x2x2 x4_{+ (x}2₎2 = lim_x→0 x4 x4_{+ x}4 = lim_x→0 x4 2x4 = lim_x→0 1 2 = 1 2. 4b) Como lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈A f(x, y) 6= lim (x,y)→(0,0) (x,y)∈B f(x, y), n˜ao existe lim (x,y)→0f(x, y)

e, consequentemente, a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua em (0, 0).

4c) Temos de calcular as derivadas paciais de primeira ordem de f no ponto (0, 0) por defini¸c˜ao:

∂f ∂x(0, 0) = limh→0 f(0 + h, 0) − f (0, 0) h = limh→0 h20 h4_{+ 0}2 − 0 h = limh→0 0 h4 h = limh→0 0 h = limh→00 = 0 e ∂f ∂y(0, 0) = limk→0 f(0, 0 + k) − f (0, 0) k = limk→0 02k 04_{+ k}2 − 0 k = limk→0 0 k2 k = limk→0 0 k = limk→00 = 0.

5) Seja f : R3_{→ R}2 _{a fun¸c˜ao dada por}

f(x, y, z) =x2+ 3y + z3,ex2+y. Determine a matriz jacobiana de f .

5) As derivadas parciais de f s˜ao ∂f ∂x(x, y, z) =  2x, 2x ex2+y, ∂f ∂y(x, y, z) =  3, ex2+y e ∂f ∂z(x, y, z) = 3z 2_,0
e a sua matriz jacobiana ´e a matriz

J_(x,y,z)(f ) =   2x 3 3z2 2x ex2_+y ex2_+y 0  .

6) Seja f : R3_{→ R a fun¸c˜ao dada por}

f(x, y, z) = x2+ sen(y + z2) + z4. a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule ∂

2_f

∂y∂z.

6a) O gradiente de f ´e dada por

(∇f )(x, y, z) = ∂f ∂x(x, y, z), ∂f ∂y(x, y, z), ∂f ∂z(x, y, z)  = 2x, cos(y + z2), 2z cos(y + z2) + 4z3
.

6b) Na al´ınea anterior vimos que ∂f ∂z(x, y, z) = 2z cos(y + z 2_{) + 4z}3_, pelo que ∂2f ∂y∂z(x, y, z) = −2z sen(y + z 2_).