Linhas de Transmissão

(1)

Linhas de Transmiss˜

ao

Prof. Carlo Requi˜ao da Cunha, Ph.D. April 6, 2018

1 Cabo Coaxial

1.1 Capacitˆancia Isolante de proteção Malha condutora Isolante Condutor x 2r R x 2r R dx a) b) c)

Figure 1: a) Cabo coaxial com seus componentes, b) representa¸c˜ao dos con-dutores do cabo coaxial e sua superf´ıcie Gaussiana, e c) mesma representa¸c˜ao com caminho Amperiano.

(1) Z E · dA = Q 2πxhE = Q E = Q 2πxh

(2)

(2) V = Z R r E · dx = Z R r Q 2πxhdx = Q 2πhln(x) R r = Q 2πhln R r 2πh lnR_r V = Q (3) C h = 2π lnR_r 1.2 Indutˆancia (4) I H · dl = i H2πx = i B = µi 2πx (5) Φ = Z B · dA = Z R r µi 2πxhdx = µih 2π ln x R r = µih 2π ln R r (6) ∆V = −dΦ dt = −µh 2πln R r di dt = −Ldi dt

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(7) L h = µ 2πln R r 1.3 Impedˆancia Caracter´ıstica

Z0 = r L C =   µ 2πln R r 2π lnR_r   1/2 = µ 2πln R r lnR_r 2π !1/2 (8) Z0= ln(R/r) 2π r µ

2 Par Tran¸

cado

2.1 Capacitˆancia (9) EL= λ 2π ˆ x r ER= (−λ) 2π (−ˆx) d − r E = EL+ ER= λ 2π 1 r + 1 d − r ˆ x

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(10) ∆V = Z d−a2 a1 E · dr = Z d−a2 a1 λ 2π 1 r + 1 d − r dr = λ 2π[ln r − ln(d − r)] d−a2 a1 = λ 2π lnd − a2 a1 − ln a2 d − a1 = λ 2πln (d − a2)(d − a1) a1a2 2π ln(d−a2)(d−a1) a1a2 ∆V = Q l (11) C l = 2π ln(d−a2)(d−a1) a1a2 2.2 Indutˆancia r a1 a2 d d-r B E λ _dr λ h

Figure 2: Par tran¸cado (topo) e representa¸cão mostrando principais parâmetros para cálculo.

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Para um condutor: (12) I H1· dl = i H12πr = i B1 = µi 2πr.

Mas como temos dois condutores com correntes em sentidos opostos, obtemos:

(13) B = B1+ B2=

µi πr. O fluxo entre os condutores ´e:

(14) Φ = Z d−a2 a1 B · dA = Z d−a2 a1 µi πrhdr = µih π ln d − a2 a1 (15) V = −dΦ dt = −µh π ln d − a2 a1 di dt (16) L h = µ πln d − a2 a1

2.3 Impedˆancia Caracter´ıstica

(17) Z0= r L C = v u u t µ πln d − a2 a1 ln(d−a2)(d−a1) a1a2 2π !

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3 Linha sem Perdas

Equa¸c˜oes derivadas por Oliver Heaviside ∼ 1880 para tratar de linhas de transmiss˜ao: LΔ i(x,t) v(x,t) v(x+Δ,t) i(x+Δ,t) Δ Δ CΔ

Figure 3: Modelo para linha de tranmissão ilustrando um elemento diferen-cial, tensões, correntes e a capacitância e indutância por unidade de com-primento C e L.

L é a indutância por unidade de comprimento e C é a capacitância por unidade de comprimento. (18) lim ∆→0v(x, t) − v(x + ∆, t) = lim∆→0∆L ∂i(x, t) dt − lim ∆→0 v(x + ∆, t) − v(x, t) ∆ = L ∂i(x, t) dt −∂v(x, t) ∂x = L ∂i(x, t) dt , e

(7)

(19)

lim

∆→0i(x, t) − i(x + ∆, t) = lim∆→0∆C

∂v(x + ∆, t) ∂t − lim ∆→0 i(x + ∆, t) − i(x, t) ∆ = C ∂v(x + ∆, t) ∂t −∂i(x, t) ∂x = C ∂v(x, t) ∂t ,

que são conhecidas como equa¸cões do telégrafo. Juntando ambas as equa¸cões obtemos:

(20) −∂ 2_{v(x, t)} ∂x2 = L ∂ ∂t ∂i(x, t) ∂x = L∂ ∂t −C∂v(x, t) ∂t = −LC∂ 2_{v(x, t)} ∂t2 Assumindo sinais da forma:

(21) v(x, t) = v0e −j(ωt−kx) i(x, t) = i0e−j(ωt−kx), obtemos: (22) ∂g(x, t) ∂x = kjg(x, t) ∂2_{g(x, t)} ∂x2 = −k 2_{g(x, t)} ∂g(x, t) ∂t = −jωg(x, t) ∂2g(x, t) ∂t2 = −ω 2_{g(x, t).}

Assim, da Eq. 20 obtemos uma rela¸c˜ao de disper¸c˜ao:

(23) k2v(x, t) = LCω2v(x, t) ω k 2 = v2 = 1 LC,

onde v é a velocidade de transmissão da onda através da linha de trans-missão.

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Exemplo: Temos uma sensor trabalhando a uma frequência de 5 MHz conectado por um cabo a 20 metros da eletrônica de condicionamento de sinal. A indutância por unidade de comprimento medida do cabo é 0.5 µHm−1 e a capacitância por unidade de comprimento é 60 pFm−1.

(24) k = √ LCω =p0.6 × 10−6× 60 × 10−12_{2π × 5 × 10}6 2π λ = 0.1885 λ = 2π 0.1885 ≈ 33 m

Neste caso, nos 20 metros de cabos temos 60 % de um comprimento de onda e efeitos ondulatórios são consideráveis.

4 Impedˆ

ancia Caracter´ıstica

Em uma linha de transmiss˜ao podemos ter ondas propagando em dois sen-tidos, logo: (25) v(x) =v+e−jkx+ v−ejkx ejωt i(x) = i+e−jkx+ v−ejkx ejωt.

Aplicando a primeira equa¸c˜ao do tel´egrafo (Eq. 18) obtemos:

(26) − ∂ ∂x v+e−jkx+ v−ejkx ejωt= L∂ ∂t i+e−jkx+ i−ejkx ejωt jkv+e−jkx− jkv−ejkx ejωt= Li+e−jkx+ i−ejkx jωejωt kv+e−jkx− kv−ejkx = Lωi+e−jkx+ Lωi−ejkx.

Podemos agora separar esta equa¸c˜ao em duas, uma para cada sentido de propaga¸c˜ao:

(27) kv+e

−jkx_{= Lωi} +e−jkx −kv−ejkx= Lωi−ejkx.

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Assim, (28) Z+= v+ i+ = Lω/k Z−= v− i− = −Lω/k

Definimos a impedância caracter´ıstica como a impedância obtida pela propaga¸cão em apenas um sentido sem reflexão. Assim,

Z0 = Lω k = Lv = √L LC (29) Z0 = r L C

Exemplo Para os mesmos parâmetros do exemplo anterior, a impedância caracter´ıstica é: (30) Z0= r 0.5 × 10−6 60 × 10−12 ≈ 91.3 Ω.

5 Reflex˜

oes

(31) v(x) = v+e −jkx_{+ v} −ejkx i(x) = i+e−jkx+ i−ejkx. Em x = 0 temos a carga, logo:

(32) v(0) = v++ v−= vL

i(0) = i++ i−= iL. Para a impedˆancia:

(10)

v(0) i(0) = vL iL = v++ v− i++ i− ZL= v++ v− v+/Z0− v−/Z0 v+ ZL Z0 − v− ZL Z0 = v++ v− v+ ZL Z0 − 1 = v− 1 +ZL Z0 v− v+ = ZL Z0 − 1 1 +ZL Z0 (33) v− v+ = ρ = ZL− Z0 ZL+ Z0

Exemplo Para os mesmos parâmetros dos exemplos anteriores, para uma carga de 150 Ω, que por¸cão do sinal injetado é refletido de volta para a fonte? (34) ρ = 150 − 91.3 150 + 91.3 ≈ 24 % 5.1 Potência Para a tensão:

(35)

v = v++ v− v− = ρv+

∴ v = v++ ρv+ v = (1 + ρ)v+.

(11)

Para a corrente: (36) i = i++ i− = v+ Z0 −v− Z0 = 1 Z0 (v+− ρv+) = v+ Z0 (1 − ρ) . Assim, para a potˆencia:

(37) P = vi∗= [(1 + ρ)v+] 1 Z0 v∗₊(1 − ρ∗) = |v+| 2 Z0 (1 − ρ∗)(1 + ρ) = |v+| 2 Z0 (1 + ρ − ρ∗− |ρ|2).

Para a potˆencia m´edia, colocamos de volta a parte temporal:

(38) P =¯ 1

T Z T

0

Pre(t)dt. Como ρ ´e complexo, temos:

(39) ¯ P = 1 Z0T (1 − |ρ|2) Z T 0 |v₊cos(ωt)|2dt = |v+| 2 2Z0T (1 − |ρ|2) Z T 0 (1 + cos(2ωt)) dt.

A integral do coseno em um per´ıodo ´e zero e ent˜ao acabamos com:

(40) P =¯ |v+|

2 2Z0

(1 − |ρ|2). Desta equa¸cão tiramos que a potência incidente é:

(41) Pi =

|v+|2 2Z0

(12)

e a potˆencia refletida ´e:

(42) Pr= |ρ|2

|v+|2 2Z0

.

Para não haver potência refletida e termos um casamento de impedâncias,

precisamos que ρ = 0 e isto ´e obtido de acordo com a Eq. 33 quando

ZL= Z0.

Exemplo: Para os mesmos parˆametros dos exemplos anteriores, qual a

fra¸c˜ao da potˆencia refletida?

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ρp = |ρ|2 = 0.2432 ≈ 6 %

6 Linha Com Perdas

(44) lim ∆→0v(x, t) − v(x + ∆, t) = lim∆→0∆ Ri(x, t) + L∂i(x, t) ∂t − lim ∆→0 v(x + ∆, t) − v(x+, t) ∆ = Ri(x, t) + L ∂i(x, t) ∂t −∂v(x, t) ∂x = Ri(x, t) + L ∂i(x, t) ∂t e (45) lim

∆→0[i(x, t) − i(x + ∆, t)] = lim∆→0 ∆Gv(x + ∆, t) + ∆C∂v(x + ∆, t) ∂t − lim ∆→0 i(x + ∆, t) − i(x, t) ∆ = Gv(x, t) + C ∂v(x, t) ∂t −∂i(x, t) ∂x = Gv(x, t) + C ∂v(x, t) ∂t .

Com a ajuda das Eqs. 22 podemos reescrever:

(46) kjv(k, ω) = Ri(k, ω) − jωLi(k, ω)

(13)

LΔ i(x,t) v(x,t) v(x+Δ,t) i(x+Δ,t) Δ Δ CΔ LΔ RΔ GΔ

Figure 4: Modelo para linha de tranmissão com perdas ilustrando um ele-mento diferencial, tensões, correntes e a capacitância, indutância, resistência e condutância por unidade de comprimento C, L, R e G.

Comparando com as Eqs. 18 e 19:

(47) jkv(k, ω) = −jωL

0_{i(k, ω)} jki(k, ω) = −jωC0v(k, ω), percebemos que ´e poss´ıvel escrever:

(48) −jωL0 = R − jωL L0 = L +jR ω e (49) −jωC0= G − jωC C0= C +jG ω Para a dispers˜ao, obtemos:

(14)

(50) k = ω √ L0C0 = s ω L + jR ω ω C + jG ω =p(Lω + jR) (Cω + jG) = k0+ jk00 Para uma onda do tipo:

(51) v(x, t) = v0ejkx = v0e(jk 0_−k00_)x =v0ejk 0_x e−k00x,

k00 atenua a propaga¸cão e é assim conhecido como constante de atenua¸cão. Exemplo Para uma resistência parasita de 5 Ω/m e uma condutância par-asita de 8 Ω−1/m e os demais parâmetros iguais aos dos exemplos anteriores encontre a atenua¸cão em 5 cent´ımetros.

(52) ω = 2π × 5 × 10 6 ≈ 31.4 MHz (53) k =p(0.5 × 10−6_{× 31.4 × 10}6_{+ 5j)(60 × 10}−12_{× 31.4 × 10}6_{+ 8j)} ≈p(15.7 + 5j)(1.9 × 10−3_{+ 8j)} ≈ (6.8 + 9.3j) m−1 (54) e−9.3∗5×10−2 ≈ 63 %.