Potenciais e campos. Métodos computacionais II

(1)

Potenciais e campos

(2)

(3)

•

Encontrando o potencial elétrico e o campo elétrico para em uma região do espaço:

(4)

•

A lei de Gauss nos diz que

Potencial elétrico

∇ · E =

ρ

(5)

•

Mas sabemos que

Potencial elétrico

∇ · E =

ρ

"

0

(6)

∇

2

V =

₋

ρ

"

₀

•

Mas sabemos que

•

E somos levados a equação de Poisson:

Potencial elétrico

∇ · E =

ρ

"

0

(7)

∇

2

V =

₋

ρ

"

₀

•

Mas sabemos que

•

E somos levados a equação de Poisson:

•

Para um espaço livre de cargas, ela é conhecida como equação de Laplace

Potencial elétrico

∇ · E =

ρ

"

0

E =

_−∇V

(8)

Equação de Laplace

∂

2

V

∂x

2

+

∂

2

V

∂y

2

+

∂

2

V

∂y

2

= 0

(9)

Equação de Laplace

•

Para encontrarmos o potencial elétrico em uma região sem cargas

∂

2

V

∂x

2

+

∂

2

V

∂y

2

+

∂

2

V

∂y

2

= 0

(10)

Equação de Laplace

•

Precisamos das condições de contorno

∂

2

V

∂x

2

+

∂

2

V

∂y

2

+

∂

2

V

∂y

2

= 0

(11)

Equação de Laplace

•

Equação diferencial parcial

∂

2

V

∂x

2

+

∂

2

V

∂y

2

+

∂

2

V

∂y

2

= 0

(12)

Equação de Laplace

•

Equação diferencial parcial

•

Não valem os métodos numéricos usados para Eq. diferenciais ordinárias

∂

2

V

∂x

2

+

∂

2

V

∂y

2

+

∂

2

V

∂y

2

= 0

(13)

Como resolver?

x = i∆x, y = j∆y, z = k∆z

(14)

Como resolver?

x = i∆x, y = j∆y, z = k∆z

Discretização:

∂V

∂x

≈

V (i + 1, j, k)

_{− V (i, j, k)}

∆x

Derivada parcial:

(15)

Como resolver?

x = i∆x, y = j∆y, z = k∆z

Discretização:

∂V

∂x

≈

V (i + 1, j, k)

_{− V (i, j, k)}

∆x

Derivada parcial:

ou...

∂V

∂x

(i − 1/2) =

V (i, j, k)

_{− V (i − 1, j, k)}

∆x

(16)

Como resolver?

x = i∆x, y = j∆y, z = k∆z

Discretização:

∂V

∂x

≈

V (i + 1, j, k)

_{− V (i, j, k)}

∆x

Derivada parcial:

ou...

∂V

∂x

(i − 1/2) =

V (i, j, k)

_{− V (i − 1, j, k)}

∆x

Usaremos a notação:

∂V ∂x (i + 1/2) = V (i + 1, j, k) _{− V (i, j, k)} ∆x

∂V

(i − 1/2) =

V (i, j, k)

− V (i − 1, j, k)

(17)

Como resolver?

∂

2

V

∂x

2

≈

1 ∆x

!

∂V (i + 1/2)

∂x

−

∂V (i

_{− 1/2)}

∂x

"

então

(18)

Como resolver?

∂

2

V

∂x

2

≈

1 ∆x

!

∂V (i + 1/2)

∂x

−

∂V (i

_{− 1/2)}

∂x

"

então

∂

2

V

∂x

2

≈

1 ∆x

!

V (i + 1, j, k) + V (i

_{− 1, j, k) − 2V (i, j, k)}

∆x

"

utilizando as definições dadas

(19)

Como resolver?

∂

2

V

∂x

2

≈

1 ∆x

!

∂V (i + 1/2)

∂x

−

∂V (i

_{− 1/2)}

∂x

"

então

∂

2

V

∂x

2

≈

1 ∆x

!

V (i + 1, j, k) + V (i

_{− 1, j, k) − 2V (i, j, k)}

∆x

"

utilizando as definições dadas

Inserimos a expressão acima na eq. de Laplace

(para x,y e z) assumindo que

(20)

Solução

V (i, j) =

1

6 [V (i − 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j − 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k − 1) + V (i, j, k + 1)]

(21)

Solução

•

A solução de V(i,j,k) é uma média de V em todos seus vizinhos

V (i, j) =

1

6 [V (i − 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j − 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k − 1) + V (i, j, k + 1)]

(22)

Solução

•

Essa condição deve ser satisfeita em todos os pontos

V (i, j) =

1

6 [V (i − 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j − 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k − 1) + V (i, j, k + 1)]

(23)

Solução

•

Precisamos de uma estratégia numérica

V (i, j) =

1

6 [V (i − 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j − 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k − 1) + V (i, j, k + 1)]

(24)

Solução

•

Método de Jacobi

V (i, j) =

1

6 [V (i − 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j − 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k − 1) + V (i, j, k + 1)]

(25)

Solução

•

Método de Jacobi

V (i, j) =

1

6 [V (i − 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j − 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k − 1) + V (i, j, k + 1)]

(26)

Geometria e condição de

contorno

(27)

Geometria e condição de

contorno

(28)

Geometria e condição de

contorno

V=-1

(29)

Geometria e condição de

contorno

V=-1 _V=1

(30)

Geometria e condição de

contorno

V=-1 _V=1

Metal

(31)

Geometria e condição de

contorno

V=-1 _V=1

Metal

(32)

Geometria e condição de

contorno

V=-1 _V=1

Metal

(33)

Geometria e condição de

contorno

V=-1 _V=1

Metal

Isolante

V(i,j) V(1,j)=-1 V(N,,j)=-1

Fronteiras

(34)

(35)

Estrutura do programa

•

Chama sub-rotina inicial que nos dá as condições e contorno e um chute inicial para os valores de V(i,j)

(36)

Estrutura do programa

•

Chama sub-rotina laplace que calcula V(i,j) convergente

(37)

Estrutura do programa

•

laplace chama outra sub-rotina atualiza que a cada passo atualiza o valor de V(i,j) e a variação dV em relação ao passo anterior

(38)

Estrutura do programa

•

laplace chama outra sub-rotina atualiza que a cada passo atualiza o valor de V(i,j) e a variação dV em relação ao passo anterior

•

laplace para de chamar atualiza quando dV é muito pequeno, ou seja, houve convergência

(39)

(40)

•

dV é a variação total de V durante a atualização

(41)

•

inicialmente, dV=0

(42)

•

inicialmente, dV=0

•

loop por todos os pontos (i,j), excluindo a fronteira:

(43)

•

inicialmente, dV=0

•

• Sub-rotina

atualiza

Vnovo(i, j) =

1

(44)

•

inicialmente, dV=0

•

adicionar | Vnovo(i,j) - V(i,j)| a dV

Sub-rotina

atualiza

Vnovo(i, j) =

1

(45)

•

inicialmente, dV=0

•

adicionar | Vnovo(i,j) - V(i,j)| a dV

•

retornar o valor de Vnovo(i,j) e dV

Sub-rotina

atualiza

Vnovo(i, j) =

1

(46)

(47)

Sub-rotina

laplace

(48)

Sub-rotina

laplace

•

Inicia com um valor V(i,j) dado.

(49)

Sub-rotina

laplace

• ➡

Do chute inicial ou do passo anterior

•

Chama atualiza para utilizar V(i,j) para computar um chute melhorado Vnovo(i,j)

(50)

Sub-rotina

laplace

• ➡

•

Chama atualiza novamente para armazenar Vnovo

(51)

Sub-rotina

laplace

• ➡

•

Chama atualiza novamente para armazenar Vnovo

(i,j) na matriz V(i,j)

•

Checa se dV é pequeno o suficiente. Se for, sai da sub-rotina

(52)

Campo elétrico

Ex = − ∂V ∂x , Ey = − ∂V ∂y Ex(i, j) = − V (i + 1, j) _{− V (i − 1, j)} 2∆x Ey(i, j) = − V (i, j + 1) _{− V (i, j − 1)} 2∆x

(53)

Resultados

•

Gnuplot é muito bom para gráficos vetoriais e 3D

(54)

Resultados

•

ver scripts no blog

(55)

Resultados

•

ver scripts no blog

V=-1

(56)

Resultados

•

ver scripts no blog

V=-1 _V=1

(57)

Resultados

•

ver scripts no blog

V=-1 _V=1

Metal

(58)

Resultados

•

ver scripts no blog

V=-1 _V=1

Metal

(59)

Resultados

•

ver scripts no blog

V=-1 _V=1

Metal

(60)

Potencial elétrico

-1 -0.5 0 0.5 1 V(x,y) 1 2 3 4 5 6 7 x ₁ 2 3 4 5 6 7 y -1 -0.5 0 0.5 1

(61)

Campo elétrico

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 y E(x,y)

(62)

Outra condição de contorno

V=1

V=0

Metais

(63)

Potencial elétrico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 ₂ 4 ₆ 8 10 12 14 16 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V(x,y)

(64)

Campo elétrico

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y E(x,y)