Física Moderna II - FNC376

(1)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 1

Física Moderna II - FNC376

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto

1o. Semestre de 2008

Universidade de São Paulo

(2)

Professora: Márcia A. Rizzutto

Sala 116 – Oscar Sala

tel. 3091 6939(secretária) e 30917102

e-mail:

rizzutto@if.usp.br

Monitor: ?

Aud. Gius. Occhialini (Sul) –

Diurno/Noturno

5a feira 08:00 – 09:40

19:10 – 20:50

2a feira 10:00 – 11:40

21:10 – 22:50

Horário

(3)

•

Eq. de Schrödinger 3-D + átomo de hidrogênio

Quantização de energia

Autovalores, nos _{quânticos, degenerescência.}

•

Momentos de dipolo magnético; spin; a experiência de Stern-Gerlach

•

Átomos multieletrônicos

Indistinguibilidade e o princípio de Pauli. A teoria de Hartree.

Estados fundamentais e a tabela periódica.

•

Estatística quântica

Indistinguibilidade e estatística quântica Funções de distribuição quânticas

Exemplos: laser, gás de elétrons livres

•

Moléculas

Ligações iônicas e covalentes

Espectros moleculares (rotação, vibração e eletrônicos)

•

Sólidos

Tipos de sólidos

Propriedades elétricas

Condutores, Isolantes, Semicondutores; a junção p-n

•

O núcleo atômico

Características e propriedades gerais Forças entre nucleons

Radioatividade, Fissão, Fusão Reações nucleares

(4)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 4 - Física Quântica,

R. Eisberg e R. Resnick, 4a edição, Ed. Campus Ltda., RJ, Brasil, 1986. O livro texto adotado apresenta prós e contras. Os contras dizem respeito a uma certa obsolescência (trata-se de livro editado originalmente em 1974) e a certa afetação e pedantismo no tratamento de alguns assuntos, o que prejudica um pouco sua compreensão. Os prós são: vários exemplares disponíveis na Biblioteca do IFUSP; pode ser adquirido em livrarias; é bastante completo, cobrindo toda a matéria dos cursos de Física Moderna 1 e 2; e, finalmente, é disponível em português. Existem também exemplares em inglês na Biblioteca.

-Física Moderna, origens clássicas e fundamentos quânticos,

F. Caruso e V. Oguri, Ed. Campus, RJ, 2006.

-Física Moderna,

P. A. Tipler e R. A. Llewellyn, 3a edição, LTC editora, RJ, Brasil, 2001.

-Modern Physics

Serway, Moses and Moyer

-Introduction to the structure of matter, a course in modern

physics,

(5)

Textos adicionais: - The picture book of quantum mechanics, S. Brandt and

H.D. Dahmen, Wiley, New York, USA, 1985.

Podem também ser consultados, como leitura preliminar, os capítulos sobre física moderna de vários textos de física básica (por exemplo, Física, de P. A. Tipler (3a _{edição) ou Física, D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane (4}a _edição).

Tenha em mente que a apresentação dos tópicos de física moderna nesses textos é feita em nível bastante introdutório.

Leituras recomendadas:

- A matéria, uma aventura do espírito, Luís Carlos de Menezes, Editora Livraria

da Física, SP, Brasil, 2005;

- A parte e o todo, W. Heisenberg, Contraponto Editora Ltda, RJ, Brasil, 1996;

- Física Moderna, para iniciados, interessados e aficionados, Vol. 1, Ivan S. Oliveira, Editora Livraria da Física, 2005;

- Thirty years that shook physics, G. Gamow, Dover Publications, NY, USA, 1985;

- Great experiments in physics: firsthand accounts from Galileo to Einstein, M.H. Shamos, Dover Publ., NY, USA, 1987;

- The Great Design: Particles, fields and creation, R. K. Adair, Oxford University Press, NY, USA, 1987;

- The force of symmetry, Vincent Icke, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995.

(6)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 6 3 de julho PF 30 de junho (8 aulas) Terceira prova 19 de maio (9 aulas) Segunda prova 7 de abril (10aulas) Primeira prova

• Critério:

• E = média simples das (n-1) avaliações dos trabalhos

(listas de exercícios ou provinhas) onde n é o número total de trabalhos solicitados

• M = média das notas em 3 provas (60 %) (P) e uma prova final (PF) com toda matéria (40 %). PF substitui uma

eventual ausência em uma das provas (P1-P3)

• Datas das provas:

    + + = > = + > < = 3 3 2 1 ( 0 . 7 , 4 . 0 6 . 0 p p p P seP P M PF P M 0 . 5 2 . 0 8 . 0 > + = MF E M MF

• Presença:

• a presença será monitorada nas provas e nas aulas. Assim, a ausência em mais de uma prova implica em reprovação por faltas e caso a aluno não tenha muitas presenças nas listas e reprovou por nota, também será reprovado por faltas.

(7)

Inicialmente temos a relação clássica da energia:

t

i

z

y

x

V

z

y

x

m

∂

Ψ

∂

=

Ψ

+













∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

−

h

(

,

)

_h

2

2 2 2 2 2 2 2

• Eq. de Schrödinger 3-D

E

z

y

x

V

m

p

=

+

(

,

)

2

e lembrando dos operadores momento

z

i

p

y

i

p

x

i

p

x y z

∂

−

=

∂

−

=

∂

−

=

_h

,

_h

,

_h

e energia:

t

i

E

∂

= h

a relação de energia é convertida:

t

i

r

V

m

∂

Ψ

∂

=

Ψ

+

Ψ

∇

−

h

(

v

)

_h

2

2 2

A eq. de Schrödinger em 3D:

Independente do tempo:

ψ

V

r

E

m

∇

+

=

−

(

)

2

2 2

v

h

Dependente do tempo:

(8)

Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular

V(x,y,z) =

0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2;

_{– c/2 < z < c/2}

∞ no resto do espaço











=

a

x

n

sen

a

x

n

a

x

n

π

ψ

2 cos

2 )

(

lembrando o caso unidimensional

com – a/2 < x < a/2 , V = 0

ψ

E

dx

d

m

=

−

2 2 ₂

2 h

Cuja solução é: cos kx ou sen kx

2

₂

h

mE

k

=

Para n impar

Para n par

2 2 2 2

2 π

ma

n

E

_n

=

h

(9)

Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular

V(x,y,z) =

0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2;

_{– c/2 < z < c/2}

∞ no resto do espaço

)

(

)

(

)

(

)

,

(

3 2 1 3 2 1n n

x

y

z

n

x

n

y

n

z

n

ψ

=

























⋅

























⋅

























=

c

z

n

c

b

y

n

b

a

x

n

a

z

y

x

n n n

π

sen

cos

2 π

sen

cos

2 π

sen

cos

2 )

,

(

1 2 3 3 2 1

ψ

























+













+













=

2 3 2 2 2 1 2 2

2 π

3 2 1

c

n

b

n

a

n

m

E

_n_n _n

h

o caso tridimensional

Os autovalores de energia são dados em termos dos 3 nos

quânticos (n₁,n₂ e n₃)

c

b

a

≠

(10)

c

b

a

≠

c

b

a

=

c b a = ≠

(

2

)

3 2 2 2 1 2 2 2

2 π

3 2 1

ma

n

E

_n _n _n

= h

+

Degenerescência: diferentes estados

(11)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 11 No caso em que todas as arestas são iguais:

(

2

)

3 2 2 2 1 2 2 2

2 π

3 2 1

ma

n

E

_n_n _n

= h

+

Degenerescência: diferentes estados

apresentam a mesma energia

Temos aqui as densidades de probabilidades para a partícula dentro da caixa:

-Estado fundamental |ψ₁₁₁|2

-Primeiro estado excitado |ψ₂₁₁|2 e |ψ 121|2

(12)

Coordenadas esféricas:

ψ

≡

ψ

(r,

θ

,

ϕ

) e

2 2 2 2 2 2 2 2

sen

1 sen

sen

1

1 ϕ

θ

∂

+













∂

+













∂

=

∇

r

(Ângulo polar) (Ângulo azimutal)

Interação Coulombiana entre um elétron

e o núcleo de um átomo

Forças centrais

(13)

A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas

2 2 2 2 2 2 2 2

sen

1 sen

sen

1

1 ϕ

θ

∂

+













∂

+













∂

=

∇

r

Podemos, então, escrever a eq. de Schrödinger como:

com

Vamos procurar soluções do tipo:

nas quais a dependência temporal é parametrizada por um autovalor da energia,

E

. Essa solução satisfaz a equação de autovalores:

Ψ

=

Ψ

∂

E

t

ih

Assim, o estado Ψ é um estado estacionário, cuja função de onda fornece uma densidade de probabilidade independente do tempo, |Ψ|2 = |

ψ

|2 _{e cuja}

(14)

Este termo só depende de

r

, enquanto que o restante só depende de

θ

e

φ

.

Essa igualdade entre funções de variáveis diferentes só pode valer se ambas forem iguais a uma constante (

λ

). Então:

Ao aplicarmos a equação de Schrödinger temos:

) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( 1 ) , ( ) ( ) , ( ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 φ θ φ θ φ φ θ θ θ φ θ θ θ θ φ θ µ VR r Y ER r Y Y sen r Y sen sen r r R Y r r R r r r _ + =     ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ − h       − +       r _E _V _r _R dr r dR r dr d R ( ( )) 2 ) ( 1 2 2 2 h

µ

e

Separação de variáveis

(15)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 15 Então:

e

A nossa hipótese inicial será válida se conseguirmos encontrar soluções para as equações acima, que são ligadas pela constante

λ

.

Vamos tratar inicialmente da parte angular. Lembrando do operador

Λ

2_:

Podemos multiplicar por

sen

2

θ

_{e rearranjar:}

E aí podemos fazer a segunda separação de variáveis, uma vez que o lado esquerdo só opera em

φ

e o direito só em

θ

. Propomos então uma forma:

(16)

Parte que depende de

φ

, com

m

positivo ou negativo Posso escrever que:

)

(

)

(

)

,

(

θ

φ

=

Θ

θ

Φ

φ

Y

2 2 2

1 m

d

−

=

Φ

φ

Assim,

A eq. em

φ

é bem conhecida e tem soluções oscilatórias da forma:

Aí aparece uma diferença fundamental com a partícula na caixa 3D: a variável

φ

é cíclica e se repete após o intervalo

[

0,2π

]

. Então, para

garantir a unicidade da função de onda, temos que impor uma condição de periodicidade à autofunção:

1 π

2 sen

2π

cos

:

Portanto

.

1 :

em

implica

que

o

)

(

)

π

2 (

π 2 ) π 2 (

₌

_⇒

₌

_±

₌

=

+

± ± + ±

_Ae

_e

_m

_i

_m

Ae

im φ imφ im

φ

ψ

φ

ψ

(17)

Parte que depende de

θ

As soluções aceitáveis para θ são identificadas como para enfatizar o fato de que as funções variam com

ℓ

e

m

)

(

θ

m l

Θ

Funções de Legendre A eq. para

θ

é mais complicada Olhem o apêndice H do Eisberg, por exemplo.

A variável

θ

varre o intervalo

[0,π]

e a equação apresenta descontinuidades infinitas nos extremos, por conta dos zeros do

senθ

. As únicas soluções finitas e unívocas de Θ(

θ

) são aquelas para as quais a constante de separação

λ

é

tal que:

_,

De tal forma que ao inteiro

m

junta-se um outro inteiro,

ℓ

, na

determinação das soluções aceitáveis. Esses inteiros são ligados por uma condição que envolve o intervalo de valores aceitáveis para

m

:

(18)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 18 e

Essas funções são chamadas de harmônicos esféricos e têm suas propriedades caracterizadas pelas seguintes equações de autovalor:

São normalizados de acordo com a relação: com

(19)

(20)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 20 Os harmônicos esféricos são simultaneamente autofunções

dos operadores

L

2 e

L

_z : Quero entender o que é isto:

p

r

L

r

=

r

×

r

      ∂ ∂ − ∂ ∂ − − =       ∂ ∂ − ∂ ∂ − = − =

φ

θ

φ

θ

φ

tg sen i y z z y i zp yp L_x _z _y _h _h cos operador Coordenadas esféricas       ∂ ∂ − =

φ

h i L_z

Assim os estados estacionários, associados a um potencial central, apresentam autofunções de

L

2 e

L

_z tais que: exemplo       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = + + = 2 2 2 2 ₂ 2₂ 2 1 ( 1 φ θ θ θ θ θ sen sen sen L L L L _x _y _z _h e

A importância dos harmônicos esféricos fica mais clara quando lembramos os operadores do momento angular:

(21)

negativo

não

inteiro

um

sendo

),

1 (

a

iguais

são

de

s

autovalore

os

L

2

_h

2

_l

+

_l

1.

l

h

m

−

≤

m

≤

L

_z

são

iguais

a

,

sendo

um

inteiro

tal

que

:

de

s

autovalore

os

2.

Isso mostra que os valores possíveis de

L

2 e de

L

_z são discretos

(quantizados), evidenciando a quantização do momento angular. Mostra

também que essas grandezas podem ser determinadas com incerteza 0.

)

,

(

)

1 (

)

,

(

2 2

ψ

_r

θ

φ

_l

ψ

_r

θ

φ

L

= h

+

)

,

(

)

,

(

θ

φ

ψ

θ

φ

ψ

r

m

r

L

_z

=

_h

e

Porque o tratamento especial para

L

_z?

(22)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 22 e

E assim,

Vamos assumir a existência de um estado no qual o vetor

L

tenha um valor bem

definido, dado por:

Se a nossa hipótese é verdadeira, então: Nesse caso, podemos escrever:

o que leva a:

mostrando que

ℓ

_z se anula nesse estado.

De maneira análoga podemos mostrar que

ℓ

_x e

ℓ

_y também se anulam. Portanto um estado pode ter o vetor

L

com valor bem definido, desde que esse valor seja 0.

(23)

FNC0376 - Fisica Moderna 2 23 Apenas uma das observáveis

L

_x,

L

_y ou

L

_z pode ser determinada com incerteza nula e a escolhida foi

L

_z. A figura abaixo mostra os valores do momento angular para o caso

ℓ

= 1.

incerto

Modelo vetorial do átomo ilustrando as orientações possíveis de L no espaço e

os valores possíveis de L_z

O vetor momento angular nunca aponta no sentido do eixo z (a maior componente possível neste eixo é m, que é sempre menor que o módulo do vetor) . Isto se deve ao princípio de indeterminação do momento angular, o que diz que é

impossível determinar com precisão absoluta duas componentes do momento angular (L_x e L_y )