A Early Algebra nos livros didáticos: um olhar sobre a abordagem de sequências de padrões

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34 REnCiMa, São Paulo, v. 11, n. 6, p. 34-54, out./dez. 2020 10.26843/rencima.v11i6.1713 eISSN 2179-426X

Recebido em 13/06/2018 / Aceito em 30/09/2020 / Publicado em 01/10/2020

A Early Algebra nos livros didáticos: um olhar sobre a abordagem de

sequências de padrões

Early Algebra in textbooks: a look at approaching pattern sequences

Daiane Venâncio Bitencourt

Escola Municipal Eufrosina Almeida, daianevenancio7@gmail.com

http://orcid.org/0000- 0001-7309-0973

Vera Lucia Merlini

Universidade Estadual de Santa Cruz, vlmerlini@uesc.br

http://orcid.org/0000-0001-9784-3546

Resumo

Esta pesquisa refere-se à análise de livros didáticos de Matemática dos Anos Inicias do Ensino Fundamental a respeito de uma vertente da Early Algebra: sequência. Tendo como objetivo investigar como os livros didáticos têm abordado o pensamento algébrico, considerando o ponto de vista da sequência. Para dar apoio no tocante a Early Algebra, foram consideradas as ideias de Blanton e Kaput; e Carraher et al, entre outras.Trata-se de uma pesquisa documental. Para fazer essa análise foi escolhida uma coleção de livros didáticos considerada pelo PNLD de 2016 como a coleção mais distribuída, os exemplares usados são do 1º ano ao 5º ano do Ensino Fundamental. A análise foi realizada sob três perspectivas, a saber: (i) contabilizar o total de tarefas de cada livro e o total de tarefas relacionadas à sequência; (ii) contabilizar as sequências de acordo com as classificação pictórica ou numérica; (iii) apresentar e discutir duas tarefas de cada livro relacionadas à sequências, a primeira e a última tarefa. Como resultado, foi observado que a coleção converge para as normas da BNCC; tarefas de sequências permeiam todos os livros didáticos da coleção. As tarefas podem tornar-se grandes aliadas do professor para promover o pensamento algébrico nos estudantes.

Palavras-chave: Early Algebra. Livros didáticos. Pensamento algébrico. Sequências de padrões.

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35 REnCiMa, São Paulo, v. 11, n. 6, p. 34-54, out./dez. 2020 Abstract

This research refers to the analysis of mathematics textbooks from the early years of elementary school regarding an aspect of Early Algebra: sequence. In order to investigate how textbooks have approached algebraic thinking, considering the point of view of the sequence. To support Early Algebra, Blanton and Kaput's ideas were considered; and Carraher et al, among others. It is a documentary research. To do this analysis, a collection of textbooks was chosen, considered by the PNLD 2016 as the most distributed collection, the copies used are from the 1st year to the 5th year of Elementary School. The analysis was carried out from three perspectives, namely: (i) to count the total tasks of each book and the total of tasks related to the sequence; (ii) count the sequences according to the pictorial or numerical classification; (iii) presenting and discussing two tasks in each book related to sequences, the first and the last task. As a result, it was observed that the collection converges with BNCC standards; sequence tasks permeate all textbooks in the collection. Tasks can become great allies of the teacher to promote algebraic thinking in students.

Keywords: Early Algebra. Textbooks. Algebraic thinking. Sequences of patterns.

Introdução

Este estudo tem por objetivo analisar tarefas1_{relacionadas à sequência}2_de

padrões de uma coleção de livros didáticos dedicada aos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Cabe ressaltar que esse estudo é um recorte de uma dissertação de mestrado e que fez parte de um projeto de pesquisa intitulado A Early Algebra no Ensino Fundamental: mapeamento e diagnóstico. Tal projeto propõe, inicialmente, um mapeamento das pesquisas nacionais e internacionais que investigam sobre o ensino e aprendizagem da introdução da álgebra, que comumente é denominada de Early Algebra.

Cabe ressaltar que esse termo Early Algebra surgiu em 2006 nos Estado Unidos por ocasião de uma conferência promovida pela National Academy of Sciences (NAS) (KATZ, 2007), para a qual foram convidados 50 participantes especialistas, para pensar sobre a ciência e tecnologia de tal forma que o país pudesse alcançar êxito no século XXI. Esses participantes foram distribuídos em cinco grupos de trabalho que corresponde aos cinco diferentes níveis de ensino da álgebra, são eles: (1) Early Algebra (Álgebra Inicial); (2) Introductory Algebra (Álgebra Introdutória); (3) Intermediate Algebra (Álgebra Intermediária); (4) Algebra for Prospective Teachers (Álgebra para Professores); e (5)

College Algebra (Álgebra para Faculdade). Os grupos deveriam ao final do trabalho gerar um relatório e para tanto receberam algumas recomendações, desse modo o primeiro deles, denominado por Early Algebra, seria o de desenvolver ideias algébricas para os

1_{Para Ponte (2014) as tarefas são do tipo problemas, exercícios, investigações entre outros, em que os}

estudantes se envolvem e estas, na maioria das vezes, são apresentadas pelo professor.

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Anos Iniciais de escolarização. Para a realização desse trabalho o grupo foi composto por Maria Blanton, Deborah Schifter, Vicki e Inge, Patty Lofgren, Cassandra Willis, Frank Davis e Jere Confrey.

Apesar de essa conferência ter sido um marco importante para o repensar do ensino da Álgebra nos Estados Unidos, outros pesquisadores já estavam sinalizando que alguns conceitos algébricos poderiam ser trabalhados com estudantes bem jovens. Dentre tantos estudos, destacamos os de Thompson (1995) que trabalhou a adição e subtração de números inteiros e equação do 1º grau; Post, Behr e Lesh (1995) que trabalharam com conceito de proporcionalidade atrelado ao desenvolvimento de noções pré-álgebra; Kieran (1995) cuja pesquisa se dedicou para saber como estudantes lidavam com as equações e a resolução delas na fase inicial do aprendizado de Álgebra; Usiskin (1995) fez um estudo teórico com o intuito de entender como é a relação da álgebra com as diversas maneiras de usar as variáveis; Booth (1995) investigou as dificuldades das crianças em aprender álgebra e qual(is) significados elas dão as letras.

Pesquisas mais recentes, como as de Blanton et al.(2007), Carraher et al.(2008); Brizuela et al. (2013); Carraher e Schliemann (2016), dentre outras, apontam que não somente que é possível trabalhar a Early Algebra com estudantes já nos Anos Iniciais, mas que isso afeta de modo significativo a aprendizagem da álgebra formal nos anos posteriores. A esse respeito, resultados semelhantes também estão sendo encontrados nas pesquisas nacionais como as de Yamanaka e Magina (2008); Teixeira (2016); Merlini et al.(2016); Porto (2018); dentre tantos outras.

As pesquisas nacionais relacionadas ao tema foram se propagando na medida que a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2017) foi sendo discutida ainda quando estava em processo de elaboração da proposta. Entretanto, para Rodrigues e Pires (2017) existe uma carência de trabalhos que possibilitem o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos a partir dos primeiros anos do Ensino Fundamental.

É fato que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1997) direcionados ao 1º e 2º ciclo do Ensino Fundamental (atuais Anos Iniciais), já traziam em seu bojo a necessidade do trabalho com a Early Algebra, tida como pré-álgebra, contudo o texto o fazia de maneira muito sutil: “Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados” (BRASIL, 1997, p. 39). Já na BNCC (BRASIL, 2017) o texto é mais incisivo, tanto que nesse documento a Álgebra é contemplada como uma das unidades temáticas já nos Anos Iniciais, como está descrito: “A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento – pensamento algébrico” (BRASIL, 2017, p. 226). Agora que é preciso trabalhar, efetivamente, com o desenvolvimento do pensamento algébrico nos estudantes dos Anos Iniciais, muitos são os questionamentos e o primeiro deles poderia ser: mas afinal, o que vem a ser de fato o pensamento algébrico, o que é Early Algebra?

No relatório apresentado por Blanton et al (2007) para explicar o que é Early Algebra eles começam por explicar o que não é Early Algebra. Eles afirmam que Early Algebra não é mais um item a ser acrescentado no currículo; não pode ser considerada

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como um conjunto de atividades o qual o professor trabalharia somente após seus estudantes terem o domínio das habilidades e procedimentos aritméticos. Tampouco seu intuito seria desenvolver no estudante as habilidades e procedimentos próprios da álgebra. Ao invés disso, eles asseveram que o objetivo da Early Algebra é dar oportunidade ao jovem estudante que adquira uma linguagem simbólica e algébrica, aprenda a raciocinar algebricamente para que assim possa expressar suas ideias

O pensamento algébrico para Blanton e Kaput (2005) pode assumir vários aspectos, como: (a) generalização aritmética, o que significa pensar nas operações e nas propriedades associadas a números, por exemplo, generalizar sobre a propriedade comutativa de multiplicação, ou ainda compreender a igualdade como uma relação entre duas quantidades; (b) pensamento funcional, a partir da generalização de padrões numéricos; (c) generalizações de regularidades de situações utilizando a modelagem; e (d) embora não faça parte da escola básica, seria a generalização sobre sistemas matemáticos abstraídos de cálculos e relações, tido como “álgebra abstrata”.

Compreendendo o pensamento algébrico de maneira muito semelhante, Ponte (2006) afirma que o estudo de padrões e regularidades seria uma promissora forma para gerar esse raciocínio. Vale et al. (2007) acrescentam que é natural a busca em encontrar regularidades nos vários aspectos da vida, como também na Matemática. Desse modo, uma descrição para a Matemática poderia ser a ciência dos padrões. Afirmam ainda que o estudo de padrões poderia começar desde o Jardim da Infância, passando pelos Anos Iniciais favorecendo uma aprendizagem da álgebra de modo intuitivo.

Sendo assim, partindo da necessidade do professor dos Anos Iniciais desenvolver o pensamento algébrico e do pressuposto que o livro didático é um dos materiais disponíveis é que vem o questionamento: será que o livro didático traz tarefas relacionadas à generalização de sequência de padrões?

Early Algebra na perspectiva da sequência de padrões

Como foi citado anteriormente os padrões estão presentes de vários modos na vida e são tidos como a essência da Matemática, considerada como a ciência dos padrões que os analisa e sintetiza-os (VALE et al., 2007).

Na investigação de como estão dispostos os elementos que constituem o pensamento algébrico em alguns dos documentos curriculares nacionais, Ferreira (2017) constatou que o trabalho com padrões surgiu no Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC) (BRASIL, 2013).

De acordo com Ponte, Branco e Matos (2009) a identificação do padrão ou regularidade de uma sequência contribui para o desenvolvimento do sentido de número nos estudantes e organiza uma base para o desenvolvimento da sua capacidade de generalização. Nessa direção, Borralho e Barbosa (2009) afirmam que as explorações de padrões auxiliam o estudante a pensar algebricamente, assim pode-se dizer que as tarefas de investigação de padrões têm um papel fundamental nesse processo, uma vez que “por um lado salientam a exploração, investigação, conjectura e prova, por outro, não

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menos importante, são interessantes e desafiadoras para os alunos [...] promovem a comunicação de ideias matemáticas” (BORRALHO; BARBOSA, 2009, p.60).

Este ponto de vista é também defendido por Luna e Souza (2013, p. 829), ao afirmarem que o desenvolvimento do pensamento algébrico pode ser favorecido “a partir de atividades que criem oportunidades das crianças generalizarem padrões aritméticos”. Nesse contexto, entendemos o quão é importante a escolha das tarefas a serem desenvolvidas nas aulas de Matemática, pois são peças que fazem parte do processo de aprendizagem do estudante.

Ponte, Branco e Matos (2009) classificam as sequências e regularidades como: (1) pictórica, e numérica; (2) repetitiva e crescente. Segundo os autores, os estudantes são levados a trabalhar com sequências pictóricas e numéricas ao longo do ensino básico. Tanto o trabalho com sequências pictóricas quanto as numéricas, finitas ou infinitas, envolve a busca pela generalização o que exige do estudante uma elevada capacidade abstração, desenvolvendo a comunicação e o raciocínio matemático. O importante é que esse trabalho com sequências seja constante, perpassando por todos os anos escolares, pois permitirá o salto qualitativo dos estudantes do raciocínio recursivo para raciocínio envolvendo relações funcionais (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009). Quanto à sequência repetitiva, nela existe uma unidade que é composta por alguns termos que se repetem de forma cíclica. Para os autores,

Dada uma sequência repetitiva com uma unidade de comprimento n, a determinação do elemento seguinte pode ter por base duas características: (i) a existência de uma igualdade entre cada elemento da sequência e um dos primeiros n elementos; (ii) a existência de uma igualdade entre cada elemento da sequência e o elemento n posições antes dele. Ao analisar este tipo de sequências os alunos têm oportunidade de continuar a sua representação, procurar regularidades e estabelecer generalizações. A compreensão da unidade que se repete pode não ser facilmente conseguida pelos alunos nos primeiros anos do ensino básico, mas é possível desenvolvê-la progressivamente. A percepção da unidade que se repete permite determinar a ordem de diversos elementos da sequência por meio de uma generalização (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p.41).

A título de ilustração trouxemos a seguir um exemplo de sequência repetitiva: Figura 1 – Exemplo de tarefa de sequência de padrões repetitiva Pictórica.

Fonte: Teixeira, p.65, 2016

Nessa tarefa de sequência de padrões repetitiva pictórica com uma unidade de comprimento três (são três os elementos de cada unidade) que se repetem infinitamente

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(perceba os três pontinhos). Nessa sequência a figura da nuvem se repete nas posições múltiplas de três e a posição das outras duas figuras, a carinha e o sol, estão atrelados à posição da nuvem. No item (a) que pede a figura da 8ª posição, 8 não é múltiplo de 3, portanto é possível descobrir a partir da posição 9 (múltiplo de 3) menos uma posição. Então a figura da 8ª posição é o sol. No item (b) podemos repetir o raciocínio do item (a) e no item (c) a resposta é direta, uma vez que a “próxima posição” solicitada é a 15ª que é múltiplo de três e, portanto, a figura é nuvem.

No que se refere às sequências crescente, essas são formadas por termos distintos. A formação de cada termo depende do termo anterior, como também da posição que ocupa na sequência. As sequências crescentes poderão ser formadas por números ou por objetos que se constituem em formações pictóricas (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009). Trouxemos a seguir exemplos de tarefas de sequências de padrões crescentes, numérica e pictórica respectivamente.

Figura 2: Exemplo de tarefa de sequência de padrões numérica crescente.

Fonte: Dante, 2014a, 1º ano, p.199 (Livro do Professor)

A tarefa apresentada na Figura 2, de sequência de padrões Numérica, traz os números 0, 10, 20, 40 e 50 e quatro lacunas (como trata-se do Livro do Professor elas estão explícitas, são elas: 30, 60, 70 e 80). É uma sequência crescente e finita, com início no número 0 e término no número 80 (lacuna a ser preenchida pelo estudante), e sua regularidade é de 10 em 10 unidades. Essa regularidade é o que autor denomina como sendo o segredo da sequência.

A Figura 3 traz um exemplo de tarefa de sequência de padrão pictórica e crescente.

Figura 3: Exemplo de tarefa de sequência de padrão pictórica crescente.

Fonte: Souza, Diniz p.24, 1998

A resolução dessas sequências pode ser pensada utilizando a recursividade, uma vez que para responder o item (a) da questão é necessário procurar a regularidade imposta aos termos anteriores. Essa procura de regularidade nas sequências é que

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permite aos estudantes, progredirem de seus raciocínios recursivos para raciocínios que envolvem relações funcionais ao longo do tempo (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009). Nesse sentido, Vale et al. (2007) afirmam que o trabalho com sequência de padrões é um bom apoio para desenvolver o pensamento pré-algébrico, o que significa que pode ser um ótimo caminho para a abordagem de Álgebra, principalmente nos Anos Iniciais. Embora o trabalho com sequências de padrões tenha potencialidades no ensino e aprendizagem, Ponte (2007) destaca alguns reversos, dentre eles é pensar que há uma única maneira correta de continuar um padrão em determinada sequência, dada por um número finito de termos. É preciso que o professor esteja atento, analise e avalie outras possibilidades de respostas dadas pelos estudantes.

Estudos correlatos

O estudo realizado por Teixeira (2016) teve como objetivo investigar o raciocínio funcional introdutório dos estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental apoiado em uma intervenção de ensino pautada em situações multiplicativas e sequenciais, icônica e numérica. O objeto matemático foi função polinomial de 1º grau e na fundamentação teórica usou a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1990) mais as ideias de pesquisadores da Early Algebra.

O autor denominou sua pesquisa de natureza quase experimental, optando trabalhar com uma única turma de 21 estudantes de uma escola pública de Ilhéus (BA). Teixeira (2016) em sua intervenção de ensino iniciou com tarefas de sequências de padrões icônicas e numéricas para que os estudantes possam demonstrar ao longo de cada tarefa, compreensão das regularidades, das relações entre as grandezas com o intuito de generalizar. Antes do início da intervenção foi aplicado um teste que foi replicado por duas vezes, 15 e 66 dias após encerrada a intervenção. Os resultados apontaram um crescimento no que refere a relação funcional. Assim, podemos entender que a intervenção pautada em sequências de padrões favoreceu a construção introdutória do raciocínio funcional por parte desses estudantes.

A pesquisa de Porto (2018) teve por objetivo comparar as competências e os esquemas de ação que os estudantes dos 3º e 5º anos do Ensino Fundamental utilizam ao lidarem com situações-problema envolvendo os conceitos da Álgebra elementar e, ainda, identificar os níveis de raciocínio algébrico usados por eles para resolver tais situações. Buscou apoio como aporte teórico, a teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996) e as ideias de Carraher et al. (2006); Blanton et al. (2007); Brizuela e Schliemann (2004); Magina et al. (2008) e Kieran et al. (2016) no que tange à Early Algebra.

Porto (2018) aplicou um instrumento diagnóstico (teste) composto por dez situações-problemas, aos estudantes do 3º ano e do 5º ano de uma escola municipal na Bahia. A aplicação se deu de forma coletiva, porém sua escrita e resolução foram de forma individual. A apresentação dos esquemas de ação, registros dos estudantes, foi por meio de uma representação icônica e/ou numérica. No resultado dos estudos, a autora destaca que os estudantes estavam aptos para identificar e compreender as

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regularidades presentes nas sequências, e utilizam domínios aritméticos para formar uma generalização algébrica. Acrescenta ainda que os estudantes apresentaram certa facilidade para descoberta dos elementos da sequência de padrões mais próximos, contudo não tiveram o mesmo sucesso para identificar os elementos mais distantes. Esse resultado nos faz supor que embora eles tenham entendido a regularidade não conseguiram generalizar.

Procedimentos metodológicos

Essa pesquisa é de caráter documental, que segundo Fiorentini e Lorenzato (2012, p. 102) “é aquela que se faz preferencialmente sobre documentação escrita”, sendo que o o documento que analisamos refere-se a coleção de livros didáticos de Matemática.

Para a escolha da coleção de livros didáticos que iríamos analisar recorremos àqueles aprovados pelo o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2016 e nos deparamos com 23 coleções. Devido a essa quantidade, relativamente grande, sentimos a necessidade de criar critérios de escolha para que pudéssemos analisar uma delas. A princípio, o primeiro critério que tínhamos em mente foi o de escolher uma coleção inteira, do 1º ao 5º ano, porque dessa forma poderíamos compreender como o pensamento algébrico é abordado pelo(s) autor(es) em cada ano escolar (em cada livro didático da coleção) e ao longo dos Anos Iniciais (a coleção como um todo). Atendendo esse critério tínhamos ainda16 coleções, então criamos um segundo critério.

O segundo critério que adotamos foi escolher a coleção que obteve a maior pontuação no PNLD de 2016, de acordo com sua distribuição. Assim, a coleção de livros didáticos analisada foi Projeto Ápis: Alfabetização Matemática, sendo a mais distribuída segundo o PNLD 2016, do 1º ao 5º ano, cujo autor é o professor doutor Luiz Roberto Dante, que ao longo do texto trataremos como Coleção de Dante.

Para que pudéssemos analisar a coleção de livros didáticos escolhida, elencamos quatro perspectivas de análise, a saber: (i) contabilizar o total de tarefas de cada livro e o total de tarefas relacionadas à sequência; (ii) contabilizar as sequências de acordo com as classificações adotadas numérica ou pictórica; (iii) apresentar e discutir duas tarefas de cada livro relacionadas à sequências, que para tanto foram escolhidas a primeira e a última tarefa.

Análise da coleção dos livros didáticos

Antes de apresentarmos e discutirmos as quatro perspectivas de análise da coleção de livros didáticos, decidimos expor alguns pontos que julgamos relevante a respeito da obra como um todo. De início, ressaltamos que estamos analisando a coleção de Dante direcionado ao professor, que contempla o Manual do Professor ao final de cada um dos livros. De maneira geral, os conteúdos dispostos na coleção de Dante são iniciados por um texto relacionado ao cotidiano do estudante, com o intuito, segundo o autor, de contribuir na construção da cidadania. Mais especificamente no que se refere às sequências de padrões, no Manual do Professor o autor apresenta diversas sugestões

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para cada conteúdo, definindo o que é uma sequência; explicitando ao professor a importância do estudante saber ou identificar influências e presenças desses conteúdos na sua vida.

O autor chama a atenção do professor em algumas tarefas, quanto às possíveis respostas, em que o professor deve ficar atento e observar como o estudante completa a sequência, do mesmo modo que ele pode questioná-los como começou a sequência. O fato de observar e ouvir o estudante a respeito de sua resolução leva-nos a destacar dois pontos relevantes. O primeiro deles é que o professor poderá visualizar a sequência do ponto de vista do estudante, que pode ser diferente daquela preestabelecida pelo professor, conforme destaca Ponte (2007). O segundo ponto é que de acordo com Blanton et al. (2007), o objetivo da Early Algebra oportunizar ao estudante a aquisição de uma linguagem simbólica e algébrica, estimular que ele raciocine algebricamente para expressar suas ideias.

Para darmos início à análise dessa coleção, trouxemos a primeira perspectiva de contabilizar, em cada um dos livros da coleção, o total de tarefas de maneira geral e o total de tarefas relacionadas à sequência, assim como a sua apresentação, se numérica ou icônica. Para procedermos essa análise trouxemos os dados obtidos estão expostos na Tabela 1, a seguir.

Tabela 1: Quantidade de tarefas de sequência em relação ao total de tarefas nos livros da coleção. Ano Escolar-LD3 Total de Tarefas Tarefas de Sequência Sequências Numéricas Sequências Pictóricas 1º – LD1 270 18 – 6,7% 13 – 72,2% 5 – 27,8% 2º – LD2 505 24 – 4,8% 20 – 83,3% 4 – 16,7% 3º – LD3 447 35 – 7,8% 30 – 85,7% 5 – 14,3% 4º – LD4 540 5 – 1% 5 – 100% - 5º – LD5 596 10 – 2,2% 8 – 80% 2 – 20%

Fonte: Dados de Pesquisa

De acordo com os dados expostos na Tabela 1, observamos que o autor manteve uma média de 6,4% de tarefas de sequência de padrões nos três primeiros livros (1º ao 3º anos) e depois essa média cai para 1,6% nos dois últimos livros (4º e 5º anos).

Apesar de constatarmos uma queda, relativamente brusca, da quantidade de tarefas relativas à sequência de padrões entre os três primeiros e os dois últimos livros, elas estão presentes em toda coleção. Essa constatação está de acordo com o que Ponte, Branco e Matos (2009) afirmam a respeito da importância de trabalhar com sequência de padrões ao longo do ensino básico.

De acordo com a classificação dada por Ponte, Branco e Matos (2009), as sequências podem ser apresentadas como numéricas ou pictóricas. Foi a partir dessa

3_{LD é abreviatura de Livro Didático, sendo que LD1, LD2, LD3, LD4, LD5 referem-se aos LD do 1º ao 5º}

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classificação que procedemos a segunda perspectiva de análise, na qual contabilizamos as sequências de acordo com as categorizações adotadas, numérica ou pictórica.

A coleção analisada apresenta, majoritariamente, tarefas de sequências numéricas, atingindo patamares acima de 72,2%, em detrimento às sequências pictóricas. Com exceção do LD4, que traz somente tarefas de sequências numéricas, todos os outros quatro livros apresentam tarefas que abordam tanto as sequências numéricas quanto as sequências pictóricas. Podemos considerar como um ponto positivo o fato da sequência numérica perpassar por todos os livros didáticos da coleção, uma vez que, para Blanton e Kaput (2005), a generalização de sequências de padrões numéricos pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento funcional.

Passamos à terceira perspectiva de análise, que é a de apresentar e discutir duas tarefas de cada um dos livros dessa coleção relacionadas a sequências, a primeira e a última tarefa. Dentre as tarefas de sequência apresentadas nos livros didáticos, decidimos por expor e discutir a primeira e a última tarefa, iniciamos a análise pelo LD1 passando pelos outros livros até chegar no LD4.

Do total de 18 tarefas de sequências de padrões identificadas no LD1, cinco delas são pictóricas e todas elas são repetitivas. Das 13 tarefas de sequências de padrões classificadas como sendo numéricas, 11 delas são de sequências crescentes e duas decrescentes. A Figura 4 traz duas tarefas, a primeira e a última, de sequência de padrões do LD1.

Figura 4 – Duas tarefas de sequência de padrões do LD1.

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Fonte: Dante, 2014a, p.25 e 208, respectivamente (LD1)

A primeira tarefa que o autor propõe apresenta alguns aspectos relevantes. O primeiro deles é que a primeira tarefa de sequência do LD1 é pictórica, que reconhecemos ser um bom início para estudantes tão jovens. O outro aspecto está no enunciado em que ele deixa explícito que se trata de uma sequência e a tarefa é descobrir um padrão, ou uma regularidade. Essa tarefa vem ao encontro da afirmação de Vale et al. (2007) de que é natural a busca em encontrar regularidades nos vários aspectos da vida, como também na Matemática. Outro aspecto é que se trata de uma sequência cíclica de padrões o que, segundo Ponte, Branco e Matos (2009), ao analisar este tipo de sequências os estudantes têm oportunidade de continuar a sua representação, pintando os quatro últimos chapéus. A referida tarefa deixa explícito que se trata de uma sequência de padrões repetitiva pictórica, que contém uma unidade composta por três elementos (chapéu rosa, chapéu azul e chapéu amarelo) e que se repete ciclicamente.

Na Figura 4b temos a última tarefa de sequência apresentada no LD1, que tem uma peculiaridade interessante, pois o estudante poderá recorrer ao raciocínio recursivo, contudo não no sentido de observar os termos anteriores para descobrir a regularidade, pois é solicitado o primeiro termo da sequência. Essa tarefa, classificada como sequência de padrões numérica crescente, tem uma sequência numérica finita de cinco termos, sendo que são três os termos conhecidos estão no centro da sequência. Essa sequência favorece que o estudante desenvolva o sentido de número, antecessor e sucessor, organizando uma base para o desenvolvimento de sua capacidade de generalização (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009).

O LD2 apresenta 24 tarefas relacionadas a sequências de padrões, sendo 20 delas sequência de padrões numéricas e as outras quatro tarefas de sequência de padrões foram classificadas como pictórica. Na Figura 5 estão duas tarefas representativas daquelas apresentadas ao longo do LD2.

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(a)

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Fonte: Dante, 2014a, p.19 e 201, respectivamente (LD2)

Como podemos observar na Figura 5a, a primeira tarefa, apresentada no LD2 é uma sequência numérica crescente com padrão de 1 em 1, sendo que a primeira pergunta é qual o próximo número da sequência. Como o padrão de regularidade da sequência é de 1 em 1, o próximo número poderá não ser um fator de complexidade para os estudantes. Contudo, o segundo comando de completar a sequência, mesmo sendo de 1 em 1, ele pede que seja da esquerda para a direita e nesse caso a sequência deve iniciar com o número zero. Esse é um aspecto interessante, ressalta a importância do número zero, pois caso o estudante inicie com o número 1, que acreditamos ser o mais natural, ele terá dois números iguais a 7 na sequência. Ele terá que estudar as possibilidades de preencher as lacunas, uma vez que não pode sobrar nenhum espaço vazio e tampouco ter dois números iguais nessa sequência. Essa tarefa pode se tornar instigante, proporcionando ao estudante a exploração, a investigação, a conjectura, promovendo a comunicação de ideias matemáticas (BORRALHO; BARBOSA, 2009).

A última tarefa, a Figura 5b, de sequência apresentada no LD2 é uma sequência numérica e crescente. No manual do professor o autor propõe: “peça aos alunos que descubram regularidades nessa tabela. Por exemplo, como são os números nas linhas, nas colunas, etc” (Dante, 2014a, p. 201), sendo que essa proposta vem ao encontro. Ponte, Branco e Matos (2009) abordam este tipo de tarefa como uma oportunidade de

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proporcionar aos estudantes a exploração de sequências finitas de números, fazendo com que eles descrevam as possíveis regularidades encontradas. Além disso, a partir da proposta do autor, é possível trabalhar com a generalização aritmética, fazendo com que os estudantes pensem nas operações e as propriedades associadas, como a comutatividade da multiplicação, compreendam a igualdade como uma relação, ao sugerir todos os produtos iguais a 12 (BLANTON; KAPUT, 2005).

No LD3 identificamos 30 sequências numéricas destas: 28 crescente, e 02 decrescente. Também encontramos cinco sequências pictóricas, sendo que quatro são repetitivas. No manual do professor, o autor enfatiza a importância dos estudantes observarem as regularidades das tarefas relacionadas às tabuadas, por exemplo, a tabuada do 2 é uma sequência dos números pares; a tabuada do 5 tem sua influência na leitura dos minutos no relógio de ponteiros; e a tabuada do 6 são referências nos assuntos que se refere a dúzia e meia dúzia. Essa ênfase feita pelo autor vem ao encontro das ideias de Vale et al. (2007) ao afirmar que encontrar regularidades, nos vários aspectos da vida cotidiana, é muito natural e isso também acontece na Matemática. Além disso, as autoras asseveram que é possível iniciar o estudo de padrões desde muito cedo, passando pelos Anos Iniciais, o que favorece a aprendizagem de álgebra de forma intuitiva.

Na Figura 6 a seguir, apresentamos as duas sequências, a primeira e a última, do LD3 que analisamos.

Figura 6: Duas tarefas de sequências de padrões do LD3.

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Fonte: Dante, 3º ano, 2014a, p. 18 e 90, respectivamente (LD3)

O objetivo do primeiro capítulo deste livro é a compreensão, a leitura e a escrita do sistema de numeração decimal e logo após sua sétima tarefa o autor propõe um desafio que identificamos como a primeira tarefa de sequência.

É possível identificar que a tarefa da Figura 6a de sequência pictórica que o autor traz no LD3 não é tão simples quanto àquela apresentada no LD1, que o padrão de regularidades era as cores. O autor destaca em sua orientação ao professor que: “a regra é repetir e acrescentar um tracinho entre cada par de tracinhos”, o que significa que trata-se de uma trata-sequência pictórica crescente. Além dessa orientação, podemos admitir que trata-se o estudante responder que a regularidade dessa tarefa, sendo a quantidade de tracinhos da figura como sendo o dobro de tracinhos da figura anterior, de todo modo ele utiliza o raciocínio recursivo. Isso significa que o estudante descobre o próximo termo da sequência tendo em vista o termo anterior. Nessa tarefa seria possível trabalhar a generalização, uma vez que o 1º desenho tem 2 tracinhos (2), o 2º tem quatro tracinhos (2 x 2), o 3º tem oito tracinhos (2 x 2 x 2) e assim por diante, que poderia ser trabalhado oralmente. Nos Anos Finais, essa sequência poderia ser generalizada utilizando a potência de base 2, o que ainda não seria viável no 3º ano.

Por outro lado, apesar do autor colocar a regra, ele também deixa explícito que a quarta figura é uma “Resposta possível”, o que significa que a resposta do estudante seja diferente, como, por exemplo, repetir a primeira figura e tornar a sequência repetitiva pictórica. Quanto a isso, Ponte (2007) adverte e destaca alguns pontos reversos e um deles é exatamente pensar que existe uma única forma correta de dar continuidade a um padrão em uma determinada sequência, a partir de um número finito de termos. Ele complementa que é preciso que o professor fique atento às respostas de seus estudantes, que ele analise e avalie essas outras possibilidades.

A segunda tarefa é uma sequência numérica crescente cujo padrão de regularidade é acrescentar 7 ao termo anterior, sendo que o primeiro deles é 1. É possível descobrir essa regularidade calculando a diferença entre dois termos consecutivos, que é 7. Para esse ano escolar a resolução dessa tarefa, necessariamente, passaria pelo raciocínio recursivo, uma vez que a generalização para essa sequência numérica seria, pensando em Progressão Aritmética (PA), an = 7n - 6, em que n é a posição do termo, an

é o termo geral. Como é possível notar, essa generalização traz certa complexidade se pensarmos em estudantes do 3º ano do Ensino Fundamental. Os resultados apresentados por Porto (2018) mostram que os estudantes de 3º e 5º anos foram capazes de descobrir os elementos da sequência de padrões mais próximos, mas tiveram dificuldade em identificar elementos mais distantes e, portanto, não conseguiram generalizar.

Nas notas que o autor coloca no Manual do professor na resposta da tarefa ele adverte com expressão: “resposta possível”. No manual do professor, o autor adverte que caso isso ocorra que o professor peça ao estudante que explique qual foi seu raciocínio. Essa advertência vem ao encontro do que Ponte (2007) afirma que numa sequência finita de termos é possível que haja mais de uma resposta correta.

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Passaremos para as tarefas de sequência apresentadas no LD4 e que trouxemos dois exemplos na Figura 7.

(a)

(b)

Fonte: Dante, 4º ano, 2014b, p.19 e 31, respectivamente (LD4)

A primeira tarefa, Figura 7a, de sequência de padrões do LD4 traz dois itens, (a) e (b) em algarismo romano. No item (a) classificamos como uma sequência de padrões numérica e crescente (de 5 em 5), que o estudante poderá responder utilizando o raciocínio recursivo. Entretanto, essa é uma boa tarefa para criar oportunidade dos estudantes generalizarem padrões aritméticos (LUNA; SOUZA, 2013). Para tanto, é possível trabalhar a relação da posição do termo e o seu respectivo valor: 1º termo V como sendo , no 2º termo X como , no 3º termo XV como e assim por diante. Tal raciocínio pode oportunizar o desenvolvimento do pensamento funcional, em especial estudante do 4º ano escolar que poderá ser capaz de compreender.

Já no item (b) trata-se de uma sequência de padrões numérica e decrescente (2 em 2) que para esse ano escolar o ideal é trabalhar com o raciocínio recursivo, uma vez que se pensarmos na generalização teríamos que recorrer à PA, o termo geral seria an =

24 - 2n, sendo que n é a posição do termo. É possível que essa generalização apresente certa complexidade se pensarmos em estudantes do 4º ano do Ensino Fundamental. Blanton et al. (2007) ressaltam que ao trabalhar com a Early Algebra é preciso

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desconsiderar a possibilidade de oferecer aos estudantes somente tarefas as quais tenham pleno domínio aritmético para resolve-las. Ao contrário é preciso oferecer a eles a oportunidade de pensar matematicamente, raciocinar algebricamente e expressar suas ideias.

A 2º tarefa traz seis sequências numéricas crescentes e trabalha, em cinco delas com centenas, contudo seguindo o mesmo raciocínio recursivo, acrescente uma unidade no termo anterior para a sua resolução. A generalização dessa tarefa também passaria pela PA, que tem um nível de complexidade semelhante ao item (b) da figura 7a, embora possa ser trabalhada, uma vez que a própria BNCC (BRASIL, 2017, p.226) traz que a “unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento – pensamento algébrico”. Desse modo, é preciso trabalhar não conceitos algébricos, mas desenvolver no estudante o pensamento algébrico.

No LD5 aparecem 10 tarefas de sequências de padrões, destas duas são pictóricas e oito são numéricas e crescentes; trouxemos na Figura 8 duas destas tarefas para análise.

(a)

(b)

Fonte: Dante, 5º ano, 2014b, p. 27 e 183, respectivamente (LD5)

Na Figura 8a, temos uma tarefa de sequência de padrões repetitiva pictórica em que o que se quer saber é qual a cor da bandeira que ocupa a vigésima oitava. O estudante pode verificar uma a uma até chegar à resposta ou reconhecer algum padrão.

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Por exemplo, abaixo das bandeirinhas verdes, encontramos os números 3, 6 e 9, ou seja, um número múltiplo de 3 é a posição das bandeirinhas verdes, logo a 28ª bandeirinha é amarela, pois 28 não é múltiplo de 3. Nessa tarefa já é solicitado ao estudante a cor de uma bandeirinha que está distante da última bandeirinha exposta. Ele poderá resolver recursivamente, desenhando e pintando bandeirinhas, uma a uma, até chegar na 28ª, mas o ideal que ele seja instigado a reconhecer o padrão da bandeirinha verde.

Na segunda tarefa, Figura 8b, a sequência de padrões apresentada no LD5, o autor utiliza um desenho que representa regiões triangulares, que auxilia encontrar a resposta do item (a). Segundo Ponte, Branco e Matos (2009), os principais objetivos da análise de sequências pictóricas crescentes é desenvolver as capacidades de generalização além de utilizar a linguagem algébrica para expressar as generalizações. Essa linguagem algébrica pode ser incentivada ao atender a sugestão do autor no item (c) da própria tarefa “Peçam aos alunos que relatem como construíram a sequência”.

Já para responder o item (b), o estudante precisa descobrir o padrão dessa sequência que está ligada a posição (construção) do termo. O primeiro triângulo está na 1ª posição logo seria ; na 2ª posição a região triangular é formada por 4 triângulos então ; na 3ª posição, se contarmos os triângulos pela figura temos o total de 9 unidades, pela regularidade temos = 9; Portanto na 4ª posição temos

unidades. A generalização formal dessa tarefa é a função polinomial do 2º grau, que no caso o é a posição e o representa a quantidade de triângulos da referida posição, ou seja, . Evidentemente não faria sentido algum para o estudante essa formalidade, embora seja possível que ele compreenda que para conseguir a quantidade de triângulos é multiplicando o número da posição por ele mesmo.

Nas tarefas apresentadas nessa coleção não foi pedida a generalização de maneira formal, de fato, Ponte, Branco e Matos (2009) afirmam que nos primeiros anos escolares, a linguagem para expressar a generalização é a linguagem natural. Para esses autores, trabalhar sequências em sala de aula oportuniza o desenvolvimento do pensamento algébrico do estudante.

Teixeira (2016) para desenvolver a relação funcional em sua pesquisa, iniciou com tarefas de sequências (pictórica e numérica) no intuito de explorar a capacidade de observação, comparação e generalização. Baseado no resultado, ele afirma que os estudantes do 5º ano estão cognitivamente aptos a trabalhar com sequências pictóricas, além de favorecer no desenvolvimento do raciocínio funcional.

As tarefas apresentadas estão condizente com que determina a BNCC (BRASIL, 2017) sobre a importância do trabalho com sequências (recursivas e repetitivas) para o reconhecimento de padrões, influenciando no desenvolvimento do pensamento algébrico dos estudantes e consequentemente auxiliando na compreensão dos procedimentos matemáticos futuros.

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Este artigo teve como objetivo investigar como os livros didáticos têm abordado o pensamento algébrico, considerando o ponto de vista da sequência. Uma maneira de visualizar a sala de aula, é analisar o livro didático, por ser uma importante ferramenta, um aliado que auxilia o professor e o estudante. Embora analisamos uma coleção de livros didáticos, aprovada pelo PNLD de 2016 e que, portanto, sua edição foi anterior à BNCC (BRASIL, 2017), a nossa inquietação foi nesse sentido, como eles abordam, se é que abordam conceitos relacionados à Early Algebra, em especial da sequência.

Após a escolha, seguindo alguns critérios, analisamos a coleção de livros didáticos Projeto Ápis: Alfabetização Matemática, a mais distribuída segundo o PNLD 2016, do 1º ao 5º ano, cujo autor é o professor doutor Luiz Roberto Dante. Fizemos a princípio uma contagem das tarefas que estavam relacionadas à sequência e constatamos que elas apareceram em todos os cinco livros da coleção. Do nosso ponto de vista, é um dado importante, visto que as diversas pesquisas que trouxemos apontam que o estudo de sequências de padrões é uma forma promissora de gerar o pensamento algébrico.

Em seguida, realizamos a contagem das sequências de acordo com classificação pictórica ou numérica. Como resultado, foi possível observar que as sequências numéricas apareceram em todos os livros da coleção e, as de sequências pictóricas quatro dos cinco livros foram contemplados. Novamente, esse foi um resultado importante, visto que tivemos sequências pictóricas repetitivas e sequências pictóricas crescentes, cujas resoluções são distintas. No que se refere às sequências numéricas, todas as apresentadas foram crescente, contudo algumas delas poderiam ser resolvidas somente de forma recursiva, uma vez que a generalização poderia ser ainda incompreensível para o estudante.

Feito isso, iniciamos a apresentação e discussão de duas tarefas de cada um dos livros didáticos, o primeiro e o último. Ao analisarmos as tarefas identificamos que elas são, de certa forma, semelhantes. O que distingue uma da outra é o que está sendo solicitado. Enquanto no 1º ano é solicitado que o estudante continue pintando os chapéus seguindo o padrão, no 5º ano o estudante é solicitado que ele responda qual a cor da 28ª bandeirinha. Essa postura do autor ressalta e reafirma a importância do trabalho com sequências ser uma constante, que esteja presente em todos os anos escolares, o que permitirá um salto qualitativo, ou seja, que os estudantes possam progredir partindo do raciocínio recursivo para o raciocínio funcional.

Retomando nosso objetivo, que foi investigar como os livros didáticos têm abordado o pensamento algébrico, considerando o ponto de vista da sequência, podemos afirmar que essa coleção de livros didáticos analisada traz tarefas de sequência que potencializam o desenvolvimento do pensamento algébrico nos estudantes ao longo dos Anos Iniciais, de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017). As tarefas apresentadas levam em conta o que as pesquisas constatam que a busca em encontrar regularidades em sequências é natural e, portanto, uma boa introdução ao pensamento algébrico, uma vez que a partir dele pode ser trabalhado a relação funcional. O autor soube explorar a sequência desde o 1º ano, aumentando o grau de dificuldade, na medida que avança o ano escolar, favorecendo a aprendizagem da álgebra de modo intuitivo.

(19)

O fato de termos analisado o Manual do Professor, foi possível observar a preocupação do autor para que o professor fique atento às diferentes respostas que seus estudantes apresentam. Nesse sentido, ratifica o que afirmam os pesquisadores, que é preciso que os estudantes sejam encorajados a explorar, investigar as tarefas oferecendo a oportunidade aos estudantes para que possam construir conjecturas, regularidades de forma que essas sejam justificadas e explicitadas. Finalmente, cabe ressaltar que as tarefas podem se tornar grandes aliadas do professor para promover o pensamento algébrico nos seus estudantes, o que refletirá de modo significativo na aprendizagem da álgebra formal dos anos posteriores.

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