Capítulo 8 – Conservação de Momento
Sistema de 2 partículas
Forças Internas e Externas
Sejam
as forças internas (aparecem aos pares) que 2 faz sobre 1 e que 1 faz sobre 2,
respectivamente. Sejam
as forças externas sobre 1 e 2, respectivamente. Então
Onde
são os vetores momento linear das partículas 1 e 2, respectivamente.
Somando, teremos
Pela 3ª. Lei,
. Por outro lado,
é a força resultante externa.
Chamamos de momento linear total do sistema:
Logo,
Num processo de colisão em que não há forças externas,
e
é um vetor constante.
Note que a força externa resultante está atuando sobre um sistema de massa total
, o que
nos permite definir o vetor posição de centro de massa
para um sistema de 2 partículas
Que define as 3 componentes cartesianas de
Denominamos
o momento linear total no referencial de laboratório. Para obter o vetor momento no
referencial de um observador em repouso no centro de massa, fazemos a transformação de coordenadas
Obviamente,
pois a coordenada do CM no referencial de CM é nula (a origem).
Podemos definir o vetor velocidade do CM no referencial de laboratório
No referencial de CM teremos
Logo,
E o vetor aceleração do CM no referencial de laboratório
No referencial de CM teremos
Sistema de N partículas
Somando em i
Como a interação de pares se cancela, isto é,
e
é a força externa total,
teremos
Definimos a massa total
e o vetor posição do centro de massa
no referencial de
laboratório
Transformando para o referencial de CM:
, temos
Derivando em relação ao tempo
O vetor é o vetor momento linear total do sistema.
Conservação de Momento
Se não existe força resultante externa então haverá conservação do vetor momento linear total
Logo, se F
eé zero, o CM permanece em repouso (se já estava) ou com velocidade constante.
Vejamos qualitativamente o exemplo: duas partículas de massa
unidas por uma mola sem massa
de constante . Elas estão sobre uma superfície horizontal e são inicialmente comprimidas e liberadas a a
partir do
repouso. Se:1) Não há atrito – as forças horizontais nas partículas são internas e iguais a (em módulo) kx (x é a elongação da mola a partir do seu comprimento livre.
Neste caso não há força resultante (nem horizontal nem vertical) o vetor momento linear total do sistema se conserva (era zero e continuará zero)
O centro de massa está em repouso e assim permanecerá e os vetores velocidades de 1 e 2 têm
mesma direção e sentidos opostos. A oscilação é eterna.
2) Há atrito. Se supusermos que o coeficiente de atrito é o mesmo para 1 e 2 então as forças de
atrito serão
. Se
então as forças de atrito não se cancelam e haverá uma
força resultante externa, o centro de massa não ficará em repouso e a oscilação cessará depois
de algum tempo. Se
, as forças de atrito se cancelam, o centro de massa ficará em
repouso e a oscilação cessará depois de algum tempo.
Quando lançamos uma granada e ela explode no ar, o CM continua fazendo a trajetória
parabólica inicial, enquanto seus fragmentos farão trajetórias parabólicas novas que dependerão
de suas velocidades e orientações.
Centro de Massa para um Sistema Contínuo
Centro de massa de uma barra uniforme de comprimento L
Centro de massa de uma barra não uniforme
L
dx
x
x
Centro de Massa de uma placa triangular e uniforme de lados a e b (veja figura abaixo)
