Física Geral II – FIS052 – EAD
Semana 7: Aulas 13 e 14
Professor: Adhimar Flávio Oliveira 15 de Setembro de 2014
Conteúdo
1 Instruções 1
1.1 Biblioteca Virtual . . . 1 1.2 Atividades . . . 2
2 Trabalho e potência no movimento de rotação 2
3 Momento angular 4
3.1 Momento angular de um corpo rígido . . . 5
4 Conservação do Momento Angular 5
5 Exercícios 7
6 Questões 7
1
Instruções
1.1 Biblioteca Virtual
Em nossa disciplina vamos utilizar a Biblioteca Virtual da Unifei. Para acessá-la vocês devem:
1. acessar o link: https://unifei.bv3.digitalpages.com.br
2. em login digite sua matrícula,
3. e na senha digite sua data de nascimento no formato ddmmaa
1.2 Atividades
1. Acessar a Biblioteca Virtual da Unifei, no livro texto Young, H.D. e Freedman, R. A., Física I, Editora Addison Wesley, 12a edição, São Paulo, SP, 2008.
2. Estudar as seções 10.4 Trabalho e potência no movimento de rotação (página 329), 10.5 Momento angular e 10.6 Conservação do momento angular (página 334). É muito importante refazer e entender os exem-plos.
3. Resolver os exercícios e questões apresentados nas seções 5 e 6 deste texto.
4. Postar na ferramenta Portfólio em Portfólios Individuais aos exercícios e questões pedidos no item 3, compartilhando apenas com os Forma-dores. Não esqueça de associar a atividade a avalição da Semana.
Em caso de dúvidas utilize a ferramenta Correio ou o Fórum Dúvidas e Su-gestões.
Para auxiliar no estudo, no texto a seguir é apresentado um re-sumo sobre o tema abordado no livro texto.
2
Trabalho e potência no movimento de rotação
Considere a Figura 1.
A roda gira produzindo um deslocamento angular infinitesimal dθ em
torno do eixo fixo durante um intervalo de tempo infinitesimaldt.
dw=FtgdS, (1)
ondedS=Rdθ, logo
dw =FtgRdθ, (2)
ou,
dw=τzdθ (3)
O trabalho total W realizado pelo torque durante um deslocamento an-gular deθ1 aθ2 é
w=Z θ2 θ1
dw=Z θ2 θ1
τzdθ (4)
w=τz(θ2−θ1) =τz∆θ (5)
Quando o torque é expresso em N.m e o deslocamento em radianos o trabalho é expresso em Joules. Quando o torque realizada trabalho sobre um corpo rígido, a energia cinética varia de uma quantidade igual ao trabalho realizado.
τzdθ = (Iαz)dθ (6)
= Idωz dt dθ=I
dθ
dtdωz (7)
= Iωzdωz (8)
wtot = Z ω2
ω1
Iωzdωz = 1 2I(ω
2 2−ω
2
1) (9)
E a potência associada pode ser obtida pela Equação 10.
dw=τzdθ (10)
Dividindo ambos os membros da Equação 10 por dt
dw dt =τz
dθ
dt, (11)
ou,
P =τzωz (12)
Exemplo 1: Um anúncio fazendo propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um automóvel afirma que o motor desenvolve 1,49×105W
para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o torque desenvolvido pelo motor? Exemplo 2: Um motor elétrico exerce um torque constante de 10 Nm sobre um esmeril montado em seu eixo motor. O momento de inércia é 2,0 kgm2.
Figura 2:
3
Momento angular
O momento angular é uma grandeza análoga ao momento linear. Para uma partícula com massa m, velocidade~v, momento linear
~
p=m~v (13)
e vetor posição~r em relação a origem O, definimos o momento angular ~L
(Figura anterior) como
~
L=~r×~p=~r×m~v (14)
A unidade no SI do momento angular é okgm2 /s
O momento angular L~ é ortogonal ao plano xy.
L=mvrsinφ (15)
Quando uma força F~ atua sobre uma partícula, sua velocidade e seu
momento linear variam de modo que o momento angular também varia
d~L dt =
d~r
dt ×m~v
+~r×md~v
dt
(16)
d~L
dt = (~v×m~v) + (~r×m~a (17)
d~L
dt =~r×F~ =~τ (18)
Figura 3:
3.1 Momento angular de um corpo rígido Considere a Figura 3.
Li =miviri =miriωri =mir
2
iω (19)
O momento angular total é
L=X
Li= ( X
miri2)ω=Iω (20)
onde I é o momento de inércia da fatia em torno do eixo Oz.
Para um corpo rígido que gira em torno de um eixo de simetria, ~L e ~ω
possuem a mesma direção e sentido. Logo é válida as relações vetoriais:
~
L=I~ω (21)
X
~τd~L
dt. (22)
Exemplo 3: A hélice da turbina de um motor a jato possui momento de inércia 2,5kgm2 em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a
gira, sua velocidade angular em função do tempo é dada por
ωz = (40rad/s
3
)t2 (23)
a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo e ache seu valor no instante t=3,0s. b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para t=3,0s.
Resolução no livro texto!
4
Conservação do Momento Angular
X
~τ = d~L
dt = 0 (24)
Lza =Lzb, (25)
ou ainda,
Iaωza =Ibωzb. (26)
Exemplo 4: Um acrobata professor de física está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo os braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0kg em cada mão. Ele gira em torno de um eixo vertical e completa uma volta em 2,0s. Calcule a nova velocidade angular do pro-fessor, quando ele aproxima os dois halteres do estômago. Seu momento de inércia é igual a 3,0kgm2, quando seus braços estão estendidos, diminui
para 2,2 kgm2 quando suas mãos estão próximas do estômago. Os halteres
estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e a distância final é igual a 0,20 m. Considere os halteres como partículas. Discuta também a variação da energia cinética.
Exemplo 5: Dois discos: um deles A é o volante de um motor e o outro B é um disco ligado a um eixo de transmissão. Seus momentos de inércia são IA e IB; inicialmente eles estão girando com velocidade angular ωA e
ωB, respectivamente. A seguir, empurramos os dois discos juntos, aplicando forças que atuam ao longo do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois dis-cos surge torque em relação ao eixo. Os disdis-cos se deslocam unidos e acabam atingindo a mesma velocidade angular finalω. Deduza uma expressão para
ω.
Exemplo 6: No exemplo anterior suponha que o volante A possua massa de 2,0 kg e raio de 0,20 m e uma velocidade angular inicial de 50 rad/s e a embreagem B possua massa de 4,0 kg, um raio de 0,10 m e uma velocidade angular inicial de 200 rad/s. Calcule a velocidade angular comum final ω
depois que os discos ficam em contato. A energia cinética se conserva du-rante o processo?
5
Exercícios
1. Um carrossel de um parque de diversões possui raio de 2,40 m e mo-mento de inércia igual a 2100 kg.m2
em torno de um eixo vertical passando em seu centro e gira com atrito desprezível. a) Uma criança aplica uma força de 18,0 N tangencialmente à periferia do carrossel durante 15,0 s. Se o carrossel está incialmente em repouso, qual é sua velocidade angular depois deste instante de tempo de 15,0 s? b) Qual é o trabalho realizado pela criança sobre o carrossel? c) Qual é a potência média fornecida pela criança? (0,309 rad/s, 100 J, 6,67 W)
2. Uma mulher com massa de 50 kg está em pé sobre a periferia de um grande disco que gira com 0,50 rev/s em torno de um eixo que passa através do seu centro. O disco possui massa de 110 kg e raio igual a 4,0 m. Calcule o módulo do momento angular total do sistema mulher-disco (Suponha que a mulher possa ser tratada como um ponto.)
3. Sob determinadas circunstâncias, uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto extremamente denso, constituído princi-palmente por nêutrons e chamado estrela de nêutrons. A densidade de uma estrela de nêutrons é aproximadamente 1014 vezes maior do que
a da matéria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela era de 7,0×105 km (comparável com o raio do Sol); seu rio final é igual a
16 km. Suponha que a estrela original completava um giro em 30 dias, ache a velocidade angular da estrela de nêutrons. (4,6×103rad/s)
4. Suponha que um asteróide se desloque diretamente para o centro da Terra e venha a colidir com o nosso planeta na altura do Equador, penetrando na superfície terrestre. Qual teria de ser a massa desse asteróide em relação à massa M da Terra, para que o dia ficasse 25% mais longo do que atualmente, em decorrência da colisão? Suponha que o asteróide seja muito pequeno em comparação com a Terra e que a Terra seja homogênea.
6
Questões
1. Se toda a população do mundo se transferisse para a Antártida, a duração do dia seria alterada? Em caso positivo, de que modo?
