TEORIA DAS PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
• Experimento aleatório: É um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições.
• Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicamos o espaço amostral por Ω.
• Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral.
Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer. 2. Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos
• Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral. • Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.
Ex.: 1 Lançar um dado e registrar os resultados: Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e maior que zero. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Portanto A = Ω , logo o evento é certo. Evento B: Ocorrência de um número maior que 6. B = ∅
Não existe número maior que 6 no dado, portanto o evento é impossível Evento C: Ocorrência de um número par.
C = {2, 4, 6}
Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3. D = {3, 6}
Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3.
E = C ∪ D ⇒ E = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} ⇒ E = {2, 3, 4, 6} União de eventos
Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3.
F = C ∩ D ⇒ F = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} ⇒ F = {6} Interseção de eventos
Evento H: Ocorrência de número ímpar H = {1, 3, 5}
Obs.: C e H são chamados eventos complementares. Observe que C ∩ H = ∅. Quando a interseção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos.
PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO
)
(
)
(
)
(
de
elementos
de
número
A
de
elementos
de
número
)
(
Ω
=
⇒
Ω
=
n
A
n
A
P
A
P
Ex.: 1 Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: Ω = {cara, coroa} ⇒ n(Ω) = 2
Evento A: A = {cara} ⇒ n(A) = 1 Como
)
(
)
(
)
(
B
n
A
n
A
P
=
, temos2
1
)
(
A
=
P
ou 0,50 = 50% Ex.: 2 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6 Evento A: A = {5, 6} ⇒ n(A) = 2
3
1
)
(
6
2
)
(
)
(
)
(
)
(
⇒
=
⇒
=
Ω
=
P
A
P
A
n
A
n
A
P
ou 0,33 = 33%Ex.: 3 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) pelo menos 2 caras? b) Exatamente 2 caras ? C = cara K = coroa Ω = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} ⇒ n(Ω) = 8 a) A = {CCC, CCK, CKC, KCC} ⇒ n(A) = 4
%
50
2
1
8
4
)
(
A
=
=
=
P
b) B = {CCK, CKC, KCC} ⇒ n(B) = 30
,
375
37
,
5
%
8
3
)
(
B
=
=
=
P
Ex.: 4 Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser:
a) ímpar b) par? C) múltiplo de 6? D) múltiplo de 4? E) maior que 780? Ω = {789, 798, 879, 897, 978, 987} ⇒ n(Ω) = 6 a) Evento A: ser ímpar ⇒ A = {789, 879, 897, 987} ⇒ n(A) = 4 % 66 66 , 0 3 2 6 4 ) (A = = = = P b) Evento B: ser par ⇒ B = {798, 978} ⇒ n(B) = 2 0,33 33% 3 1 6 2 ) (B = = = = P c) Evento C: ser múltiplo de 6 ⇒ C = {798, 978} 0,33 33% 6 2 ) (C = = = P d) Evento D: ser múltiplo de 4 ⇒ D = ∅ ⇒ n(D) = 0 % 0 0 6 0 ) ( ) ( ) ( = = = Ω = n D n D P
e) Evento E: ser maior que 780 ⇒ E = Ω ⇒ n(E) = 6 % 100 1 6 6 ) ( ) ( ) ( = = = Ω = n E n E P
Ex.: 5: Consideremos todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7?
___ ___ ___ ___
360
!
2
!
2
.
3
.
4
.
5
.
6
!
2
!
6
)!
4
6
(
!
6
)
(
6,4=
=
=
−
=
=
Ω
A
n
3 ___ ___ 712
!
2
!
2
.
3
.
4
)!
2
4
(
!
4
)
(
4,2=
=
−
=
= A
A
n
%
33
,
3
033
,
0
30
1
360
12
)
(
)
(
)
(
=
=
≅
=
Ω
=
n
A
n
A
P
Ex. 6: Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens:
a) ele gostar de música;
b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades. N(Ω) = 75
gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44
não gostam de nenhuma dessas atividades: 75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11 a) a probabilidade de gostar de música: 58%
75 44 ) ( ) ( ) ( = ≅ Ω = n A n A P
b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades: 14% 75 11 ) ( ) ( ) ( = ≅ Ω = n B n B P
M
L
E
6
8
16
6
14
5
9
11
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral Ω. Da teoria dos conjuntos sabemos que:)
(
)
(
)
(
)
(
A
B
n
A
n
B
n
A
B
n
∪
=
+
−
∩
Dividindo os membros da equação por n(Ω), temos: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ω ∩ − Ω + Ω = Ω ∪ n B A n n B n n A n n B A n ⇒P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
Exemplo 1: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar? Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6Evento A: número 3 ⇒ A = {3} ⇒ n(A) = 1
Evento B: número ímpar ⇒ b = {1, 3, 5} ⇒ n(B) = 3 A ∩ B = {3} ∩ {1, 3, 5} = {3}
n(A ∩ B) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 6 1 6 3 6 1 − + ⇒ P(A ∪ B) = 6 3 P(A ∪ B) = 2 1 ou 50%
Exemplo 2: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?
N(Ω) = 52
Evento A: a carta é vermelha ⇒ n(A) = 26 Evento B: a carta é ás ⇒ n(B) = 4 n(A ∩ B) = 2
)
(
)
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
P
A
B
P
∪
=
+
−
∩
52 2 52 4 52 26 ) (A∪ B = + − P ⇒ 52 28 ) (A∪ B = P % 8 , 53 13 7 ) (A∪ B = ≅ PPROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
A probabilidade de não ocorrer o evento A é a probabilidade de ocorrer o evento complementar de A, representado por
A
.Nessas condições, temos
A
∪
A
=
Ω
e
A
∩
A
=
∅. Logo,P
(
Ω
)
=
P
(
A
∪
A
)
. Então,1
=
P
(
A
)
+
P
(
A
)
⇒P
(
A
)
=
1
−
P
(
A
)
Exemplo 1: No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, vamos calcular a probabilidade de NÃO sair soma 5.
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. ⇒ n(Ω) = 36. Seja A o evento “sair soma 5”. Então:
A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ⇒ n(A) = 4 9 1 36 4 ) ( ) ( ) ( = = Ω = n A n A P 9 8 ) ( 9 1 1 ) ( ) ( 1 ) (A = −P A ⇒P A = − ⇒P A = P Exemplo 2: Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é a probabilidade de que: a) Os três sejam perfeitos? b) Os três sejam defeituosos? c) Pelo menos um seja defeituoso?
N(Ω) = nº de combinações de 50 elementos tomados 3 a 3.
N(Ω) =
19
.
600
!
47
.
6
!
47
.
48
.
49
.
50
!
47
!.
3
!
50
)!
3
50
(
!
3
!
50
3 , 50=
=
=
−
=
C
a) evento A: os três parafusos são perfeitos
14190
!
42
.
6
!
42
.
43
.
44
.
45
)!
3
45
(
!
3
!
45
)
(
45,3=
=
−
=
= C
A
n
72,4%
ou
72398
,
0
19600
14190
)
(
)
(
)
(
=
≅
Ω
=
n
A
n
A
P
b) evento B: os três parafusos são defeituosos
10
!
2
!.
3
!
3
.
4
.
5
)!
3
5
(
!
3
!
5
)
(
5,3=
=
−
=
= C
B
n
0,005%
ou
00005
,
0
19600
10
)
(
)
(
)
(
=
≅
Ω
=
n
B
n
A
P
c) evento C: pelo menos um é defeituoso, o que corresponde ao complementar de A (os três são perfeitos). Logo:
27,6%
ou
27602
,
0
)
(
72398
,
0
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
≅
=
−
=
−
=
=
C
P
C
P
A
P
C
P
A
P
C
P
PROBABILIDADES CALCULADAS
Evento
Probabilidade
Leitura ou interpretação (como se lê)
A
) ( ) ( ) ( Ω = n A n Ap Probabilidade de ocorrer o evento A
A
1
−
p
(
A
)
Probabilidade de não ocorrer o evento AB
A ∪
p
(
A
)
+
p
(
B
)
−
p
(
A
∩
B
)
Probabilidade de ocorrer A ou BB
A ∩
p
(
A
∪
B
)
Probabilidade de não ocorrer A e não ocorrer B Probabilidade de nem A, nem BB
A ∪
p
(
A
∩
B
)
Probabilidade de não ocorrer A ou não ocorrer B Probabilidade de não A ou não BB
A ∩
Error! Objects cannot
be created from editing
field codes.
Probabilidade de ocorrer A, mas não ocorrer B Probabilidade de A, mas não B
Probabilidade de um, mas não o outro
EXERCÍCIOS
01) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja: a) Um número par?
b) Um número primo? c) O número 3?
d) Um número menor do que 3? e) Um número menor do que 1? f) Um número menor do que 7?
02) Num caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao acaso, retirar: a) Uma bola vermelha?
b) Uma bola branca?
03) Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 13. Dobre-os igualmente, de modo que qualquer um deles tenha a mesma “chance” de ser retirado de uma caixa. Qual é a probabilidade de que o número retirado seja:
a) Par? b) Divisível por 3? c) Um número primo? d) Maior do que 8? e) Menor do que 10? f) Um número entre 5 e 10? g) Múltiplo de 4?
04) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos e distinguíveis, um branco e outro vermelho, qual é a probabilidade de que:
a) A soma seja 7? b) A soma seja par?
c) A soma seja um número primo?
d) A soma seja maior do que 1 e menor do que 8? e) Ambos os números sejam pares?
f) Ambos os números sejam iguais?
g) O primeiro número seja múltiplo do segundo?
DADO BRANCO D V A E D R O M E L H (1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6) (2 , 1) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 , 5) (2 , 6) (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (3 , 5) (3 , 6) (4 , 1) (4 , 2) (4 , 3) (4 , 4) (4 , 5) (4 , 6) (5 , 1) (5 , 2) (5 , 3) (5 , 4) (5 , 5) (5 , 6)
O (6 , 1) (6 , 2) (6 , 3) (6 , 4) (6 , 5) (6 , 6)
05) No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que: a) Em ambas ocorra “cara”?
b) Em uma ocorra “cara” e na outra “coroa”? c) Não ocorra nenhuma “cara”?
d) Ocorra exatamente uma “coroa”.
06) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Faça um diagrama de árvore para mostrar todos os possíveis arranjos de meninos e meninas. Qual é a probabilidade de que:
a) Duas crianças sejam meninos e a outra, menina? b) Todas as crianças sejam meninas?
c) Pelo menos uma criança seja menino? d) Todas as crianças sejam do mesmo sexo? e) Nenhuma criança seja menina?
07) Numa classe há 16 homens e 20 mulheres, sendo que metade dos homens e metade das mulheres têm cabelos castanhos. Ao escolher um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que seja homem ou tenha cabelos castanhos? 08) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter “cara” ou um 6?
09) Numa equipe foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e duas responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizavam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize:
a) Somente ônibus? b) Somente carro?
c) Carro e ônibus, mas não moto? d) Nenhum dos três veículos? e) Apenas um desses veículos?
10) Suponhamos que A e B sejam eventos de um mesmo espaço amostral e que
p
(
A
)
=
0
,
4
,p
(
B
)
=
0
,
3
e1
,
0
)
(
A
∩ B
=
p
. Determine a probabilidade de cada um dos eventos:a)
A ∪
B
e)A ∩
B
b)
A ∪
B
f) A mas não Bc)
A
g) B mas não Ad)
B
h) nem A nem B11) Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser retirada. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja:
a) Par? b) Primo? c) Par e primo? d) Par ou primo? e) Nem par nem primo? f) Par mas não primo? g) Primo mas não par?
12) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de não sair o 6 ?
13) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta retirada ser: a) Copas?
b) Dama?
c) Copas e dama (dama de copas)? d) Copa ou dama ?
e) Não copas? f) Não dama?
g) Nem copas nem dama?
CENTRO DE ENSINO MÉDIO 03 DO GAMA
MATEMÁTICA - PROF.: Ronaldo Luiz - 3º ANO
PROBABILIDADE – Apostila II (Teoria e Exercícios)
ALUNO(A): ____________________________________________ TURMA:______
PROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade condicional de um evento A ocorrer, já tendo ocorrido B é dada porp
(
A
/
B
)
e é calculada por:)
(
)
(
)
/
(
B
p
B
A
p
B
A
p
=
∩
oup
(
A
∩
B
)
=
p
(
A
/
B
).
p
(
B
)
Ex.: 1 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas” ? Resolução:n
(Ω
)
= 52 evento A: sair “ás vermelho” evento B: sair “copas” O que o problema pede ép
(
A
/
B
)
, ou seja, a probabilidade de sair “ás vermelho” tendo saído “copas”. evento A:{
ás de copas , ás de ouros}
evento B:{
cartas de copas}
A ∩
B
={
ás de copas}
⇒
n
(
A
∩ B
)
=
1
Logo,52
1
)
(
A
∩ B
=
p
e52
13
)
(
B
=
p
. Portanto: 13 1 52 13 52 1 ) ( ) ( ) / ( = ∩ = = B p B A p B A p Ex.: 2 Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens, já que a primeira criança que nasceu é homem ? Resolução: Neste caso, chamando M: mulher e H: homem, temos:{
,
,
,
,
,
,
,
}
⇒
(
Ω
)
=
8
=
Ω
HHH
HHM
HMM
MMM
MMH
MHH
HMH
MHM
n
evento A: a família tem 3 homens⇒
A =
{
HHH
}
evento B: a primeira criança é homem⇒
B
=
{
HHH
,
HHM
,
HMH
,
HMM
}
A
∩
B
=
{
HHH
}
;8
1
)
(
A
∩ B
=
p
; 2 1 8 4 ) (B = = p 4 1 2 1 8 1 ) ( ) ( ) / ( = ∩ = = B p B A p B A pEVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos A e B de um espaço amostral
Ω
(comp
(
A
)
≠
0
ep
(
B
)
≠
0
) são independentes se e somente se)
(
)
/
(
A
B
p
A
p
=
, ou de modo equivalente:p
(
A
∩
B
)
=
p
(
A
).
p
(
B
)
Com isso, podemos afirmar que dois eventos A e B são dependentes quandop
(
A
∩
B
)
≠
p
(
A
).
p
(
B
)
. Ex.: 1 Uma moeda perfeita é lançada duas vezes. Considerando os eventos A: sair cara na 1ª jogada e B: sair cara na 2ª jogada, demonstre que os eventos A e B são independentes. Resolução:Ω
=
{
CC
,
CK
,
KC
,
KK
}
{
}
2 1 4 2 ) ( , ⇒ = = = CC CK p A A{
}
2 1 4 2 ) ( , ⇒ = = = CC KC p B B{
}
4 1 ) ( ∩ = ⇒ = ∩B CC p A B A Como 2 1 . 2 1 4 1 = , entãop
(
A
∩
B
)
=
p
(
A
).
p
(
B
)
Logo, A e B são independentes. Ex.: 2 Consideremos uma cria de cachorros com 3 filhotes. Sejam os eventos A: obtenção de pelo menos dois machos e B: obtenção de pelo menos um de cada sexo. Os eventos A e B são independentes ? Por quê ? Resolução: m: macho; f: fêmeaΩ
=
{
mmm
,
mmf
,
mfm
,
fmm
,
mff
,
fmf
,
ffm
,
fff
}
{
}
2
1
)
(
,
,
,
⇒
=
=
mmm
mmf
mfm
fmm
p
A
A
{
}
4
3
)
(
,
,
,
,
,
⇒
=
=
mmf
mfm
fmm
mff
fmf
ffm
p
B
B
{
}
8
3
)
(
,
,
⇒
∩
=
=
∩
B
mmf
mfm
fmm
p
A
B
A
Vemos que4
3
.
2
1
8
3
=
Comop
(
A
∩
B
)
=
p
(
A
).
p
(
B
)
, temos que A e B são independentes.EXERCÍCIOS
01) Se A e B são eventos com5
3
)
(
A
=
p
,2
1
)
(
B
=
p
e10
3
)
(
A
∩ B
=
p
, determine a probabilidade de: a) A dado B Resp.: 5 3 c) A dadoA ∪
B
Resp.: 4 3 b) B dado A Resp.: 2 1 d)A ∪
B
dado A Resp.: 102) Jogam-se dois dados. Qual é a probabilidade de se obter o 4 no primeiro dado, se a soma dos resultados é 9 ? Resp.: 4 1 03) Um grupo de pessoas está classificado da seguinte maneira:
Professor Advogado Dentista
Homens 60 80 50
Mulheres 90 40 30
Definindo que H: homem; M: mulher; P: professor; A: advogado; D: dentista; escreva em palavras o que significa cada uma das expressões, supondo que cada pessoa tenha uma única profissão e calcule os valores de cada item.
a)
p
(
A
/
H
)
Resp.: 19 8 b)p
(
P
/
M
)
Resp.: 16 9 c)p
(
D
/
H
)
Resp.: 19 5 d)p
(
D
/
H
)
04) Uma família planeja ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha exatamente 2 meninas, dado que a primeira criança que nasceu é menina ? Resp.:
2 1
05) Uma moeda é lançada três vezes. Determine a probabilidade de se obter: a) 3 caras. Resp.:
8 1
b) 3 caras, dado que a primeira foi cara. Resp.: 4 1 c) exatamente 2 caras. Resp.:
8 3
d) 2 caras, dado que a primeira foi coroa. Resp.: 4 1
e) cara no 2º lançamento, dado que 2 coroas e 1 cara foram obtidas. Resp.: 3 1 f) cara no 2º lançamento, dado que 3 caras foram obtidas. Resp.: 1 g) cara no 2º lançamento, dado que pelo menos 1 cara foi obtida. Resp.:
74
06) Para ter acesso às informações de sua conta bancária, um usuário utiliza um terminal de computador, no qual ele deverá digitar seu código secreto, formado por quatro dígitos, numa determinada ordem. O usuário não se lembra exatamente do código secreto, mas lembra que o código não tem dígitos repetidos, os dígitos estão em ordem crescente e o número formado pelos dígitos é maior que 4000.
a) Qual é a probabilidade de ele digitar o código corretamente na 1ª tentativa ? Resp.: 15
1
b) Tendo errado em duas tentativas, qual é a probabilidade de ele acertar o código na terceira tentativa ? Resp.: 15
1 07) (Fuvest-SP) Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades
iguais). Com relação a esse experimento considere os seguintes eventos: I) O resultado do lançamento é par. II) O resultado do lançamento é estritamente maior do que 4. III) O resultado é múltiplo de 3.
a) I e II são eventos independentes ? Resp.: Sim b) II e III são eventos independentes ? Resp.: Não
08) Se A e B são eventos independentes com
p
(
A
)
=
0
,
2
ep
(
B
)
=
0
,
4
, determine:a)
p
(
A
∩
B
)
Resp.: 0,08 b)p
(
A
∪
B
)
Resp.: 0,5209) Se A e B são eventos independentes com
p
(
A
)
=
0
,
5
ep
(
A
∩ B
)
=
0
,
3
, determinep
(B
)
. Resp.: 0,610) Se
p
(
A
)
=
0
,
3
,p
(
B
)
=
0
,
2
ep
(
A
∪ B
)
=
0
,
4
, determinep
(
A
/
B
)
. A e B são independentes ? Resp.: 2 1 ) / (A B = p / Não11) Consideremos uma família com 3 crianças e os eventos A: a família tem no máximo 1 menino; B: a família tem crianças de ambos os sexos. Os eventos A e B são independentes ? Resp.: Sim
12) No jogo da Quina, mantida pela Caixa Econômica Federal, são sorteadas cinco dezenas de um total de 80. O apostador deve marcar um mínimo de 5 e um máximo de 8 dezenas em um volante. O valor da aposta varia de acordo com o número de dezenas marcadas, segundo a tabela ao lado:
Carlos encontrou 4 reais no bolso e decidiu apostar na sorte. Diante da porta da lotérica, olhando a tabela de preços, veio-lhe a dúvida: o que seria preferível ?
Opção 1: gastar 4 reais fazendo um volante com 8 dezenas marcadas. Opção 2: gastar 4 reais fazendo dois volantes com 7 dezenas marcadas. Opção 3: gastar 4 reais fazendo quatro volantes com 6 dezenas marcadas. Opção 4: gastar 4 reais fazendo oito volantes com 5 dezenas marcadas.
Ajude Carlos a tomar a decisão correta.
Aposta (dezenas) Preço (R$)
5 0,50
6 1,00
7 2,00
8 4,00
Resp.: A melhor escolha é a opção 1.
13) (PUC-SP) Um jogo de crianças consiste em lançar uma caixa de fósforos sobre uma mesa. Ganha quem conseguir fazer com que a caixa fique apoiada sobre sua menor face. Suponha que a probabilidade de uma face ficar apoiada sobre a mesa é proporcional à sua área e que a constante de proporcionalidade é a mesma para cada face. Se as dimensões da caixa são 2 cm, 4 cm e 8 cm, qual é a probabilidade de a caixa ficar apoiada sobre sua face menor ? Resp.:
7 1 14) (Fuvest-SP) a) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 3 2? Resp.: 16 b) Considere agora uma outra urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor vale 2 1? Resp.: 1 ou 9
15) (PUC-SP) Em uma caixa há quatro bolas vermelhas e sete bolas azuis, todas elas do mesmo tamanho. Um experimento consiste em retirar uma bola e, sem devolvê-la para a caixa, retirar uma segunda bola. Se a primeira bola retirada for azul, a probabilidade de que a segunda retirada seja vermelha é igual a:
a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% Resp.: c
16) (PUC-SP) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de três representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão ? a) 10 1 b) 12 1 c) 24 5 d) 3 1 e) 8 3 Resp.: a
17) Em uma classe de 25 alunos há dois irmãos gêmeos. Três alunos são sorteados ao acaso para apresentar um trabalho. Qual é a probabilidade de que os gêmeos estejam entre os escolhidos ? Resp.: 1%
18) (U.F. Juiz de Fora – MG) Um programa de apoio a uma comunidade conta com 7 assistentes sociais, 6 enfermeiros e 4 médicos. a) Quantos grupos distintos de 7 profissionais podem ser formados se devem participar de cada um desses grupos 3 assistentes sociais, 2 enfermeiros e 2 médicos ? Resp.: 3150 b) Qual a probabilidade de se escolher, ao acaso, um grupo de 3 assistentes sociais constituídos de duas mulheres e um homem, se dos 7 assistentes sociais, 3 são homens e 4 são mulheres ? Resp.: 35 18
19) Uma moeda é viciada de tal modo que, com ela, obter cara é três vezes mais provável que obter coroa. Qual é a probabilidade de se conseguir cara em um único lançamento dessa moeda ? Resp.:
4 3
20) Duas cartas, de um baralho de 52 cartas, são extraídas sucessivamente. Qual é a probabilidade de saírem duas cartas de um mesmo naipe, se a extração é feita:
a) Sem reposição ? Resp.:
17 4
b) Com reposição ? Resp.:
4 1
PROBABILIDADE - Apostila (Teoria e Exercícios)
TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Para se calcular a probabilidade de ocorrer a intersecção dos eventos A e B (ocorrência
simultânea de A e B), que é
P
(
A
∩
B
)
, é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles C
pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu
(
P
(
A
/
B
))
, conforme visto
em probabilidade condicional.
Exemplos:
01) Em um cesto de roupas há dez meias, das quais três estão rasgadas. Retirando-se uma meia do
cesto duas vezes e sem reposição, qual é a probabilidade de que as duas meias retiradas não
estejam rasgadas ?
02) Uma urna contém exatamente nove bolas: cinco azuis (A) e quatro vermelhas (V).
a) Retirando-se simultaneamente três bolas da urna, qual é a probabilidade de se obterem duas
bolas azuis e uma vermelha ?
O espaço amostral
(Ω é formado por todos os conjuntos possíveis de três bolas da urna. Assim,
)
temos:
O evento A que nos interessa é formado por todos os conjuntos possíveis de três bolas da urna,
sendo duas azuis e uma vermelha. Assim, temos:
n
(
A
)
=
C
5,2.
C
4,1=
10
.
4
=
40
Logo:
21
10
84
40
)
(
)
(
)
(
=
=
Ω
=
n
A
n
A
P
b) Retirando-se sucessivamente, sem reposição, três bolas da urna, qual é a probabilidade de se
obterem duas bolas azuis e uma vermelha ?
Temos três sequências possíveis, com as respectivas probabilidades:
AAV:
63
10
7
4
.
8
4
.
9
5
1=
=
P
ou
AVA:
63
10
7
4
.
8
4
.
9
5
2=
=
P
ou
VAA:
63 10 7 4 . 8 5 . 9 4 3 = = PLogo, a probabilidade total é:
21
10
63
30
63
10
63
10
63
10
3 2 1+
+
=
+
+
=
=
=
P
P
P
P
Comparando os itens a e b, acima, percebemos que a probabilidade de retirarmos simultaneamente
as bolas da urna é igual a probabilidade de retirá-las sucessivamente e sem reposição. Assim,
sugerimos que todo problema em que for pedida a probabilidade de retiradas simultâneas seja
transformado em retiradas sucessivas e sem reposição. (OBS: Nas retiradas sucessivas, a ordem dos
elementos retirados deve ser levada em consideração).
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº. 1
1) Determine os seguintes espaços amostrais:
a) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra probabilidade;
b) Uma urna contém bolas brancas, vermelhas, azuis e amarelas. Uma bolinha é extraída e
observada a
sua cor;
c) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma bolinha é extraída e observada seu
número;
d) Um dado é lançado e observado a sua face superior.
2) Considere o espaço amostral
S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
}
e os seguintes eventos:
A
=
{
2
,
3
,
4
}
,
B
=
{
1
,
3
,
5
,
7
,
9
}
,
C
=
{ }
5
,
D
=
{
1
,
2
,
3
}
e
E
=
{
2
,
4
,
6
}
.
Determine:
a)
A ∪
B
d)
B
Cb)
A ∩
B
e)
(
A ∪
B
)
Cc)
A
Cf)
A ∩
C
3) Dos eventos A, B, C, D e E do problema anterior, quais são mutuamente exclusivos?
4) Uma moeda e um dado são lançados e os resultados são colocados na forma (x,y), onde x
representa o
resultado da moeda e y representa o resultado do dado. Determine o espaço amostral e a
probabilidade
dos seguintes eventos:
a) A: ocorrer cara;
b) B: ocorrer número ímpar;
c) C: ocorrer número 3;
d) D: ocorrer
A ∪
B
;
e) E: ocorrer Error! Objects cannot be created from editing field codes.;
5) O experimento consiste no lançamento de um dado e em observar a face superior. Determine a
probabilidade dos seguintes eventos:
a) Sair face ímpar;
b) Sair face 2 ou face 3;
c) Sair face maior que 1;
d) Sair face 5;
e) Sair face menor que 7;
f) Sair face múltiplo de 9.
6) No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine
a
probabilidade de cada um dos eventos seguintes:
a) A soma ser igual a 7;
b) A soma ser um número ímpar;
c) A soma ser menor que 9;
d) A soma ser múltiplo de 3;
e) A soma ser igual a 12;
f) O produto ser menor que 10;
g) O produto ser um número de 5 a 12;
h) O produto ser um número entre 5 e 12;
7) Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso da urna.
Determine a probabilidade da bola escolhida ser:
a) branca;
b) vermelha;
c) azul;
e) ser branca ou vermelha.
8) O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres, segundo o estado civil e a
cor
dos cabelos:
Loira Morena Ruiva
Casada 5 8 3
Solteira 2 4 1
Viúva 0 1 1
Divorciada 3 1 1
Uma mulher é sorteada neste grupo. Determine a probabilidade dedos eventos:
a) A: Ser casada.
b) B: Não ser loira.
c) C: Não ser morena nem ruiva;
d) D: Ser viúva;
e) E: Ser solteira ou casada;
f) F: Ser loira e casada;
g) G: Ser morena e solteira;
9) Uma caixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças. Qual é a probabilidade de se
selecionar
ao acaso uma peça não defeituosa dessa caixa?
10) Uma moeda é lançada duas vezes. Determine as seguintes probabilidades:
a) Ocorrer exatamente uma cara;
b) Ocorrer pelo menos uma cara;
c) Ocorrer duas caras;
d) Não ocorrer cara;
11) Uma moeda é lançada três vezes. Determine as seguintes probabilidades:
a) Não ocorra coroa;
b) ocorra exatamente uma coroa;
c) ocorrer pelo menos uma coroa;
d) ocorrer pelo menos duas coroas;
e) ocorrer exatamente duas coroas;
f) ocorrer três coroas;
12) Uma moeda é lançada quatro vezes. Determine a probabilidade de ocorrer quatro caras:
13) Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada (1 a 20).
Determine a probabilidade dos seguintes eventos:
a) Ser sorteado um número par;
b) Não ser sorteado múltiplo de 5;
c) Ser sorteado um número maior que 12;
d) Ser sorteado um número de três algarismos;
e) Ser sorteado um número real.
14) Considerando os números ímpares de 1 até 19, qual a probabilidade de sortear um número maior
que 15?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE:
1) a)
S
=
{
p
,
r
,
o
,
b
,
a
,
i
,
l
,
d
,
e
}
b)
S
=
{
vermelha
,
branca
,
azul
,
amarela
}
c)
S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,...,
50
}
d)
S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
2) a)
A
∪ B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
7
,
9
}
b)
A
∩ B
=
{ }
3
c)
A
C=
{
1
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
}
d)
B
C=
{
2
,
4
,
6
,
8
,
10
}
e)
(
A
∪
B
)
C=
{
6
,
8
,
10
}
f)
A
∩C
=
{ }
3) A e C, B e E, C e D, C e E.
4)
S =
{
(
ca
,
1
),
(
ca
,
2
),
(
ca
,
3
),
(
ca
,
4
),
(
ca
,
5
),
(
ca
,
6
),
(
co
,
1
),
(
co
,
2
),
(
co
,
3
),
(
co
,
4
),
(
co
,
5
),
(
co
,
6
)
}
a)
A
=
{
(
ca
,
1
),
(
ca
,
2
),
(
ca
,
3
),
(
ca
,
4
),
(
ca
,
5
),
(
ca
,
6
)
}
⇒
n
(
A
)
=
6
.
12
6
)
(
;
P
A
=
Logo
ou 50%.
b)
B
=
{
(
ca
,
1
),
(
ca
,
3
),
(
ca
,
5
),
(
co
,
1
),
(
co
,
3
),
(
co
,
5
)
}
⇒
n
(
B
)
=
6
.
12
6
)
(
;
P
B
=
Logo
ou 50%.
c)
C =
{
(
ca
,
3
),
(
co
,
3
)
}
.
12
2
)
(
;
P
C
=
Logo
ou 16,67%.
d)
A
∪
B
=
{
(
ca
,
1
),
(
ca
,
2
),
(
ca
,
3
),
(
ca
,
4
),
(
ca
,
5
),
(
ca
,
6
),
(
co
,
1
),
(
co
,
3
),
(
co
,
5
)
}
⇒
n
(
A
∪
B
)
=
9
.
12
9
)
(
;
P
A
∪ B
=
Logo
ou 75%.
e)
B
∩
C
=
{
(
ca
,
3
),
(
co
,
3
)
}
⇒
n
(
B
∩
C
)
=
2
.
12
2
)
(
;
P
B
∩ C
=
Logo
ou 16,67%.
)
impossível
(evento
0
ou
0
6
0
f)
certo)
(evento
100
ou
1
6
6
e)
67
16
ou
6
1
d)
33
83
ou
6
5
c)
33,33%
ou
3
1
6
2
b)
50%
ou
2
1
6
3
a)
5)
%
%
%
,
%
=
=
=
=
,
6) a)
6
1
36
6
=
ou 16,67% b)
2
1
36
18
=
ou 50%
c)
18
13
36
26
=
ou 72,22% d)
3
1
36
12
= ou 33,33%
e)
36
1
ou 2,78% f)
36
17
ou 47,22%
g)
12
5
36
15
=
ou 41,67% h)
4
1
36
9
=
ou 25%
7) a)
10
3
b)
10
2
c)
10
5
d)
10
7
e)
10
5
8) a)
15
8
30
16
=
b)
3
2
30
20
=
c)
3
1
30
10
=
d)
15
1
30
2
=
e)
30
23
f)
6
1
30
5
=
g)
15
2
30
4
=
9)
8
5
40
25
=
10) a)
ou
50
%
2
1
4
2
=
b)
ou
7
5
%
4
3
c)
%
5
2
ou
4
1
d)
%
5
2
ou
4
1
11)
8
1
f)
8
3
e)
2
1
8
4
d)
8
7
c)
8
3
b)
8
1
a)
=
12)
16
1
%
%
%
,
%
,
%
,
100
ou
1
20
20
e)
0
ou
0
20
0
d)
40
ou
4
0
5
2
20
8
c)
80
ou
8
0
5
4
20
16
b)
50
ou
5
0
2
1
20
10
a)
13)
=
=
=
=
=
=
=
=
14)
0
,
2
ou
20
%
5
1
10
2
=
=
LISTA DE PROBABILIDADES -
GABARITO
1) (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de
que o número observado seja múltiplo de 8 é:
(A)
3/25 (B) 7/50 (C) 1/10 (D) 8/50 (E) 1/5
Solução. O espaço amostral (Ω) possui 50 elementos. O número de múltiplos de 8, pode ser calculado
utilizando a progressão aritmética de razão 8, com a
1= 8 (1º múltiplo) e a
n= 48 (último múltiplo).
6
8
48
n
8
n
8
8
48
8
).
1
n
(
8
48
=
+
−
⇒
=
+
−
⇒
=
=
.
O número de elementos do evento E (múltiplos de 8) é n(E) = 6. Logo,
25 3 50 6 ) E ( P = =
.
2) No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de
esse ser um número par?
(A) 1/6 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 2/5
(E)
2/3
Solução1. O espaço amostral para um lançamento de dados é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como foi informado queo
resultado é maior que 3, o espaço amostral fica reduzido para {4, 5, 6}. Neste espaço, os resultados pares
são 4 e 6. Logo
(
)
3 2 3 | par P > =.
Solução2. Utilizando a fórmula para a probabilidade condicional, temos:
i) E = {resultado maior que 3} = {4, 5, 6}; ii) E’ = {resultado par} = {2, 4, 6}; iii) E ∩ E’ = {4, 6}
Logo,
(
)
(
)
3 2 3 6 . 6 2 6 3 6 2 ) E ( P E ' E P E |' E P = ∩ = = =.
3) Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos.
Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B?
(A) 75% (B) 60%
(C)
50% (D) 45% (E) 30%
Solução. Utilizando a teoria de conjuntos, temos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 400 + 300 – 200 = 500.
Logo,
(
)
50% 2 1 1000 500 B A P ∪ = = →.
4) Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro jogadas?
(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8
(D)
1/16 (E) 1
Solução1. O espaço amostral para essas jogadas possuirá 2
4= 16 elementos. O evento CCCC ocorrerá
somente uma vez. Logo,
(
)
16 1 CCCC
P =
.
Solução2. Como as jogadas são independentes, isto é, um resultado não depende do outro, temos pelo
teorema da multiplicação:
(
)
16 1 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 ) C ( P ). C ( P ). C ( P ). C ( P C C C C P ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∩ ∩ ∩.
5) (UPF) - Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se, sucessivamente, 2 bolas. Então a
probabilidade das bolas serem da mesma cor, é:
(A) 1/7 (B) 2/7
(C)
3/7 (D) 4/7 (E) 5/7
Solução. Não há reposição, pois as retiradas são sucessivas.
(
)
(
)
(
)
(
)
. 63 64212 1842 73 7 4 6 2 . 7 3 P P P B B P PP BB P cor mesma P ⎟= + = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∩ + ∩ = ∪ =.
OBS: Usando o espaço amostral:
(
)
7 3 21 9 21 6 3 C C C C cor mesma P 2 7 2 4 2 7 2 3 = = + = + =
.
6) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. A
probabilidade de cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é:
(A)
2/5 (B) 3/5
(C) 1/2 (D) 1/3 (E) 2/3
Solução. Como queremos que três estejam ocupados teremos três desocupados. Alinhando os
apartamentos utilizando O (ocupado) e D (desocupado), temos a sequência: ODODOD. O número total
de possibilidades de permutar (com repetição) essa situação seria
20 ! 3 ! 3 ! 6 P2,26 = =
. Mas como a situação é
por andar, temos 2 possibilidades em cada andar. Logo, 2x2x2 = 8 possibilidades de termos 1 vazio e 1
ocupado por andar. Então,
(
)
5 2 20 8 Andar / O 1 P = =
.
OBS: O número total de ocupações poderia ser calculado como combinação:
20! 3 ! 3 ! 6 C3 6 = =
.
7) (VUNESP) Dois jogadores, A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números
dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não
ganhou. Qual a probabilidade de B ter vencido?
(A) 10/36
(B)
5/32 (C) 5/36 (D) 5/35 (E) não se pode calcular
Solução. O espaço amostral do lançamento de dois dados é composto de 36 elementos (pares ordenados).
O evento “soma 5” será E(A) = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}. Os eventos “soma 5” e soma “8” são disjuntos,
logo não há interseção. Se A não ganhou o espaço amostral ficará reduzido para 36 – 4 = 32 elementos. O
evento soma 8 será E(B) = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}.
Logo, a probabilidade de B vencer será:
(
)
32 5 8 soma
P =
.
8) Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a
probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 homens e 1 mulher?
(A) 3/56 (B) 9/56 (C) 15/56
(D)
27/56 (E) 33/56
Solução1. Queremos um resultado HHM em qualquer ordem. Logo há 3!/2! = 3 formações possíveis. A
probabilidade para um deles, por exemplo, HHM será:
(
)
(
2H1M)
3.569 5627 P 3 ! 2 ! 3 P 56 9 7 3 . 5 3 . 8 5 14 6 . 15 9 . 16 10 HHM P 2 3 = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =.
Solução2.
(
)
56 27 7 . 8 3 . 9 14 . 8 3 . 9 . 2 14 . 5 . 8 3 . 9 . 10 6 14 . 15 . 16 6 . 2 9 . 10 ! 13 ! 3 ! 13 . 14 . 15 . 16 1!0! ! 6 . ! 8 ! 2 ! 8 . 9 . 10 C C . C M 1 H 2 P 3 16 1 6 2 10 = = = = = = =.
9)(UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao
acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de:
(A) 25% (B) 30% (C) 33% (D) 50%
(E)
60%
Solução1. Queremos um resultado HMM em qualquer ordem. Logo há 3!/2! = 3 formações possíveis. A
probabilidade para um deles, por exemplo, HHM será:
(
)
(
)
60% 5 3 5 1 . 3 M 2 H 1 P 3 ! 2 ! 3 P 5 1 4 3 . 5 4 . 3 1 4 3 . 5 4 . 6 2 HMM P 2 3 → = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =.
Solução2.
(
)
60% 10 6 4 . 5 6 . 2 ! 3 ! 3 ! 3 . 4 . 5 . 6 ! 2 ! 2 ! 2 . 3 . 4 . ! 0 ! 1 ! 2 C C . C M 2 H 1 P 3 6 2 4 1 2 → = = = =.
10) (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias estão misturados. Retirando-se ao acaso duas
meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é de:
Solução1. Considerando os pares como AA, BB, CC, DD, EE, há um total de 10 meias. O número de
formas de retirar duas meias quaisquer desse total será:
45! 8 ! 2 ! 8 . 9 . 10 C2 10 = =
. Há 5 possibilidades de saírem
duas do mesmo par. Logo,
(
)
9 1 45 5 Par Mesmo P = =
.
Solução2. O resultado é um dos pares (AA) ou (BB) ou (CC) ou (DD) ou (EE). Como não há interseções
entre os pares, a probabilidade total será a soma das probabilidades de cada caso.
(
)
[
]
.91 91 10 2 . 5 9 1 . 10 2 . 9 1 . 10 2 . 9 1 . 10 2 . 9 1 . 10 2 . 9 1 . 10 2 ) EE )( DD )( CC ( ) BB ( AA P ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∪ ∪.
11) (UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos
defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados, numa
caixa 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for
defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de:
(A) 10% (B) 15% (C) 30% (D) 50%
(E)
75%
Solução. A caixa possui um total de 200 parafusos e há 15%
de 100 = 15 parafusos defeituosos da máquina A e 5% de 100
= 5 parafusos defeituosos da máquina B. Logo, há um total de
20 parafusos defeituosos. Como já foi detectado que o
parafuso retirado é defeituoso, o espaço amostral fica
reduzido de 200 para 20.
Logo,
(
)
75% 4 3 20 15 defeituoso | A P = = →.
12) (UFRGS)
Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de 1 a 10, duas fichas são
distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A
probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de:
(A) 14% (B) 16%
(C)
20% (D) 25% (E) 33%
Solução. O espaço amostral será
45! 8 ! 2 ! 8 . 9 . 10 C2
10 = =
. Cada número de 1 a 9 possui um consecutivo,
excetuando o 10, pois não há a ficha 11. Logo,
(
)
20%5 1 45 9 utivo sec con P = = →
.
13) (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de
que ele seja primo é:
(A) 1/2 (B) 1/3
(C)
1/4 (D) 1/5 (E) 1/6
Solução. A decomposição em fatores primos de 60 é (2 x 2 x 3 x 5) = 2
2x 3 x 5. O número de divisores é
calculado pelo produto (2+1).(1+1).(1+1) = 12. Os únicos divisores primos são 2, 3 e 5, num total de três
elementos. Logo,
(
)
4 1 12 3 imo Pr Div P = =.
14) (VUNESP) Numa gaiola estão 9 camundongos rotulados 1 , 2 , 3 , . . . , 9 . Selecionando-se conjuntamente
2 camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem escolhidos) , a probabilidade de que na
seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:
(A) 0,3777... (B) 0,47 (C) 0,17
(D)
0,2777... (E) 0,1333...
Solução. Há cinco rótulos ímpares e quatro pares. Considerando cada retirada de camundongo e
buscando a possibilidades (Ímpar, Ímpar), temos:
( )
0,2777...18 5 8 4 . 9 5 II P = = =
