UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

EQUAÇÃO GENERALIZADA DE

LATTICE BOLTZMANN

LUIZ ADOLFO HEGELE JÚNIOR

Florianópolis – SC

2003

LUIZ ADOLFO HEGELE JÚNIOR

EQUAÇÃO GENERALIZADA DE

LATTICE BOLTZMANN

* Monografia do trabalho realizado no Laboratório de Meios Porosos e Propriedades Termofísicas no

período de 03/2000 a 12/2001.

Orientador: Paulo Cesar Philippi

Florianópolis 03/2003

AGRADECIMENTOS

A Paulo Cesar Philippi pela orientação.

Aos amigos e colegas de laboratório, especialmente a Luís Orlando Emerich dos Santos, Paulo César Facin, Rodrigo Surmas, Fabiano Gilberto Wolf, Carlos Enrique Pico Ortiz, Walter Félix Cardoso Neto e André Duarte Bueno, pelas discussões e momentos de descontração.

Aos meus pais. A tia Guísela.

Aos “Esponjas da Produção”. A ANP, pelo suporte financeiro.

EQUIPE TÉCNICA

Paulo Cesar Philippi – Professor

Luís Orlando Emerich dos Santos – Pesquisador André Duarte Bueno – Pesquisador

Paulo César Facin – Doutorando Fabiano Gilberto Wolf – Doutorando Carlos Enrique Pico Ortiz – Doutorando

Rodrigo Surmas – Estagiário de Engenharia de Produção Walter Félix Cardoso Neto – Administrador de rede

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS vi

LISTA DE TABELAS vii

LISTA DE SÍMBOLOS viii

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 1

1.1 – LOCAL DO ESTÁGIO 1

1.2 – OBJETIVO GERAL 1

1.3 – OBJETIVOS ESPECÍFICOS 2

CAPÍTULO 2 – MODELOS DE LATTICE BOLTZMANN 3

2.1 – EQUAÇÃO GENERALIZADA DE LATTICE BOLTZMANN 3

2.1.1 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES 6

CAPÍTULO 3 – MODELO ATÉRMICO (D2Q9) 8

3.1 – CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES (D2Q9) 8

3.2 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES (D2Q9) 10

3.3 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG (D2Q9) 12

3.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9) 13

3.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9) 15

3.3 – SOMA DAS DUAS ORDENS DE KNUDSEN 15

3.4 – OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS 16

CAPÍTULO 4 – MODELO TÉRMICO (D2Q17) 19

4.1 – ESCOLHA DA REDE 19

4.2 – CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES (D2Q17) 19

4.4 – DETERMINAÇÃO A PRIORI DOS MOMENTOS DE EQUILÍBRIO 21 4.5 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG (D2Q17) 22 4.5.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q17) 22 4.5.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q17) 24

4.6 – RESULTADOS PRELIMINARES 24 4.7 – CONCLUSÕES DO MODELO D2Q17 26 CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES 27 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 28 ANEXO A 31 ANEXO B 35 ANEXO C 38

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Da escala mesoscópica para a escala macroscópica 3

Figura 3.1 – Rede D2Q9, retirado de [14] 8

Figura 3.2 – Comparação de estabilidade entre o método dos momentos e o método

BGK 17

Figura 4.1. – Comparação entre GLBE D2Q17 e Chen et al., variando-se a energia 25 Figura 4.2. – Apuração do menor valor de para vários níveis de energia e

configurações 25

i N

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1. – Relação de ordens dos momentos e número de momentos LI para

LISTA DE SÍMBOLOS

m

b número de direções não-nulas da rede

i

cr velocidade das partículas em unidades de rede na direção i

α

i

c velocidade projetada na direção α

j

er autovetor de Λ relacionado a linha j

i indica uma direção na rede

I matriz identidade

α

j quantidade de movimento (momentum) na direção α

i

N densidade de partículas na direção i

Nr vetor representando (N₀,N₁,N₂,_K,N_bm) ) 0 ( ) ( i eq i N N = distribuição de equilíbrio i Nˆ momento i N r ˆ _{vetor representando (} ˆ _, ˆ _, ˆ _{, ,} ˆ ₎ 2 1 0 N N Nb_m N _K

α

S diag(c_0α,c_1α,c_2α,c_3α,...,c_bmα)

α

u velocidade de um sítio (coordenada α )

xr posição na rede (discreto)

j yr um vetor {yr} conjunto de vetores {ry₀,yr₁,yr₂,_K,yr_bm} Símbolos gregos Λ matriz de colisão ρ densidade de um sítio ε número de Knudsen

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1.1 – LOCAL DE TRABALHO

O trabalho foi realizado no Laboratório de Meios Porosos e Propriedades Termofísicas (LMPT), do Departamento de Engenharia Mecânica da UFSC.

A área de conhecimento do laboratório são as Ciências Térmicas.

A área específica de atuação deste trabalho é a pesquisa da solução por métodos de lattice Boltzmann da equação de Navier-Stokes-Fourier, para posterior aplicação na resolução de problemas que ocorrem em meios de geometria complexa, tais como meios porosos.

O LMPT apresenta uma excelente infra-estrutura tanto em recursos humanos, com pesquisadores e doutorandos, quanto recursos físicos, com computadores e mesas individuais, sendo um local adequado para o objetivo a que propõe-se cumprir.

1.2 – OBJETIVO GERAL

Resgatar as equações de Navier-Stokes-Fourier bidimensionais utilizando o Método dos Momentos, proposto por d’Humières [1].

1.3 – OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Entender exatamente como funciona o Método dos Momentos, procurando obter e deduzir informações sobre partes do método que em um primeiro

momento podem não ficar claras, mas que com estudo e reflexão devem ser justificadas e compreendidas.

Este interesse pelo Método dos Momentos justifica-se pela maior estabilidade deste em comparação com os métodos de lattice Boltzmann atuais, o que configura um possível ganho computacional sem a necessidade de otimizar os códigos, mas sim trabalhando teoricamente.

Além do ganho computacional, este método poderá ser facilmente estendido para modelos bifásicos, área em que o LMPT tem feito significativos esforços nos últimos anos, principalmente com relação a modelagem de escoamentos bifásicos em rochas-reservatório de petróleo.

CAPÍTULO 2 – MODELOS DE LATTICE BOLTZMANN (MLB)

Os modelos de lattice Boltzmann [2,3,4,5] surgiram como uma evolução do lattice gas (LG) [6,7,8,9,10] , uma classe de autômatos celulares criada com a

intenção de mimetizar substâncias do mundo real a quais chamamos de fluidos.

Os modelos de lattice Boltzmann buscam reproduzir as equações da hidrodinâmica, as equações de Navier-Stokes (N-S), através de simulações de escala

mesoscópica. Comumente falando, observando as moléculas de um gás real

utilizando-se de uma “lupa”, ver-utilizando-se-ia algo parecido com o resultado da simulação deste modelo. Recupera-se as equações de N-S através de um método de perturbação, a análise de Chapman-Enskog [11], que pode ser comparada a um efeito de zoom out nas

partículas que constituem o “fluido”: seria como tirar a “lupa” e voltar a enxergar o fluido real a olho nu. De uma maneira analítica, o resultado final são as equações de Navier-Stokes. Equações de Navier-Stokes (macroscópica) Equação de Evolução (mesoscópica) Análise de Chapman-Enskog

Figura 2.1 – Da escala mesoscópica para escala macroscópica

2.1 – EQUAÇÃO GENERALIZADA DE LATTICE BOLTZMANN (EGLB)

Também conhecida como Método dos Momentos, a equação generalizada de lattice-Boltzmann foi proposta por d’Humières em 1992 [1]. Até então, utilizava-se para os MLB a distribuição de equilíbrio derivada da distribuição de Maxwell-Boltzmann [12,13]. D’Humières adicionou graus de liberdade à distribuição de equilíbrio, retirando assim o vínculo de existir apenas um tempo de relaxação para o

∑Λ − − = + + j eq j j ij i i i x c t N x t N x t N x t N (r r, 1) (r, ) [ (r, ) (r, )], _(2.1)

a qual nos diz que as partículas de fluido da direção i do sítio xr no tempo t da rede, , foram relaxadas para um equilíbrio previamente definido

) , (x t

N_i r Nr(eq) em um

processo no qual atua a matriz de colisão Λ, e que estas partículas (já relaxadas) se encontrarão no próximo passo de tempo no sítio xr + . O índice i varre todas as cr_i

direções da rede: velocidades não-nulas, mais uma direção alocada para as partículas com velocidade nula, totalizando direções. O conjunto de vetores , i=0,..., , é o que representa as velocidades da rede, e a cada velocidade

m b 1 + m b cr_i b_m i

cr está associado uma determinada densidade de partículas N_i.

Analisando a eq. (2.1), pode-se dividir a evolução do modelo em duas etapas principais: i) a colisão, na qual as partículas são relaxadas em direção a um

equilíbrio prescrito, ou seja, na qual o estado do sítio é alterado, conforme regras especiais; ii) e a propagação, na qual a informação do sítio é passada aos sítios

vizinhos.

Para recobrar as equações de N-S, deve-se conservar a densidade e a quantidade de movimento durante a fase de colisão [5,14], de modo que:

∑ ∑ _{= =} i eq i i i N N ρ, _(2.2) ∑ ∑ _{= =} i i eq i i i i u c N c N _{α α} ρ _α, _(2.3)

onde ρé a densidade e u_αé a componente α da velocidade.

Deste modo, a matriz de colisão Λ é escolhida para ter os seus autovalores nulos associados aos autovetores das quantidades conservadas durante a colisão, ditas hidrodinâmicas, e os demais autovalores, que são os diversos tempos de relaxação, devem estar associados aos autovetores das quantidades não conservadas, ditas cinéticas [15].

Os modos cinéticos, no entanto, são relaxados no espaço de momentos, e não no espaço de velocidades, ou seja, não se faz a colisão com as informações contidas

no vetor , mas sim com estas informações transformadas para o espaço de momentos, cuja relação é

) , , , , ( _{0 1 2} m b N N N N Nr = _K = N r ˆ _MNr _, (2.4)

onde é o vetor de momentos e M é a matriz formada pelos autovetores da matriz de colisão, que deverão formar um conjunto ortogonal para o conjunto . O porquê dos autovetores da matriz de colisão necessariamente formarem um conjunto ortogonal será explicado mais adiante.

N r ˆ 1 + ℜbm

Para tornar mais clara esta transformação de espaços, toma-se como exemplo o autovetor da matriz de colisão associado à densidade er =₀ (1,1,_K,1), definido como sendo a primeira linha da matriz M. Aplicando a eq. (2.4) e tomando apenas o primeiro elemento de N , , tem-se

r ˆ 0 ˆ N ∑ =∑ =∑ = = ⋅ = i i i i i i i N N N e N e Nˆ₀ r₀ r ₀ 1 ρ, que é a densidade.

Aplicando-se o procedimento anterior para o autovetor da matriz de colisão associado à quantidade de movimento em x, obtêm-se o momentoρu_x; para o autovetor da matriz de colisão associado à energia, obter-se-á a energia; e assim por diante, até recuperar-se todas as com os momentos necessários para a completa descrição do estado de um sítio qualquer da rede.

1 + m b

Para obter a equação generalizada de lattice-Boltzmann em sua forma mais simples, multiplica-se a eq. (2.1) por M e aplica-se as definições dos parágrafos anteriores, e vem que (em notação vetorial)

MNr'= M Nr − M Λ(Nr −Nreq),

onde Nr'é o estado pós-colisional. A matriz identidade I pode ser escrita como

I = M-1M, onde M-1 é a inversa da matriz M, e faz-se

MNr'= M Nr − M Λ M-1M (Nr −Nreq), e substituindo de uma maneira genérica MNr'=Nrˆ', tem-se

− = N

Nrˆ' rˆ M Λ M-1 (Nrˆ −Nrˆeq).

A matriz Λˆ =M Λ M-1 é uma transformação da matriz Λ pela matriz ortogonal M, e a matriz resultante é uma matriz diagonal formada pelos autovalores da matriz Λ [16], que foram justamente definidos como sendo os tempos de relaxação do modelo. Este é motivo pelo qual a matriz M é formada por um conjunto ortogonal de vetores: ela possui a propriedade de diagonalizar a matriz de colisão!

Λˆ

Então, a equação generalizada de lattice-Boltzmann pode ser escrita em sua forma resumida como:

− = N

Nrˆ' rˆ Λˆ(Nˆr −Nrˆeq), (2.5)

onde , e são os tempos de relaxação associados aos

autovetores de Λ e seus valores estão no intervalo ]0,2[. Se os tempos não nulos de relaxação (referentes às quantidades cinéticas) forem iguais, a Equação Generalizada de lattice-Boltzmann se reduz ao modelo BGK [4,5].

) , , , , ( ˆ 2 1 0 s s sb_m s diag _K = Λ si

2.1.1 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES

Para se formar um conjunto ortogonal de vetores, que viu-se necessário para a descrição do modelo, busca-se primeiro formar um conjunto linearmente independente de vetores gerados pela classe

n iy m ix n m i c c e( , ) ≡ . (2.6)

A ordem de um determinado vetor (que dará origem a um momento) é definida como sendo a maior soma dos expoentes m e n. Momentos com ordens até três possuem significado físico de fácil compreensão, como a densidade, que é o momento de ordem 0; o momentum x, que pode ser representado por , que é um

momento de ordem 1; ou o momentum y, que pode ser representado como ∑ e também é um momento de ordem 1.

∑ i i i e N (1,0) i i i e N (0,1)

A energia total, soma das energias cinética e de flutuação, pode ser representada como ( ) 2 1_∑ (2,0)₊ (0,2) i i i i e e N , ou 2 2 1 i i i c N ∑ , e é um momento de ordem 2,

sendo formado por uma combinação linear de momentos mais simples.

Parte-se, então, de um conjunto de vetores LI para gerar um conjunto ortogonal através do procedimento de Gram-Schmidt.

1 + m b

Com um conjunto ortogonal estabelecido, é feita a análise assintótica de Chapman-Enskog, que será vista no capítulo 3.

CAPÍTULO 3 – MODELO ATÉRMICO (D2Q9)

A rede D2Q9 fica caracterizada pelo conjunto de velocidades { cr}, representado analiticamente por: cr₀ =(0,0), cr₁ =(1,0), cr₂ =(0,1), ,

, , , ) 0 , 1 ( 3= − cr ) 1 , 0 ( 4 = − cr cr₅=(1,1) cr₆=(−1,1) cr₇ =(−1,−1) e cr₈=(1,−1); e graficamente segundo a fig. 3.1 [14]:

Fig. 3.1 – Rede D2Q9, retirado de [14].

3.1 – CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES (D2Q9)

Deve-se achar os momentos de ordem menor que irão formar o conjunto

linearmente independente. Começa-se por estes momentos por eles serem os mais

importantes. Então, chamando de k os momentos, e utilizando os vetores já definidos para a rede D2Q9, tem-se:

i cr ) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ( 0 0i =ci = k ; ) 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ( 1i =cix = − − k ; ) 2 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ( 2i =ciy = − − k ;

sempre aumentando a ordem do momento, e exigindo a independência linear dos mesmos, ou seja, o último vetor (momento) a ser acrescentado não poderá ser uma combinação linear dos primeiros. Em se tratando de álgebra linear, basta ver se o posto

(rank) dos vetores é igual ao número de vetores existentes. Se o posto for menor, o

conjunto será linearmente dependente. Se for igual, o conjunto será linearmente independente. Isto é muito útil pois assim pode-se usar softwares que realizem esta tarefa automaticamente, que se torna trabalhosa ao se utilizar redes com muitas velocidades (direções).

A determinação de momentos linearmente independentes para a rede D2Q9 continua: ) 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ( 2 3i =cix = k ; ) 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ( 4i =cixciy = k ; ) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ( 2 5i =ciy = k .

O momento é exatamente igual a , e genericamente falando para a rede D2Q9 [14]: 3 α i c c_iα n i n i c c_α+2 = _α, onde n é um número inteiro positivo.

Então, dos quatro momentos diferentes de 3 ª ordem utiliza-se apenas dois ) 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ( 2 6i =cixciy = − − k ; ) 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ( 2 7i =ciycix = − − k .

Precisando apenas de mais um momento para completar o conjunto de vetores, a escolha deve ser o momento de menor ordem ainda não utilizado, e tem-se:

) 4 , 4 , 4 , 4 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 ( 4 8i =ci = k .

Os vetores kr₃,kr₄e kr₅ serão reordenados de forma que se configure um vetor para a energia, e os “novos” vetores, que continuarão serem independentes linearmente, representados por lr₃, lr₄ e lr₅ serão:

i i i k k l₃ = ₃ + ₅ ; i i i k k l₄ = ₃ − ₅ ; i i k l₅ = ₄ .

Do mesmo modo, faz-se para os momento kr₆ e , que serão transformados em e através de:

7 kr 6 lr lr₇ iy i iy iy ix iy iy ix iy i i k c c c c c c c c c l₆ = ₆ + 3 = 2 + 3 =( 2 + 2) = 2 ; ix i ix iy ix ix ix iy ix i i k c c c c c c c c c l₇ = ₇ + 3 = 2 + 3 =( 2 + 2) = 2 ,

representando o fluxo de energia nas direções y e x, respectivamente.

O momento representa o quadrado da energia, sem um significado físico muito claro, como prevenido anteriormente.

8 kr

Os demais vetores lr_i que não foram mencionados são igualados aos vetores correspondentes kr_i, formando o conjunto {lr}:

0 0i ci l = ; l1i =cxi; l2i =cyi; l_3i =c_i2; l4i =cxi2 −cyi2; yi xi i c c l₅ = ; xi i i c c l₆ = 2 ; l7i =ci2cyi; l8i =ci4.

3.2 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES (D2Q9)

Com o conjunto completo de vetores LI {lr}, gera-se então um conjunto ortogonal { er} com o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt [16].

É importante falar que ordem do momento e ordem do tensor são coisas distintas. O momentum é um momento de ordem 1 e tensor de ordem 1 (um vetor); a energia é um momento de ordem 2 e um tensor de ordem 0 (um escalar). Por isso, a ortogonalização deve ser feita cuidadosamente: dos tensores de ordem mais baixa para mais alta, e dentro dessa classe, de momentos de ordem mais baixa para ordem mais alta.

No caso da rede D2Q9, o conjunto de vetores ortogonalizados fica o seguinte: 0 0i ci e = ; e1i =cix; e2i =ciy; e_3i =3c_i 2 −4c_i 0; 2 2 4i cix ciy e = − ; e5i =cixciy; e_6i =c_ix(3c_i 2 −5c_i 0); ) 5 3 ( 2 0 7i ciy ci ci e = − ; 2 ) 8 21 9 ( 4 2 0 8i i i i c c c e = − + ;

que formam a matriz M da seguinte maneira:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 2 2 2 2 4 1 1 1 1 2 0 2 0 0 1 1 1 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 e e e e e e e e e M r r r r r r rr r

A nomenclatura dos momentos, ou seja, como se chamará cada componente do vetor N , é a seguinte:

r ˆ ρ = 0 ˆ N , Nˆ₁ = j_x, Nˆ₂ = j_y, Nˆ₃ =e, Nˆ4=Mxx=2Sxx xy S Nˆ₅= , Nˆ₆ =q_x, Nˆ₇ =q_y, Nˆ₈=E.

3.3 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG (D2Q9)

A partir desta parte, utilizar-se-á a notação de Einstein para as derivadas, o que também indica soma sobre índices repetidos.

Tomando N_i(xr+cr_i,t+1), expandindo em séries de Taylor, e desprezan-do termos de terceira ordem

i t i i tt i i i i t i i i i i N c N N c c N N c t x N t c x N ∂ ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂ + = + + α α β α β α α α 2 1 2 1 ) , ( ) 1 , (r r r (3.1)

O número de Knudsen ε [11] é a razão entre o livre caminho médio das moléculas do fluido _{l e o comprimento característico do escoamento L. Assume-se ε} 1 e faz-se a decomposição das derivadas espacial e temporal em ordens de ε , e vem que: 2 2 1+ ∂ ∂ = ∂t ε ε (3.2) ' α α =ε∂ ∂ . (3.3)

Expandindo (ou ) em torno do equilíbrio também sobre potências de Knudsen, i N Nˆ_i ) 2 ( 2 ) 1 ( ) 0 ( ₎ ( _{i i i} eq i i N N N N N = = +ε +ε , ou (3.4) ) 2 ( 2 ) 1 ( ) 0 ( _{ˆ ˆ} ) ˆ ( ˆ ˆ i i i eq i i N N N N N = = +ε +ε , (3.5)

e substituindo as eqs. (3.2), (3.3) e (3.4) em (3.1), tem-se:

∑ ∑_{Λ + − Λ} − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ j ij j j ij j eq i eq i i i eq i i i i eq i i eq i N N N N c c N N N c N c N ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 1 ' ' 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ' 2 ' 1 ε ε ε ε _{α α α α α β α β} . (3.6)

Igualando os termos de mesma ordem de ε , tem-se para a primeira ordem em ε : ∑Λ − = ∂ + ∂ j ij j eq i i eq i c N N N _' (1) 1 α α , (3.7)

e para a segunda ordem em ε : ∑_Λ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ j ij j eq i eq i i i eq i i i i N N N c c N N N c _' (1) ₁ (1) _{2 ' ' 1 1} (2) 2 1 2 1 β α β α α α . _(3.8)

É interessante observar que, até esta parte da expansão de Chapman-Enskog, não fez-se ainda nenhuma menção à rede utilizada, nem ao conjunto de vetores ortogonais que será utilizado e nem às quantidades conservadas. Portanto, tudo o que foi feito (para a expansão de Chapman-Enskog) até aqui é genérico e pode ser aplicado a qualquer modelo que possua características semelhantes.

3.3.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9)

Tomando a eq. (3.7) em sua forma vetorial,

) 1 ( ' 1Neq S Neq N r r r Λ − = ∂ + ∂ _{α α} , (3.7)

onde é a matriz diagonal no espaço cujos elementos são os , multiplica-se por M, e vem que

α S N_i c_iα ) 1 ( ' 1Nˆeq Sˆ Nˆeq ˆNˆ r r r Λ − = ∂ + ∂ _{α α} , (3.9) com Sˆ_α =MS_αM−1.

Sendo a equação (3.9) uma equação vetorial, pode-se abri-la para todos os seus componentes: ) 1 ( 0 0 ' 0 1Nˆeq +Sˆ ∂ Nˆeq =−ΛˆNˆ ∂ _{α α} , (3.10) ) 1 ( 1 1 ' 1 1Nˆeq +Sˆ ∂ Nˆeq =−ΛˆNˆ ∂ _{α α} , (3.11) ) 1 ( 2 2 ' 2 1Nˆeq+Sˆ ∂ Nˆeq =−ΛˆNˆ ∂ _{α α} , (3.12) _{M M M M} ) 1 ( 8 8 ' 8 1Nˆeq+Sˆ ∂ Nˆeq =−ΛˆNˆ ∂ _{α α} . (3.18)

É preciso fazer algumas considerações: i) não existem correções de primeira ordem de Knudsen para as grandezas conservadas (conforme definido nas eqs. (2.2) e (2.3)), portanto o lado direito das eqs. (3.10), (3.11) e (3.12) é nulo, o que já se esperava, pois os tempos de relaxação destas grandezas também são nulos; ii) o termo é mais inteligível se for escrito da forma , que pode ser

colocado em função de momentos conhecidos, pois qualquer vetor no é uma combinação linear do conjunto { e

eq i N Sˆ_α∂_α' ˆ _∂ ∑ i i ji eq i c e N _α α' 1 + ℜbm

r_{}. Na prática, procede-se da seguinte maneira: o} vetor c_iαe_ji é colocado em função dos vetores de base {er}, e então faz-se o produto interno com o vetor , restando com isso apenas momentos conhecidos que representam e seus respectivos coeficientes.

Nr ∑ i i ji eq i c e N _α

Com estas considerações, as eqs. (3.10) até(3.18) reduzem-se a: 0 ' ' 1 +∂ +∂ = ∂ ρ x jx y jy , (3.19) 0 ) 4 ( 6 1 ₍₀₎ ' ) 0 ( ' ) 0 ( ' 1 + ∂ + +∂ +∂ = ∂ jx x e ρ xSxx ySxy , (3.20) 0 ) 4 ( 6 1 ₍₀₎ ' ) 0 ( ' ) 0 ( ' 1 + ∂ + +∂ −∂ = ∂ jy y e ρ xSxy ySxx , (3.21) ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 0 ( ' ) 0 ( ' ) 0 ( 1e +∂x(jx+qx )+∂y(jy+qy )=−s e =−λee ∂ , (3.22) ) 1 ( ) 1 ( 4 ) 0 ( ' ) 0 ( ' ) 0 ( 1 ( ) 6 1 ) ( 6 1 xx xx y y y x x x xx j q j q s S S S + ∂ − − ∂ − =− =−λ_ν ∂ , (3.23) ) 1 ( ' ) 1 ( 5 ) 0 ( ' ) 0 ( ' ) 0 ( 1 (2 ) 3 1 ) 2 ( 3 1 xy xy x x y y y x xy j q j q s S S S + ∂ + + ∂ + =− =−λ_ν ∂ . (3.24)

As igualdades acima representam as equações das primeiras seis quantidades da primeira ordem de Knudsen: e . O motivo pelo qual as últimas três equações não aparecem ( e

) 0 ( ) 0 ( , , , , j_x j_y e S_xx ρ (0) xy S ) 0 ( ) 0 ( , _y x q

q E(0)) ficará claro a seguir, quando procede-se com o desenvolvimento da segunda ordem de Knudsen.

3.3.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9)

Tomando a eq. (3.8) em sua forma vetorial e utilizando a eq. (3.7), tem-se: ) 2 ( ) 1 ( ' ) 1 ( 1 2 ) 2 ( ) 2 (I N S I N N Nreq + −Λ ∂ r + −Λ ∂ r =Λr ∂ _{α α} ,

e multiplicando esta equação por M, vem que

) 2 ( ) 1 ( ' ) 1 ( 1 2 ) ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ( ˆ ˆ ) 2 ˆ ( ˆ _{I N S I N N} Neq r r r r Λ = ∂ Λ − + ∂ Λ − + ∂ _{α α} . (3.25)

Sendo a eq. (3.25) vetorial, pode-se explicitá-la em equações (9 neste caso), mas somente utilizar-se-ão as equações relativas aos momentos conservados. Assim, não existirão mais termos do tipo no lado direito da equação.

1 + m b ) 2 ( ˆ i N

Do mesmo modo que ocorreu na expansão da primeira ordem, o termo

) 1 ( ' ˆ ) 2 ˆ ( ˆ _{I N} S r α

α −Λ ∂ também é um produto interno entre os vetores cr_i e Nr(1), ponderado pela matriz de colisão. Explicitando, então, este termo para os três momentos conservados, a segunda ordem de Knudsen fica:

0 2 = ∂ ρ , 0 2 2 2 2 12 2 ₍₁₎ ' ' ) 1 ( ' ) 1 ( ' 2 + − ∂ + − ∂ + − ∂ = ∂ jx λe xe λν xSxx λν ySxy , 0 2 2 2 2 12 2 ₍₁₎ ' ) 1 ( ' ' ) 1 ( ' 2 + − ∂ + − ∂ + − ∂ = ∂ jy λe ye λν xSxy λν ySxx .

3.3.3 – SOMA DAS DUAS ORDENS DE KNUDSEN

A derivada temporal foi decomposta em ordens de Knuden como

2 2 1+ ∂ ∂ = ∂t ε ε ,

e para obter as equações de Navier-Stokes deve-se fazer as seguintes substituições: ρ ε ρ ε ρ = ∂1 + 2∂2 ∂t , x x x tj = ∂1j + 2∂2j ∂ ε ε , y y y tj = ∂1j + 2∂2j ∂ ε ε .

Substitui-se os termos e já conhecidos e forma-se a derivada temporal completa das grandezas conservadas: massa, momentum em x e momentum em y. A observação a ser feita é que os termos em para o momentum possuem momentos em ordem superior de Knudsen: , e . Estes termos devem ser substituídos pelos termos contidos nas equações de primeira ordem ( ) de , e (eqs. (3.22), (3.23) e (3.24), respectivamente), e é este o motivo pelo qual apenas equações destes momentos aparecem no conjunto de equações na primeira ordem de Knudsen. As outras equações existem, mas não afetam o modo hidrodinâmico do modelo. 1 ∂ ∂₂ t ∂ 2 ∂ ) 1 ( e S_xx(1) S(_xy1) 1 ∂ _e(0) (0) xx S ) 0 ( xy S

3.4 – OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS

Para recuperar as equações de Navier-Stokes, devemos obter os diversos momentos de equilíbrio e(0),S_xx(0),S_xy(0),q(_x0),q_y(0) e E(0) em função dos momentos

conservados ρ, j_x e j_y.

As equações atérmicas de Navier-Stokes são escritas em sua forma mais geral como: 0 = ∂ + ∂_tρ _α j_α ,

[

( )

]

( ) ) ( _{α β α β α β β α α γ γ} β α ρu u p ν ρ u u ζ ρ u j t +∂ =−∂ + ∂ ∂ +∂ + ∂ ∂ ∂ ,

onde ν e ζ são o primeiro e o segundo coeficientes de viscosidade, respectivamente. Para obtê-las, os momentos de equilíbrio devem ser escolhidos da seguinte maneira:

) ( 3 2 2 2 ) 0 ( y x u u e =− ρ+ ρ + , ( ) 2 2 2 ) 0 ( y x xx u u S = ρ − , S(_xy0)=ρu_xu_y, x x j q(0) =− , q(y0) =−jy, E(0) =ρ−3ρ(ux2+uy2),

igualando respectivos momentos de equilíbrio aos termos das equações de Navier-Stokes [14].

A viscosidade é relacionada aos tempos de relaxação pela relação ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = 2 1 1 3 1 2 1 1 3 1 ' ν ν λ λ ζ ν ,

o que indica que os tempos de relaxação λ_ν e λ_ν' devem ser iguais. A velocidade do som c_sé dada por

3 1

2 ₌ s

c .

Aplicada a análise de estabilidade de von Neumann sobre a equação de dispersão linearizada deste modelo, formalizada por Lallemand & Luo [17] e utilizada em outros trabalhos [18,19,20,21,22], podem ser escolhidos valores “ótimos” para o demais tempos de relaxação (relativos a q_x(0),q(_y0)e E(0)) e a sua interdependência, para aumentar a estabilidade do modelo.

A estabilidade do método dos momentos frente ao BGK pode ser vista na figura abaixo.

Figura 3.2 - Comparação de estabilidade entre o método dos momentos e o método BGK.

A tendência dos modelos de lattice-Boltzmann é de que quando diminui-se a viscosidade (ou diminui-seja, quando o tempo de relaxação está próximo de 2), deve-diminui-se aumentar a velocidade para que o modelo mantenha a estabilidade, prática usual quando o método BGK é aplicado. A estabilidade do método dos momentos praticamente não é afetada pela diminuição da viscosidade.

CAPÍTULO 4 – MODELO TÉRMICO (D2Q17)

4.1 – ESCOLHA DA REDE

Para que um modelo de lattice-Boltzmann possa simular as equações de Navier-Stokes-Fourier 2D, ou seja, um escoamento térmico, é necessário que ele satisfaça a, no mínimo, treze momentos de equilíbrio [23], onde estão incluídos quantidades conservadas, vínculos de isotropia na viscosidade, e também vínculos de isotropia na difusividade térmica [24,27]. Precisa-se, então, de uma rede com, no mínimo, treze direções para que se possa a elaborar um modelo que preencha alguns requisitos mínimos.

A hipótese de se utilizar uma rede hexagonal foi abandonada, por esta não possuir isotropia do tensor de 6 ª ordem, condição esta para a estabilidade e inexistência de termos não-lineares nas equações macroscópicas [24,25,26].

Escolheu-se a rede quadrada com dezessete direções (incluindo a partícula parada) D2Q17 por dois motivos principais: i) a rede possui mais graus de liberdade do que o mínimo necessário, e eles deverão ser utilizados para o aumento da estabilidade e/ou a garantia da isotropia; ii ) pode ter isotropia do tensor de 6 ª ordem.

A rede D2Q17 é definida pelos conjunto de vetores: ,

, , , ) 0 , 0 ( 0= cr ) 0 , 1 ( 1= cr cr₂ =(0,1) cr₃=(−1,0) cr₄ =(0,−1), cr₅ =(1,1), cr₆ =(−1,1), , , , , ) 1 , 1 ( 7 = − − cr ) 1 , 1 ( 8= − cr cr₉ =(2,0) cr₁₀ =(0,2) cr₁₁=(−2,0), cr₁₂ =(0,−2), , , e ) 2 , 2 ( 13 = cr ) 2 , 2 ( 14 = − cr cr₁₅ =(−2,−2) cr₁₆ =(2,−2).

Para uma rede com dezessete direções, precisa-se de dezessete momentos para a completa representação no espaço de momentos. Procura-se, então, estes momentos nas ordens mais baixas (por estes serem os mais importantes) para que estes sejam linearmente independentes.

A independência linear falha pela primeira vez apenas no momento de quarta ordem em que ,e utiliza-se apenas quatro momentos nesta ordem (ao invés de cinco); e também falha nos momentos de quinta ordem, onde tem-se apenas dois momentos LI dos demais. A relação exata entre a ordem e o número de momentos LI que a rede D2Q17 possui pode ser verificada na tabela 1.

xi yi yi xic c c c3 = 3 Ordem 0 1 2 3 4 5 Total Momentos LI 1 2 3 4 4 2 16

Tabela 4.1. – Relação de ordens dos momentos e número de momentos LI para a rede D2Q17.

Para completar dezessete momentos, escolhe-se o momento de sexta ordem c_i6, e o conjunto LI sobre o qual será montada é apresentado abaixo:

0 0i ci l = ; l_1i =c_i2; l_2i =c_i4; l_3i =c_i6; l4i =cx; xi i i c c l₅ = 2 ; l_6i =c_i4c_xi; l7i =cyi; l_8i =c_i2c_yi; l_9i =c_i4c_yi; 2 2 10i cxi cyi l = − ; l11i =cxicyi; l_12i =c_i2

(

c_xi2−c_yi2

)

l_13i =c_i2c_xic_yi; 2 2 14i cxi cyi l = ; l_15i =c_xi

(

c_xi2−c_yi2

)

; l_16i =c_yi

(

c_xi2 −c_yi2

)

.

4.3 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES

Segue-se então o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt sobre o conjunto de vetores { }, originando uma base para o lr ℜ17 {er } cujos vetores estão

representados no anexo A, bem como a matriz M formada por eles. A nomenclatura para os referidos momentos é apresentada a seguir:

ρ = 0 ˆ N ; 17) 60 2 ( ˆ 2 1= e+u − N ρ ; E Nˆ₂= ; Nˆ3 =ζ ; Nˆ4 = jx; Nˆ5 =qx; x h Nˆ₆ = ; Nˆ₇= j_y; Nˆ₈=q_y; Nˆ₉ =h_y; Nˆ₁₀ =S_xx; Nˆ₁₁=S_xy; xx Nˆ₁₂ =π ; Nˆ₁₃=π_xy; Nˆ₁₄ =π_ww; Nˆ₁₅ =m_x; Nˆ₁₆ =m_y.

4.4 – DETERMINAÇÃO A PRIORI DOS MOMENTOS DE EQUILÍBRIO

A função distribuição de Maxwell-Boltzmann para sistemas de partículas em equilíbrio, em duas dimensões, é a seguinte

(

)

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − e e e u f u 2 exp 2 , , 2 ) 0 ( r r r ζ π ρ ρ , (4.1)

onde ζr é a velocidade microscópica das moléculas (limite do caso contínuo do conjunto { c }) e u a velocidade macroscópica. r r

Para determinar os momentos da distribuição de Maxwell-Boltzmann, define-se primeiramente a função peso (o momento) como sendo, por exemplo, 1, ζ_x, ou qualquer potência de ζr, e daí integra-se no espaço de velocidade microscópica obtendo-se o momento correspondente, que será igualado ao momento de equilíbrio do modelo discreto, o D2Q17, que deverá ser 1, c_ix, ou qualquer potência de cr_i, respectivamente. Integrando a função 1, do contínuo, por exemplo (massa), tem-se a densidade, integrando ζ_x tem-se o momentum x, e assim por diante, que deverá ser igualado ao momento equivalente no modelo discreto.

Uma outra consideração para o cálculo dos momentos de equilíbrio foi a isotropia do tensores de 4ª e 6ª ordem. Segundo Chen et al. [24], os termos não-lineares

não aparecem nas equações macroscópicas se este tensor o tensor de 6ª ordem for isotrópico. Para forçar a esta isotropia, faz-se [24]:

0 32 16 4 16 13 12 9 8 5 4 1 − + − = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = i i i i i i i i N N N N , (4.2)

para o tensor de 4ª ordem, e:

0 512 64 8 16 13 12 9 8 5 4 1 = − + − ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = i i i i i i i i N N N N , (4.3)

para o tensor de 6ª ordem.

Os momentos de equilíbrio a serem integrados no contínuo são exatamente os momentos ortogonalizados no modelo discreto, e o resultado desta operação se encontra no anexo B.

4.5 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ESNKOG (D2Q17)

4.5.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q17)

Com o conjunto de vetores ortogonais definidos, parte-se para a primeira ordem da expansão de Chapman-Enkog do modelo D2Q17.

Seguindo os passos executados para a rede D2Q9, mas agora para a rede D2Q17, tem-se: 0 ' ' 1 +∂ +∂ = ∂ ρ x jx y jy ; 0 51 109 51 109 17 60 2 2 _' (0) _' (0) 1 ⎟_⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∂ ρ e u x jx qx y jy qy ;

0 2 1 2 ) 0 ( ' ) 0 ( 2 ' 1 +∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ + ∂ x x Sxx ySxy u e j ρ ; 0 2 1 2 ) 0 ( 2 ' ) 0 ( ' 1 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ + ∂ + ∂ y x xy y Sxx u e S j ρ ; ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 2 ' ) 0 ( 1 51 101 2 1 51 47 2 1 17 60 2 327 527 x q xy xy y xx xx x x q S S E u e q λ π π ρ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} ∂ + ∂ ; ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 2 ' ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( 1 2 1 51 47 2 1 17 60 2 327 527 51 101 y q xx xx y xy xy x y q S E u e S q λ π ρ π − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ + ∂ ; ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( 1 3 1 155 47 15 17 3 1 155 47 15 17 xx xx S y y y y y x x x x x xx S m h q j m h q j S λ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− + + +} ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− − +} ∂ + ∂ ; ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( 1 2 1 6 1 155 101 15 34 2 1 6 1 155 101 15 34 xy xy S x x x x y y y y y x xy S m h q j m h q j S λ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + −} ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} ∂ + ∂ ;

onde se obtém a Equação de Euler simplesmente substituindo os momentos de equilíbrio na equação de conservação de quantidade de movimento, com a pressão termodinâmica

e p= ρ , com N Ρ = 1.

Como no caso anterior do modelo D2Q9, os outros momentos que não tiveram suas respectivas equações de primeira ordem apresentadas não influenciarão na modelagem hidrodinâmica do modelo D2Q17.

4.5.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN

Para a segunda ordem em Knudsen, utilizando o mesmo método aplicado na rede D2Q9, tem-se: 0 2 = ∂ ρ ;

(

)

[

]

(

)

0 2 1 2 2 _' (1) _' (1) 2 ⎟⎟∂ +∂ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + ∂ x x y y q q q u e λ ρ ;

(

)

0 2 1 5 1 2 1 ₍₀₎ ' ) 1 ( ' 2 _⎟⎟∂ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∂ − + ∂ xy y xy S xx x xx S x S S j λ λ ;

(

1 5

)

0 2 1 2 1 _' (0) _' (1) 2 _⎟⎟∂ − − ∂ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∂ xy x xy S_xx y xx S y S S j λ λ .

Para completar a expansão de Chapman-Enskog e obter as equações de Navier-Stokes-Fourier, deve-se ainda juntar as várias ordens das derivadas temporais da densidade, momentum x, momentum y e energia, o que não será feito neste trabalho.

4.6 – RESULTADOS PRELIMINARES

Como primeiro teste, compara-se a estabilidade frente ao modelo de Chen et al, apresentado na fig. 4.1.

0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 e N mí n imo

Comparação do Valor Mínimo de N[i] de Equilíbrio

GLBE Y. Chen

Para ux=uy=0.0

Figura 4.1. – Comparação entre GLBE D2Q17 e Chen et al, variando-se a energia.

Fica claro pela figura que o modelo de Chen et al., para esta configuração, que em princípio seria a mais estável, não apresenta valores positivos para suas populações mínimas, enquanto no método dos momentos a população mínima fica positiva para valores de energia entre 0.38 e 0.8 unidades, aproximadamente.

Outro teste de estabilidade do modelo pode ser feito se plotarmos o gráfico de para diversas configurações de velocidade, o que é feito na fig. 4.2, e verifica-se que o modelo é menos estável quanto maior for a velocidade, o que já era esperado.

} ,..., ,

{N₀ N₁ N_bm mín

4.7 – CONCLUSÕES SOBRE O MODELO D2Q17 E OS MODELOS TÉRMICOS

O modelo aqui proposto possui graus de liberdade suficiente para a simulação de escoamentos térmicos, e redes similares foram utilizadas para este tipo de problema, inclusive garantindo isotropia do tensor de 6ª ordem [24] , o que eliminaria termos não-lineares nas equações de conservação.

Os modelos de McNamara & Alder [27] e Chen et al. [24] utilizam os mesmos momentos de equilíbrio que estão definidos aqui, mas neste modelo a derivação dos momentos se faz a priori. Nos outros modelos, respeitam-se a também a representação exata dos treze primeiros momentos da distribuição de Maxwell-Boltzmann, derivando-se a posteriori este vínculo.

A principal limitação dos modelos anteriores é o número de Prandtl fixo: o número de Prandtl do modelo de McNamara & Alder é fixo porque para restabelecer as equações macroscópicas, a difusividade térmica e a viscosidade devem ser iguais; no modelo de Chen et al. o número de Prandt é fixo porque o modelo por eles usado é do tipo BGK, com apenas um tempo de relaxação, não existindo maneira para relaxar separadamente a difusividade e a viscosidade.

Este vínculo não acontece no Método dos Momentos, pois existem vários tempos de relaxação, e a viscosidade e a difusividade poderão ser ajustadas de modos distintos, o que fará com que possam ser simulados escoamento com diferentes números de Prandtl.

Para trabalhos futuros, para este mesmo modelo, fica a determinação teórica dos coeficientes de transporte, através da soma das duas ordens de Knudsen; a análise da equação de dispersão do modelo [17], e a simulação de problemas simples, como um vórtice se deslocando a velocidade constante, ou um escoamento Coutte com diferença de temperatura entre placas planas.

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES

O estágio desenvolvido no LMPT foi altamente satisfatório. Aprendi muito sobre o ato de pesquisar, provar e entender assuntos desconhecidos por mim, de perder alguns dias em alguma coisa que acabou não dando certo, e depois ver que este tempo, na verdade, pode ter sido ganho.

Aprender sobre um método e pesquisá-lo a fundo foi (e espero que continue sendo) uma experiência agradabilíssima. Saber que isto pode interessar a indústria e a outros pesquisadores é animador e desafiante ao mesmo tempo. Tem-se muito trabalho a fazer!

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[27] G. McNamara & B. Alder, Analysis of the lattice Boltzmann treatment of

Apresenta-se de forma analítica o conjunto ortogonal que forma a base para o ℜ17. 1 0i = e 17 60 2 1i =ci − e 109 1240 109 969 ₂ 4 2i =ci − ci + e 119 2592 1085 38866 3689 44691 _{4 2} 6 3i =ci − ci + ci − e xi i c e₄ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = 17 60 2 5i cxi ci e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} = 5 94 5 51 ₂ 4 6i cxi ci ci e yi i c e₇ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = 17 60 2 8i cyi ci e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} = 5 94 5 51 ₂ 4 9i cyi ci ci e 2 2 10i cxi cyi e = − yi xi i c c e₁₁ =

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = 17 65 2 2 2 12i cxi cyi ci e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = 17 130 2 13i cxicyi ci e 9193 6048 9193 17795 36772 32731 36772 4175 _{6 4 2} 2 2 14i =cxicyi − ci + ci − ci + e

(

)

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − = 465 1588 31 96 3 1 _{4 2} 2 2 15i cxi cxi cyi ci ci e

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− − + −} = 465 1588 31 96 3 1 _{4 2} 2 2 16i cyi cxi cyi ci ci e

i

k

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 60 17 -43 17 -43 17 -43 17 -43 17 -26 17 -26 17 -26 17 -26 17 8 17 8 17 8 17 8 17 76 17 76 17 76 17 76 17 1240 109 380 109 380 109 380 109 380 109 -262 109 -262 109 -262 109 -262 109 -892 109 -892 109 -892 109 -892 109 464 109 464 109 464 109 464 109 - 2592 119 53952 18445 53952 18445 53952 18445 53952 18445 173424 18445 173424 18445 173424 18445 173424 18445 -153672 18445 -153672 18445 -153672 18445 -153672 18445 26736 18445 26736 18445 26736 18445 26736 18445 0 1 0 -1 0 1 -1 - 1 1 2 0 -2 0 2 -2 -2 2 0 - 14 3 0 14 3 0 -11 3 11 3 11 3 -11 3 -10 3 0 10 3 0 14 3 -14 3 -14 3 14 3 0 48 5 0 -48 5 0 12 5 -12 5 -12 5 12 5 -12 0 12 0 12 5 -12 5 -12 5 12 5 0 0 1 0 - 1 1 1 - 1 -1 0 2 0 -2 2 2 -2 -2 0 0 - 14 3 0 14 3 -11 3 -11 3 11 3 11 3 0 -10 3 0 10 3 14 3 14 3 -14 3 -14 3 0 0 48 5 0 -48 5 12 5 12 5 -12 5 -12 5 0 -12 0 12 12 5 12 5 -12 5 -12 5 0 1 - 1 1 - 1 0 0 0 0 4 - 4 4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 4 -4 4 -4 0 - 48 17 48 17 -48 17 48 17 0 0 0 0 12 17 -12 17 12 17 -12 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 96 17 96 17 -96 17 96 17 0 0 0 0 24 17 -24 17 24 17 -24 17 6048 9193 -4608 9193 -4608 9193 -4608 9193 -4608 9193 4032 9193 4032 9193 4032 9193 4032 9193 -1008 9193 -1008 9193 -1008 9193 -1008 9193 72 9193 72 9193 72 9193 72 9193 0 256 155 0 -256 155 0 -224 155 224 155 224 155 -224 155 112 155 0 -112 155 0 -8 155 8 155 8 155 -8 155 0 0 - 256 155 0 256 155 224 155 224 155 -224 155 -224 155 0 -112 155 0 112 155 8 155 8 155 -8 155 -8 155

y

{

Matriz M

ρ = ) ( 0 ˆ eq N , ) 17 60 2 ( ˆ( ) 2 1 = e+u − N eq ρ

(

)

ρ ρ ρ ρ ρ 109 1240 2 109 969 8 8 ˆ( ) ( ) 2 2 4 2 2 =E = e + eu + u − e+u + N eq eq

(

)

⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − = = 2 4 2 2 ) ( ) ( 3 570 . 225 337 . 271 4 785 . 112 674 . 542 280 . 902 760 . 401 445 . 18 ˆ u e u u e N eq ζ eq ρ x eq _j Nˆ₄( ) = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = 3 17 4 ˆ( ) 2 2 5 j u e N eq _x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + − − +} = 5 94 5 204 5 51 24 12 ˆ( ) 4 2 2 2 6 j u eu e u e N eq _x y eq j Nˆ₇( ) = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = 3 17 4 ˆ( ) 2 2 8 j u e N eq _y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + − − +} = 5 94 5 204 5 51 24 12 ˆ( ) 4 2 2 2 9 j u eu e u e N eq _y

(

2 2

)

) ( 10 ˆ y x eq u u N = ρ − y x eq u u Nˆ₁₁( ) =ρ

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

−

=

17

65

6

ˆ

( ) 2 2 2 12

u

u

e

u

N

eq

ρ

_{x y} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = 17 130 6 ˆ( ) 2 13 u u e u N eq ρ _{x y}

(

)

[

2 2 4 2

]

) ( 14 _73.544 16.128 65.480 29.640 8.185 40 1.482 1637 3 ˆ _{e u u e u} N eq = ρ + − + + − +

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ + + − − + −} = 4 2 2 2 2 2 ) ( 15 ₃₁ 96 31 322 465 588 . 1 24 12 3 1 ˆ y x x eq u u u e e eu u j N

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ + + − − + −} − = 4 2 2 2 2 2 ) ( 16 ₃₁ 96 31 322 465 588 . 1 24 12 3 1 ˆ x y y eq u u u e e eu u j N

Equations, a ser realizado no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), Rio de Janeiro, de 21 a 25 de julho de 2003.

Generalized lattice-Boltzmann equation for

thermo-hydrodynamics partial differential equations

The statement that lattice-Boltzmann (LB) methods can approximate the solutions of hydrodynamic partial differential equations is, presently, well accepted for athermal, incompressible flow. Thermodynamically consistent LB models have been proposed in the last ten years, presenting, nevertheless, some important difficulties: fixed Prandtl number, failure of Galilean invariance, anisotropy of 6th rank tensors and/or numerical instability. In 1992, d'Humières proposed to model the collision operator in the space spanned by the b-macroscopic moments of a b-directions lattice, instead of using the velocity space (D. d'Humières, Prog.Aeronaut. Astronaut., 159, 450-458). D'Humières idea was not pursued until about 2000, when it was rescued for the description of two and three-dimensional athermal flows, with marked advantages when compared to BGK-based models. Present work is based on this idea, trying to describe thermo-hydrodynamics macroscopic equations, which main problems remain, still, unsolved. A two-dimensional square lattice, with 17 degrees of freedom, is employed. A Gram-Schmidt procedure is used to find an orthogonal set of eigenvectors for the collision matrix. Finally, a Chapman-Enskog analysis is performed and it is shown that the correct partial differential equations describing compressible, non-isothermal flow are retrieved. Some, preliminary, numerical results from LB simulation are also presented.