SEP II Fluxo Newton Raphson

Faculdade Pitágoras de Betim

Faculdade Pitágoras de Betim

Engenharia Elétrica

Engenharia Elétrica

Sistemas Elétricos de Potência II

Sistemas Elétricos de Potência II

Fluxo de Potência

Fluxo de Potência

Método de Newton-Rahson

Método de Newton-Rahson

Professor: Marcelo Roger da Silva

Professor: Marcelo Roger da Silva

e-mail:

e-mail: marcelo.roger@kroton.com.br

marcelo.roger@kroton.com.br

2016

2016

Sistemas Elétricos de Potência II

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

Método de e!ton-Ra"#son

$omo informado anteriormente% o método de &a'ss-Seidel m'itas ve(es n)o alcan*a $omo informado anteriormente% o método de &a'ss-Seidel m'itas ve(es n)o alcan*a sol'*+es ,'e "odem ser obtidas "elo de e!ton-Ra"#son% ,'e tem como vantagem ser sol'*+es ,'e "odem ser obtidas "elo de e!ton-Ra"#son% ,'e tem como vantagem ser rob'sto% "ois converge ,'ase sem"re e com "o'cas itera*+es. lém disto a convergncia rob'sto% "ois converge ,'ase sem"re e com "o'cas itera*+es. lém disto a convergncia inde"ende da dimens)o do sistema. /sa a matri( 

inde"ende da dimens)o do sistema. /sa a matri( _{RRRR} e a "artir desta é montada a matri( e a "artir desta é montada a matri( acobiana. 3 at'almente o

Sistemas Elétricos de Potência II

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"as do método: 4ta"as do método: 15 Montar a matri(  15 Montar a matri( _{RRRR}..

25 rbitrar condi*+es iniciais das variveis de estado 78 25 rbitrar condi*+es iniciais das variveis de estado 78_ii705705_%%99

ii7057055% sendo i  0.5% sendo i  0. ;5 $alc'lar os valores de P

;5 $alc'lar os valores de P_ii7i57i5 _{% < % <} 

ii7i57i5 com base nos valores acom base nos valores arbitrados.rbitrados. =5 $alc'lar os valores de >P

=5 $alc'lar os valores de >P_ii e ><  e >< _ii% sendo:% sendo: ?>P ?>P_ii?  ?P?  ?P_iies"ecificadoes"ecificado _{ P  P} iicalc'ladocalc'lado?? ?><  ?>< _ii?  ?< ?  ?< _iies"ecificadoes"ecificado _{ <   <}  iicalc'ladocalc'lado?? A5 9erificar convergnc

A5 9erificar convergncia sim'ltBnea ia sim'ltBnea de ?>Pde ?>P_ii? C? C

εε

_pp

 e ?><  e ?>< _ii? C? C

εε

_qq

. Se n)o #o'ver% "asso 6.. Se n)o #o'ver% "asso 6. 65 Montar a matri( acobiana 

65 Montar a matri( acobiana 7i57i5_.. D5 Sol'cionar o s

D5 Sol'cionar o sistema lineari(ado:istema lineari(ado:

∆P

∆P

∆Q

∆Q

()

()

= = JJ

()

()

 ∗ ∗ ∆θ

∆V

∆V

∆θ

()

()

E5 t'ali(ar a sol'*)o do "roblema: E5 t'ali(ar a sol'*)o do "roblema:

θθ

VV

()

()

== θθVV

()

()

++ ∆θ

∆θ

∆V

∆V

()

()

F5 9olt

Sistemas Elétricos de Potência II

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

Método de e!ton-Ra"#son

!l

!lgugumamass o"o"seser#r#a$a$%e%ess soso"r"ree alalgugumamass dadass etetaaasas dede&i&ininidadas's' E

Ettaaaa ('(' arbitrar condi*+es iniciais das variveis de estado 78 arbitrar condi*+es iniciais das variveis de estado 78_ii705705 %%99_ii705705 5 e fa(er i  0. 4m geral%5 e fa(er i  0. 4m geral%

estimar os mGd'los das tens+es como 1 "' e os Bng'los de tens)o como 0H. estimar os mGd'los das tens+es como 1 "' e os Bng'los de tens)o como 0H.

Etaa )'

Etaa )' calc'lar Pcalc'lar P_ii e <  e < _ii% 'tili(ando as e,'a*+es% 'tili(ando as e,'a*+es715715de "otncias ativa e reativa :de "otncias ativa e reativa :

  



= = 





 ∗ 

 ∗ 



 ∗  ∗ 



 ∗

 ∗ co

cos s 



 − 

 − 



− 

− 



 ∗ ! 

 ∗ ! 



 − − 



""

#

#

$$



 =

 = −−





 ∗  ∗ 



 ∗  ∗ 



 ∗

 ∗ co

cos s 



 − 

 − 



+ 

+ 



 ∗

 ∗ 

! ! 



 − − 



""

#

#

715 9eIa e,'acionamento de P e < em JKanetta r.% L. $.%

715 9eIa e,'acionamento de P e < em JKanetta r.% L. $.% FuFundndamamenentotoss dede SisSistetemamass ElElététriricocoss dede PoPotêtêncnciaia% 1 ed.% S)o% 1 ed.% S)o

Pa'lo: Livraria da

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

Etaas * e +' Qiferentemente do método de &a'ss-Seidel% em e!ton-Ra"#son calc'le-se a

diferen*a entre valor calc'lado e o valor es"ecificado: ?>P_k?  ?P_kes"ecificado _{ P}

calc'lado? ?>< _k?  ?< _kes"ecificado _{ <} 

calc'lado?

Etaa ,' Montar a matri( acobiana 7i5.  matri( acobiana refere-se s derivadas "arciais de

"otncia ativa e reativa em rela*)o a 9_i e

θ

_i. 3 com"osta "or ,'atro s'bmatri(es 7T% %  e L5.

J

()

_{= % &}

 ' 

% =













"





"









"

"

& =





 ∗ 









"

 ∗ 



"







 ∗ 

_

"

_



"

 ∗ 

_

"

_"

 ' =

$







$



"



$

"





$



"

"

 =





 ∗ $









"

 ∗ $



"







 ∗ $

_

_

"



"

 ∗ $

_

_"

"

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

Etaa ,' s derivadas "arciais% necessrias ao clc'lo das ,'atro s'bmatri(es T% %  e L% s)o

obtidas com as eU"ress+es:

Vi"o   4lementos

Nora da diagonal 7i%I5 Qa diagonal 7i%i5

T









= −



 ∗ 



 ∗ 



 ∗ cos 



 − 



+ 



 ∗ ! 



 − 











= −$



 − 

*

 ∗ 







_

 ∗ 







= 



 ∗ 



 ∗ 



 ∗ cos 



 − 



− 



 ∗ ! 



 − 







 ∗ 







= 



 + 

*

 ∗ 





$







= 



 ∗ 



 ∗ 



 ∗ s, 



 − 



− 



 ∗ -. 



 − 



$







= 



 − 

*

 ∗ 



L



_

 ∗ $







= −



 ∗ 



 ∗ 



 ∗ cos 



 − 



+ 



 ∗ ! 



 − 







 ∗ $







= $



 − 

*

 ∗ 



Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

Etaa ,' Para o e,'acionamento da matri( acobiana deve-se considerar:

• arras de carga 7P<5: a"licar as derivadas "arciais da matri( acobiana% observando o

sinal negativo das "otncias ativa e reativa das cargas 7saindo das barras5.

• arras de gera*)o 7P95: s)o barras de tens)o controlada% s'"osto mGd'lo de tens)o

constante% de forma ,'e todas as derivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. Por serem barras em ,'e a "otncia reativa n)o é es"ecificada% as e,'a*+es de lin#as e col'nas corres"ondentes a < das barras P9 s)o descartadas.

• arras slack 79

θ

5: elimina-se as e,'a*+es corres"ondentes de "otncia ativa e reativa%

"or ra(+es anlogas.

Qado 'm sistema com"osto de JU barras% sendo Jbc barras de carga% Jbg barras de gera*)o e 1 barra de referncia% o' seIa% U  bc W bg W 1% a ordem do sistema de e,'a*+es a ser resolvido iterativamente ser 72Xbc W bg5.

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

Exemlo ( extra.do do li#ro /anetta 0r12 31 41 ág (,5-(6)7' Qetermine% 'tili(ando o

método de e!ton-Ra"#son% os mGd'los das tens+es das barras 2 e ; e os Bng'los de tens)o das barras 1% 2 e ;. $onsidere como critério de "arada 7convergncia5 ,'ando ?>P?Y0%001 e ?><?Y0%001. Vodos os dados em valores "or 'nidade.

1 = 2 ; arra 9

θ

P <  1 1%0A Z 0%6 Z 2 Z Z - 0%A - 0%2 ; Z Z - 0%6 - 0%1 = 1%00 0H Z Z arras 1 - 2 1 - ; 1 - = 2 - ; ; - = dmitBncia 0%A  IA%0 1%0  I;%0 0%A  IA%0 1%0  I;%0 0%2  I;%0

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 1: Matri( _RR. 1 = 2 ; arras 1 - 2 1 - ; 1 - = 2 - ; ; - =

dmitBncia 0%A  IA%0 1%0  I;%0 0%A  IA%0 1%0  I;%0 0%2  I;%0

/ =

−216 + 3612 416 − 3712

_{−412 + 3512 −412+ 3512}

012 − 34512 −216 + 3612

−412 + 3512 −216 − 3612

−412+ 3512

2

−216 + 3612

2

−210 + 3512 219 + 3712

010 − 3812 −210 + 3512

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 2: Zdentificar as barras e as variveis de interesse. rbitrar valores iniciais:

1 = 2 ; arra 9

θ

  P < Vi"o 1 1%0A Z 0%6 Z PV  2 Z Z - 0%A - 0%2 PQ ; Z Z - 0%6 - 0%1 PQ = 1%00 0H Z Z V θ   Qados es"ecificados: v₁ 1%0A v₌ 1%00 [

 θ

₌ 0H "₁e _{ 0%6} "₂e _{ - 0%A [ ,} 2e - 0%2 "_;e _{ - 0%6 [ ,} ;e - 0%1

Qados arbitrados 7valores iniciais5:

θ

1 0H

v₂705_{ 1%00 [}

 θ

2705 0H v_;705_{ 1%00 [}

 θ

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a ;: $alc'lar os valores de P_i7i5 _{7sendo "}

1% "2% ";5% < i7i5 7sendo ,2 e ,;5 com base nos valores es"ecificados e arbitrados.

P

(:)

= V



 ∗ V

;

 ∗ <

;

 ∗ cos θ

;

 − θ



− 

;

 ∗ s, θ

;

 − θ



>

;#

p

(:)

= ?



 ∗ ?



 ∗ @



 ∗ cos θ



 − θ



− A



 ∗ s, θ



 − θ



+

+ ?



 ∗ ?

*

 ∗ @

*

 ∗ cos θ

*

 − θ



− A

*

 ∗ s, θ

*

 − θ



+

+ ?



∗ ?

B

 ∗ @

B

 ∗ cos θ

B

 − θ



− A

B

 ∗ s, θ

B

 − θ



+

+ ?



∗ ?

C

 ∗ @

C

 ∗ cos θ

C

 − θ



− A

C

 ∗ s, θ

C

 − θ



p

(:)

 = (4126) ∗ (4126) ∗ (012) ∗ cos 2 − 2 − (−4512) ∗ s, 2 − 2 +

+ (4126) ∗ (412) ∗ (−216) ∗ cos 2 − 2 − (612) ∗ s, 2 − 2 +

+ (4126) ∗ (412) ∗ (−412) ∗ cos 2 − 2 − (512) ∗ s, 2 − 2 +

+ (4126) ∗ (412) ∗ (−216) ∗ cos 2 − 2 − (612) ∗ s, 2 − 2

p

(:)

 = 01026 − 21606 − 4126 − 21606

p

(:)

 = 21426

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a ;: nalogamente% a"lica-se as e,'a*+es de P_i705_{e <} 

i705 "ara os clc'los de 7"2% ";5 e 7,2 e ,_;5% res"ectivamente% obtendo-se os res'ltados:

4ta"a =: $alc'lar os valores de >P_i e >< _i:

D

*(:)

 = −21206

 [

D

B(:)

 = −21262 E F

* :

 = −21062 E F

B(:)

 = −21462

∆D

(:)

= D

G

 − D

 :

 = 21H −21426 = 21I86

∆D

*(:)

= D

*G

 − D

* :

= −216+ 21206 = −21I96

∆D

B(:)

= D

BG

 − D

B :

= −21H+ 21262 = −21662

∆F

*(:)

= F

*G

 − F

* :

 = −210 + 2106 = −2126

∆F

B(:)

= F

BG

 − F

B :

 = −214 + 2146 = 2126

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a A: 9erificar convergncia sim'ltBnea de ?>P_i? C

 ε

_p

 e ?>< _i? C

 ε

_q

:

$omo n)o convergi'% ir "ara 4ta"a 6 7montar matri( acobiana5.

∆D

(:)

 = 21I86 K L

M

∆D

*(:)

 = 21I96 K L

M

∆D

B(:)

 = 21662 K L

M

∆F

*(:)

 = 2126 K L

N

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri( T em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

% =















*



*









*

*







B







C



*



B





*

C



B







B



*



C









C

*



B



B





B

C



C



B





C

C

Relembrar: arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri( T em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

 matri( T restante é ordem ;U;.

J

(:)

_{= % &}

 ' 

% =















*



*









*

*







B







C



*



B





*

C



B







B



*



C









C

*



B



B





B

C



C



B





C

C

Relembrar: arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

$lc'lo dos elementos de T_7;U;5:

ecessrio calc'lar o valor de 7,₁5 com base nos valores arbitrados\es"ecificados:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

O



= −q



 − ?

*

 ∗ A



q

(:)

 = − ?



 ∗ ?



 ∗ A



 ∗ cos θ



 − θ



+ @



 ∗ s, θ



 − θ



+

+ ?



 ∗ ?

*

 ∗ A

*

 ∗ cos θ

*

 − θ



+ @

*

 ∗ s, θ

*

 − θ



+

+ ?



∗ ?

B

 ∗ A

B

 ∗ cos θ

B

 − θ



+ @

B

 ∗ s, θ

B

 − θ



+

+ ?



∗ ?

C

 ∗ A

C

 ∗ cos θ

C

 − θ



+ @

C

 ∗ s, θ

C

 − θ



]

q

(:)

 = −(4126) ∗ (4126) ∗ (−4512) ∗ cos 2 − 2 + (012) ∗ s, 2 − 2 +

+ (4126) ∗ (412) ∗ (612) ∗ cos 2 − 2 + (−216)∗ s, 2− 2 +

+ (4126) ∗ (412) ∗ (512) ∗ cos 2 − 2 + (−412)∗ s, 2− 2 +

+ (4126) ∗ (412) ∗ (612) ∗ cos 2 − 2 + (−216) ∗ s, 2 − 2

]

q

(:)

 = 21H706

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

$lc'lo dos elementos de T_7;U;5:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

O



= −q



 − ?

*

 ∗ A



O



 = −21H706 − 4126

*

 ∗ −45 = 451H62

O

*

 = −?



 ∗ ?

*

 ∗ A

*

 ∗ cos θ

*

 − θ



+ @

*

 ∗ s, θ

*

 − θ





O

*

 = −4126 ∗ 4 ∗ 6 ∗ cos 2 − 2 + −216 ∗ s, 2 − 2  = −61062

O

B

 = −4126 ∗ 4 ∗ 5 ∗ cos 2 − 2 + −412 ∗ s, 2 − 2  = −51462

O

*

= O

*

 = −61062

O

**

 = − −2106 − 412

*

∗ −7 = 71062

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

$lc'lo dos elementos de T_7;U;5:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

O

*B

 = −4 ∗ 4 ∗ 5 ∗ cos 2 − 2 + −412 ∗ s, 2 − 2  = −51222

O

B

= O

B

 = −51462

O

B*

= O

*B

 = −51222

O

BB

 = − −2146 − 412

*

∗ −8 = 81462

% =

−61062 71062 −51222

451H62 −61062 −51462

−51462 −51222 81462

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri(  em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

& =







_



_



*



_



_*







_

_

*



*



_

*

_*



B



_

_B





C



_

_C





B



_

_B

*



C



_

_C

*







_

_

B



*



_

B

_*







_

C

_



*



_

C

_*



B



_

_B

B



C



_

_C

B



B



_

C

_B



C



_

_C

C

Relembrar: arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

& =







_



_



*



_



_*







_

_

*



*



_

*

_*



B



_

_B





C



_

_C





B



_

_B

*



C



_

_C

*







_

_

B



*



_

B

_*







_

C

_



*



_

C

_*



B



_

_B

B



C



_

_C

B



B



_

C

_B



C



_

_C

C

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri(  em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

 matri(  restante é ordem ;U2.

J

(:)

_{= % &}

 ' 

Relembrar:

arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

$lc'lo dos elementos de _7;U25:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

R

*

= ?



 ∗ ?

*

 ∗ @

*

 ∗ cos θ

*

 − θ



− A

*

 ∗ s, θ

*

 − θ



R

*

= 4126 ∗ 4 ∗ −216 ∗ cos 2 − 2 + 612 ∗ s, 2 − 2 = −21606

R

B

= 4126 ∗ 4 ∗ −412 ∗ cos 2 − 2 + 512 ∗ s, 2 − 2 = −41262

R

B*

= R

*B

 = −41222

R

BB

 = −2126 + 4

*

 ∗ 010 = 01462

R

*B

= 4 ∗ 4 ∗ −412 ∗ cos 2 − 2 + 512 ∗ s, 2 − 2 = −41222

R

**

= p

*

 + ?

**

 ∗ @

**

=−21206 + 4

*

 ∗ 416 = 41I96

& =

−21606 −41262

41I96 −41222

−41222 01462

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri(  em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

Relembrar:

arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

 ' =

$







$





*

$

*





$



*

*

$





B

$





C

$

*



B

$



C

*

$

B





$

B



*

$

C





$



*

C

$

B



B

$



C

B

$

C



B

$



C

C

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri(  em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

 matri(  restante é ordem 2U;.

J

(:)

_{= % &}

 ' 

Relembrar:

arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

 ' =

$







$





*

$

*





$



*

*

$





B

$





C

$

*



B

$



C

*

$

B





$

B



*

$

C





$



*

C

$

B



B

$



C

B

$

C



B

$



C

C

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana: $lc'lo dos elementos de _72U;5:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

J

*

= ?

*

 ∗ ?



 ∗ A

*

 ∗ s, θ



 − θ

*

− @

*

 ∗ cos θ



 − θ

*

J

*

= 4 ∗ 4126 ∗ 612 ∗ s, 2 − 2 − −216 ∗ cos 2 − 2 = 21606

J

B*

= J

*B

 = 41222

J

BB

 = −2126 − 4

*

 ∗ 010 = −01062

J

*B

= 4 ∗ 4 ∗ 512 ∗ s, 2 − 2 − −412 ∗ cos 2 − 2 = 41222

J

**

= p

*

 − ?

**

 ∗ @

**

=−21206 − 4

*

 ∗ 416 = −41606

 ' = 21606 −41606 41222

_{41262 41222 −01062}

J

B

= 4 ∗ 4126 ∗ 512 ∗ s, 2 − 2 − −412 ∗ cos 2 − 2 = 41262

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri( L em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

 =





$

_

_





*

$

_

_*







$

_

_

*



*

$

_

_*

*



B

$

_

_B





C

$

_

_C





B

$

_

_B

*



C

$

_

_C

*





$

_

_

B



*

$

_

_*

B





$

_

_

C



*

$

_

_*

C



B

$

_

_B

B



C

$

_

_C

B



B

$

_

_B

C



C

$

_

_C

C

Relembrar: arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

 =





$

_

_





*

$

_

_*







$

_

_

*



*

$

_

_*

*



B

$

_

_B





C

$

_

_C





B

$

_

_B

*



C

$

_

_C

*





$

_

_

B



*

$

_

_*

B





$

_

_

C



*

$

_

_*

C



B

$

_

_B

B



C

$

_

_C

B



B

$

_

_B

C



C

$

_

_C

C

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

nlise da s'bmatri( L em rela*)o s barras P9 e 9

θ

:

 matri( L restante é ordem 2U2.

J

(:)

_{= % &}

 ' 

Relembrar:

arras de gera*)o 7P95:

• Qerivadas "arciais em rela*)o a 9 s)o n'las. • Lin#as e col'nas corres"ondentes a < das

barras P9 s)o descartadas. arras slack 79

θ

5:

• 4limina-se as e,'a*+es corres"ondentes de

"otncia ativa e reativa vinc'ladas  essa barra.

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana: $lc'lo dos elementos de L_72U25:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

S

*B

 = −?

*

 ∗ ?

B

 ∗ A

*B

 ∗ cos θ

B

 − θ

*

+ @

*B

 ∗ s, θ

B

 − θ

*

S

*B

= −4 ∗ 4 ∗ 512 ∗ cos 2 − 2 − −4 ∗ s, 2 − 2 = −51222

S

B*

= S

*B

 = −51222

S

BB

 = −2126 − 4

*

 ∗ −812 = +71762

S

**

= q

*

 − ?

**

 ∗ A

**

=−21206 − 4

*

∗ −7 = 91962

 = 91962 −51222

_{−51222 71762}

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

$om as s'bmatri(es T% %  e L% monta-se a acobiana:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

 ' =

451H62 −61062 −51462

−61062 71062 −51222

−51462 −51222 81462

−21606 −41262

41I96 −41222

−41222 01462

21606 −41606 41222

41262 41222 −01062

−51222 71762

91962 −51222

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a D: Sol'cionar o sistema lineari(ado:

∆P

∆Q

()

= J

()

 ∗ ∆θ

∆V

()

∆D



∆D

*

∆D

B

∆F

*

∆F

B

(:)

=

451H62 −61062 −51462

−61062 71062 −51222

−51462 −51222 81462

−21606 −41262

41I96 −41222

−41222 01462

21606 −41606 41222

41262 41222 −01062

−51222 71762

91962 −51222

(:)

∗

∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

(:)

∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

(:)

=

451H62 −61062 −51462

−61062 71062 −51222

−51462 −51222 81462

−21606 −41262

41I96 −41222

−41222 01462

21606 −41606 41222

41262 41222 −01062

−51222 71762

91962 −51222

(:) U

∗

21I86

−21I96

−21662

21262

21262

:

∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

(:)

=

−212592

−214048

−214447

−212207

−212266

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a E: t'ali(ar a sol'*)o do "roblema:

θ

V

()

= θV

()

+ ∆θ

∆V

()

Para isso:

∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

(:)

=

−212592

−214048

−214447

−212207

−212266

∆



= 

()

 − 

 :

 

 

 = 2+ −212592 = −212592 W!XYZ. [ \]^_]!.

∆

*

= 

*()

 − 

* :

 

* 

 = 2 + −214048 = −214048

∆

B

= 

B()

 − 

B :

 

B 

 = 2 + −214447 = −214447

∆T

*

= T

*()

 − T

* :

 T

* 

 = 4 + −212207 = 218890

∆T

B

= T

B()

 − T

B :

 T

B 

 = 4 + −212266 = 2188I6

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

9oltar  4ta"a ;: $alc'lar os novos valores de P_i7i5 _{7sendo "}

1% "2% ";5% < i7i57sendo ,2 e ,;5 com base nas tens+es e Bng'los obtidos na itera*)o anterior.

P

()

= V



 ∗ V

;

 ∗ <

;

 ∗ cos θ

;

 − θ



− 

;

 ∗ s, θ

;

 − θ



>

;#

p

()

= ?



 ∗ ?



 ∗ @



 ∗ cos θ



 − θ



− A



 ∗ s, θ



 − θ



+

+ ?



 ∗ ?

*

 ∗ @

*

 ∗ cos θ

*

 − θ



− A

*

 ∗ s, θ

*

 − θ



+

+ ?



∗ ?

B

 ∗ @

B

 ∗ cos θ

B

 − θ



− A

B

 ∗ s, θ

B

 − θ



+

+ ?



∗ ?

C

 ∗ @

C

 ∗ cos θ

C

 − θ



− A

B

 ∗ s, θ

C

 − θ



p

()

= 4126 ∗ 4126 ∗ (012) ∗ cos −212592 + 212592 − (−4512) ∗ s, −212592 + 212592 +

+ (4126) ∗ (218890) ∗ (−216) ∗ cos −214048 + 212592 − (612) ∗ s, −214048 + 212592 +

+ (4126) ∗ (2188I6) ∗ (−412) ∗ cos −214447 + 212592 − (512) ∗ s, −214447 + 212592 +

+ (4126) ∗ (412) ∗ (−216) ∗ cos 2 + 212592 − (612) ∗ s, 2 + 212592

p

()

= 01026 − 212992 − 217290 − 219477

p

()

 = 21H202

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

9oltar  4ta"a ;: nalogamente% a"lica-se as e,'a*+es de P_i705 _{e <} 

i705 "ara os clc'los de 7"2% "_;5 e 7,₂ e ,_;5% res"ectivamente% obtendo-se os res'ltados:

4ta"a =: $alc'lar os valores de >P_i e >< _i:

D

*()

 = −21I8H2

 [

D

B()

 = −216848 E F

* 

 = −214740 E F

B()

 = −212907

∆D

()

= D

G

 − D

 

= 21H − 21H202 = −212202

∆D

*()

= D

*G

 − D

* 

= −216 + 21I8H2 = −2122I2

∆D

B()

= D

BG

 − D

B 

= −21H + 216848 = −212274

∆F

*()

= F

*G

 − F

* 

 = −210 + 214740 = −212477

∆F

B()

= F

BG

 − F

B 

 = −214 + 212907 = −212090

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a A: 9erificar convergncia sim'ltBnea de ?>P_i? C

 ε

_p

 e ?>< _i? C

 ε

_q

:

$omo n)o convergi'% ir "ara 4ta"a 6 7montar matri( acobiana5.

∆D

()

 = 212248 K L

M

∆D

*()

 = 2122I2 K L

M

∆D

B()

 = 212274 K L

M

∆F

*()

 = 212477 K L

N

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

$lc'lo dos elementos de T_7;U;5:

nalogamente% calc'la-se demais elementos. ^bservar ,'e n)o # mais simetria nos elementos da matri(.

J

(:)

_{= % &}

 ' 

O



= −q



 − ?

*

 ∗ A



 = −21HI09− 4126

*

 ∗ −45 = 451H788

O

*

 = −?



 ∗ ?

*

 ∗ A

*

 ∗ cos θ

*

 − θ



+ @

*

 ∗ s, θ

*

 − θ





O

*

 = − 4126∗ 218890 ∗ 6 ∗ cos −214048 + 212592 + −216 ∗ s, −214048 + 212592

O

*

 = −610H44

% =

−614900 714594 −018HI8

451H788 −610H44 −510247

−512I69 −018762 718950

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

Similar% fa(-se os clc'los dos elementos de _7;U25% _{72U;5 5} e L_72U25

J

(:)

_{= % &}

 ' 

& =

−2995 −217292

218869 −412047

−218H46 416757

 ' = 218HH2 −418797 412047

_{410966 218H46 −019H9H}

 = 9199I9 −018HI8

_{−018762 71709H}

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a 6: Matri( acobiana:

$om as s'bmatri(es T% %  e L% monta-se a acobiana:

J

(:)

_{= % &}

 ' 

 ' =

451H788 −610H44 −510247

−614900 714594 −018HI8

−512I69 −018762 718950

−212995 −217292

218869 −412047

−218H46 416757

218HH2 −418797 412047

410966 218H46 −019H9H

−018762 71709H

9199I9 −018HI8

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a D: Sol'cionar o sistema lineari(ado:

∆P

∆Q

()

= J

()

 ∗ ∆θ

∆V

()

∆D



∆D

*

∆D

B

∆F

*

∆F

B

()

=

451H788 −610H44 −510247

−614900 714594 −018HI8

−512I69 −018762 718950

−212995 −217292

218869 −412047

−218H46 416757

218HH2 −418797 412047

410966 218H46 −019H9H

−018762 71709H

9199I9 −018HI8

()

∗

∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

()

∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

()

=

451H788 −610H44 −510247

−614900 714594 −018HI8

−512I69 −018762 718950

−212995 −217292

218869 −412047

−218H46 416757

218HH2 −418797 412047

410966 218H46 −019H9H

−018762 71709H

9199I9 −018HI8

() U

∗

212202

−2122I2

−212274

−212477

−212090



∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

()

=

−212247

−21220I

−212202

−2122I5

−2122IH

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a E: t'ali(ar a sol'*)o do "roblema:

θ

V

()

= θV

()

+ ∆θ

∆V

()

Para isso:

∆



∆

*

∆

B

∆T

*

∆T

B

()

=

−212247

−21220I

−212202

−2122I5

−2122IH

∆



= 

(*)

 − 

 

 

 *

 = −212592+ −212247 = −212577

∆

*

= 

*(*)

 − 

* 

 

* *

 = −214048 + −21220I = −2140I5

∆

B

= 

B(*)

 − 

B 

 

B *

 = −214447 + −212202 = −214457

∆T

*

= T

*(*)

 − T

* 

 T

* *

 = 218890 + −2122I5 = 218808

∆T

B

= T

B(*)

 − T

B 

 T

B *

 = 2188I6 + −2122IH = 218788

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

9oltar  4ta"a ;: $alc'lar os novos valores de P_i7i5 _{7sendo "}

1% "2% ";5% < i7i57sendo ,2 e ,;5 com base nas tens+es e Bng'los obtidos na itera*)o anterior.

p

(*)

 = 21H2224I5

p

*(*)

 = −216222509

p

B(*)

 = −21H222I6H

q

*(*)

 = −214888

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a =: $alc'lar os valores de >P_i e >< _i:

∆D

(*)

= D

G

 − D

 *

 = 21H −21H2224I5 = −2122224I5

∆D

*()

= D

*G

 − D

* 

 = −216+ 216222509 = +212222509

∆D

B()

= D

BG

 − D

B 

 = −21H+ 21H222I6H = +212222I6H

∆F

*()

= F

*G

 − F

* 

 = −210 + 214888 = −212224

Sistemas Elétricos de Potência II

Método de e!ton-Ra"#son

4ta"a A: 9erificar convergncia sim'ltBnea de ?>P_i? C

 ε

_p

 e ?>< _i? C

 ε

_q

:

$omo os critérios de "arada s)o satisfeitos% # convergncia "ara a sol'*)o do fl'Uo de "otncia.

∆D

(*)

 ` L

M

∆D

*(*)

 ` L

M

∆D

B(*)

 ` L

M

∆F

*(*)

 ` L

N

∆F

B(*)

 ` L

N