Resolução - Aula 1
Lógica Matemática
Otavio Moreira, Pedro Leta e Raquel Aita
1. (Canguru 2017) Algumas garotas estavam dançando em roda. Antonia era a quarta à esquerda de Bianca e a sétima à direita de Bianca. Quantas garotas haviam na roda?
Solução. Como Antonia é a quarta garota à direita de
Bi-anca, há 3 garotas à direita de Bianca antes de Antonia. Ana-logamente, há 6 garotas à esquerda de Bianca antes de Anto-nia. Portanto, há:
Bianca + Antonia + 3 + 6 = 11 garotas.
2. (Canguru 2019) Numa corrida, Lola chegou antes de Man-fredo, Vitor chegou depois de Jane, Manfredo chegou antes de Jane e Edu chegou antes de Vitor. Quem chegou por último na corrida?
Solução. Procedemos por eliminação: como Lola, Manfredo
e Edu chegaram antes de alguém, nenhum deles pode ser o último. Vitor chegou depois de Jane, então Jane não pode ser a última. Portanto, a única pessoa que pode ser a última
3. (OBM 2015, adaptada) Juquinha e seus amigos organizaram uma corrida com seus carrinhos. O carrinho branco chegou antes do vermelho e do marrom. O carrinho azul chegou depois do marrom e antes do vermelho. Qual foi a ordem de chegada dos carrinhos?
Solução. Sabemos, de acordo com o enunciado, que existem
quatro carrinhos: branco, vermelho, marrom e azul. Como o branco chegou antes do vermelho e marrom, ele foi o primeiro ou o segundo colocado. Mas o carrinho azul chegou depois do marrom, e logo ele não pode ser o primeiro. Assim, por eliminação, segue que o branco chegou em primeiro. Como o azul chegou depois do marrom e antes do vermelho, segue que a ordem de chegada é: branco, marrom, azul e vermelho.
4. (Canguru 2016) Ivo anota os resultados das quartas de final, semifinal e final de um torneio de tênis. Esses resultados são os seguintes, não necessariamente nessa ordem: Beto vence Antô-nio, Carlos vence Damião, Gregório vence Henrique, Gregório vence Carlos, Carlos vence Beto, Eduardo vence Frederico e Gregório vence Eduardo. Quais foram os dois finalistas?
Solução. Comece observando que quem perdeu nas quartas
jogou apenas um jogo, quem perdeu na semi jogou apenas dois jogos, e portanto apenas os finalistas jogaram 3 jogos. Assim, segue que Carlos e Gregório foram os finalistas. Note que nesta abordagem, não é necessário perder tempo descobrindo
quem ganhou de quem.
5. (OPRM 2017, adaptada) Em uma certa ilha há apenas dois ti-pos de pessoas: as que dizem sempre a verdade e as que dizem sempre a mentira. Três moradores da ilha, Andrea, Bárbara e Carlos, estavam conversando entre si. Andrea disse “Bár-bara sempre fala a verdade". Bár“Bár-bara disse “Andrea e Carlos sempre dizem a verdade". Carlos disse “A Andrea mente". Qual(is) é(são) o(os) morador(es) da ilha que sempre fala(m) a verdade?
Solução. Vamos dividir nosso estudo em dois casos:
• Se Andrea diz a verdade: Bárbara e Carlos tam-bém dizem a verdade. Mas Carlos diz que Andrea está mentindo, uma contradição. Assim, Andrea precisa estar mentindo.
• Se Andrea mente: Bárbara também mente, e portanto Andrea, Carlos, ou ambos, estão mentindo. Já sabemos que Andrea é mentirosa, portanto resta descobrir se Car-los está mentindo ou dizendo a verdade.
– Se Carlos mente: então Andrea estaria dizendo a
verdade, o que é uma contradição.
– Se Carlos diz a verdade: não há contradição.
Logo, a única pessoa dizendo a verdade é Carlos. 6. N(OPRM 2018, adaptada) Ao chegar do trabalho, Margarida percebeu que um de seus três filhos (Pedro, Jorge e Patrícia) havia quebrado um vaso na sala. Perguntando a eles sobre o ocorrido, cada um respondeu:
Pedro: Quem quebrou o vaso fui eu, mamãe. Jorge: Quem quebrou o vaso não fui eu.
Patrícia: Quem quebrou o vaso não foi o Pedro.
Sabe-se que apenas um deles quebrou o vaso, e que apenas um deles disse a verdade.
(a) Quem quebrou o vaso? (b) Quem disse a verdade?
Solução. Supomos, uma por uma, que cada criança quebrou
o vaso:
• Se Pedro quebrou o vaso:
– Pedro disse a verdade, Jorge diz a Verdade e Patrícia
– Duas pessoas dizem a verdade, o que vai contra o
enunciado.
• Se Patrícia quebrou o vaso:
– Pedro mente, Jorge diz a verdade e Patrícia diz a
verdade;
– Duas pessoas dizem a verdade, o que vai contra o
enunciado.
• Se Jorge quebrou o vaso:
– Pedro mente, Jorge mente e Patrícia diz a verdade; – A situação está de acordo com o enunciado.
Jorge quebrou o vaso e Patrícia disse a verdade.
7. N (OBMEP 2015) Em um palácio estavam presentes apenas o rei e alguns de seus súditos. Cada um dos presentes acenou para cada um dos demais uma única vez, com exceção do rei, que não acenou para ninguém. Houve um total de 1296 acenos. Quantos súditos estavam presentes no palácio?
Solução. Cada súdito acena para todas as pessoas no palácio
menos ele mesmo. Se o total de pessoas for P , então o total de acenos por súdito é n = P − 1.
O total de súditos é o total de pessoas menos o rei. Se o total de súditos for S, então S = P − 1
total de acenos = acenos por súdito * n. súditos
1296 = n ∗ S 1296 = (P − 1) ∗ S 1296 = S2 √ 1296 = S S = 36
8. N (OPRM 2019) Em 2019 você participou de um sorteio e ganhou. Porém na hora de receber seu prêmio, descobriu que só receberia daqui à 16384 dias. Sabendo que você recebeu essa notícia em uma segunda-feira do início de Janeiro, qual o dia da semana e o ano que você de fato receberá seu prêmio?
Solução. Temos que 16384 = 2340 · 7 + 4, logo você receberá
após 2340 semanas e 4 dias, ou seja, uma sexta-feira. Além disso, como um ano tem 365 dias, teremos que 16384 = 44 · 365 + 324, isto é, 44 anos depois, em 2019 + 44 = 2063. Note que os bissextos não fazem diferença aqui, pois ainda faltam 41 dias para o fim do ano, e existiram no máximo 11 anos bissextos neste intervalo de tempo. Assim, você receberá o
prêmio em uma sexta-feira de 2063.
9. N (Canguru 2018) Um leão está escondido em um dos três quartos de uma casa. Na porta do quarto 1 está escrito: “O leão está aqui". Na porta do quarto 2 está escrito: “O leão não está aqui", e na porta do quarto 3 lê-se: “23 = 32". Somente uma das sentenças é verdadeira. Qual é o quarto em que o leão está?
Solução. A sentença 3 é falsa, pois caso contrário teríamos:
23 = 32 =⇒ 8 = 9.
Supondo que a sentença 1 é verdadeira e o leão está no primeiro quarto, a sentença 2 também é verdadeira, pois o leão não está no segundo quarto. Mas só uma sentença é verdadeira, então a sentença 1 é falsa.
Supondo que a sentença 2 é verdadeira, o leão pode estar no quarto 1 ou 3. Como a sentença 1 deve ser falsa, o leão não pode estar no quarto 1. Logo, o leão está no quarto 3. 10. N(OBMEP 2017) Zequinha tem três dados iguais, com letras
O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados como
na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?
Solução. Como cada face está conectada a 4 faces, e a
ima-gem mostra que a face O está conectada às faces P, Q, S e T, sabemos que a face oposta a O é a face R.
Investigamos agora qual face está oposta à face S. Supomos que seja P. Então, a face de contado do bloco da esquerda com o do meio deve também ser P, pois faces em contato devem conter a mesma letra. Mas isso é impossível, pois podemos ver a face P no bloco da esquerda. Logo, a face P está conectada à face S.
Pela imagem, vemos que as faces O e Q também estão conec-tadas a S e, como R é oposta a O, também está conectada a
S. Logo, a única face que pode ser oposta a S é T. Assim, S é
oposta a T .
11. (OPRM 2018, adaptada) Um certo mês do ano teve 5 segun-das-feiras. Mostre que esse mês não pode ter tido 5 quintas-feiras.
Solução. Para um mês ter uma segunda-feira, é necessário
apenas 1 dia. Para ter 2 segundas-feiras, são necessários 1 dia + 1 semana completa (1 + 7 = 8 dias). Para 3 segundas-feiras, 1 + 7 + 7 = 15 dias, e para cada segunda-feira a mais serão necessários + 7 dias. Para um mês ter 5 segundas-feiras, serão necessários 1 + 7 + 7 + 7 + 7 = 29 dias.
Supondo que o mês tem 5 quintas-feiras, temos 1+7+7+7+7 = 29 dias (1 quinta feira + 4 semanas completas). Nesses 29 dias já temos 4 segundas-feiras (1 por semana completa), e como um mês pode ter 31 dias, ainda podemos acrescentar 31 - 29
= 2 dias a partir de uma feira ou antes de uma quinta-feira. Mas investigando esses dois dias extras, temos:
quinta =⇒ sexta =⇒ sábado
ou:
terça ⇐= quarta ⇐= quinta
Não sendo possível adicionar mais uma segunda-feira. Logo, não podemos ter mais que 4 segundas-feiras em um mês com
5 quintas-feiras.
12. (OBMEP 2015) Daniel e mais quatro amigos, todos nasci-dos em estanasci-dos diferentes, reuniram-se em torno de uma mesa redonda. O paranaense sentou-se tendo como vizinhos o goi-ano e o mineiro. Edson sentou-se tendo como vizinhos Carlos e o sergipano. O goiano sentou-se tendo como vizinhos Edson e Adão. Bruno sentou-se tendo como vizinhos o tocantinense e o mineiro. Quem é o mineiro?
Solução. Primeiramente, vamos organizar as informações
for-necidas pelo enunciado:
• Nomes: Adão, Bruno, Carlos, Daniel e Edson; • Estados: PR, GO, MG, SE, TO.
Possuímos quatro informações dadas pelo enunciado:
(a) O paranaense sentou-se tendo como vizinhos o goiano e o mineiro;
(b) Edson sentou-se tendo como vizinhos Carlos e o sergi-pano;
(c) O goiano sentou-se tendo como vizinhos Edson e Adão; (d) Bruno sentou-se tendo como vizinhos o tocantinense e o
mineiro.
Com (a), podemos começar a posicionar as pessoas entorno da mesa:
De (b), segue que se Edson é vizinho do sergipano, então ele não é paranaense. De (c), segue que ou Edson ou Adão é o paranaense. Utilizando o que foi anteriormente descoberto, segue que o paranaense é Adão.
Como agora sabemos onde Edson senta, voltando a (b), segue que o goiano é Carlos e a posição do sergipano. Por exclusão, descobrimos também que Edson é o tocantinense.
Por fim, segue de (d) que Bruno é o mineiro, e, por exclusão, que o mineiro é Daniel.
13. (Canguru 2016) O relógio de Teobaldo está atrasado 10 mi-nutos, mas ele pensa que o relógio está adiantado 5 minutos. O relógio de Leonardo está adiantado 5 minutos, mas Leonardo pensa que está atrasado 10 minutos. No mesmo instante em que olham seus relógios, Teobaldo acha que são 12 horas. Que horas Leonardo acha que são?
Solução. Se Teobaldo acha que são 12 horas, seu relógio
Como são 12:15, o relógio de Leonardo mostra 12:20. Como o relógio de Leonardo mostra 12:20, Leonardo acha que são
12:30.
14. (Canguru 2014, adaptada) Numa nave espacial há alieníge-nas de três espécies: arcs, ercs e ircs. Cada arc sempre diz a verdade, cada erc sempre mente e cada irc alterna entre dizer a verdade e mentir. Ao chegar à Terra, 17 deles responde-ram sim à pergunta “Você é um arc?", 12 responderesponde-ram sim à pergunta “Você é um irc?" e 8 responderam sim à pergunta “Você é um erc?". Sabendo que as perguntas foram feitas nessa ordem, quantos arcs haviam na nave?
Solução. Primeiro, devemos descobrir quando os ircs estão
mentindo ou dizendo a verdade. A pergunta "Você é um erc?" será respondida com "não" tanto por arcs quanto por ercs, mas como sabemos que 8 alienígenas responderam "sim", então esses são ircs, e estavam mentindo nessa pergunta. Logo, os ircs estavam dizendo a verdade na pergunta "Você é um irc?" e mentindo na pergunta "Você é um arc?".
Montando a tabela, temos:
é um arc? é um irc? é um erc?
arc sim não não
erc sim sim não
irc sim sim sim
Juntando as informações da tabela com o número de respostas "sim" para cada pergunta, temos o sistema:
arcs + ercs + ircs = 17 ercs + ircs = 12 ircs = 8 ercs + 8 = 12 =⇒ ercs = 4 arcs + 4 + 8 = 17 =⇒ arcs = 5
Haviam 5 arcs na nave.
15. (OBM 2016) Num país imaginário, vivem somente duas es-pécies de pessoas: os honestos, que sempre dizem a verdade e os mentirosos, que só dizem mentira. Numa fila de 2016 pessoas da ilha, o primeiro da fila diz que todos atrás dele são mentirosos e todas as demais pessoas da fila dizem que quem está à sua frente é mentiroso. Quantas pessoas mentirosas estão nessa fila?
Solução. Supondo que o primeiro diz a verdade, o segundo
mente, pois o acusa de mentiroso, e o terceiro diz a verdade, pois acusa o segundo de mentir. Mas o primeiro disse que to-dos atrás dele são mentirosos, logo ele não pode estar dizendo a verdade.
Se o primeiro mente, o segundo diz a verdade, pois o acusa de mentir. O terceiro mente, pois acusa o segundo de mentir. O quarto diz a verdade, pois acusa o terceiro de mentir e assim por diante, metade diz a verdade e metade mente. Assim, temos 2016 ÷ 2 = 1008 mentirosos nessa fila. 16. (OBM 2016) O ano de 2016 é sabadoso, pois há cinco meses
com cinco sábados. Qual será o próximo ano sabadoso?
Solução. Como 365 = 7 · 52 + 1 e 366 = 7 · 52 + 2, todos os
anos comuns possuem 52 semanas completas + 1 dia e todos os anos bissextos possuem 52 semanas completas + 2 dias. Como um mês só pode ter 4 ou 5 sábados, um ano só será sabadoso se um dos dias extras for um sábado.
O dia extra do ano comum será um sábado se ele começar em um sábado:
sábado + 52 semanas = sábado
O dia extra do ano bissexto será um sábado se ele começar em uma sexta:
Cada ano seguinte a um ano comum começará com um dia de diferença, enquanto um ano seguinte a um ano bissexto começará com dois dias de diferença.
Como 2016 foi um ano sabadoso e bissexto, seu 1 de janeiro uma sexta feira. Montando uma tabela com os próximos anos e seus dias 1 de janeiro, temos:
Ano 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
1◦ Jan. sex dom seg ter qui sex sáb
Como 2022 é um ano comum que começa num sábado, 2022
é um ano sabadoso.
17. (OBM 2015) Jonas gosta de observar os relógios digitais es-palhados por sua cidade que informam a hora e a data. Por coincidência ele viu que hoje é dia 12/06 e naquele momento marcava 12:06, ou seja, data e hora são formados com os mes-mos números! Ele ficou encucado com a coincidência e chamou o momento (data e hora) de encucado. Ele pensou que tam-bém seria interessante se a hora fosse formada com os mesmos números mas na ordem trocada, por exemplo, no dia 21/06 às 06:21, então chamou esse momento de encucado reverso. Con-siderando que 2015 não é um ano bissexto, desde 01/01/2015 às 00:00 até 31/12/2015 às 23:59 quantos momentos são encu-cados ou encuencu-cados reversos?
Solução. Contaremos separadamente os momentos
encuca-dos e encucaencuca-dos reversos.
• Encucado: contaremos quantos dias do ano possuem algum momento encucado, pois se ele existe, deve ser único no dia. Note que de todos os dias do mês, apenas os de 1 a 23 possuem momentos encucados, pois as horas de um dia variam de 00:00 às 23:59 e não existe dia 0. Quanto aos meses do ano, não existe nenhuma restrição, pois para cada mês existe um minuto correspondente. Temos portanto 23 · 12 = 276 momentos encucados.
• Encucado reverso: analogamente, só pode existir ape-nas um momento encucado reverso por dia. Mas desta vez, observe que não há restrição nenhuma durante o ano, já que qualquer dia de 1 a 31 corresponde a algum mi-nuto, e qualquer mês de 1 a 12 corresponde a alguma hora. Assim, ocorrem 365 momentos encucado reversos durante o ano.
Portanto, temos que um ano possui 276 + 365 = 641
momen-tos encucados ou encucados reversos.
18. Certo dia, um funcionário do Censo Demográfico bate na porta da casa de uma senhora e pergunta:
— Quantos filhos a senhora tem?
— Tenho três filhos. E o produto das idades deles é 36. — Com essa informação, é impossível descobrir a idade de
cada um deles. — falou o funcionário.
— A soma das idades deles é igual ao número de janelas daquele prédio. — diz a senhora, apontando para a cons-trução à frente.
— Bem, isso ajuda, mas ainda não tenho como saber as idades de seus filhos.
— O mais velho toca piano.
— Ah! Agora posso saber todas as idades! Quantos anos tem cada um dos filhos?
Solução. (Nadia Luana Lobkov, N3)
Para resolver este problema, vamos seguir o passo a passo que o Censor fez. Primeiro, a senhora diz que tem 3 filhos, que denotaremos por a, b e c. Depois, ela diz que o produto da idades deles é igual a 36. Então:
Assim, vamos anotar todas as possibilidades. Aproveitamos também para fazer as somas, que de acordo com o problema é igual ao número de janelas.
Fatoração Soma 1 · 1 · 36 38 1 · 2 · 18 21 1 · 3 · 12 16 1 · 4 · 9 14 1 · 6 · 6 13 2 · 2 · 9 13 2 · 3 · 6 11 3 · 3 · 4 9
Após fazer o produto e a soma dos valores, percebemos que existem dois valores que são iguais. Agora é necessário usar a lógica. Nós não conseguimos ver as janelas da construção, porém eles conseguem. Se todos os valores das somas das idades fossem diferentes, então o Censor não teria dúvida das idades, mas como existem dois que são iguais, ele só poderia estar com dúvida entre esses dois. Por isso que ele pede mais informação a senhora.
Como ela fala que o mais velho toca piano, significa que existe um MAIS VELHO. Então o produto 6 · 6 · 1 seria impossível, já que não tem um mais velho nesse produto (a > b ≥ c). Ou
seja, as idades dos netos são 2, 2 e 9.
19. Mostre que é possível dispor os números de 1 a 16 em sequên-cia de modo que a soma de dois números vizinhos seja sempre um número quadrado perfeito.
Solução. Como a maior soma possível entre números desse
conjunto é 15 + 16 = 31 e a menor é 1 + 2 = 3, os quadrados perfeitos obtidos como resultado devem ser 4, 9, 16 ou 25. Vejamos como é possível obter cada um destes números.
Observe que os números 8 e 19 têm apenas uma possibilidade de combinação. Logo, um deve ser o início da sequência, e outro o final. Por facilidade, vamos começar com o número 8. Assim, utilizando a tabela, vamos completando a sequência de acordo com as duplas compatíveis. Observe a construção:
• começar com 8 mostra que o único número compatível é o 1;
• para 1, temos duas escolhas: 3 ou 15. Escolher 3 nos dá duas escolhas. Defina 15 como o próximo número da sequência, para diminuir ambiguidade;
• para 15, devemos escolher 10; • para 10, devemos escolher 6; • para 6, devemos escolher 3;
.. .
Continuando essa linha de raciocínio, construímos então a sequência:
8, 1, 15, 10, 6, 3, 13, 12, 4, 5, 11, 14, 2, 7, 9, 16
que satisfaz as condições do enunciado.
20. Bernardo pensou em cinco números distintos e escreveu num papel todos dez números que são somas de dois destes cinco números. Mostre que é possível descobrir os números que Ber-nardo pensou observando apenas os números escritos no papel.
Solução. Denote os 5 números que Bernardo pensou como
a, b, c, d e e. Como eles são distintos, podemos escolher a
variável que denota cada um deles de forma que:
a > b > c > d > e.
Os 10 valores que Bernardo escreveu no papel são os resultados das somas a + b, a + c, a + d, a + e, b + c, b + d, b + e, c + d, c + e e d + e. Devemos agora identificar quais valores correspondem a quais somas.
• Como a e b são os maiores valores, certamente a soma
a + b corresponde ao maior valor escrito.
• Analogamente, como d e e são os menores valores, a soma
d + e corresponde ao menor valor escrito.
• Como c > d > e, então a + c > a + d > a + e, b + c >
b + d > b + e e c + d > c + e. 1 Mas como a > b, então
a + c > b + c, logo a + c equivale ao segundo maior valor.
• Analogamente, tem-se que c + e equivale ao segundo me-nor valor.
• Dentre os outros valores, é impossível identificar qual soma equivale a qual resultado. Porém, é seguro dizer que a soma de todas as somas equivale a soma dos resultados restantes: (a+d)+(a+e)+(b+c)+(b+d)+(b+e)+(c+d) = 2a + 3b + 2c + 3d + 2e = soma do restante dos valores. Assim, com 5 equações é possível, com algumas condições,2 determinar o valor de cada uma das 5 variáveis iniciais, isto é,
os 5 números que Bernardo pensou.
21. F (OCM 2001) No país da verdade, onde ninguém mente, reuniram-se os amigos Marcondes, Francisco e Fernando. En-tre os três ocorreu a seguinte conversa:
1Consulte a Aula 1 de Álgebra. 2
Marcondes: Estou escolhendo dois inteiros positivos e consecutivos e vou dar um deles ao Francisco e outro ao Fernando, sem que vocês saibam quem recebeu o maior. Após receber cada um o seu número, Francisco e Fer-nando continuaram a conversa.
Francisco: Não sei o número que Fernando recebeu. Fernando: Não sei o número que Francisco recebeu. Francisco: Não sei o número que Fernando recebeu. Fernando: Não sei o número que Francisco recebeu. Francisco: Não sei o número que Fernando recebeu. Fernando: Não sei o número que Francisco recebeu. Francisco: Agora eu sei o número que Fernando recebeu. Fernando: Agora eu também sei o número que Francisco recebeu.
Quais os números recebidos por cada um deles?
Solução. (Malu Hikari e Felipe Ramos, N2)
Francisco e Fernando sabem cada um seu próprio número, sa-bem que o do seu amigo é consecutivo ao seu e ambos não mentem.
• Quando Francisco disse pela primeira vez que não sabia o número do amigo, podemos concluir que o garoto não tirou 1, pois assim saberia o número de Fernando (que seria 2, pois 0 não é inteiro positivo).
• Quando Fernando disse em seguida que não sabia o nú-mero do amigo, sabemos que ele não tirou 2, pois assim ele concluiria que o número de Francisco é 3 (já que vimos no 1◦ tópico que o número de Francisco não é 1).
• Na terceira fala, podemos concluir que Francisco não ti-rou 3.
• Na quarta fala, podemos concluir que Fernando não tirou 4.
• Na quinta fala, podemos concluir que Francisco não tirou 5.
• Na sexta fala, podemos concluir que Fernando não tirou 6.
• Na sétima fala, Francisco descobriu o número de nando, logo, Francisco tirou 7 e por isso sabe que Fer-nando tirou 8 (já que da frase anterior, sabíamos que não era 6).
