Resolução da Matriz Inversa de Vandermonde

Resolu¸c˜

ao da Matriz Inversa de Vandermonde

por Fatora¸c˜

ao LU

Turma A de MA141

Unicamp

Resumo

A Matriz de Vandermonde ´e definida como uma matriz que tenha a primeira coluna apenas com o elemento 1, e os demais elementos aparecendo na forma vi,j = x

j−1

i . Neste trabalho, buscamos obter uma f´ormula fechada que possa

ser usada na matriz de Vandermonde para se obter sua inversa (uma matriz que quando multiplicada por ela resulta na matriz Identidade). Para isso, utilizamos a decomposi¸c˜ao em matrizes L e U , sendo U uma matriz triangular superior e L uma matriz triangular inferior. Obtivemos a f´ormula geral de L, a f´ormula geral de U e as f´ormulas gerais de L−1 e de U−1. Provamos, por indu¸c˜ao, que o produto L · U ´e igual `a matriz de Vandermonde e, finalmente, juntamos essas informa¸c˜oes para produzir a f´ormula desejada.

Dados

1. Toda matriz de Vandermonde inversa (V−1) pode ser escrita na forma V−1 = U−1L−1, sendo U−1 uma matriz triangular superior e L−1 uma matriz triangular inferior.

2. Se L−1 ´e triangular inferior, L ´e triangular inferior. 3. Se U−1 ´e triangular superior, U ´e triangular superior. 4. (At)−1 = (A−1)t 5. ((A−1)t₎t_{= A}−1 6. V−1 = U−1L−1 ⇐⇒ V−1 _{= (LU )}−1 _{⇐⇒ V · V}−1 _{= V (LU )}−1 _⇐⇒ I = V (LU )−1 ⇐⇒ V = LU 7. Vt _{= (LU )}t _{⇐⇒ V}t _{= U}t_{· L}t _{⇐⇒ V}t _{= L} 1 · U1 ⇐⇒ (Vt)−1 = U₁−1· L−1₁

Inversa de V nos casos 2 × 2 e 3 × 3

Calculamos sem fazer nenhum m´etodo de simplifica¸c˜ao ou fatora¸c˜ao:

Vn×n =        1 x1 x21 · · · x n−1 1 1 x2 x22 · · · xn−12 1 x3 x23 · · · x n−1 3 .. . ... ... . .. ... 1 xn x2n · · · xn−1n        n×n (1) V_2×2−1 =  y y−x −x y−x −1 y−x 1 y−x  2×2 (2) V_3×3−1 =    yz (x−y)(x−z) −xz (x−y)(y−z) xy (x−z)(y−z) −(y+z) (x−y)(x−z) x+z (x−y)(y−z) x+y (x−z)(z−y) 1 (x−y)(x−z) −1 (x−y)(y−z) 1 (x−z)(y−z)    3×3 (3)

1

A Matriz U

1.1

Encontrando a matriz U

Vamos utilizar a transposta da matriz de Vandermonde Vt _{pois ela nos}

ofer-ece propriedades melhores que a matriz V . Quando encontrarmos a matriz (Vt₎−1 _{basta transpor o resultado que iremos obter a matriz V}−1_.

Vt _{= LU}

Chamaremos de U uma matriz triangular superior obtida atrav´es do escalon-amento de Vt_.

Exemplo para matrizes 3 × 3:   1 1 1 x1 x2 x3 x2₁ x2₂ x2₃   L2 ← L2− x1L1 L3 ← L3− x21L1   1 1 1 0 (x2− x1) (x3− x1) 0 (x2 2− x21) (x23− x21)  L3 ← L3− x2 2− x21 x2− x1 L2   1 1 1 0 x2− x1 x3− x1 0 0 (x3− x1)(x2 − x1)  = U3×3 (4)

Neste caso, encontramos a matriz U . Observe que cada opera¸c˜ao pode ser descrita como o produto de Vt _{por uma matriz elementar:}

E3· E2· E1· Vt = U3

E · V3 = U3

Como Vt= LU , ent˜ao L−1· Vt_{= U . Portanto:}

E = L−1₃ (5)

Ent˜ao L−1 ´e sempre dado pelo produto das matrizes elementares que geram a matriz U a partir de Vt.

1.2

An´

alise das matrizes U

2×2

, U

3×3

, U

4×4

Apenas fazendo as opera¸c˜oes com as linhas (Jacobi) encontramos os valores de U . U2×2=  1 1 0 (x2− x1)  (6)

U3×3 - dada no exemplo anterior (4) U4×4=     1 1 1 1 0 (x2− x1) (x3− x1) (x4 − x1) 0 0 (x3− x1)(x3− x2) (x4− x1)(x4− x2) 0 0 0 (x4− x3)(x4 − x2)(x4− x1)     (7) Analisando os casos U2×2, U3×3 e U4×4, vemos que a sequˆencia segue

clara-mente um padr˜ao. Na linha 2 temos (xj − x1). Na linha 3 temos (xj −

x1)(xj − x2). Na linha 3, temos (xj − x1)(xj − x2)(xj − x3). Isso nos leva a

pensar que na linha 5 teremos (xj − x1)(xj− x2)(xj− x3)(xj− x4).

Dessa forma, Un×n pode ser dada pela lei de forma¸c˜ao

uij =            1 se i = 1 i−1 Y k=1 (−xk+ xj) se j ≥ i 0 se j < i (8)

1.3

Inversa de U

Com a lei de forma¸c˜ao de U (8), podemos estudar a matriz U−1. Fazendo U_2×2−1 , U_3×3−1 e U_4×4−1, obtemos: (tomando x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = w) U_2×2−1 =1 −1 y−x 0 _x−y−1  2×2 (9) U_3×3−1 =    1 _y−x−1 _{(z−x)(y−x)}1 0 _x−y−1 _{(z−y)(x−y)}1 0 0 _{(x−z)(y−z)}1    3×3 (10) U_4×4−1 =     

1 _y−x−1 _{(z−x)(y−x)}1 _{(z−x)(y−x)(w−x)}−1 0 _x−y−1 _{(z−y)(x−y)}1 _{(z−y)(w−y)(x−y)}−1 0 0 _{(x−z)(y−z)}1 _{(w−z)(x−z)(y−z)}−1 0 0 0 _{(x−w)(y−w)(z−w)}−1      (11)

Analisando essas matrizes, podemos tirar diversas rela¸c˜oes interessantes: • Os termos das colunas pares est˜ao na forma em que o numerador da

• Todos os termos n˜ao nulos, tirando o u−1_1,1aparecem na forma _n1

i,j, sendo

n uma produt´orio.

• Os termos aparecem sempre na forma de 1

n−xi, podendo ou n˜ao estarem

em um produt´orio.

• A cada coluna que avan¸camos os termos dos produt´orios aumentam um termo.

Com essas rela¸c˜oes calculamos a lei de forma¸c˜ao de u−1_i,j:

u−1_i,j =            1 se i = j = 1 (−1)1+j· j Y k=1 1 xk− xi , k 6= i se j ≥ i 0 se j < i (12)

2

A Matriz L

2.1

Encontrando L

Vimos que Vt = LU , ou seja, Vt · U−1 _{= L. Podemos calcular l}

i,j pela defini¸c˜ao li,j = n X k=1 v_i,kt · u−1_k,j Sabendo que, por defini¸c˜ao, vij = x−1+ij e

u−1_i,j =            1 se i = j = 1 (−1)1+j· j Y k=1 1 xk− xi , k 6= i se j ≥ i 0 se j < i

Para calcular li,j ´e necess´ario dividir em casos.

Calculando para li,1:

li,1 = n

X

k=1

li,1 = vi,1t · u −1 1,1+     *0 n X k=2 vt_i,k· u−1_k,1

Como j = 1 e k sempre ser´a maior que 1, o termo u−1_k,j ser´a 0. Como, ainda, vt

i,1 ser´a igual a x −1+i

1 e o termo u −1

1,1 ser´a igual a 1, temos que:

li,1 = x−1+i1 (13)

Calculando para li,j: (sendo j 6= 1)

li,j = n X k=1 v_i,kt · u−1_k,j li,j =    * 0 n X k=j+1 v_i,kt · u−1_k,j+ j X k=1 v_i,kt · u−1_k,j li,j = j X k=1 x−1+i_k · j Y m=1 1 xm− xk ! · (−1)j+1 _{, m 6= k (14)}

Logo, por (13) e (14), temos que:

li,j =      x−1+i₁ se j = 1 j X k=1 x−1+i_k · j Y m=1 1 xm− xk ! · (−1)j+1 , m 6= k se j ≥ 2 (15)

Exemplos 2 × 2 e 3 × 3 dessa matriz L Com a lei de forma¸c˜ao, calculamos:

L2×2= 1 0 x 1  L3×3=   1 0 0 x 1 0 x2 y2_−x2 y−x 1  

2.2

A inversa de L

Tendo a lei de forma¸c˜ao de L, podemos fazer diversas matrizes e calcular a inversa: L−1_2×2= 1 0 −x 1  L−1_3×3 =   1 0 0 −x 1 0 xy −x − y 1   L−1_4×4 =     1 0 0 0 −x 1 0 0 xy −(x + y) 1 0 −xyz (xy + zy + zx) −(x + y + z) 1     L−1_5×5 =   1 0 0 0 0 −x 1 0 0 0 xy −(x + y) 1 0 0 −xyz (xy + zy + zx) −(x + y + z) 1 0 xyzw −(xyz + xyw + xzw + yzw) (xy + xz + xw + yz + yw + wz) −(x + y + w + z) 1

 

Obs: x1 = x; x2 = y; x3 = z; x4 = w. Notamos duas propriedades

interes-santes de L−1:

• A cada linha aparece um novo termo, e esses termos fazem as possveis combina¸c˜oes de produtos, e essas combina¸c˜oes se somam

• Os elementos nos quais (i+j) ´e par, s˜ao positivos. Os elementos nos quais a soma (i+j) ´e ´ımpar, s˜ao negativos.

Para criarmos uma equa¸c˜ao fechada dessa matriz, vamos introduzir um o-perador M, para que as express˜oes n˜ao se tornem t˜ao extensas e que funcione para prop´osito que queremos.

2.3

O operador M

O operador M serve para calcularmos a somat´orio da combina¸c˜ao de produ-tos. Ele ´e escrito como:

Mk(x1, x2, · · · , xn)

onde (x1, x2, · · · , xn) s˜ao os termos que queremos combinar e k indica de

Ex: Vamos calcular M2(a, b, c).

Para isso, devemos calcular as combina¸c˜oes dos produtos 2 a 2. M2(a, b, c) = ab + ac + bc

Ex: Vamos calcular M3(3, 4, 5, 6).

M3(3, 4, 5, 6) = 3 · 4 · 5 + 3 · 4 · 6 + 3 · 5 · 6 + 4 · 5 · 6 = 342

Ex: Vamos calcular M1(x1, x2, · · · , xn).

M1(x1, x2, · · · , xn) = x1+ x2+ · · · + xn= n

X

m=1

xm

Obs: Por defini¸c˜ao, M0 = 1.

2.4

A aplica¸

c˜

ao de M

Com o operador M, podemos facilmente escrever a matriz L−1_4×4 da seguinte forma: L−1_4×4=     1 0 0 0 −M1(x) M0(x) 0 0 M2(x, y) −M1(x, y) M0(x, y) 0 −M3(x, y, z) M2(x, y, z) −M1(x, y, z) M0(x, y, z)     Logo, achamos a lei de forma¸c˜ao de l−1_i,j:

l−1_i,j =      0 se j > i (−1)i+j _{· M} i−j(x1, x2, · · · , xi−1) se j ≤ i 1 se i = j = 1 (16)

3

Indu¸

c˜

ao

3.1

Indu¸

c˜

ao de LU

Para provar que a matriz L multiplicada pela matriz U sempre gera a trans-posta da matriz de Vandermonde, precisamos provar por indu¸c˜ao. Para uma matriz 2 × 2:

L =1 0 x 1  e U =1 1 0 y − x  LU = 1 0 x 1  ·1 1 0 y − x  =1 1 x y  = Vt Hip´otese: xi−1_j = n X k=1 li,k · uk,j Tese: xi−1_j = n+1 X k=1 li,k · uk,j Para j = 1: xi−1₁ = n X k=1 li,k · uk,1 xi−1₁ = li,1·   *1 u1,1+ n X k=2 li,k · uk,1

Pela lei de forma¸c˜ao de ui,j, n

X

k=2

li,k · uk,1 deve ser igual a 0. Logo

xi−1₁ = li,1 (17) Para j ≥ 2: Hip´otese: xi−1_j = n X k=1 li,k · uk,j Tese: xi−1_j = n+1 X k=1 li,k · uk,j

Pela hip´otese, xi−1_j = n X k=1 li,k · uk,j

Para n = 2, foi conferido. A f´ormula fechada de L ´e: (15) li,j =      x−1+i₁ se j = 1 j X k=1 x−1+i_k · j Y m=1 1 xm− xk ! · (−1)j+1 _{, m 6= k se j ≥ 2} A f´ormula fechada de U ´e: (8) uij =            1 se i = 1 i−1 Y k=1 (−xk+ xj) se j ≥ i 0 se j < i Queremos mostrar que:

v_i,jt = n X k=1 li,k · uk,j ou seja xi−1_j = n X k=1 li,k · uk,j Desse modo xi−1_j = li,1·   *1 u1,j+ n X k=2 li,k · uk,j xi−1_j = li,1+ j X k=2 li,k · uk,j+    * 0 n X k=j+1 li,k · uk,j xi−1_j = li,1+ j X k=2 li,k · uk,j (18)

Pela tese n+1 X k=1 li,k · uk,j = li,1·   *1 u1,j+ n+1 X k=2 li,k· uk,j = li,1+ j X k=2 li,k · uk,j+    * 0 n+1 X k=j+1 li,k· uk,j = li,1+ j X k=2 li,k· uk,j

E temos, por (18), que

li,1+ j

X

k=2

li,k · uk,j = xi−1j 

Logo a multiplica¸c˜ao L · U gera a transposta da matriz de Vandermonde, ∀ n ∈ N.

3.2

Indu¸

c˜

ao de U

−1 Testando para n = 2 U2×2· U2×2−1 = 1 1 0 (x2− x1)  ·1 −1 x2−x1 0 _x−1 1−x2  =1 0 0 1  Hip´otese: n X k=1 ui,k · u−1k,j = In Tese: n+1 X k=1 ui,k · u−1k,j = In+1 Para i = j = 1: x = n X k=1 u1,k· u−1k,1 x = u1,1· u−11,1+     *0 n X k=2 u1,k · u−1k,1

x = 1 Para i = 1 e j 6= 1: Hip´otese: n X k=1 u1,k · u−1_k,j = 0 Tese: n+1 X k=1 u1,k · u−1_k,j = 0

Pela hip´otese:

n X k=1 u1,k · u−1k,j = 0 Como u1,k = 1: n X k=1 u−1_k,j = 0 j X k=1 u−1_k,j+       > 0 n X k=j+1 u−1_k,j = 0 j X k=1 u−1_k,j = 0 (19) Pela tese: n+1 X k=1 > 1 u1,k · u−1k,j j X k=1 u−1_k,j+  0 n+1 X k=j+1 u−1_k,j E temos, por (19): j X k=1 u−1_k,j = 0

Para i = j 6= 1: Hip´otese: n X k=1 ui,k · u−1k,j = 1 Tese: n+1 X k=1 ui,k · u−1_k,j = 1

Chamando, pela hip´otese:

n X k=1 ui,k· u−1k,j = 1 como i = j,     *0 i−1 X k=1

ui,k · u−1k,i + ui,i· u−1i,i +

   * 0 n X k=i+1 ui,k · u−1k,j = 1 ui,i· u−1i,i = 1 (20) Pela tese: n+1 X k=1 ui,k · u−1k,j = 0 Como i = j,     *0 i−1 X k=1

ui,k · u−1_k,i + ui,i· u−1i,i +

   * 0 n+1 X k=i+1 ui,k · u−1_k,j = 1 Por (20) temos: ui,i· u−1i,i = 1 Para i 6= j e i 6= 1: Hip´otese: n X k=1 ui,k · u−1_k,j = 0 Tese: n+1 X k=1 ui,k · u−1k,j = 0

Pela hip´otese, n X k=1 ui,k · u−1_k,j = 0 j X k=1 ui,k· u−1_k,j+    * 0 n X k=j+1 ui,k· u−1_k,j = 0 j X k=1 ui,k · u−1k,j = 0 (21)

Pela tese, temos

n+1 X k=1 ui,k · u−1k,j j X k=1 ui,k· u−1k,j+    * 0 n+1 X k=j+1 ui,k· u−1k,j

Por (21), temos que

j

X

k=1

ui,k · u−1k,j = 0

Logo, como foi testado para o caso de n = 2, U−1 realmente ´e a inversa de U .

3.3

Indu¸

c˜

ao de L

−1 Para n = 2: L · L−1 =1 0 x 1  · 1 0 −x 1  =1 0 0 1  Hip´otese: n X k=1 li,k · l−1k,j = In Tese: n+1 X k=1 li,k · l−1k,j = In

Para i = j = 1: n X k=1 l1,k· l−1k,1= 1 l1,1· l1,1−1+     *0 n X k=2 l1,k· lk,1−1 = 1 l1,1· l−11,1 = 1 Para i = j 6= 1: Hip´otese: n X k=1 li,k · l−1k,j = 1 Tese: n+1 X k=1 li,k · l−1k,j = 1

Pela hip´otese, como i = j:

n X k=1 li,k · l−1_k,i = 1      > 0 i−1 X k=1

li,k · l−1k,i + li,i· li,i−1+

    *0 n X k=i+1 li,k· l−1k,i = 1 li,i· l−1i,i = 1 (22)

Pela tese, como i = j, temos

n+1

X

k=1

     > 0 i−1 X k=1

li,k · l−1_k,i + li,i· li,i−1+

    *0 n+1 X k=i+1 li,k · l−1_k,i Por (22) temos: li,i· l−1i,i = 1 Para i 6= j 6= 1: Hip´otese: n X k=1 li,k · l−1k,j = 0 Tese: n+1 X k=1 li,k · l−1_k,j = 0

Pela hip´otese:

n X k=1 li,k · l−1_k,j = 0 j X k=1 li,k · l−1k,j+    *0 n X k=j+1 li,k· l−1k,j = 0 j X k=1 li,k · l−1_k,j = 0 (23)

Pela tese, temos

n+1 X k=1 li,k · l−1k,j j X k=1 li,k · l−1k,j+    *0 n+1 X k=j+1 li,k · l−1k,j Por (23), temos j X k=1 li,k · l−1_k,j = 0

Como para n = 2 foi verificado, temos que L · L−1 sempre ser´a igual `a matriz identidade.

4

Encontrando V

_i,j−1 Como (Vt)−1 = U−1· L−1 (Vt)−1_i,j = n X k=1 u−1_i,k · l−1 k,j V_i,j−1 = n X k=1 u−1_j,k · l−1_{k,i } (24) onde u−1_i,j =            1 se i = j = 1 (−1)1+j _· j Y n=1 1 xn− xi , n 6= i se j ≥ i 0 se j < i e l−1_i,j =      0 se j > i (−1)i+j _{· M} i−j(x1, x2, · · · , xi−1) se j ≤ i 1 se i = j = 1

4.1

F´

ormula fechada para V

−1

(vt_i,j)−1 = n X k=1 u−1_i,k · l−1_k,j Para i = j = 1 temos: (v_1,1t )−1 = n X k=1 u−1_1,k · l−1 k,1 (v_1,1t )−1 = u−1_1,1· l−1_1,1+ n X k=2 u−1_1,k · l_k,1−1

(vt_1,1)−1 = 1+ n X k=2 " (−1)1+k· k Y h=1 1 xh− x1 ! · (−1)k+1_{· M} k−1(x1, · · · , xk−1)
# , h 6= 1 Transpondo, temos (v1,1)−1 = 1 + n X k=2 " _k Y h=1 1 xh− x1 ! · (Mk−1(x1, · · · , xk−1)) # , h 6= 1 Para i, j ∈ N \ {1, 1}: (vt_i,j)−1 = n X k=1 u−1_i,k · l−1_k,j (vt_i,j)−1 =     *0 max{i,j}−1 X k=1 u−1_i,k · l−1_k,j+ n X k=max{i,j} u−1_i,k · l−1_k,j (v_i,jt )−1= n X k=max{i,j} u−1_i,k · l−1_k,j (vt_i,j)−1 = n X k=max{i,j} " (−1)1+k· k Y h=1 1 xh− xi !! (−1)k+j· Mk−j(x1, · · · xk−1)
# , h 6= i Transpondo, temos v_i,j−1 = n X k=max{i,j} " (−1)i+1· k Y h=1 1 xh− xj ! · Mk−i(x1, · · · xk−1) # , h 6= j

Logo, temos que

v−1_i,j =            1 + n X k=2 " _k Y h=1 1 xh− x1 ! · (Mk−1(x−1, · · · , xk−1)) # , h 6= 1 (se i = j = 1) n X k=max{i,j} " (−1)i+1· k Y h=1 1 xh− xj ! · Mk−i(x1, · · · xk−1) # , h 6= j (se i, j ∈ N \ {1, 1})

4.2

Exemplos

Calcularemos a inversa da matriz de Vandermonde 2 × 2: C´alculo de U−1: U−1 =1 −1 y−x 0 _x−y−1  C´alculo de L−1: L−1 = 1 0 −x 1  U−1· L−1 = −y x−y 1 x−y x x−y −1 x−y  Transpondo, temos V−1 =  −y x−y x x−y 1 x−y −1 x−y   −y x−y x x−y 1 x−y −1 x−y  ·1 x 1 y  =1 0 0 1 

Logo, o exemplo bate.

OBS: O exemplo utilizou o produto convencional apenas para tornar a resolu¸c˜ao mais vis´ıvel e did´atica. A f´ormula fechada funciona da mesma maneira, pois ´e a mesma opera¸c˜ao.

Exemplo 2:

Encontraremos a inversa de V , sendo

V =   1 2 4 1 3 9 1 4 16   Sendo assim, x1 = 2, ; x2 = 3; x3 = 4 C´alculo de U−1: U−1 =    1 ₃₋₂−1 _{(4−2)(3−2)}1 0 ₂₋₃−1 _{(4−3)(2−3)}1 0 0 _{(2−4)(3−4)}1   =   1 −1 1₂ 0 1 −1 0 0 1₂  

C´alculo de L−1: L−1 =   1 0 0 −2 1 0 2 · 3 −(2 + 3) 1  =   1 0 0 −2 1 0 6 −5 1   U−1· L−1 =   6 −7₂ 1₂ −8 6 −1 3 −5₂ 1   Transpondo, temos V−1 =   6 −8 3 −7 2 6 −5 2 1 2 −1 1   Verifica¸c˜ao:   6 −8 3 −7 2 6 −5 2 1 2 −1 1  ·   1 2 4 1 3 9 1 4 16  =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   Logo, o exemplo bate.

Exemplo 3:

Encontraremos a inversa da matriz de Vandermonde 2 × 2 pela f´ormula fechada de V−1. V_1,1−1 = 1 + 2 X k=2 " _k Y h=1 1 xk− x1 ! · Mk−1(x1, · · · xk−1) # , h 6= 1 V_1,1−1 = 1 + 1 x2− x1 · x1 = x2 x2− x1 V_1,2−1 = 2 X k=max{1,2} " (−1)1+k· k Y h=1 1 xh− x2 ! · (−1)k+1_{· M} k−1(x1, · · · , xk−1) # , h 6= 2 V_1,2−1 = (−1)1+2· 1 x1− x2 · M1(x1) = x1 x1 − x2 = −x1 x2− x1 V_2,1−1 = 2 X k=max{2,1} " (−1)1+k· k Y h=1 1 xh− x1 ! · (−1)k+2_{· M} 0(x1, · · · , xk−1) # , h 6= 1

V_2,1−1 = (−1)2+1· 1 x2 − x1 · (−1)2+2_{· 1 =} −1 x2− x1 V_2,2−1 = 2 X k=max{2,2} " (−1)1+k· k Y h=1 1 xh− x2 ! · (−1)k+2_{· M} 0(x1, · · · , xk−1) # , h 6= 2 V_2,2−1 = (−1)1+2· 1 x1− x3 · (−1)2+2_{· 1 =} −1 x1− x2 = 1 x2− x1 Logo, V−1 =  x2 x2−x1 −x1 x2−x1 −1 x2−x1 1 x2−x1 

5

Conclus˜

ao

Conseguimos, efetivamente, encontrar uma f´ormula fechada para uma matriz de Vandermonde de dimens˜ao n × n, utilizando as matrizes L (triangular inferior) e U (triangular superior). Estudamos a l´ogica de forma¸c˜ao das matrizes L, U , L−1 e U−1 e provamos, por indu¸c˜ao finita, que o produto LU resulta na matriz V . Com isso, pudemos usar os padr˜oes de forma¸c˜ao das matrizes L−1 e U−1 para estabelecer o padr˜ao de forma¸c˜ao da matriz V−1, a inversa da matriz de Vandermonde.