Super Polícia Federal 2013
Raciocínio Lógico
Apostila
Pedro Evaristo
CAPÍTULO 1
ESTRUTURA LÓGICA: INVESTIGAÇÃO
“Somos o que fazemos, mas somos principalmente, o que fazemos para mudar o que somos”
EDUARDO GALEANO
INVESTIGANDO
As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.
Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento.
As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposisções para chegarmos as conclusões.
HIPÓTESE
Uma hipótese é uma teoria provável, mas não demonstrada, uma suposição admissível. Na matemática, é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Surge no pensamento científico após a coleta de dados observados e na conseqüência da necessidade de explicação dos fenômenos associados a esses dados.
É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação (aceitação) ou refutação (rejeição) da hipótese. Assim que comprovada, a hipótese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.
IDENTIFICANDO CADA CASO
Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas informações, com base nas informações fornecidas no enunciado.
Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.
· 1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO.
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado.
EXEMPLO:
Aline é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas. Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.
CONCLUSÕES:
Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, então A > B (Aline é mais velha que Bruna) e C > B (Bruna é mais nova que Carol)
Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma:
A > C > B
· 2º CASO - Somente Verdades: ASSOCIAÇÃO.
Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações de uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga.
CONCLUSÕES:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
A B C
Profissão Idade
Como “Bruna é a mais nova e têm 25 anos”, e que “a mais nova é Terapeuta”, deduzimos que Bruna é Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela.
A B C
Profissão T Idade 25
Como “Carol é a mais velha e não é Psicóloga”, deduzimos que Carol é Fonoaudióloga e têm 27 anos, já que “as três nasceram em anos consecutivos” e “a mais nova tem 25 anos”. Logo podemos acrescentar as seguintes informações na tabela.
A B C
Profissão T F Idade 25 27
Por exclusão, deduz-se que Aline tem 26 anos e é Psicóloga. Assim, temos a tabela totalmente preenchida.
A B C
Profissão P T F Idade 26 25 27
· 3º CASO - Verdades e Mentiras: SUPOSIÇÃO.
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte: – ALINE: “Foi a Bruna que comeu”
– BRUNA: “Aline está mentindo” – CAROL: “Não fui eu”
Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo.
CONCLUSÕES: 1º PASSO:
(identificar que existem verdades e mentiras)
No enunciado, foi dito que “apenas uma delas está dizendo a verdade”, portanto duas delas mentem e outra fala a verdade, tratando-se de uma questão do 3º caso, ou seja, teremos que fazer suposições.
2º PASSO:
(construir a tabela e lançar as hipóteses)
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir. ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES HIPÓTESES A B C Se A foi quem comeu
Se B foi quem comeu Se C foi quem comeu 3º PASSO:
(julgar a veracidade, ou não, das afirmações, mediante cada uma das hipóteses)
Como Aline disse que “Foi a Bruna que comeu”, ela só estará dizendo a verdade caso (na hipótese de) Bruna realmente tenha comido o bolo, caso contrário estará mentindo, logo temos:
A B C A comeu F
B comeu V C comeu F
Como Bruna disse que “Aline está mentindo”, temos que Bruna só mente no caso (na hipótese de) de Aline falar a verdade, caso Aline realmente esteja mentindo então Bruna estará falando a verdade, ou seja, as colunas A e B terão valores lógicos contrários, logo temos: A B C
A comeu F V B comeu V F C comeu F V
Finalmente, como Carol disse “não fui eu”, ela só estará mentindo caso (na hipótese de) ela tenha comido o bolo, caso contrário estará falando a verdade, logo analisando essa afirmação, temos:
A B C A comeu F V V B comeu V F V C comeu F V F 4º PASSO:
(aceitar ou rejeitar as hipóteses, de acordo com o proposto no enunciado)
Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, então com base nisso devemos identificar a única linha que tem apenas uma afirmação verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3ª hipótese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas.
Conclusão, Carol comeu a última fatia do bolo.
EXEMPLO DO 1º CASO - VERDADES: ORDENAÇÕES
01. Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora mediatamente abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2º andar.
a) Heitor
a) Erick d) Fred e) Giles
SOLUÇÃO:
Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores.
Inicialmente como “Erick mora acima de todos”, então ele mora no 4º andar. Como “Fred mora acima de Heitor” e “Heitor não mora no 1º andar”, então Heitor tem que morar no 2º andar e Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições. Por exclusão, Giles mora no 1º andar, o que satisfaz a condição de “morar mediatamente abaixo de Fred”, ou seja, existe exatamente uma pessoa entre ele Fred.
EXEMPLOS DO 2º CASO - VERDADES: ASSOCIAÇÃO
02. (IPAD) Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos; 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos. Luciano, Cláudio e Fernanda estudam respectivamente:
a) Kant, Wittgenstein e Frege.
b) Kant, Frege e Wittgenstein. c) Wittgenstein, Kant e Frege. d) Frege, Kant e Wittgenstein. e) Frege, Wittgenstein e Kant.
LINK:
É importante diferenciar “em cima”, “acima”, “em baixo” e “abaixo”. Por exemplo, se Pedro mora no 8º andar de um prédio e Milena mora: · ACIMA, então Milena mora em um andar superior ao dele, não
necessariamente em cima.
· EM CIMA, então Milena mora no andar IMEDIATAMENTE acima, ou seja, no 9º andar.
· MEDIATAMENTE ACIMA, então Milena mora duas posições acima, com exatamente um andar entre eles, ou seja, no 10º andar.
· ABAIXO, então Milena mora em um andar inferior ao dele, não necessariamente em baixo.
· EM BAIXO, então Milena mora no andar IMEDIATAMENTE abaixo, ou seja, no 7º andar.
· MEDIATAMENTE ABAIXO, então Milena mora duas posições abaixo, com exatamente um andar entre eles, ou seja, no 6º andar.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar as informações na tabela a seguir:
Luciano Cláudio Fernanda Frege
Kant Wittgenstein
De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos: 1) Se “Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos”, então “Luciano não estuda Frege”
Luciano Cláudio Fernanda
Frege F
Kant Wittgenstein
2) Se “Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos”, então “Cláudio não estuda Kant”
Luciano Cláudio Fernanda
Frege F
Kant F
Wittgenstein
3) Se “Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos”, então “Cláudio estuda Wittgenstein” pois já tínhamos concluído que “Luciano não estuda Frege”
Luciano Cláudio Fernanda
Frege F
Kant F
Wittgenstein F VERDADE F
Como “Luciano não estuda nem Frege, nem Wittgenstein” então por exclusão “ele estuda Kant”. Nesse caso resta apenas que “Fernanda estuda Frege”
Luciano Cláudio Fernanda
Frege F VERDADE
Kant VERDADE F
03. Três crianças – Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo – brincavam, cada qual, com um único tipo de brinquedo. Considere as seguintes informações:
· Os brinquedos são: Falcon, Playmobil e Atari; · As idades dos três são: 11, 8 e 6;
· Astolfo não brincava com um Falcon e nem com o Atari; · A criança que tem 11 anos, brincava de Atari;
· Cleosvaldo tem menos de 8 anos.
Com base na informações dadas, é correto afirmar que
a) Belarmino tem 11 anos.
b) Astolfo tem 11 anos.
c) Belarmino brincava com um Falcon. d) Cleosvaldo brincava com um Atari. e) Astolfo não tem 8 anos.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir: ASTOLFO BELARMIN O CLEOSVALD O IDADE BRINQUEDO
Sabendo que “Astolfo brincava com um Playmobil” e que “Cleosvaldo tem 6 anos”, temos: ASTOLFO BELARMIN O CLEOSVALD O IDADE 6 BRINQUEDO Play
Como “A criança que tem 11 anos, brincava de Atari”, apenas Belarmino se encaixa, logo ASTOLFO BELARMIN O CLEOSVALD O IDADE 11 6
BRINQUEDO Play Atari Por exclusão, temos
ASTOLFO BELARMIN O
CLEOSVALD O
IDADE 8 11 6
BRINQUEDO Play Atari Falcon
04. Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está com sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto.
b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos.
c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos.
d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco. e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis. SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir: ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO
SAPATOS
Sabendo que “Camila está com sapatos azuis”, temos: ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO
SAPATOS Az
Sabendo que “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”, então Anna tem que ter sapatos brancos
ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO
SAPATOS Br Az
Como “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO Br
SAPATOS Br Az
Por exclusão, deduz-se que Bruna está com sapatos pretos e sabendo que “somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
ANNA BRUNA CAMILA
VESTIDO Br Az Pr
EXEMPLOS DO 3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: SUPOSIÇÃO
05. Quando a mãe de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela mãe, eles fazem as seguintes declarações:
· "Mãe, o Bosco foi quem quebrou" – disse Alysson · "Como sempre, o Daniel foi culpado" – disse Bosco · "Mãe, sou inocente" – disse Cleber
· “Claro que o Bosco está mentindo" – disse Daniel
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso. a) Alysson
b) Bosco
c) Cleber
d) Daniel SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde serão analisadas as declarações mediante as hipóteses:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL ALYSSON
BOSCO CLEBER DANIEL
Analisaremos as declarações de cada criança, de acordo com as hipóteses dos culpados. Por exemplo, Alysson declara que “Bosco foi quem quebrou”, então ele estará falando a verdade somente no caso de Bosco realmente ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hipótese de outra pessoa ser o culpado, logo:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL
ALYSSON F
BOSCO V
CLEBER F
DANIEL F
Como Bosco disse que “Daniel foi o culpado”, nota-se que apenas no caso de Daniel ser o culpado ele estará dizendo a verdade, então para qualquer outra hipótese de culpado ele mente (F), logo temos:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL
ALYSSON F F
CLEBER F F
DANIEL F V
Como Cleber se declara inocente, apenas na hipótese dele ser o culpado, sua declaração é dita como falsa (F), em todas as demais hipóteses ele realmente será considerado inocente, logo:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL
ALYSSON F F V
BOSCO V F V
CLEBER F F F
DANIEL F V V
Como Daniel disse que “Bosco está mentindo", então nesse caso, sempre a declaração de Daniel terá valor lógico contrário ao de Bel, pois eles se contradizem, então Daniel só irá mentir no caso dele ser o culpado, ou seja:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL
ALYSSON F F V V
BOSCO V F V V
CLEBER F F F V
DANIEL F V V F
Análise das hipóteses:
· 1ª Hipótese: Alysson culpado (REJEITADA) ® Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)
· 2ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA) ® Somente um mentiu (F)
· 3ª Hipótese: Cleber culpado (ACEITA) ® Somente um falou a verdade (V)
· 4ª Hipótese: Daniel culpado (REJEITADA) ® Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)
Observe que somente na hipótese de Cleber ser o culpado é que apenas uma das declarações se torna verdadeira (V), sendo então três falsas (F). Como somente Daniel diz a verdade, a terceira hipótese é a única aceita, logo Cleber é declarado culpado.
06. Cinco jovens encontram-se diante de três portas na “Caverna do Dragão”, buscando um caminho para voltar para casa. Diante das portas estão três guardiões. As portas levam: ao castelo do Vingador, a um labirinto e finalmente uma passagem para seu mundo, mas não nessa ordem. Cada um dos guardiões declara:
· 1º Guardião: “O castelo do seu inimigo não está na porta da direita” · 2º Guardião: “A porta do meio é a passagem para seu mundo”
· 3º Guardião: “A porta do centro leva a um labirinto e a da direita ao Castelo do Vingador”
Quando o “Mestre dos Magos” aparece, avisa aos garotos de que apenas dois dos guardiões estava falando a verdade. Logo, eles concluíram que:
a) o labirinto está na porta da esquerda b) a passagem está na porta da esquerda
c) a passagem está na porta do centro
d) o castelo do Vingador está na porta do centro e) o castelo do Vingador está na porta da direita SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as possibilidades para cada porta:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C L P C P L P C L P L C L P C L C P
O 1º guardião declarou que “O castelo não está na porta da direita”, então ele só estará mentindo (F) no caso do castelo está na porta da direita, ou seja, o que ocorre na 4ª e na 5ª hipótese, logo temos:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C L P V C P L V P C L V P L C F L P C F L C P V
Já o 2º guardião declarou que “A porta do meio é a passagem para seu mundo”, então na 2ª e na 5ª hipótese ele só estará mentindo (F), pois nestas hipóteses supõe-se que a passagem (P) está no meio, logo:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C L P V F C P L V V P C L V F P L C F F L P C F V L C P V F
O 3º guardião fez duas declarações, que “a porta do centro leva a um labirinto” e que “a porta da direita leva ao Castelo do Vingador”, então ele só estará falando a verdade (V) no caso das duas afirmações ocorrerem, ou seja, apenas na 4ª hipótese, logo temos:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C L P V F F C P L V V F P C L V F F P L C F F V L P C F V F L C P V F F
Observe que apenas na 2ª hipótese, dois dos guardiões falam a verdade e um mente, o que satisfaz a condição imposta no enunciado da questão, então a ordem será:
Castelo (C), Passagem (P) e Labirinto (L) Portanto, a passagem está na porta do centro.
“A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade”
EXERCÍCIOS
Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que havia esquecido um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que:
· Um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria; · André esqueceu um objeto na casa da namorada;
· Bruno não esqueceu a agenda e nem a chave de casa. Com base nessas informações, julgue os itens.
01. Carlos foi quem esqueceu a agenda na pizzaria.
02. André não foi quem esqueceu guarda-chuva.
Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrência para compra de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hércules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:
· Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior. · O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2
dias a menos do que a Mactex.
· O modelo Hércules seria entregue em 10 dias. · Macval não apresentou o modelo Netuno. Nessas condições, julgue os itens a seguir.
03. Macval entregará em 8 dias o modelo Thor.
04. Mactex entregará em 14 dias o modelo Netuno.
(CESPE) Na última corrida do campeonato anual de motocicleta, participaram 8 pilotos, numerados de 1 a 8. As cores dos capacetes dos pilotos são todas diferentes. De acordo com a acumulação de pontos nas corridas anteriores, se o piloto 8 terminasse essa corrida em pelo menos duas posições à frente do piloto 3, o piloto 8 seria o campeão do ano. Encerrada a corrida, observou-se que
I. o piloto 1 chegou imediatamente depois do piloto de capacete prata e a seguir chegou o de capacete vermelho;
II. o piloto 4 venceu a corrida;
III. o piloto 3 terminou a corrida duas posições atrás do piloto 1 e uma posição à frente do piloto de capacete azul;
IV. o piloto de capacete prata cruzou a linha de chegada imediatamente após o piloto 2;
V. o piloto de capacete preto terminou a corrida em segundo lugar; VI. o piloto de capacete verde, penúltimo colocado na corrida, chegou
imediatamente após o piloto 6;
VII. o piloto de capacete amarelo chegou imediatamente depois do piloto de capacete preto;
VIII. o último piloto a terminar a corrida foi o de número 5;
IX. o piloto 2 terminou a corrida duas posições à frente do piloto de capacete branco e duas depois do piloto de capacete laranja;
X. o piloto 7 terminou a corrida duas posições atrás do piloto 8. Com base nessas informações é correto afirmar que
05. o piloto 1 ficou em sétimo lugar nessa corrida. 06. o piloto de capacete laranja venceu a corrida.
07. o último colocado nessa corrida foi o piloto de capacete azul. 08. o piloto 7 é o de capacete preto.
09. o piloto 8 venceu o campeonato.
Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de vermelho, uma de preto e uma de azul, não necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declarações abaixo:
· A é azul · B não é azul · C não é preta
Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, julgue os itens. 10. A bola A é preta e a bola B é azul.
11. A bola A não é azul e a bola C não é preta.
(CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando Marcos carrega a ficha branca, ele fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ele fala somente mentiras. Por outro lado, quando Newton carrega a ficha branca, ele fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Cada um deles deu a seguinte declaração:
· MARCOS: "Nossas fichas são iguais" · NEWTON: “Nossas fichas são diferentes"
12. Marcos e Newton carregam fichas brancas. 13. Marcos e Newton mentem.
(CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.
· A afirmou que C matou o líder. · B afirmou que D não matou o líder.
· C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime.
· D disse que C não matou o líder.
Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.
14. A declaração de C não pode ser verdadeira. 15. D matou o líder.
(CESPE) Durante blitz de rotina, um agente de trânsito notou um veículo que havia parado a distância, no qual o condutor trocou de lugar com um dos passageiros. Diante dessa situação, o agente resolveu parar o veículo para inspeção. Ao observar o interior do veículo e constatar que havia uma garrafa de bebida no console, indagou aos quatro ocupantes sobre quem teria bebido a cachaça e obteve as seguintes respostas:
· Não fui eu, disse André, o motorista. · Foi o Carlos, disse Bruno.
· Foi o Daniel, disse Carlos.
· Bruno está mentindo, disse Daniel.
Considerando a situação hipotética acima, bem como o fato de que apenas um dos ocupantes do veículo ingeriu bebida alcoólica e que apenas um dos ocupantes do carro estivesse mentindo, julgue o item subsequente.
16. É correto afirmar que Daniel foi quem estava alcoolizado. 17. O único mentiroso é Bruno.
(CESPE) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, julgue os itens a seguir.
18. Nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem. 19. P e Q são indivíduos do mesmo tipo.
(CESPE) Sobre uma mesa tem-se três caixas, uma redonda, uma quadrada e uma
triangular. Apenas uma das caixas contém um diamante. As outras duas contêm apenas algodão. Em cada caixa há uma inscrição. Na caixa redonda está escrito: “esta caixa contém um diamante”. Na caixa quadrada está escrito: “nesta caixa não há um diamante”. Por fim, na caixa triangular está escrito: “a caixa redonda contém um diamante”. Sabendo-se que pelo menos uma das inscrições é verdadeira e que, pelo menos, uma das inscrições é falsa.
Com base no texto, julgue os itens a seguir. 20. A inscrição da caixa redonda é falsa. 21. O diamante está na caixa triangular. 22. A caixa triangular contém um algodão.
ILUSÃO DE ÓTICA
Na figura a seguir, procure onde está a imagem do filho do casal.
R E S P O S T A O f il h o d o c as al é u m b eb ê em p o si çã o f et al q u e p o d e se r v is to n as l in h as d el im it ad as p el o s g al h o s d a ár v o re , ro ch as e c h ão o n d e el es e st ão .
CAPÍTULO 2 DIAGRAMAS LÓGICOS TEORIA DOS CONJUNTOS
Podemos dizer que um conjunto é sem dúvida um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo dessa forma o elemento principal da teoria dos conjuntos.
Basicamente, um conjunto é uma coleção de elementos, ou seja, dados agrupados que não levam em conspiração a ordem. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos de um conjunto A, podemos dizer que x pertence ao conjunto A.
Como veremos a segui, além de relacionarmos elemento e conjunto, também é fundamental relacionar conjuntos entre si.
NOMENCLATURA BÁSICA Æ - conjunto vazio;
È - símbolo de união entre dois conjuntos;
Ç - símbolo de intersecção entre dois conjuntos;
Î - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto Ì - símbolo de inclusão entre dois conjuntos;
" - para todo ou qualquer que seja; $ - existe pelo menos um.
R - conjunto dos números reais; Q - conjunto dos números racionais; Z - conjunto dos números inteiros; N - conjunto dos números naturais;
QUANTIFICADORES
São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições.
Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição.
TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial:
É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.
É indicado pelo símbolo “$”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”.
EXEMPLO: (p) $xÎR / x ³ 3
(q) Existe dia em que não chove. b) Quantificador universal:
É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.
É indicado pelo símbolo “"”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”. EXEMPLO:
(m) "xÎR | x ³ 5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”)
(n) Qualquer que seja o dia, não choverá.
UNIÃO ( È )
União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao conjunto B ou a ambos.
INTERSEÇÃO ( Ç )
Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados.
EX.: “Pessoas que são atletas (A) ou baianos (B)” (o “ou” não é excludente, portanto isso significa que o
conjunto união abrange os elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos)
EX.: “Pessoas que são atletas (A) e são
baianos (B)” B A
A
Ç B
A
È B
B A 1o. A È B = B È A 2o A È Æ = A 3o A È A = A 4o (A È B) È C = A È (B È C) 5o n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)LINK:
1o A Ç B = B Ç A 2o A Ç Æ = Æ 3o A Ç A = A 4o (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)LINK:
DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR
Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que falta para B completar o conjunto A.
COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO
O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A.
DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO
A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.
EX.: “Pessoas que são atletas (A), mas não são
baianos (B)”
A – B
B AEX.: “Pessoas que não são atletas (A)” (Dentre todos os envolvidos, podendo ser,
ou não, baianos)
EX.: “Pessoas que ou são atletas (A), ou são baianos
(B)” (O “ou...ou” é excludente)
(A
ÈB) - (AÇB)
B AC
A= A
B ASENTENÇA
É uma frase declarativa (afirmativa ou negativa), podendo ser classificada como sentença aberta ou sentença fechada. Quando a sentença for fechada, ganhará o nome de proposição.
· SENTENÇA ABERTA: É aquela frase declarativa na qual não é possível atribuir valor lógico (V ou F), por não termos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa.
EXEMPLO:
“X é um número par” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO)
“O irmão do meu irmão é meu irmão” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO) · SENTENÇA FECHADA: É aquela frase declarativa que é possível atribuir a ela
um valor lógico (V ou F), pois temos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa.
Observe como representar em três diagramas, alguns termos muito usados em provas:
EXEMPLO:
“4 é um número par” (VERDADEIRO)
“Pelé jogou futebol no Flamengo” (FALSO)
No Português existem vários tipos de frases cuja entoação é mais ou menos previsível, de acordo com o sentido que transmitem. Embora só nos interessem para o raciocínio lógico apenas as frases declarativas, vale a pena distingui-las.
LINK:
DECLARATIVA
Esse tipo de frase informa ou declara alguma coisa, podendo ser afirmativas ou negativas. “Fortaleza é uma cidade grande.” (AFIRMATIVA) “Salvador não é a capital do Brasil.” (NEGATIVA)
INTERROGATIVA
São aquelas que exprimem uma pergunta, podendo ser divididas em direta ou indireta.
“Quantos anos você tem?” (DIRETA) “Diga qual é a sua idade.” (INDIRETA)
EXCLAMATIVA
São frases que exprimem uma emoção, apresentando entoação ligeiramente prolongada. “Que prova difícil!” (ADMIRAÇÃO) “Você aqui na cidade?!” (SURPRESA)
IMPERATIVA
Contém uma ordem, um conselho ou faz um pedido, utilizando o verbo no modo imperativo.
“Vá estudar agora!” (ORDEM) “Por favor, vá estudar.” (PEDIDO)
OPTATIVA
Essa classificação menos conhecida, ocorre quando se exprime um bom desejo.
“Vá com Deus!” “Tenha um dia feliz.”
IMPRECATIVA
Ainda menos conhecida que a optativa, esse tipo de frase exprime um mau desejo.
“Vai te lascar!” “Eu quero mais é que ela morra!”
PROPOSIÇÃO SIMPLES
É uma sentença fechada, pois a ela pode ser atribuído um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).
EXEMPLO:
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO)
EQUIVALÊNCIA
Duas proposições são ditas equivalentes, quando possuem sempre o mesmo valor lógico, ou seja, dizemos que A equivale a B, no caso de A ser
verdade, B também é verdade, assim como se A é falso, B também é falso. Além disso, temos que A implica em B e que B implica em A ao mesmo tempo.
EXEMPLO:
A: “João é culpado” B: “João não é inocente” NEGAÇÃO
Uma proposição é a negação de outra, quando sempre possui valor lógico contrário, ou seja, dizemos que A é negação de B, se A é verdade, então B é falso e se A é falso, então B é verdade.
EXEMPLO:
AFIRMAÇÕES: NEGAÇÕES:
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) ~A: “Fortaleza não é a capital do Ceará” (FALSO)
B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO) ~B: “O Brasil não é um país da Europa” (VERDADE)
TAUTOLOGIA
Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando é inevitavelmente verdadeira, ou seja, quando tem sempre o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições simples usadas na sua elaboração.
EXEMPLO:
“Ou Daniel é culpado, ou ele é inocente” (Obrigatoriamente VERDADEIRO) CONTRADIÇÃO
Dizemos que uma proposição composta é uma contradição quando é inevitavelmente falsa, ou seja, quando tem sempre o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições simples usadas na sua elaboração.
EXEMPLO:
“Maria é culpada, mas é inocente” (Obrigatoriamente FALSO) CONTINGÊNCIA
Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando depende do contingente de proposições simples para poder ser V ou F, ou seja, a contingência pode ter os valores lógico verdadeiro ou falso.
EXEMPLO:
“Renato nasceu em Fortaleza ou nasceu em Natal” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO)
DIAGRAMAS LÓGICOS
Devemos representar proposições simples através de diagramas, sobretudo aquelas que apresentam pronomes indefinidos, tais como: “Nenhum”, “Algum” ou “Todo”.
NENHUM (~$)
Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é B”, garante-se que não existe um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”.
CUIDADO!
Existe uma tênue diferença entre “Algum” e “Nem todos”, por isso é bom prestar atenção.
ALGUM
Significa que pelo menos um, mas pode até ser que todos.
NEM TODOS
Significa que pelo menos um, mas não todos.
LINK:
EX.:
A: “Nenhum advogado é bancário”
ALGUM ($)
Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo, ao dizer que “algum A é B”, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “algum B é A”.
EX.:
B: “Algum advogado é bancário”
TODO (")
Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”, garante-se que se um elemento está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A.
EX.:
C: “Todo advogado e bancário”
NEGAÇÕES:
~A: “Não é verdade que nenhum advogado é bancário” ~A: “Existe pelo menos um advogado que é bancário” ~A: “Algum advogado é bancário”
ADVOGADOS BANCÁRIOS ADVOGADOS BANCÁRIOS BANCÁRIOS ADVOGADOS EQUIVALÊNCIAS:
A: “Não existe advogado que seja bancário” A: “Todo advogado não é bancário”
A: “Se ele é advogado, então não é bancário”
NEGAÇÕES:
~B: “Não é verdade que algum advogado é bancário” ~B: “Não existe um advogado que seja bancário” ~B: “Nenhum advogado é bancário”
EQUIVALÊNCIAS:
B: “Pelo menos um advogado é bancário” B: “Existe advogado que é bancário” B: “Há um advogado que seja bancário”
EQUIVALÊNCIAS:
C: “Nenhum advogado não é bancário”
C: “Não existe advogado que não seja bancário” C: “Se ele é advogado, então é bancário”
EXEMPLOS 01. Considere que os argumentos são verdadeiros: · Todo comilão é gordinho;
· Todo guloso é comilão;
Com base nesses argumentos, é correto afirmar que: a) Todo gordinho é guloso.
b) Todo comilão não é guloso.
c) Pode existir gordinho que não é guloso.
d) Existem gulosos que não são comilões. e) Pode existir guloso que não é gordinho. SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os conjuntos:
Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso.
02. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos logicamente concluir que:
a) não pode haver cientista filósofo. b) algum filósofo é cientista.
c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo.
d) alguns cientistas não são filósofos. e) nenhum filósofo é objetivo.
GULOSO COMILÃO
GORDINHO
NEGAÇÕES:
~C: “Não é verdade que todo advogado é bancário” ~C: “Existe pelo menos um advogado que não é bancário”
SOLUÇÃO:
Dadas as premissas:
A: “todos os cientistas são objetivos” B: “alguns filósofos são objetivos” Sejam
O – Objetivos C – Cientistas F – Filósofos
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis:
Dessa forma, temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica necessariamente que “esse filósofo será objetivo”, pois “todo cientista é objetivo”.
Resposta: C
03. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir logicamente que:
a) nenhum cronópio é fama.
b) não existe cronópio que seja fama. c) todos os cronópios são famas. d) nenhum fama é cronópio.
e) algum cronópio não é fama.
SOLUÇÃO:
Dada a premissa:
A: “Nem todos os cronópios são famas” Sejam
C – Cronópios F – Famas
Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis: O C F O C F 1o 2o 3o O F C C F 1o 2o F C
Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que não é fama”.
Resposta: E
04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: a) Alguns A não é G. b) Algum A é G. c) Nenhum A é G. d) Algum G é A. e) Nenhum G é A. SOLUÇÃO:
Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que nunca serão G.
Resposta: A OBS.:
Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar.
05. Através de uma pesquisa, descobriu-se que “nenhum politico é honesto” e que “alguns advogados são honestos”. Dessa forma, aponte o único item errado.
a) É possível que alguns politicos sejam advogados. b) Alguns advogados não são politicos.
c) É impossível que algum advogado seja político.
d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado. e) Pode ou não haver advogado político.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições impostas:
Cuidado! Não podemos afirmar que “existe A que é P”, nem tão pouco dizer que “não existe A que é P”. O fato é que pode ou não existir A que seja P, ou seja, podemos até afirmar que “é possível existir um A que seja P”, ou ainda, “é possível que não exista A que seja P”. Então, será errado dizer que “é impossível que um A seja P”. P A H 1o 2o P A H
Resposta: C
CUIDADO!
Existe uma tênue diferença entre “Algum” e “Nem todos”, por isso é bom prestar atenção.
ALGUM
Significa que pelo menos um, mas pode até ser que todos. NEM TODOS
Significa que pelo menos um, mas não todos.
LINK:
LINK:
CERTEZA
100% de chance de acontecer o fato. PROVÁVEL
Possível e com grande chance de acontecer. POSSÍVEL
Existe alguma chance de acontecer, seja pequena, média ou grande.
IMPROVÁVEL
Possível, mas com pequena chance de acontecer. IMPOSSÍVEL
EXERCÍCIOS
(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma sequência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na sequência forem verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subsequentes.
23. Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6.
B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10.
D: Existe vida após a morte.
24. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente pelo menos duas proposições.
· “A frase dentro destas aspas é uma mentira”. · “X+Y é uma expressão positiva”.
· “O valor de 2 + 3 = 7”. · “Que horas são?”.
· “O inimigo do meu inimigo é meu amigo”.
25. A frase “João e Maria são Advogados” é uma proposição simples. 26. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.
27. A negação da proposição “Pedro é mais novo que Carlos” é a proposição “Pedro é mais velho que Carlos”.
(CESPE) Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis e, nesse caso, avaliar uma proposição como V ou F vai depender do conjunto onde essas variáveis assumem valores. Por exemplo, a proposição “Todos os advogados são homens”, que pode ser simbolizada por ("x)(A(x) ® H(x)), em que A(x) representa “x é advogado” e H(x) representa “x é homem”, será V se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso contrário, será F. Para expressar simbolicamente a proposição “Algum advogado é homem”, escreve-se ($x)(A(x) Ù H(x)). Nesse caso, considerando que x pertença ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V.
Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam predicados, estão simbolizadas algumas formas de proposições.
A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.
28. A proposição “Nenhum pavão é misterioso” está corretamente simbolizada por ¬($x)(P(x) Ù M(x)), se P(x) representa “x é um pavão” e M(x) representa “x é misterioso”.
29. Considerando que ("x)A(x) e ($x)A(x) são proposições, é correto afirmar que a proposição ("x)A(x) ® ($x)A(x) é avaliada como V em qualquer conjunto em que x assuma valores.
30. A proposição ("x) ((x > 0) ® (x + 2) é par) é V se x é um número inteiro.
31. Podemos afirmar que a proposição ("x) ((x é primo) ® (x termina em 1, 3, 7 ou 9)) é V se x é um número natural maior que 10.
(CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.
32. A negação da proposição “Nenhum aluno é policial” é a proposição “Algum aluno é policial”.
33. Se a afirmativa “Todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “Algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.
34. A negação da proposição “Algum turista é argentino” é a proposição “Nenhum turista é argentino”.
35. A negação de “Algum restaurante tem comida italiana” é a sentença “Nenhum restaurante italiano tem comida”.
36. A negação de “Nenhum país da América Latina é independente” é a sentença “Todos os países da América Latina são independentes”.
37. Se a afirmativa “todas as janelas estão fechadas” for considerada falsa, então
a afirmativa “pelo menos uma janela está aberta” tem de ser considerada verdadeira.
38. Considere que as proposições “Todo funcionário público sabe lógica” e “Todo policial é funcionário público” são premissas de uma argumentação cuja conclusão é “Todo policial sabe lógica”. Então essa argumentação é válida.
39. Considere que as proposições “Todo advogado sabe lógica” e “Todo funcionário do fórum é advogado” são premissas de uma argumentação cuja conclusão é “Todo funcionário do fórum sabe lógica”. Então essa argumentação é válida.
40. Considere que as proposições “Todo A é B” e “Algum B é C” são premissas de uma argumentação cuja conclusão é “Algum A é C”. Então essa argumentação é válida.
41. Supondo que “Todo A é B” e que “Nem todo C é B”, podemos logicamente concluir que “Algum A é C”.
42. Das premissas “Nenhum A é B” e “Algum C é B”, segue, necessariamente, que “Algum C é A”.
43. Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma 1. Nenhum A é B.
2. Todo C é A.
e a conclusão é da forma “Nenhum C é B”. Essa argumentação não pode ser considerada válida.
(CESPE) Um argumento constituído por uma sequência de três proposições — P1, P2 e P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão — é considerado válido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras, obtém-se a conclusão P3, também verdadeira por consequência lógica das premissas. A respeito das
formas válidas de argumentos, julgue os próximos itens. 44. Considere a seguinte sequência de proposições:
P1 – Existem policiais que são médicos. P2 – Nenhum policial é infalível.
P3 – Nenhum médico é infalível.
Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e conclusão P3 é válido.
45. Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por “Todos os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”, e a sua conclusão P3 for dada por “Existem gatos que são leões”, então essa sequência de proposições constituirá um argumento válido.
VISÃO ALÉM DO ALCANCE
Consegue achar 10 faces nesta árvore?CAPÍTULO 3 LÓGICA PROPOSICIONAL INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
LÓGICA MATEMÁTICA
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:
· PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo alternativa.
· PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são geralmente, mas não obrigatoriamente, representadas por letras maiúsculas.
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito!", “Que horas são?”, “x é um número par” e “x + 2 = 7”, não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
· A: "Fortaleza é a capital do Ceará” (V) · B: “O Brasil é um país da Europa” (F) · C: "3 + 5 = 2" (F)
· D: "7 + 5 = 12" (V)
· E: "O Sol é um planeta" (F)
· F: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F) SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico
EX.:
“X é um número par” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode afirmar.
SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F. EX.:
“O professor Pedro Evaristo ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V) “A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F)
SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) CONECTIVOS E QUALIFICADORES NÃO E OU OU ... OU SE ... ENTÃO SE E SOMENTE SE TAL QUE IMPLICA EQUIVALENTE
EXISTE NÃO EXISTE EXISTE UM E SOMENTE
UM
QUALQUER QUE SEJA
O MODIFICADOR NEGAÇÃO
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou Øp. (Lê-se "não p" ).
EXEMPLOS:
p: “2 pontos distintos determinam uma única reta” (V) ~p: “2 pontos distintos não determinam uma única reta” (F)
q: “João é magro”
~q: “João não é magro”
~q: “Não é verdade que João é magro”
s: “Fernando é honesto”
Øs: “Fernando não é honesto”
Øs: “Não é verdade que Fernando é honesto” Øs: “Fernando é desonesto”
OBS.:
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.
p: “Diego dirige bem”
~p: “Diego não dirige bem”
~(~p): “Não é verdade que Diego não dirige bem”
LINK:
IMPORTANTE:Afirmação e negação sempre possuem valores lógicos
contrários! · Se A é V, então ~A é F · Se A é F, então ~A é V A ~A V F F V
ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , , e , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: , , , .
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir:
· CONJUNÇÃO:
-se "p e q" ) · DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE:
-se "p ou q") · DISJUNÇÃO EXCLUDENTE:
p -se "ou p, ou q") · CONDICIONAL:
-se "se p então q") · BI-CONDICIONAL:
-se "p se e somente se q")
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.
TABELA VERDADE
A tabela verdade mostra o valor lógico de proposições compostas, com base em todas as possíveis combinações dos valores lógicos para as proposições simples que a formam. Ou seja, devemos julgar a veracidade (ou não) da proposição composta, mediante todas combinações de V e F das proposições simples envolvidas.
O número de linhas da tabela verdade depende do número de proposições, como cada proposição simples pode assumir duas possíveis valorações (V ou F), temos então:
LINK:
FÓRMULA
CONJUNÇÃO (E)
A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina e à Bolívia”. A: “Pedro vai à Argentina”
B: “Pedro vai à Bolívia”
TABELA VERDADE A B A Ù B V V V V F F F V F F F F CONCLUSÕES:
· Só existe uma possibilidade de essa proposição composta ser verdadeira, que é no caso de Pedro realmente ir aos dois países.
Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas. A Ù B (lê-se “Premissa A e premissa B”)
LINK:
A
Ù B
DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU)
· PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. Nesse caso o “ou” significa que pelo menos uma das premissas é verdadeira.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina ou à Bolívia”. A: “Pedro vai à Argentina”
B: “Pedro vai à Bolívia”
TABELA VERDADE A B A Ú B V V V V F V F V V F F F CONCLUSÕES:
· Sabendo que Pedro foi à Argentina, conclui-se que ele pode ter ido ou não à Bolívia.
· Sabendo que ele não foi à Argentina, conclui-se que certamente foi à Bolívia.
· Sabendo que ele foi à Bolívia, conclui-se que ele pode ter ido ou não à Argentina.
· Sabendo que ele não foi à Bolívia, conclui-se que certamente foi à Argentina.
Observe que, nesse caso, o “ou” significa que Pedro vai a “pelo menos” um desses lugares (nada impede que ele vá aos dois países).
DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU)
Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes.
· PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”, devemos entender que se trata de disjunção excludente.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em São Paulo”. A:”Felipe nasceu em Fortaleza”
B:”Felipe nasceu em São Paulo”
LINK:
A
v B
“Premissa A ou premissa B”
TABELA VERDADE A B A Ú B V V F V F V F V V F F F CONCLUSÕES:
· Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São Paulo.
· Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São Paulo.
· Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em Fortaleza.
· Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza.
Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira.
LINK:
A
v B
“Ou premissa A, ou premissa B” (Premissas excludentes)
CONDICIONAL (SE ... ENTÃO)
Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Se Pedro receber dinheiro na sexta-feira então irá à praia no fim de semana”.
A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira” B:”Pedro vai à praia no fim de semana” TABELA VERDADE A B A ® B V V V V F F F V V F F V CONCLUSÕES:
· Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que necessariamente ele foi à praia.
· Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, então ele pode ter ido ou não à praia.
· Sabendo que Pedro foi à praia, então ele pode ter recebido ou não o dinheiro.
· Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que ele necessariamente não recebeu o dinheiro.
Observe que a afirmação só será falsa, se Pedro receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia.
BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)
Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Pedro irá à praia no fim de semana, se e somente se ele receber dinheiro na sexta-feira”.
A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira” B:”Pedro vai à praia no fim de semana” TABELA VERDADE A B A « B V V V F V F F F V V F F
LINK:
A
® B
“Se premissa A, então premissa B”
Do quadro acima podemos concluir que A ® B é equivalente a
~B
® ~A
“Se não for verdadeira a premissa B, então não será verdadeira a premissa A”
CONCLUSÕES:
· Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que certamente foi à praia.
· Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, conclui-se que ele não foi à praia.
· Sabendo que Pedro foi à praia, conclui-se que é porque ele recebeu o dinheiro.
· Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que certamente ele não recebeu o dinheiro.
Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico.
LINK:
A
«
B
“Premissa A, se e somente se Premissa B”
Do quadro acima podemos concluir que A « B é equivalente a
~A
«
~B
“Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B” OBS.:
· A é condição necessária e suficiente para que B ocorra
· B é condição necessária e suficiente para que A ocorra
NECESSÁRIO x SUFICIENTE
CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer)
CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre)
Para um condicional (A ® B), temos:
· A é condição suficiente para que B ocorra · B é condição necessária para que A ocorra · ~B é condição suficiente para que ~A ocorra · ~A é condição necessária para que ~B ocorra
RESUMINDO:
Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito.
Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo.
OBSERVAÇÃO:
No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B implica em A, logo tanto A quanto B funcionam simultaneamente como condição necessária e suficiente.
A
® B
~B
® ~A
A é SUFIENTE para B ~B é SUFIENTE para ~AA
® B
~B
® ~A
B é NECESSÁRIO para A ~A é NECESSÁRIO para ~BTABELA VERDADE
Podemos resumir em uma única tabela verdade todos os conectivos vistos. Dadas as proposições simples A e B, cujos valores lógicos representaremos por (F) quando falsa e (V) quando verdadeira, temos a tabela simplificada:
TABELA VERDADE
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
· a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.
· a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
· a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.
· a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.
EQUIVALÊNCIAS
Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. Na tabela ao lado, quando A é verdade (V) temos que B também é verdade (V) e quando A é falso (F) temos que B também é falso (F), logo A e B são equivalentes.
O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. Por exemplo, dizer que A:“João é rico” implica em dizer que B:“João não é pobre”, no entanto, dizer B:“João não é pobre” não implica em dizer que A:“João é rico”, portanto A e B não são equivalentes, mas podemos afirmar que A implica em B (A Þ B). Por outro lado, se P:”João é honesto” então implica que Q:”João não é
A B A B A B V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V
A
« B
A é NECESSÁRIO eSUFICIENTE para B A é SUFICIENTE
para B
(A
® B) Ù (B ® A)
A é NECESSÁRIO
desonesto” e de forma recíproca se Q:”João não é desonesto” então implica que P:”João é honesto”, portanto nesse caso P e Q são equivalentes pois uma proposição implica na outra (P Û Q).
Observe das principais equivalências para proposições compostas:
A ® B = ~B ® ~A
EXEMPLOS:
A ® P: “Se João está armado, então será preso”.
~P ® ~A: “Se João não foi preso, então ele não está armado” R ® V: “Se Pedro receber dinheiro, então ele viaja”
~V ® ~R: “Se Pedro não viajou, então ele não recebeu dinheiro” ~S ® C: “Caso não faça sol, ficarei em casa”
~C ® S: “Caso não fique em casa, fez sol”
LINK:
EQUIVALÊNCIAS:
Algumas formas equivalentes de escrever uma proposição composta condicional.
S ® P
“Se fizer sol então vou à praia” “Se fizer sol, vou à praia” “Fazer sol implica em ir à praia”
“Fazendo sol, vou à praia” “Quando fizer sol, vou à praia” “Sempre que faz sol, vou à praia” “Toda vez que faz sol, vou à praia”
“Caso faça sol, irei à praia” “Irei à praia, caso faça sol”
“Fazer sol é condição suficiente para que eu vá à praia” “Ir à praia é condição necessária para ter feito sol”
S ® P Û ~P ® ~S
“Se não for à praia então não fez sol”
“Não ir à praia é condição suficiente para não ter feito sol”
