1) Dadas as matrizes A =

(1)

Professora Bruna Rodrigues

Disciplina: Álgebra Linear

Correção da lista de revisão para a AV1

            3 1 7 2 0 1 0 1 2

e B =

              4 2 4 1 3 5 0 3 2

, calcule a matriz X tal que 2A +

2 1

. Xt = 3B.

Temos que 2A +1

2 .X

t

= 3B.

Logo, 1 2. X

t

= 3B - 2A Xt = 2.(3B - 2A) Xt = 6B - 4A

Xt = (

6.(−2) 6.(−3) 6.0

6.5 6.3 6.1

6.(−4) 6.(−2) 6.4) - (

4.2 4.1 4.0

4.1 4.0 4.(−2)

4.7 4.(−1) 4.3 )

Xt = (

−12 −18 0

30 18 6

−24 −12 24)

- (

8 4 0

4 0 −8

28 −4 12)

Xt = (

−12 − 8 −18 − 4 0 − 0

30 − 4 18 − 0 6 − (−8)

−24 − 28 −12 − (−4) 24 − 12)

Xt = (

−20 −22 0

26 18 14

−52 −8 12)

.

Concluímos, assim, que X = (−𝟐𝟎 𝟐𝟔 −𝟓𝟐−𝟐𝟐 𝟏𝟖 −𝟖

𝟎 𝟏𝟒 𝟏𝟐 )

.

2) Dada a matriz

            1 8 0 0 5 1 0 3 2

A , calcule 4A2.

Note que A² = A.A = [

2 −3 0

1 5 0

0 8 1]

. [

2 −3 0

1 5 0

0 8 1]

,

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPOGRANDENSES (FIC)

(2)

2 A² = A.A = [

2.2 + (−3). 1 + 0.0 2. (−3) + (−3). 5 + 0.8 2.0 + (−3). 0 + 0.1 1.2 + 5.1 + 0.0 1. (−3) + 5.5 + 0.8 1.0 + 5.0 + 0.1 0.2 + 8.1 + 1.0 0. (−3) + 8.5 + 1.8 0.0 + 8.0 + 1.1 ]

.

A² = A.A = [

4 − 3 + 0 −6 − 15 + 0 0 + 0 + 0 2 + 5 + 0 −3 + 25 + 0 0 + 0 + 0 0 + 8 + 0 0 + 40 + 8 0 + 0 + 1]

A² = A.A = [

1 −21 0

7 22 0

8 48 1]

Temos, portanto, que:

4A² = [

4.1 4.(−21) 4.0

4.7 4.22 4.0

4.8 4.48 4.1]

4A² = [𝟐𝟖𝟒 −𝟖𝟒 𝟎𝟖𝟖 𝟎

𝟑𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟒]

3) Sendo os determinantes A = 3 5

2 1

, B= 1 3

0 5

e C= 2 0

3 6

, é verdade que 4AB  2C2 é igual a:

Temos que:

A = 1.3 – 2.5 = 3 – 10 = -7 B = 5.1 – 0.3 = 5 – 0 = 5 C = 6.2 – 3.0 = 12 – 0 = 12

Logo,

4AB  2C2 = 4.(-7).5 – 2.(12)² 4AB  2C2 = - 140 – 288

(3)

3 4) Sendo z c y b x a 2 2 1

= k, obtenha o valor do determinante

c z b y a x 2 10 2 10 8 8 80 . Observe que:

 A primeira coluna e a terceira coluna foram trocadas. Portanto, o valor do determinante será o oposto (ou seja, multiplicado por (-1));

 A primeira coluna foi multiplicada por 10. Portanto, valor do determinante será multiplicado por 10;

 A primeira linha foi multiplicada por 8. Portanto, o valor do determinante será multiplicado por 8.

Logo,

|80𝑥 8 8𝑎10𝑦 2 𝑏

10𝑧 2 𝑐 |

= (-1).10.8. |

𝑎 1 𝑥 𝑏 2 𝑦

𝑐 2 𝑧|

Ou seja,

|𝟖𝟎𝒙 𝟖 𝟖𝒂𝟏𝟎𝒚 𝟐 𝒃

𝟏𝟎𝒛 𝟐 𝒄 |= -80k

5) Calcule o determinante da matriz

             3 5 3 0 2 0 1 1 3 7 3 1 0 5 2 1 .

Podemos solucionar este problema de diferentes maneiras. Listaremos três maneiras distintas (você utilizará a que for mais prática e fácil a seu ver):

1) Teorema de Laplace

Escolhendo a primeira coluna para utilizar o Teorema de Laplace, temos que:

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = 1.C11 + 1.C21 + (-1).C31 + 0.C41

Encontrando os referidos cofatores, temos:

 C11 = (-1)1+1. |

3 7 3 1 0 2 3 5 3|

Calculando o valor de |

(4)

4

(3.0.3 + 7.2.3 + 3.1.5) – (3.0.3 + 5.2.3 + 3.1.7) = (0+42+15) – (0 + 30 + 21) = 57 – 51 == 6 Logo,

C11 = (-1)1+1.6 C11 = (-1)².6 C11 = 1.6 C11 = 6

 C21 = (-1)2+1. |

2 5 0 1 0 2 3 5 3|

2 5 0 1 0 2 3 5 3|:

(2.0.3 + 5.2.3 + 0.1.5) – (3.0.0 + 5.2.2 + 3.1.5) = (0 + 30 + 0) – (0 + 20 + 15) = 30 – 35 = -5

Logo,

C21 = (-1)2+1.(-5)

C21 = (-1)3.(-5) C21 = (-1).(-5) C21 = 5

 C31 = (-1)3+1. |

2 5 0 3 7 3 3 5 3|

2 5 0 3 7 3 3 5 3|:

(2.7.3 + 5.3.3 + 0.3.5) – (3.7.0 + 5.3.2 + 3.3.5) = (42 + 45 + 0 ) – ( 0 + 30 + 45) = 87 – 75 = 12

Logo,

C31 = (-1)3+1.12 C31 = (-1)4.12 C31 = 1.12 C31 = 12

(5)

5 |

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = 1.6 + 1.5 + (-1).12+ 0.C41

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = 6 + 5 – 12 + 0

|

𝟏 𝟐 𝟓 𝟎

𝟏 𝟑 𝟕 𝟑

−𝟏 𝟏 𝟎 𝟐

𝟎 𝟑 𝟓 𝟑

|= -1

2) Jacobi + Teorema de Laplace

Vimos na resolução anterior que, se a matriz não tiver nenhuma fileira (linha ou coluna) com muitos elementos iguais a zero, o cálculo fica um pouco trabalhoso. Portanto, podemos utilizar o Teorema de Jacobi para obtermos o máximo de elementos nulos. Vejamos:

Utilizando ainda a primeira coluna (poderia ser qualquer outra), escolheremos (sim, é uma questão de escolha) fazer com que a21 = a31 = 0.

 a21 = 0

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| (−1)𝐿1+ 𝑳𝟐 → |

1 2 5 0

(−1). 1+ 1 (−1). 2+ 3 (−1). 5+ 7 (−1). 0+ 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

|

Logo,

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = |

1 2 5 0

0 1 2 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

|

 a31 = 0

Utilizando o resultado anterior, temos:

|

1 2 5 0

0 1 2 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| 1. 𝐿1+ 𝑳𝟑 → |

1 2 5 0

0 1 2 3

1.1+ (−1) 1.2+ 1 1.5+ 0 1.0+ 2

0 3 5 3

|

Logo,

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = |

(6)

6 Utilizando o Teorema de Laplace, temos que:

|

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 3 5 3

| =1.C11 + 0.C21 + 0.C31 + 0.C41

Logo, |

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 3 5 3

| = 1.C11

C11 = (-1)1+1. |

1 2 3 3 5 2 3 5 3|

Calculando o valor de |1 2 33 5 2 3 5 3|:

(1.5.3 + 2.2.3 + 3.3.5) – (3.5.3 + 5.2.1 + 3.3.2) = (15 + 12 + 45) – (45 + 10 + 18) = 72 – 73 = -1

C11 = (-1)1+1.(-1)

C11 = (-1)2.(-1) C11 = 1.(-1) C11 = -1

Logo,

|

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 3 5 3

| =1.C11 + 0.C21 + 0.C31 + 0.C41

|

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 3 5 3

| =1.C11 + 0 + 0 + 0

|

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 3 5 3

| =1.(-1) + 0 + 0 + 0

|

𝟏 𝟐 𝟓 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟑 𝟓 𝟐 𝟎 𝟑 𝟓 𝟑

(7)

7

3) Jacobi + Propriedade da matriz triangular

Sabemos que o determinante de uma matriz triangular (matriz cujos elementos acima ou(e) abaixo da diagonal principal são nulos) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Podemos, portanto, utilizar o Teorema de Jacobi para obtermos uma matriz deste tipo. Vejamos:

Escolheremos (sim, é uma questão de escolha) fazer com que a21 = a31 = a41 = a32 = a42 = a43 = 0.

 a21 = 0

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| (−1)𝐿1+ 𝑳𝟐 → |

1 2 5 0

(−1). 1+ 1 (−1). 2+ 3 (−1). 5+ 7 (−1). 0+ 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

|

Logo,

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = |

1 2 5 0

0 1 2 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

|

 a31 = 0

|

1 2 5 0

0 1 2 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| 1. 𝐿1+ 𝑳𝟑 → |

1 2 5 0

0 1 2 3

1.1+ (−1) 1.2+ 1 1.5+ 0 1.0+ 2

0 3 5 3

|

Logo,

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = |

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 3 5 3 |

 a42 = 0

|

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 3 5 3

| (−1)𝐿3+ 𝑳𝟒 → |

1 2 5 0

0 1 2 3

0 3 5 2

(−1). 0+ 0 (−1). 3+ 3 (−1). 5+ 5 (−1). 2+ 3

(8)

8 Logo, |

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = |

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 0 0 1 |

Obs.: Note que já fizemos com que a43 =0.

 A32 = 0

|

1 2 5 0 0 1 2 3 0 3 5 2 0 0 0 1

|(-3).L2 + L3→|

1 2 5 0

0 1 2 3

(−3). 0+ 0 (−3). 1+ 3 (−3). 2+ 5 (−3). 3+ 2

0 0 0 1

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = |

1 2 5 0

0 1 2 3

0 0 −1 −7

0 0 0 1

|

Note que, finalmente transformamos a matriz inicial em uma matriz triangular. Logo,

|

1 2 5 0

1 3 7 3

−1 1 0 2

0 3 5 3

| = |

1 2 5 0

0 1 2 3

0 0 −1 −7

0 0 0 1

| = 1.1.(-1).1 = -1

|

𝟏 𝟐 𝟓 𝟎

𝟏 𝟑 𝟕 𝟑

−𝟏 𝟏 𝟎 𝟐

𝟎 𝟑 𝟓 𝟑

| = −𝟏

6) Sabe-se que A_{é uma matriz quadrada de ordem 4 e det(}_A_{) = 1. Calcule o valor de}_x_{, tal}

que det(3A) = 3x – 9.

Como A é uma matriz de ordem 4, temos que:

det(3A) = 34. Det A

Logo,

det(3A) = 81.1 = 81

Temos, portanto, que:

81 = 3x – 9 Ou seja, 3x – 9 = 81 3x = 81 + 9

(9)

9 7) Resolva o sistema linear:

    

    

  

8 2 5 3

21 7

2

7 2

z y x

Se este sistema for possível e determinado, teremos que:

| 12 27 11 −3 −5 2| ≠ 0

Resolvendo o determinante D = | 12 27 11

−3 −5 2|

, temos:

(1.7.2 + 2.1.(-3) + 1.2.(-5)) – ((-3).7.1 + (-5).1.1 + 2.2.2) = (14 -6 – 10) – (-21 – 5 + 8) = -2 + 18 = 16

16≠ 0. Logo, este sistema é possível e determinado.

Resolvendo por escalonamento, temos:

| 12 27 11 217

−3 −5 2 −8|

(-2).L1 + L2 → |

1 2 1 7

(−2)1 + 2 (−2). 2 + 7 (−2). 1 + 1 (−2). 7 + 21

−3 −5 2 −8 |

| 12 27 11 217

−3 −5 2 −8| → |

1 2 1 7

0 3 −1 7

−3 −5 2 −8|

| 10 23 −11 77

−3 −5 2 −8| 3. 𝐿1 + 𝐿3 → |

1 2 1 7

0 3 −1 7

3.1 + (−3) 3.2 + (−5) 3.1 + 2 3.7 + (−8)|

| 10 23 −11 77

−3 −5 2 −8| → |

1 2 1 7

0 3 −1 7

0 1 5 13|

|1 20 3 −1 71 7

0 1 5 13| 𝐿2 + (−3)𝐿3 → |

1 2 1 7

0 3 −1 7

0 + (−3). 0 3 + (−3). 1 −1 + (−3). 5 7 + (−3). 13|

|1 20 3 −1 71 7 0 1 5 13| → |

1 2 1 7

0 3 −1 7

0 0 −16 −32|

(10)

10 { 2𝑥 + 7 + 𝑧 = 21𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7

−3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = −8 → {

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7 3𝑦 − 𝑧 = 7 −16𝑧 = −32 Resolvendo o sistema escalonado, temos:

 -16z = - 32 z = 2

 3y – z = 7 3y – 2 = 7 3y = 9 y = 3

 x + 2y + z = 7 x + 2.3 + 2 = 7 x + 6 + 2 = 7 x + 8 = 7 x = 7 – 8 x = -1 Logo, S = (-1, 3, 2)

Obs.: Poderíamos também resolver pela Regra de Cramer. Veja a representação dos planos:

Observações:

 As questões 8, 9 e 10, apesar de constarem na revisão para a prova, têm o objetivo de enriquecer o conhecimento e mostrar a abordagem dos conteúdos em concursos. Resolveremos (juntos) em outro momento;

 Se existir qualquer dúvida, entre em contato através do meu e-mail ou Facebook. Estou à disposição para ajuda-los no que for preciso;

 Sinalizem qualquer erro de digitação (ou qualquer tipo de erro) nesta resolução;  Não será cobrado NADA além do que já vimos em aula. Portanto, se revisarem o

(11)