Momento Linear, Impulso e Colisões

Física I

Momento Linear,

Impulso e Colisões

Impulso e Colisões

Professor: Rogerio M. de Almeida

email: rmenezes@id.uff.br

Sala: C9

Momento linear

O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula

é uma quantidade vetorial definida como:

p

=

m

v

A 2

_{lei de Newton pode ser escrita como:}

dt

p

d

dt

v

d

m

F

=

=

O momento linear de um sistema de N

partículas é a soma

vetorial dos momentos lineares individuais:

Derivando em relação ao tempo a expressão do centro de massa:

⇒

=

∑

m

r

M

r

1

i

v

P

M

v

m

=

=

∑

=1

Derivando novamente e usando a 2a lei de Newton para um sistema de partículas:

dt P d F

a

M _CM =

∑

N N

N

m

v

m

v

p

p

p

Conservação de momento linear

Uma conseqüência imediata da 2

_{lei de Newton para um sistema}

de partículas é a

conservação do momento linear total

do sistema

na

ausência de forças externas:

.

0

P

cte

F

=

⇒

=

∑

Assim como no caso da conservação da energia mecânica, essa lei

Assim como no caso da conservação da energia mecânica, essa lei

pode ser muito útil para resolver problemas, sem ter que lidar com a

dinâmica detalhada do sistema.

Note que a única condição para a conservação do momento

linear total é a ausência de forças externas. Não há nenhuma

Nesta figura, um neutrino (n) colide com um próton (p) estacionário. O neutrino se transforma num múon (m-_{) e há a criação de um píon (} +_{). O}

neutrino, por ser neutro, não deixa rastro na câmara de bolhas. Observe que não haveria conservação de momento linear, se não houvesse uma partícula neutra colidindo pela direita.

Antes

•

Em Física, dá-se o nome de colisão a uma interação entre duas partículas (dois corpos) cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia. Queremos estudar as possíveis situações finais depois que as partículas se afastam da região de interação.

O que é uma colisão?

•

•

•

•

a

v

a

v

d

v

d

v

1

m

2

m

1

m

2

m

Exemplo histórico: estrutura do átomo

Ernest Rutherford (1911): analisando o resultado do bombardeio de átomos de ouro com partículas alfa, criou o primeiro modelo para o átomo: um núcleo

maciço duro e pequeno positivo, cercado por uma nuvem eletrônica negativa.

Primeiro experimento de colisão de partículas sub-atômicas.

Modelo de Thompson: previa deflexão pequena das partículas alfa

Rutherford observou grandes deflexões,

Exemplo: Partículas elementares

Criação de pares elétron-pósitron

• Colisões entre partículas elementares

(elétron-elétron, elétron-próton, etc.) são

responsáveis por quase toda a informação que temos sobre as forças fundamentais da

natureza (exceto a gravitacional).

• Essas colisões são geradas a partir da aceleração das partículas elementares em

Características gerais de uma colisão

As forças de interação entre duas partículas que colidem são forças muito intensas e agem durante um intervalo de tempo extremamente curto.

21

F

12

F

m

1

m

a) Forças de interação

2

m

1

m

Não é necessário conhecer-se exatamente a forma do gráfico F x t, pois não nos

interessa saber o que acontece durante a colisão. O que interessa saber é como se

encontra o sistema imediatamente depois da colisão, conhecendo-se como se

encontrava imediatamente antes dela. Na realidade, é o resultado da colisão que

poderá nos dar informações a respeito da força de interação no sistema que colide, e não o inverso.

A integral temporal da força é chamada impulso da força:

Impulso = área sob a curva (1D)

p dt F J f t t ∆ = =

_∫

_∫

_∫

∫

O resultado líquido da força de interação é fazer variar o momento linear das partículas. Pela 2a _{lei de Newton:}

Forças de interação

Ou seja, a variação do momento linear da partícula durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força que age sobre ela neste intervalo.

i

t

Como não conhecemos F(t), recorremos à definição da força média durante o intervalo de tempo da colisão:

Então: t F dt F f i t t ∆ 〉 〈 =

∫

Exemplo

Exemplo: impulso numa colisão de bolas de bilhar.







=

∆

≅

1

,

0

m/s

kg

3

,

0

v

m

Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de

bilhar adquire a velocidade de 1,0 m/s.

A

variação de seu momento linear

da bola atingida é, em módulo:

0,3 kg m/s

p

m v

J

∆ = ∆ ≈

_p

_{m v}

_{0,3 kg m/s}

=

_J

,

∆ = ∆ ≈

=

que é o

impulso

transmitido pela bola branca na colisão.

Se o contacto dura 10

_{s, a}

_{força média}

_{exercida na bola é}

N t

J t

p

F =300

∆ = ∆ ∆ =

〉 〈

(Comparando com a força peso das bolas,

P

3 N, vê-se que

a força de interação é muito maior que as forças externas.)

=

∆

t

≅

,

〉

Exercício

8.3 A massa de uma bola de futebol é igual a 0,40 kg. Inicialmente ela se desloca da direita para a esquerda a 20 m/s, a seguir é chutada, deslocando-se com

velocidade , a 45º _{para cima e para a direita, com módulo igual a 30 m/s. Calcule o}

Energia cinética total: Colisões elásticas e inelásticas

Já vimos que colisões, por envolverem basicamente apenas forças internas, conservam o momento linear. E a energia?

Embora a energia total seja sempre conservada, pode haver transformação da

energia cinética inicial (inicialmente só há energia cinética) em outras formas de energia (potencial, interna na forma de vibrações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc.).

Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, a colisão é chamada de colisão elástica..

d a

K

K

=

⇒

elástica

colisão

uma

Em

Se não, a colisão é chamada de colisão inelástica. Note que se houver

Colisões elásticas unidimensionais

Antes:

Depois:

Assim, as equações básicas para uma colisão elástica são: 0

2a =

v 2 m a v₁ 1 m d v₁ 1 m d v₂ 2 m

Assim, as equações básicas para uma colisão elástica são:









+

=

+

=

2

2

2

v

m

v

m

v

m

p

p

p

( Conservação de energia cinética)

Analisar m₂ >> m₁ e m₁ >> m₂ e m₁ = m₂ colisão elástica: o módulo da velocidade

( o estado final do sistema é idêntico ao estado inicial: As partículas trocam de velocidades!

Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares

(

) massas iguais: (

k

=1)

a d

v

v

=

a d

v

v

=

velocidades!

Em particular, se a partícula alvo está inicialmente em repouso, a partícula incidente para após a

colisão, como no bilhar. Isto é: se

)

(

v

=

v

. 0

0 ₁

2a= ⇒ v d=

v

a

v₁

1

m

1

m

Antes:

Depois: a

v₁

2

m

2

Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares

(

) Alvo em repouso ( )

a d v m m m m v ₁ 2 1 2 1 1       + − = a d v m m m v ₁ 2 1 1 2 2       + = 2 1

m

m

<<

v

v

m

m

v

v

v

2

<<













≈

−

≈

A partícula incidente reverte sua velocidade e a partícula alvo passa a se

mover lentamente, praticamente permanecendo em repouso.

d

v₂

d

v₁

)

(

v

=

v

2

m

1

m

Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares

Antes

(

) Alvo em repouso

m

>>

m

a d v m m m m v ₁ 2 1 2 1 1       + − = a d v m m m v ₁ 2 1 1 2 2       +

= v1a

2 m a d a d

v

v

v

v

2

≈

≈

A partícula incidente não “sente” a colisão. A partícula alvo passa a se mover

com o dobro da velocidade da partícula incidente.

Depois v1d v2d

Moderação de nêutrons em reatores nucleares

Reatores nucleares a base de Urânio: p. ex. 235_{U + n} 140_{Xe +} 94_{Sr + 2n}

Os nêutrons produzidos devem levar a novos processos de fissão, numa reação em cadeia. Entretanto, eles são muito energéticos e, por isso, pouco eficientes para gerar novas reações. É preciso desacelerá-los (“moderá-los”).

Nêutrons → partículas incidentes (m₁)

??????? → partículas alvo (m₂)

⇒

• Se m₂<<m₁, os nêutrons não “sentem” as colisões. • Se m₂>>m₁, os nêutrons só são refletidos.

• Situação ideal ⇒ m₁≈m₂ d

_m

_m

v

m

m

v

2 1

2 1

1













+

−

=

• Hidrogênio seria perfeito (m_próton ≈ m_nêutron), mas o próton captura o nêutron para formar o dêuteron.

• Deutério funciona D₂O (água pesada).

• Também se usa carbono (grafite ou parafina) ou berílio.

Colisões unidimensionais totalmente inelásticas

Neste tipo de colisão, a partícula incidente “gruda” na partícula alvo. Pode-se

a

v₂

2

m

a

v₁

1

m

1

m +m₂

d

v

antes depois

Neste tipo de colisão, a partícula incidente “gruda” na partícula alvo. Pode-se provar que essa situação representa a perda máxima de energia cinética numa

colisão inelástica em uma dimensão.

(

+

)

⇒

=

+

a

m

v

m

m

v

v

m

v

m

m

v

m

v

m

v

=

+

+

=

2 1

2 2 1

1

Exercício

8.5 – Dois cavaleiros se deslocam sem sentidos contrários em um trilho de ar linear sem atrito. Depois da colisão, o cavaleiro B se afasta com velocidade final de 2,0 m/s. Qual a velocidade final do cavaleiro A? Como se comparam as

variações de velocidade e de momento linear desses cavaleiros?

a

v

Exemplo: Pêndulo balístico

a f

v

m

m

m

v

+

=

Conservação de energia mecânica após a colisão: Colisão totalmente inelástica:

∴

+

=

a

m

m

v

v

m

(

)

Uma bala se aloja num bloco de madeira e o conjunto se eleva de uma altura h. Qual é a velocidade da bala imediatamente antes da colisão?

a

v₁

v

Conservação de energia mecânica após a colisão:

gh

m

m

m

v

2

1 2 1 1

+

=

(

m

m

)

gh

v

gh

v

m

m

)

2

(

2

1

1

+

=

+

∴

=

Então:

a

v₁

Colisões elásticas bidimensionais

Vamos considerar a partícula-alvo em repouso (v_2a=0)

a

v₁

2

m

1

m

Antes Depois

d

v

2

θ

1

θ

1 1dcosθ

v

1 1 senθ

v _d

Vamos considerar a partícula-alvo em repouso (v_2a=0)

( Conservação de momento linear)

Esses 3 vetores definem um plano,

chamado de plano de colisão. Portanto, a colisão sempre ocorre em um plano (bi-dimensional).

2 2dcosθ

v

2 2 senθ

v _d

−

d

v

d d

a

p

p

p

=

+

d

p

d

p

a

Exercício

Momento de um sistema de partículas no R

_CM

Se v_CM= constante, um referencial amarrado ao centro de massa (CM) é um referencial inercial, chamado referencial do centro de massa (R_CM). Ele tem

interesse físico, pois dado um sistema de partículas, ele está naturalmente definido, não dependendo da escolha que se faça para o referencial.

⇒

=

∑

m

v

v

1

N

v

M

P

v

m

=

=

∑

⇒

=

∑

=

i

i i CM

m

v

M

v

1

CM i

i

i

v

P

M

v

m

=

=

∑

=1

Ou seja, no R_CM o momento total de um sistema de partículas é nulo, quer o sistema seja isolado ou não.

0

=

CM

v

Exemplo

Tanto inicialmente como imediatamente após a explosão, o momento linear total do sistema é nulo, pois as forças que atuam durante a explosão são

todas forças internas.

mv MV =

Um canhão de massa M = 100 kg dispara uma bala de massa m = 1,0 kg com

velocidade de 300 m/s em relação ao canhão. Imediatamente após o disparo, qual é a velocidade do recuo do canhão?

0 0 0 0 V v v mv MV

rel = +

=

Os módulos das velocidades estão assim relacionados:

0 0

V

v

v

=

−

Note que     ≅ − = = + = m/s 297 m/s 97 , 2 0 0 0 V v v v M m m V rel rel Resolvendo o sistema de equações, encontramos:

O movimento de recuo do canhão sugere um método de propulsão!

Sistemas de massa variável (propulsão de foguetes, etc)

Um foguete com velocidade instantânea v e massa instantânea M ejeta

produtos de exaustão com massa –dM e velocidade U (note que aqui dM<0).

Depois de um tempo dt, o foguete tem massa M+dM e velocidade v+dv.

Todas as velocidades são medidas no referencial inercial da Terra.

Antes _Depois

Propulsão de foguetes: continuação