O INFINITO
ATUAL É REAL?
João Henrique Lorin Unespar/Campo Mourão Uel/Londrina
Em 1925, David Hilbert profere uma palestra intitulada
“Sobre o Infinito”
É importante estudar o conceito de infinito?
Considerando nossa contemporaneidade
Nós sabemos diferenciar os conceitos de infinito
enquanto processo, e de infinito enquanto objeto, que
denominados respectivamente por infinito potencial e
infinito atual?
Nós sabemos dar o tratamento adequado ou fazemos
esta diferenciação quando vamos ensinar conceitos
matemáticos que precisam do conceito de infinito?
Desde o ensino fundamental até a universidade o conceito de infinito permeia o currículo escolar, como por exemplo:
Geometria Euclidiana (retas, planos, espaço) – Funções -
Conjuntos Numéricos - Dízimas infinitas - Séries e Sequências infinitas (a soma dos termos de uma PG infinita com razão entre zero e um) - Geometria hiperbólica (plano hiperbólico) - Geometria Projetiva (o ponto de fuga) – Cálculo Diferencial e Integral.
Podemos nos indagar quando que se estabelece a diferença entre os dois conceitos, e de que modo é feita esta diferenciação.
Vamos revisitar um episódio histórico como ponto de
partida para a discussão a respeito da diferenciação entre
Mas porquê este problema (paradoxo de Aquiles) gerou
tanta discussão na matemática durante anos?
100 m 10 m 1 m (largada) �1 �2 • • •
Podemos escrever a distância percorrida por
Aquiles em cada instante formando a
seguinte sequência:
Esta sequência pode ser caracterizada como uma Progressão Geométrica!
É possível somar os termos de PG? Sim, pois a razão entre os termos está entre zero e um!
Deste modo, para resolver é “simples”... Basta “somar” os espaços percorridos por Aquiles ORAS!
PG:(100, 10, 1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...)
A soma dos termos de uma PG infinita,
com 0 < r < 1 é:
Logo, a distância percorrida =
100+10+1+1/10+1/100+1/1000+... = = .
= (1000/9) m
(largada)
R esultado Anacr ô nico
Será que Zenão e seus contemporâneos não eram
espertos suficientes para chegar a este resultado?
Uma investigação histórico-filosófica deve-se preocupar em não cometer anacronismo sob o risco de se cometer imprecisões de interpretação.
Deste modo, faremos um breve recorte histórico afim de explicar a mudança da concepção filosófica a respeito do infinito e possivelmente, entender por quais motivos os paradoxos de Zenão assombrou os filósofos gregos.
O infinito surgi como uma
categoria filosófica na obra
de Aristóteles, mas não
ainda como um “objeto
matemático”. O caráter
potencial
do
infinito
prevalece na concepção
aristotélica.
1º - Como substantivo, aparecendo apenas em contos dos tipos mitológicos, teológicos ou metafísicos: "Infinito" pertence ao reino dos deuses.
Vamos começar com uma análise gramatical dos papéis que a palavra "infinito" assume na cultura grega.
2º - Como um adjetivo que descreve um substantivo, ele só é usado quando este tem as características de um absoluto, como o Universo, o Ser, espaço ou tempo. Aristóteles só usa esta forma ao negar sua real (física) existência, uma vez que o conceito abarca um infinito real que a filosofia aristotélica realista não permite.
3º - Como um advérbio, ou seja, é utilizado para qualificar as ações (mentais), como, por exemplo, para estender, subdividir, para continuar, para somar, para aproximar, etc. Este uso do infinito tem a ver com o que chamamos de infinito potencial, isto é, quando o processo em questão pode ser continuado indefinidamente.
Na matemática grega, o infinito só poderia existir como no terceiro caso; o seu papel como um adjetivo ou como substantivo é excluída por razões filosóficas que negam a existência ideal ou real de "objetos infinitos".
A infinidade como advérbio está ligada a um processo, e, por conseguinte, a sua presença não pode ser expressa, mas antes está subjacente ao modus operandi.
Esse tipo de modo de existência do infinito (qualificando uma ação) provoca mais uma maneira de pensar do que um objeto matemático.
O modo de pensar o infinito como processo, proporcionou a origem de grandes resultados na matemática grega - como, o método Eudoxus - mas descartou a possibilidade de desenvolvimento para uma conceituação do infinito atual.
No entanto, como é bem conhecido, o infinito potencial subsiste dentro da matemática como o modus operandi que constitui o núcleo operatório de cálculo padrão. Esta evolução histórica é paralela à do infinito real e tem suas próprias características.
Quais foram os fatores necessários para que se
pudesse introduzir o conceito de infinito atual (real) na matemática?
Acreditamos que além de uma mudança de postura filosófica em relação ao conceito foi necessário criar um novo objeto matemático para que se pudesse conceber o infinito em ato!
Para que o conceito de infinito evoluísse em seu estado presente na matemática do século 21, foi primeiro necessário afastar-se das concepções gregas, deslocando a ênfase para o segundo papel do infinito (como adjetivo). Para que isso fosse possível, novos objetos (conceituais), foram concebidos. Estes novos objetos são os
BOLZANO: uma primeira tentativa de matematizar infinito
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga, República Checa, 5 de out. de 1781 — Praga, 18 de dez. de 1848)
O trabalho de Bolzano - Os Paradoxos do Infinito (1851) - "oficialmente" abriu a discussão a respeito da possibilidade de introduzir o infinito em matemática como objeto de estudo. Como já salientado, o passo decisivo a ser tomado para este fim foi de conceber o infinito como um atributo
de uma coleção, e não como um substantivo ou um
Bolzano precisava de um novo conceito de infinito, afim de resolver os seus paradoxos. Parte deste novo processo de conceituação apareceu como uma recusa em aceitar as
Bolzano começou por considerar as objeções existentes, e expressou a necessidade de uma definição do termo infinito. Seu objetivo foi estudar os paradoxos e mostrar que a falta de precisão no uso do termo infinito resultou em contradições aparentes.
A discussão a respeito da existência mostra que, na visão de Bolzano, se a matemática for tratada com conjuntos abstratos, os critérios de validação para a existência dessas coleções infinitas tinha que ser nova, isto é, baseada principalmente em cima de sua natureza não contraditória. Este foi um passo decisivo para abandonar a validação empírica.
A ideia principal a sustentar o novo nível de representação, reside no fato de que a concepção de um conjunto que resulta de um processo construtivo utilizando os elementos é abandonada.
Em vez disso, Bolzano adotou um conceito sintético de conjunto; isto é, um conjunto é concebido como um todo, sem qualquer necessidade de se pensar em separado cada elemento. O exemplo dado por Bolzano é significativo a este respeito:
[...] Posso pensar o conjunto, a multidão, ou se preferirem, na totalidade dos habitantes de Praga ou de Pequim sem formar uma representação separada de cada habitante. (Bolzano, 1851)
Brilhantemente Bolzano sedimenta o caminho para o estabelecimento do infinito atual (real) na matemática.
Cria um novo objeto matemático (os conjuntos)
Estabelece relações biunívocas entre conjuntos infinitos e seus subconjuntos próprios.
Desenvolveu várias propriedades que Piaget chamou de
intra-objeto, dando sustentação para o surgimento
posterior das relações inter-objetos estabelecidas por Georg Cantor (1845 – 1918).
A existência de diferentes infinitos era para ser o ponto de partida para o desenvolvimento de um domínio operacional. Bolzano definiu várias operações entre conjuntos infinitos com base no critério de comparação que ele escolheu. No entanto, não conseguiu atingir o seu objetivo de aritmetização infinito.
Foi assim que a semente para uma tematização do infinito
real apareceu, embora, de fato, naquele momento, o
conceito em si ainda não estava totalmente "tematizado". Isso porque o (a epistêmica) assunto tratado por Bolzano com um certo "know-how" em situações restritas
Georg Cantor , por outro lado, baseia o seu critério de comparação acerca da existência de uma relação bijetora entre os conjuntos a serem comparados. Portanto, é evidente que a introdução de um instrumento de comparação externa só poderia ser alcançado se os conjuntos fossem concebidos como separados, o que levou à detecção de propriedades reflexiva, transitiva e simétrica associadas a relação.
O foco do estudo de Cantor foi a respeito das relações que podem ser estabelecidas, entre conjuntos diferentes. Devido a isso, pode-se argumentar que o trabalho de Cantor apresenta as características da fase inter-objetos do desenvolvimento histórico do conceito.
A tradição filosófica de tratar o infinito pela concepção aristotélica do ser em potencial foi rompida radicalmente no século XX por Georg Cantor em sua teoria dos conjuntos. Santos (2008) considerou em sua tese o infinito de
George Cantor: uma revolução paradigmática no desenvolvimento da matemática, o modo de conceber o
infinito depois da teoria de Cantor, como uma mudança revolucionária no sentido da teoria de Kuhn.
Foi preciso criar um novo objeto na matemática (os conjuntos) para dar sustentação ao conceito de infinito atual.
Existe uma diferenciação entre os infinitos.
Nem sempre esta diferenciação entre infinito enquanto potência e enquanto objeto foi aceita na matemática e consequentemente impedindo de resolver certos problemas na matemática (paradoxos de Zenão).
Cantor conseguiu estruturar um novo “ramo” na matemática que chamamos de “Teoria dos Conjuntos”.
Voltamos a um questionamento inicial: Porque revisitar a reconstrução epistemológica do conceito de infinito pode ser importante? Como isso pode ajudar no ensino de conteúdos matemáticos que por ventura o conceito de infinito permeia?
Um exemplo de dificuldade enfrentada por professores ao lidar com os dois conceitos
Buscar um panorama epistemológico do conceito de infinito potencial e infinito atual pode ajudar o professor não só a ter subsídios para argumentar com seus alunos, como também entender melhor como se constituiu esse conceito tão complexo e importante da matemática.
Saber os obstáculos epistêmicos do infinito pode ajudar na identificação de obstáculos enfrentados pelos alunos no decorrer do ensino e assim, buscar ou criar estratégias de abordagens adequadas para a superação de tais obstáculos.
Pesquisas que apontam obstáculos na compreensão e diferenciação dos conceitos de infinito real e infinito potencial. Amadei (2005) em “O Infinito um Obstáculo no Estudo da
Matemática” apresentou as dificuldades epistemológicas
enfrentadas na construção deste conceito e as sua consequências para o seu ensino.
Em sua tese “O Infinito e as Metáforas no Ensino de Cálculo” Mometti (2007) defende dentre outras ideias, que as Metáforas e Montagens Conceituais, juntamente com a História e a Epistemologia do conceito de infinito, podem facilitar a aprendizagem do aluno na diferenciação dos conceitos de infinito.
Sampaio (2006) e (2009) apresenta concepções de infinito dos alunos do ensino secundário em uma cidade de Portugal.
No artigo “Teachers’ perceptions about infinity: a process
or an object?” Kattou Maria et al (2010) apresenta a
percepção dos professores do ensino fundamental sobre a noção de infinito, os dois aspectos do conceito, como um processo ou como um objeto.
Silvia Sbaragli (2006) em seu artigo relata como os equívocos nas explicações dos professores podem provocar obstáculos didáticos, que juntamente com os obstáculos epistemológicos, dificultam a compreensão deste conceito nos alunos. (Itália)
E para saber mais a respeito de estratégias didáticas para superar possíveis obstáculos no ensino de conteúdos matemáticos que necessitam de um entendimento do conceito de infinito leiam a tese (Lorin, 2018).
