Anexo 1 – Tarefas Ficha de trabalho I

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Anexo 1 – Tarefas

Ficha de trabalho I – Ângulo ao centro e ângulo inscrito

1. Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro em O.

1.1. Identifiquem:

a) Um diâmetro b) Um raio c) Uma corda d) Um setor circular

e) Um ângulo ao centro e o arco que lhe corresponde

f) Um ângulo inscrito e o seu respetivo arco capaz

1.2. Tracem a corda correspondente ao ângulo 𝐴𝐷 ̂𝐹. Qual o arco que lhe corresponde?

2. Observem a seguinte figura, onde estão representadas duas circunferências de centro O e um quadrado e um hexágono regular inscritos nessas circunferências.

2.1. Qual é, para cada uma das figuras apresentadas, a amplitude do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵? E do ângulo 𝐷𝑂̂𝐶? Expliquem o vosso procedimento.

2.2. Qual é, para cada uma das figuras apresentadas, a amplitude do arco 𝐴𝐵 ̂ ? E do arco 𝐷𝐶 ̂ ? Justifiquem.

2.3. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo ao centro e a

amplitude do arco que lhe corresponde?

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3. A figura seguinte representa um triângulo equilátero [ABC] inscrito numa circunferência de centro em O.

3.1. Durante a aula de Matemática, o João disse:

“As amplitudes dos ângulos 𝐵𝑂̂𝐶 e 𝐵𝐴̂𝐶 são iguais porque têm ambos o arco 𝐵𝐶 ̂ como arco correspondente.”

O João terá razão?

Justifiquem a vossa resposta.

3.2. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo ao centro 𝐵𝑂̂𝐶 e a amplitude do ângulo inscrito 𝐵𝐴̂𝐶?

4. Considerem a circunferência de centro O representada na figura.

4.1. Classifiquem o triângulo [OBV] quanto aos seus lados, justificando.

4.2. Que relação podem estabelecer entre a amplitude do ângulo 𝐵𝑉̂𝐴 e a amplitude do arco capaz? Porquê?

4.3. Considerem que o ângulo 𝐵𝑉̂𝐴 tem 30º de amplitude.

a) Qual a amplitude do arco 𝐴𝐵 ̂ ? b) E do ângulo 𝐵𝑂̂𝐴?

Justifiquem as vossas respostas.

Adaptado do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo

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Ficha de trabalho II – Propriedades sobre os ângulos

1. Observem a figura seguinte.

Justifiquem que:

a. As amplitudes dos ângulos 𝐴𝐶̂𝐵 e 𝐸𝐶̂𝐹 são iguais.

b. As cordas [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento

2.

Na figura estão representados uma circunferência de centro O e os ângulos 𝛼 𝑒 𝛽.

Relacionem, justificando, a amplitude destes ângulos.

Adaptado do Caderno de Apoio do 3.º Ciclo

3.

Na figura seguinte está representada uma circunferência de diâmetro [AB] e um ponto V que se movimenta ao longo do arco 𝐴𝐵 ̂ , nunca coincidindo com os pontos A e B.

Classifiquem as afirmações como verdadeiras ou falsas, justificando sempre a vossa resposta.

Para qualquer posição do ponto V:

[A] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e escaleno [B] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e nunca isósceles

[C] O triângulo [AVB] é sempre retângulo e não se pode classificar quanto aos lados [D] O triângulo é sempre acutângulo

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Ficha de trabalho III – Propriedades geométricas numa circunferência

1. Na figura estão representadas uma circunferência de centro O, duas cordas paralelas [AB] e [EF] e uma reta r perpendicular à corda [EF] e que contém o seu ponto médio.

1.1. Justifiquem que:

a. A reta r é perpendicular à corda [AB].

b. A reta r é a mediatriz de [AB] e a mediatriz de [EF].

1.2. Relacionem, justificando, os comprimentos dos segmentos [AC] e [BC].

1.3. A Joana, durante a aula de Matemática, disse: “os ângulos 𝐴𝑂̂𝐷 e 𝐵𝑂̂𝐷 têm a mesma amplitude”, mas não explicou o porquê. Conseguem ajudar a Joana a explicar?

1.4. O que podem intuir sobre a relação entre o comprimento das cordas [AF] e [BE]?

E sobre as amplitudes dos arcos 𝐴𝐹 ̂ e 𝐵𝐸 ̂ ? Justifiquem a vossa resposta.

Numa circunferência, qualquer reta que contenha o seu centro e seja perpendicular a uma corda ___________________

Numa circunferência, as cordas compreendidas entre duas retas paralelas são__________________

Numa circunferência, os arcos compreendidos entre duas retas paralelas são

______________

C

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Ficha de trabalho IV– Ângulo de segmento

Um ângulo de segmento é um ângulo cujo vértice é um extremo de uma corda, um dos seus lados contém essa corda e o outro lado é tangente à circunferência.

1. Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro em O, um ângulo de segmento 𝐴𝐵̂𝐶 e uma reta r tangente à circunferência, no ponto de tangência B.

Considerem que o ângulo 𝐷𝐵̂𝐶 tem 40º de amplitude.

1.1. O João e a Joana trocaram o seguinte diálogo acerca da amplitude do ângulo de segmento 𝐴𝐵̂𝐶:

João: A amplitude do ângulo de segmento 𝐴𝐵̂𝐶 é igual à amplitude do arco 𝐵𝐶 ̂ .

Joana: A amplitude do ângulo de segmento 𝐴𝐵̂𝐶é o dobro da amplitude do arco 𝐵𝐶 ̂ .

Investiguem qual dos amigos terá razão, justificando todos os cálculos efetuados.

1.2. Formulem uma conjetura sobre a relação que existe entre a amplitude de um ângulo de segmento e amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

Sugestão: testem com outros valores de amplitude de

𝐷𝐵̂𝐶.

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Ficha de trabalho V – Ângulo excêntrico

Um ângulo excêntrico é um ângulo cujo vértice não está no centro da circunferência

1. Observem a figura seguinte.

• O ângulo 𝐶𝐵̂𝐷 tem 30º de amplitude

• O ângulo 𝐴𝐶̂𝐵 tem 50º de amplitude

1.1. O João tentou encontrar uma relação entre a amplitude do ângulo 𝐴𝑉̂𝐵 e as amplitudes dos arcos 𝐴𝐵 ̂ e 𝐷𝐶 ̂ , tendo concluído que: a amplitude de 𝐴𝑉̂𝐵 é igual à média das amplitudes dos arcos 𝐴𝐵 ̂ e 𝐷𝐶 ̂ .

Será a relação encontrada pelo João verdadeira? Justifiquem.

Amplitude do arco 𝐴𝐵 ̂ Amplitude do arco 𝐷𝐶 ̂ Amplitude do ângulo 𝐴𝑉̂𝐵

1.2. Que relação existe entre a amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no

interior da circunferência, e as amplitudes do arco compreendido entre os seus

lados, e o arco compreendido entre os lados do seu prolongamento?

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2. Observem a figura seguinte.

• O ângulo 𝑉𝐶̂𝐴 tem 15º de amplitude

• O ângulo 𝐶𝐴̂𝐷 tem 50º de amplitude

2.1. A Joana tentou encontrar uma relação entre a amplitude do ângulo 𝐴𝑉̂𝐵 e as amplitudes dos arcos 𝐶𝐷 ̂ e 𝐵𝐴 ̂ , tendo concluído que: a amplitude de 𝐴𝑉̂𝐵 é igual à semidiferença das amplitudes dos arcos 𝐶𝐷 ̂ e 𝐵𝐴 ̂ .

Será a relação encontrada pela Joana verdadeira? Justifiquem.

Amplitude do arco 𝐵𝐴 ̂

Amplitude do arco 𝐶𝐷 ̂

Amplitude do ângulo 𝐴𝑉̂𝐵

2.2. Que relação existe entre a amplitude do ângulo excêntrico, com o vértice no

exterior da circunferência, e as amplitudes do arco compreendido entre os seus

lados, e o arco compreendido entre os lados do seu prolongamento?

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Ficha de trabalho VI– Ângulo ex-inscrito

Um ângulo ex-inscrito num arco de circunferência é um ângulo adjacente a um ângulo inscrito e a ele suplementar.

1. Observem a figura seguinte.

1.1. Considerando que o arco 𝐷𝐶 ̂ tem 60º de amplitude, indiquem qual das seguintes afirmações é

verdadeira.

Justifiquem.

[A] O ângulo ex-inscrito 𝐴𝐵̂𝐶 tem 120º de amplitude

[B] O ângulo ex-inscrito 𝐴𝐵̂𝐶 tem 60º de amplitude [C] O ângulo ex-inscrito 𝐴𝐵̂𝐶 tem 150º de

amplitude

1.2. Durante a aula de Matemática, a Joana disse:

Joana: “Se o arco 𝐷𝐶 ̂ tem 60º de amplitude e o ângulo 𝐷𝑂̂𝐵 tem 110º de amplitude, então a amplitude de 𝐴𝐵̂𝐶 é igual à média das amplitudes dos arcos 𝐷𝐵 ̂ e 𝐵𝐶 ̂ ”.

Será verdade? Justifiquem.

Amplitude de 𝐴𝐵̂𝐶

Amplitude de 𝐷𝐵 ̂

Amplitude de 𝐵𝐶 ̂

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Ficha de trabalho VII – Problemas geométricos

1. Na figura seguinte estão representadas as retas DC e DA, e uma circunferência de diâmetro [AC].

• DC é tangente à circunferência no ponto C

• 𝐴𝐷 ̂𝐶 tem 50º de amplitude

• O ponto B é um ponto da circunferência e pertence à reta DA.

Qual é, em graus, a amplitude do arco 𝐶𝐵 ̂ ? Justifiquem.

Adaptado da Prova Final de 3.º Ciclo – 2014, 2ª chamada

2. Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro O.

• A,B,C,D são pontos da circunferência

• [ADE] é retângulo em E

• 𝐶𝐴̂𝐷 tem 30º de amplitude

2.1. Determinem a amplitude do arco 𝐶𝐷 ̂ , justificando.

2.2. Justifiquem porque é verdadeira a seguinte afirmação:

“Os triângulos [ADE] e [CDE] são geometricamente iguais”.

Adaptado do Exame Nacional de 3.º Ciclo – 2007, 1ª chamada

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Ficha de trabalho VIII– Ângulos internos e externos de polígonos

1. Considerem o seguinte pentágono [KLMOP].

1.1. Qual será a soma das amplitudes dos ângulos internos do pentágono [KLMOP]? Justifiquem.

1.2. Que relação conseguem estabelecer entre as amplitudes dos ângulos 𝑂𝑀 ̂𝐿 e 𝐿𝑀 ̂𝑄?

Justifiquem.

1.3. Qual será a soma das amplitudes dos ângulos externos do pentágono [KLMOP]?

Assinalem a opção correta, justificando a vossa opção.

[A] 180º [B] 360º [C] 108º

2. 2.1. Qual é a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrado? E de um hexágono regular? O que podem conjeturar sobre a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados?

2.2. Qual é a soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo? E de um

pentágono regular? O que podem conjeturar sobre a soma dos ângulos externos de um

polígono convexo de n lados?

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Ficha de trabalho IX– Problemas envolvendo polígonos inscritos numa circunferência

1. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O e diâmetro [AD], e o trapézio isósceles [ABCD] inscrito na circunferência.

Considere-se que 𝐵𝐶 ̂ tem 80º de amplitude.

Qual a amplitude do ângulo 𝐵𝐴̂𝐷? Justifiquem.

Adaptado da Prova Final de 3.º Ciclo – 2017, Época Especial

2. Na figura ao lado está representado um octógono regular [ABCDEFGH], inscrito numa circunferência de centro em O.

Ao observar a figura, e sem efetuar quaisquer medições, o João afirmou: “O quadrilátero [BDFH] é um quadrado”

Como poderá o João ter chegado a esta conclusão?

Justifiquem a vossa resposta.

Adaptado do Exame Nacional de 3.º Ciclo – 2005, 1ª chamada

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Ficha de trabalho para casa

1. Observem a seguinte figura na qual está representada uma circunferência de centro em A.

Considerem que o arco 𝐵𝐶 ̂ tem de medida de amplitude 100º e que um ponto E que se movimenta ao longo desse arco.

A Joana diz que, qualquer que seja a posição do ponto E, o ângulo 𝐵𝐸̂𝐶 terá sempre 130º de amplitude.

O João diz que, qualquer que seja a posição do ponto E, o ângulo 𝐵𝐸̂𝐶 terá sempre 50º de amplitude.

Qual dos dois amigos terá razão? Expliquem o vosso raciocínio.

2. Comentem a seguinte afirmação:

Existe um ângulo inscrito com uma amplitude de 190º numa circunferência.

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Anexo 2 – Planos de aula

Plano de aula de dia 16 de fevereiro de 2018

Hora: 14:30 às 16:20 Sala 16, Pavilhão 04 Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre os ângulos ao centro e ângulos inscritos numa circunferência

• Discussão coletiva da ficha de trabalho Tópicos

• Arcos e cordas numa circunferência

• Ângulos ao centro

• Ângulos inscritos numa circunferência Objetivos da aula

Geral

• Estudar as propriedades do ângulo ao centro e do ângulo inscrito numa circunferência

• Desenvolver a capacidade de argumentação, recorrendo à justificação de respostas e explicação de procedimentos

Específicos

• Relembrar elementos inerentes a uma circunferência: diâmetro, raio, arcos, cordas, ângulos ao centro.

• Definir ângulo inscrito e arco capaz

• Relacionar a medida de amplitude do ângulo ao centro com a medida de amplitude do arco compreendido entre os seus lados

• Relacionar a medida de amplitude do ângulo ao centro com a amplitude do ângulo inscrito correspondente

• Relacionar a medida de amplitude do ângulo inscrito com a amplitude do arco compreendido entre os seus lados

Capacidades transversais

• Comunicação Matemática

• Raciocínio dedutivo Recursos

• Quadro branco e marcador

• Ficha de trabalho

• Computador e projetor

• Ficheiro Geogebra Conhecimentos prévios

• Definição de circunferência

• Definição de arcos e cordas numa circunferência e de setor circular

• Ângulo ao centro numa circunferência

• Polígonos regulares inscritos numa circunferência

• Amplitude dos ângulos internos de polígonos regulares

• Classificação de triângulos quanto aos lados

• Soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo e seus ângulos externos

• Definição de ângulos suplementares

Metodologia de trabalho

• Trabalho autónomo realizado a pares

• Discussão das resoluções da ficha, em grupo-turma Avaliação

• Avaliação formativa: vão ser avaliadas a participação e o interesse do aluno, durante o trabalho autónomo, e a sua participação no momento da discussão coletiva

Estrutura da aula:

(1) Entrada inicial dos alunos (5 minutos)

(2) Apresentação da ficha de trabalho com a resolução da questão 1 da ficha de trabalho (10 minutos) (3) Resolução autónoma do problema 2 (10 minutos)

(4) Sistematização das ideias inerentes ao problema 2 (15 minutos) (5) Resolução autónoma do problema 3 (10 minutos)

(6) Sistematização de ideias inerentes ao problema 3 (10 minutos)

(14)

2

(7) Resolução autónoma do problema 4 (15 minutos)

(8) Sistematização de ideias inerentes ao problema 4 e discussão coletiva (20 minutos) Observações

(1) Existe um intervalo de 10 minutos entre os momentos V e VI.

(2)Para os alunos que terminem a resolução da ficha mais cedo, ou caso a discussão do problema 4 termine mais cedo do que o previsto, serão propostos os exercícios de consolidação: página 82, exercício 3, e página 86, exercício 3, do manual.

Desenvolvimento da aula:

(1) Este momento é entrada inicial dos alunos

(2) Este momento terá início com uma breve introdução à ficha de trabalho, em que a professora explica o que se pretende, em geral, com a mesma: que os alunos encontrem propriedades sobre os ângulos ao centro e inscritos numa circunferência.

Neste momento inicial, uma vez que os alunos conhecem, de anos anteriores, a definição de arcos, cordas, setor circular e ângulo ao centro, será pedido que, em grupo-turma, se responda à questão 1 da ficha de trabalho.

A figura referente à questão 1 será projetada no quadro.

Por último, será indicado aos alunos que dispõem de cerca de 10 minutos para resolver autonomamente o problema seguinte.

Possíveis respostas à questão 1:

a. [AD]

b. [OE], [OA] ou [OD]

c. [BC], [AD] ou [DF].

d. DE, EA ou DA

e. 𝐸𝑂̂𝐷 (arco correspondente 𝐸𝐷̂) ou 𝐸𝑂̂𝐴 (arco correspondente 𝐸𝐴̂)

É possível que os alunos não se recordem das definições de corda, arco, setor circular e ângulo ao centro pelo que a professora deverá questionar os alunos sobre essas definições e, caso estes não se recordem, relembrá-las.

É importante, também, relembrar os alunos da definição de circunferência e da sua diferença quanto ao círculo.

Caso existam respostas incorretas a alguma destas alíneas, a professora deverá questionar a turma:

▪

Alguém discorda do que foi dito? Porquê? O que responderiam?

Para responder à alínea e) é necessário que os alunos conheçam a definição de ângulo inscrito. Neste momento, a professora deverá definir ângulo inscrito e arco capaz e, em grupo-turma, responder à alínea f) e à questão 1.2.

f. 𝐷𝐹̂𝐸 , cujo arco correspondente é o arco 𝐷𝐸̂. 𝐴𝐷̂𝐹, cujo arco correspondente é o arco 𝐴𝐹̂.

1.2. Será solicitado a um aluno que trace, no quadro, a corda pedida e identifique o arco correspondente (arco 𝐴𝐹̂).

(3) Este momento será de trabalho autónomo, por parte dos alunos.

Durante a realização do segundo problema, a professora circulará pela sala a fim de:

• Apoiar os alunos, através do questionamento oral, em eventuais dificuldades inerentes à resolução da tarefa

• Observar as diferentes resoluções dos alunos

Possíveis estratégias de resolução da questão 2.1:

Quadrado [ABCD]

• A medida de amplitude do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 é de 90º

• A medida de amplitude do ângulo 𝐷𝑂̂𝐶 é de 90º

Porque o quadrado divide a circunferência em quatro partes iguais ( ³⁶⁰

4 = 90º), logo todos os ângulos ao centro têm a mesma medida de amplitude.

Ou porque [AC] e [BD] definem dois diâmetros perpendiculares, da circunferência, pelo que a medida de amplitude de 𝐴𝑂̂𝐵 é igual a 90º. Pelo mesmo motivo, a medida de amplitude de 𝐷𝑂̂𝐶 é de 90º.

Os alunos podem ainda descobrir a medida de amplitude de 𝐴𝑂̂𝐵 (ou 𝐷𝑂̂𝐶),

recorrendo às estratégias descritas, e concluir que os ângulos têm a mesma medida de amplitude porque são verticalmente opostos, pelo que 𝐷𝑂̂𝐶 tem medida de amplitude 90º (𝐴𝑂̂𝐵 tem amplitude 90º)

Hexágono [ABCDEF]

• A medida de amplitude do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 é de 60º

• A medida de amplitude do ângulo 𝐷𝑂̂𝐶 é de 60º

(15)

3

Porque o hexágono divide a circunferência em seis partes iguais ( ³⁶⁰

6 = 60º), logo todos os ângulos ao centro têm a mesma medida de amplitude.

Ou porque o hexágono é formado por seis triângulos equiláteros. Os ângulos ao centro são ângulos internos desses triângulos. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º e, num triângulo equilátero, os ângulos têm todos a mesma medida de amplitude, resulta que os ângulos 𝐴𝑂̂𝐵 e 𝐷𝑂̂𝐶 têm 60º de medida de amplitude.

Quadrado [ABCD]

• O arco 𝐴𝐵̂ tem 90º de medida de amplitude

• O arco 𝐷𝐶̂ tem 90º de medida de amplitude

Porque o quadrado divide a circunferência em quatro partes iguais, pelo que cada arco terá 90º de medida de amplitude.

Hexágono [ABCDEF]

• O arco 𝐴𝐵̂ tem 60º de medida de amplitude

• O arco 𝐷𝐶̂ tem 60º de medida de amplitude

Porque o hexágono divide a circunferência em seis partes iguais, pelo que cada arco terá 60º de medida de amplitude.

Das alíneas anteriores, os alunos podem observar que a amplitude do ângulo ao centro é igual à medida de amplitude do seu arco correspondente.

Assim, a resposta a esta questão é inerente a essa observação, pelo que os alunos deverão responder:

A medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida de amplitude do seu arco correspondente Ou

A medida de amplitude do arco é igual à medida de amplitude do ângulo ao centro que lhe corresponde.

Possíveis dificuldades Questões orientadoras

2.1.

Quadrado [ABCD]

Os alunos não conseguem determinar a medida de amplitude dos ângulos ao centro pedidos porque

a. Não os sabem identificar na figura.

b. Não reconhecem que o quadrado divide a circunferência em quatro partes iguais.

ou

a. Não reconhecem [AC] e [BD] como diâmetros perpendiculares, da circunferência, nem estabelecem a sua relação com a medida de amplitude dos ângulos pedidos.

b. Não reconhecem que os ângulos pedidos são verticalmente opostos, pelo que basta determinar a medida de amplitude de um deles.

Hexágono [ABCDEF]

Os alunos não conseguem determinar a medida de amplitude dos ângulos ao centro pedidos porque

• Identifiquem, na figura, os ângulos pedidos.

• Recordem a definição de ângulo ao centro.

• Que relação encontram entre a medida de amplitude do ângulo ao centro 𝐴𝑂̂𝐵 e do setor circular que o contém? Porquê?

• Identifiquem os restantes ângulos ao centro existentes neste quadrado. Que relação estabelecem entre as suas medidas de amplitudes? Porquê?

• Tracem, na vossa figura, os segmentos [AC] e [BD]. Qual a posição relativa desses dois segmentos? O que podem concluir sobre a medida de amplitude do ângulo 𝐷𝑂̂𝐶? Porquê?

• Que relação podem estabelecer entre as medidas de amplitudes destes dois ângulos, A𝑂̂𝐵 𝑒 𝐷𝑂̂𝐶

? Serão iguais? Serão diferentes? Porquê?

(16)

4

a. Não os sabem identificar na figura.

b. Não reconhecem que o hexágono divide a circunferência em seis partes iguais.

ou

a. Não reconhecem que o hexágono poderá ser decomposto em seis triângulos equiláteros,

uma vez que é regular.

b. Reconhecem essa decomposição, mas não sabem como proceder de seguida.

2.2.

Quadrado [ABCD] e Hexágono [ABCDEF]

Os alunos não conseguem determinar a amplitude dos arcos pedidos porque

a. Não os identificam como os arcos correspondentes aos ângulos ao centro 𝐴𝑂̂𝐵 e 𝐷𝑂̂𝐶.

b. Não estabelecem uma relação entre os arcos pedidos e os setores circulares que os contêm

2.3.

Os alunos não estabelecem uma relação entre esta questão e as anteriores, não conseguindo deduzir o

pretendido.

• Identifiquem, na figura, os ângulos pedidos.

• Recordem a definição de ângulo ao centro.

• Que relação encontram entre a medida de amplitude do ângulo ao centro 𝐴𝑂̂𝐵 e do setor circular que o contém?

Porquê?

• Identifiquem os restantes ângulos ao centro existentes neste hexágono. Que relação estabelecem entre as suas medidas das amplitudes? Porquê?

• Este hexágono pode ser decomposto em que polígonos? Em quantos desses polígonos pode ser decomposto?

• O que têm esses polígonos em comum? Porquê?

• Que relação conseguem estabelecer entre esses polígonos e os ângulos ao centro pedidos?

Porquê?

• Qual a relação que existe entre os ângulos internos de um triângulo equilátero?

• A que arco corresponde o ângulo ao centro 𝐴𝑂̂𝐵? E o ângulo 𝐷𝑂̂𝐶?

• Que relação encontram entre a medida de amplitude do arco 𝐴𝐵̂ e a medida de amplitude do setor circular que o contém?

Porquê?

• O que podem dizer sobre as medidas das amplitudes destes arcos? Porquê?

• Observem as vossas respostas às alíneas anteriores. Qual a medida de amplitude do ângulo ao centro A𝑂̂𝐵? E do seu arco correspondente? O que podem intuir?

(4) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz respeito ao problema 2. Este problema tem como principal objetivo o de conduzir os alunos à relação que existe entre o ângulo ao centro e o arco que lhe corresponde. Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora da discussão.

Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes ao problema.

As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas.

Discussão

Para a pergunta 2.1., a professora questionará:

• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵? E do ângulo 𝐷𝑂̂𝐶? Expliquem o vosso procedimento?

• Alguém discorda desta resposta? Como procederam?

Sempre que existirem alunos que discordem das resoluções apresentadas, estes serão solicitados para exporem o seu raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os alunos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam

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5

na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas, querem alterar a vossa resposta?

Em relação à pergunta 2.2., a atividade será semelhante à anterior, sendo que a professora primeiro questionará os alunos sobre que resultados obtidos e, em seguida, pedirá que estes expliquem o seu raciocínio.

Caso existam resoluções diferentes das apresentadas, ou algum aluno discorde do que foi exposto, a atividade será semelhante à já descrita.

Uma vez que as estratégias de resolução, para estas duas alíneas, podem ser distintas, é interessante deixar que os alunos explorem, durante a discussão, essas estratégias. Ainda,

se nenhum aluno tiver mencionado alguma das estratégias descritas, a professora deverá orientar os alunos para que isso aconteça, recorrendo ao questionamento oral, através das questões orientadoras já descritas.

Para a pergunta 2.3., a professora questionará:

• Que relação encontraram entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida da amplitude do arco que lhe corresponde? Porquê?

Será solicitado aos alunos que, no final desta discussão, registem, no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão que retiram sobre a relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de amplitude do seu respetivo arco, sendo que essa conclusão também deverá ser escrita no quadro, pela professora.

(5) Este momento será novamente um momento de trabalho autónomo, por parte dos alunos.

A atividade da professora será semelhante à atividade descrita no momento III.

O João não tem razão porque

• A medida de amplitude do ângulo 𝐵𝑂̂𝐶 é de 120º

• A medida de amplitude do ângulo 𝐵𝐴̂𝐶 é de 60º

Logo, as amplitudes dos ângulos, apesar de terem o mesmo arco correspondente, é diferente.

Porque:

• O triângulo [ABC] divide a circunferência em três partes iguais, pelo que os ângulos ao centro têm todos 120º de medida de amplitude. Portanto, 𝐵𝑂̂𝐶 tem 120º de medida de amplitude, porque é um ângulo ao centro.

• O ângulo 𝐵𝐴̂𝐶 é um ângulo inscrito do triângulo [ABC]. O triângulo [ABC] é um triângulo equilátero, pelo que os seus ângulos internos têm todos 60º de medida de amplitude. Logo, 𝐵𝐴̂𝐶 tem 60º de medida de amplitude.

Ou porque:

Podemos dividir o triângulo [ABC] em outros três triângulos, [COB], [COA] e [AOB] como apresentado em seguida:

A amplitude do ângulo 𝐵𝑂̂𝐶 é de 120º (pelo já descrito).

O triângulo [BOC] é isósceles, porque [OC] e [OB] são raios da circunferência.

Como [BOC] é isósceles, os ângulos 𝐵𝐶̂𝑂 e 𝐶𝐵̂𝑂 têm a mesma medida de amplitude.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º resulta que 𝐵𝐶̂𝑂 e 𝐶𝐵̂𝑂 têm 30º de medida de amplitude.

Uma vez que [CO] é a bissetriz do ângulo 𝐵𝐶̂𝐴 (porque o triângulo é equilátero e está inscrito nesta

circunferência) resulta que 𝐵𝐶̂𝐴 tem 60º de medida de amplitude (a medida de amplitude de 𝐵𝐶̂𝐴 é o dobro da medida de amplitude 𝐵𝐶̂𝑂).

Como o triângulo [ABC] é equilátero, a medida de amplitude de 𝐵𝐶̂𝑂 é a mesma que a medida de amplitude de 𝐵𝐴̂𝐶. Logo, 𝐵𝐴̂𝐶 tem 60º de medida de amplitude.

Da observação da alínea anterior, os alunos poderão concluir que a medida de amplitude do ângulo 𝐵𝑂̂𝐶 é o dobro da medida de amplitude do ângulo 𝐵𝐴̂𝐶.

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6

3.1.

• Os alunos podem considerar que o João tem razão, porque não mobilizam conhecimentos anteriores, sobre as medidas das amplitudes dos ângulos de um polígono, para responder à questão, baseando-se apenas na sua intuição de que se o arco correspondente é o mesmo, então os ângulos têm a mesma medida de amplitude.

• Os alunos podem concluir que o João não tem razão, porque os ângulos são geometricamente diferentes.

• Os alunos podem concluir que o João não tem razão, mas revelarem dificuldades ao nível da justificação porque:

a. Não reconhecem que o triângulo [ABC]

divide a circunferência em três partes iguais, pelo que o ângulo ao centro 𝐵𝑂̂𝐶 tem 120º de medida de amplitude.

b. Não reconhecem 𝐵𝐴̂𝐶 como um ângulo interno do triângulo [ABC] ou, quando o fazem, não reconhecem que sendo um triângulo equilátero os seus ângulos internos têm 60º de medida de amplitude.

ou

a. Não reconhecem que o triângulo poderá ser decomposto em três triângulos isósceles, como o indicado na fig.1.

b. Identificam essa decomposição, mas não sabem como proceder, em seguida.

3.2.

Os alunos não estabelecem uma relação entre esta questão e a alínea anterior, não conseguindo deduzir o

pretendido.

• O arco correspondente ser o mesmo implica que os ângulos tenham a mesma medida de amplitude?

Porquê?

• Observem novamente o quadrado do problema 2. As medidas das amplitudes do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 e do arco 𝐴𝐵̂ eram de 90º. O ângulo inscrito 𝐵𝐶̂𝐴 tem 90º de medida de amplitude? O que podem concluir?

• Os ângulos serem diferentes implica que o João não tem razão, porquê?

• Que relação encontram entre a medida de amplitude do ângulo ao centro 𝐵𝑂̂𝐶 e do setor circular que o contém? Porquê?

• Identifiquem os restantes ângulos ao centro existentes neste triângulo. Que relação estabelecem entre as suas medidas de amplitude? Porquê?

• Que relação estabelecem entre o ângulo 𝐵𝐴̂𝐶 e o triângulo [ABC]?

• Sendo este triângulo equilátero, o que podem dizer sobre a medida de amplitude dos seus ângulos internos?

• Este triângulo pode ser descomposto em outros polígonos? Quais? E quantos são? Identifiquem- nos na figura.

• Como classificam os triângulos quanto aos seus lados? Porquê?

• O que podem dizer acerca da medida de amplitude dos ângulos de um triângulo isósceles?

• Que relação existe entre as medidas das amplitudes dos ângulos 𝐵𝐶̂𝑂 e 𝐶𝐵̂𝑂? São iguais?

São diferentes? Quanto é a sua amplitude?

Porquê?

• O que podem concluir sobre a medida de amplitude do ângulo 𝐵𝐶̂𝐴 em relação à medida de amplitude do ângulo 𝐵𝐶̂𝑂? Porquê?

• Relacionem as medidas de amplitude dos ângulos de 𝐵𝐶̂𝑂 e 𝐵𝐴̂𝐶. Concluam.

• Observem as vossas respostas à alínea anterior.

Como justificaram que o João não tem razão?

• Observem novamente o quadrado do problema 2.

As amplitudes do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 e do arco 𝐴𝐵̂ eram de 90º. O ângulo inscrito 𝐵𝐶̂𝐴 tem 90º de medida de amplitude? O que podem concluir?

(6) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz respeito ao problema 3.

(19)

7

Este problema tem como principal objetivo o de levar os alunos a intuir sobre a

relação que existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de amplitude do respetivo ângulo inscrito.

Será importante referir, no final da discussão, que o exemplo visto não fornece nenhuma justificação quanto à veracidade da relação encontrada e que través de exemplos, não se poderá generalizar. A generalização será feita, posteriormente, recorrendo ao problema 4.

Uma vez mais, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, assinalando, posteriormente às discussões, as corretas e colocando um traço sobre as incorretas.

A figura referente a este problema será projetada no quadro.

Discussão

Em relação à questão 3.1., podem surgir respostas distintas, isto é, um aluno pode responder que o João tem razão e outro aluno pode responder que o João não tem razão.

A professora deverá perguntar: “porque dizes que o João tem razão? Se tivesses de convencer o teu colega, que lhe dirias?”, “porque dizes que o João não tem razão?”.

Se os alunos mostrarem dificuldades em justificar, a professora poderá orientá-los no sentido de observarem atentamente o problema 2: “observem novamente o quadrado do problema 2. Qual a medida das amplitudes do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 e do arco 𝐴𝐵̂? Qual a medida da amplitude do ângulo inscrito 𝐵𝐶̂𝐴? O que podem concluir?”

Em relação à questão 3.2., a professora questionará a turma:

• Que relação encontraram? Como chegaram a essa relação?

• Alguém tem uma resposta diferente? Expliquem aos vossos colegas.

Será solicitado aos alunos que, no final desta discussão, registem no retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão retirada sobre a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo ao centro e a medida da amplitude do respetivo ângulo inscrito, sendo que essa conclusão também deverá ser escrita no quadro, pela professora.

Extra

Uma vez que as estratégias de resolução, para estas alínea, podem ser distintas, é interessante deixar que os alunos explorem, durante a discussão, essas estratégias. Se nenhum aluno tiver mencionado alguma das estratégias descritas, a professora deverá orientá-los para que isso aconteça, recorrendo ao questionamento oral, através das questões orientadoras já descritas.

A professora questionará ainda: “os ângulos ao centro têm todos a mesma medida da amplitude? Porquê? E os inscritos?”, “Será que esta relação também acontece para pentágonos? E para outros polígonos inscritos? Será sempre

verdade? Porquê?”

(7) Este será um momento de trabalho autónomo, por parte dos alunos.

A atividade da professora será semelhante à atividade já descrita no momento III.

Possíveis estratégias de resolução da questão 4.1:

O triângulo [OVB] é um triângulo isósceles porque 𝑂𝑉̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅ (por ambos serem raios da circunferência de centro O).

Possíveis estratégias de resolução da questão 4.2:

A medida de amplitude do ângulo 𝐵𝑉̂𝐴 é metade da medida de amplitude do arco capaz Porque

Do problema 3, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do ângulo ao centro e do problema 2, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida de amplitude do seu arco correspondente. Portanto, a medida de amplitude do ângulo 𝐵𝑉̂𝐴 é metade da medida da amplitude do seu arco capaz.

Possíveis estratégias de resolução da questão 4.3. – alíneas a) e b):

Do problema 3 decorre que o ângulo ao centro 𝐴𝑂̂𝐵 tem o dobro da medida da amplitude do ângulo 𝐵𝑉̂𝐴.

O ângulo 𝐵𝑉̂𝐴 tem 30º de medida de amplitude, logo 𝐴𝑂̂𝐵 tem 60º de medida de amplitude.

Como a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida da amplitude do arco que lhe corresponde (como visto no problema 2), resulta que o arco 𝐴𝐵̂ tem 60º graus de medida de amplitude.

(20)

8

ou

Da alínea anterior decorre que o a amplitude do ângulo inscrito é metade da medida de amplitude do arco que lhe corresponde.

O arco correspondente ao ângulo inscrito 𝐵𝑉̂𝐴 é o arco 𝐴𝐵̂, pelo que AB tem 60º de medida de amplitude.

Do problema 2, concluiu-se que a medida de amplitude do ângulo ao centro é igual à medida da amplitude do seu arco correspondente, pelo que o ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 tem 60º de medida de amplitude.

4.1.

Os alunos não classificam o triângulo como um triângulo isósceles porque

a. Não se recordam das classificações dos triângulos quanto aos lados b. Não identificam que os lados [OV] e [OB] são

raios da circunferência

4.2.

Os alunos não encontram a relação pedida porque não relacionam o arco capaz com a medida da medida da amplitude do ângulo ao centro

4.3.

Os alunos não conseguem determinar a medida de amplitude do arco pedido porque

a. Os alunos não articulam esta alínea com conclusões já retiradas sobre a amplitude do ângulo ao centro e a amplitude do seu respetivo arco.

Os alunos não articulam esta alínea com as conclusões já retiradas, na alínea anterior, sobre a relação existente entre as medidas das amplitudes do ângulo inscrito e do arco que lhe corresponde.

• Como se classificam os triângulos quanto aos lados?

• Os lados do triângulo [OVB] têm alguma relação com a circunferência?

• Que relação estabelecem entre as medidas das amplitudes do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 e o seu arco correspondente? Porquê?

• O que concluíram no problema 2? E no problema 3? Como vos poderá essa informação ser útil?

• Que relação existe entre a medida de amplitude do ângulo ao centro e a medida de amplitude do seu arco correspondente? O que podem concluir?

• O que concluíram na alínea anterior? Como vos poderá essa informação ser útil?

• Que relação estabelecem entre as medidas das amplitudes dos ângulos 𝐵𝑉̂𝐴 e 𝐴𝑂̂𝐵? Porquê? O que podem concluir sobre a medida da amplitude do arco 𝐴𝐵̂? Porquê?

(8) Este será o momento de discussão do problema 4.

No caso deste problema, um dos lados do ângulo inscrito contém o centro da circunferência.

Como tal nem sempre se verifica, os alunos serão alertados para este facto, pelo que a discussão se iniciará com a professora a pedir aos alunos que identifiquem, em relação ao centro da circunferência, as diferentes posições que um ângulo inscrito poderá ter

(o centro poderá pertencer a um dos lados do ângulo, o centro poderá ser exterior ao ângulo ou o centro poderá estar no interior ao ângulo).

É importante referir que este problema apenas contempla uma das posições possíveis do ângulo, sendo que será estudado apenas um dos casos.

Os restantes casos serão mostrados aos alunos com recurso ao Geogebra.

Discussão

A discussão deste problema, irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Como classificaram estre triângulo quanto aos lados? Expliquem.

• Alguém tem uma resposta diferente? Porquê?

(21)

9

Sempre que existirem alunos que discordem das resoluções apresentadas, estes serão solicitados para exporem o seu raciocínio, havendo um confronto de ideias entre os alunos, recorrendo-se ao questionamento oral, através de questões como: como tentariam convencer os vossos colegas? porque responderam dessa forma? o que alterariam na resolução dos vossos colegas? têm outra ideia? porquê? depois do que foi apresentado pelos vossos colegas, querem alterar a vossa resposta?

De seguida, em relação à questão 4.2., serão colocadas as seguintes questões:

• Que relação encontraram? Porquê?

• Alguém tem uma resposta diferente?

• Quem quer reformular o que foi dito?

Caso se verifique que não se dispõe de tempo para se corrigir o problema 3.3., este será corrigido na aula seguinte, sendo dada a oportunidade aos alunos de o realizarem como trabalho de casa, para quem não o fez em aula.

Caso contrário, a professora questionará, em relação à questão 3.3.:

• Qual a medida de amplitude do ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 ? Porquê?

• Alguém tem uma ideia diferente? Porquê?

• Qual a medida de amplitude do arco 𝐴𝐵̂? Porquê?

Finda esta discussão, a professora mostrará, com recurso a um ficheiro Geogebra, que a relação encontrada se verifica para qualquer posição do ângulo inscrito.

Finalmente, os alunos deverão registar no retângulo existente na ficha de trabalho, as conclusões que retiraram da discussão deste problema, sobre a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo inscrito e a medida da amplitude do seu respetivo arco capaz.

Esta conclusão também será escrita no quadro, pela professora.

Plano de aula de dia 19 de fevereiro de 2018

Hora: 11:25 às 12:15 Sala 02, Pavilhão 01 Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre as propriedades dos ângulos ao centro e inscrito

• Propriedades do ângulo ao centro

• Propriedades do ângulo inscrito Objetivos da aula

Geral

• Estudar as propriedades dos ângulos ao centro e do ângulo inscrito

Específicos

• Provar que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do arco capaz

• Reconhecer que a ângulos ao centro com a mesma medida de amplitude, correspondem arcos e cordas geometricamente iguais e vice- -versa.

• Reconhecer que ângulos inscritos num mesmo arco têm a mesma medida de amplitude

• Identificar a medida da amplitude de um ângulo inscrito cuja corda seja um diâmetro da circunferência

• Raciocínio dedutivo

(22)

10

Recursos

• Computador e projetor Conhecimentos prévios

• Ângulo ao centro numa circunferência

• Ângulo inscrito numa circunferência

• Definição de arcos e cordas numa circunferência

• Definição de ângulos verticalmente opostos

• Isometrias

• Classificação de triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos Metodologia de trabalho

(1) Entrada inicial dos alunos e revisão dos conteúdos lecionados na aula anterior (15 minutos) (2) Resolução autónoma da ficha de trabalho (15 minutos)

(3) Sistematização das ideias e discussão das resoluções (20 minutos) Desenvolvimento da aula:

(1) Este momento terá início com entrada inicial dos alunos.

Uma vez que alguns alunos não puderam comparecer na segunda metade da aula anterior, devido a um torneio de futebol que ocorreu na escola, a aula irá iniciar-se com uma revisão das conclusões retiradas da aula anterior.

A professora irá entregar, durante este momento, as resoluções das fichas dos alunos, devidamente corrigidas incluindo feedback. A figura referente ao problema 4 será projetada no quadro, uma vez que será utilizada para a prova das propriedades encontradas nos problemas 3 e 4.

A professora questionará os alunos: “Que conclusões retiraram da aula anterior?”

Posteriormente, uma vez que, até ao momento, não foi provada da veracidade das duas propriedades encontradas nos problemas 3 e 4 (a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do ângulo ao centro / a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do seu arco capaz), a professora orientará os alunos para que, em conjunto, o façam, recorrendo ao questionamento oral:

• Como pensam que podemos provar que as relações encontradas são verdadeiras?

• Como classificariam o triângulo [OVB] quanto aos lados? Porquê?

• Como poderá esta informação ser útil para o que pretendemos provar? Alguém tem uma ideia?

• Existe algum ângulo cuja medida de amplitude seja igual à do ângulo 𝐵𝑉̂𝐴? Qual?

• Que relação existe entre as medidas das amplitudes dos ângulos 𝐵𝑂̂𝑉 e 𝐵𝑂̂𝐴? Como podemos prosseguir agora? Alguém tem uma ideia?

• Exprimam a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos para o triângulo [OVB].

Que relações encontram com o que já puderam observar?

• Do problema 2, o que concluíram? Como podem utilizar essa informação agora?

A professora deverá aproveitar as sugestões dadas pelos alunos, desde que estas sejam coerentes com o que se pretende.

Por fim, será dito aos alunos que dispõe de cerca de 15 minutos para resolverem autonomamente a ficha de trabalho proposta.

Durante este momento, a professora circulará pela sala a fim de:

• Observar as diferentes resoluções dos alunos

Possíveis estratégias de resolução da questão 1:

a. As medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴𝐶̂𝐵 e 𝐸𝐶̂𝐹 são iguais porque os ângulos são verticalmente opostos.

b. As cordas [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento porque

os triângulos [ABC] e [CEF] são isósceles (porque dois dos seus lados são raios da circunferência).

Pela a alínea a), os ângulos 𝐴𝐶̂𝐵 e 𝐸𝐶̂𝐹 têm a mesma medida de amplitude, logo, pelo critério de igualdade LAL, os triângulos [ABC] e [CEF] são iguais.

(23)

11

Como [AB] e [EF] são lados opostos a ângulos de igual medida de amplitude em triângulos iguais, resulta que [AB] e [EF] têm o mesmo comprimento.

ou

Porque existe uma isometria que transforma os ângulos um no outro.

Essa isometria é uma rotação de centro O e medida de amplitude 180º. Logo, os ângulos são geometricamente iguais, pelo que as suas cordas também.

Possíveis estratégias de resolução da questão 2: Os ângulos 𝛼 e 𝛽 têm a mesma medida de amplitude porque são ângulos inscritos no mesmo arco capaz.

Possíveis estratégias de resolução da questão 3:

A resposta [C] é a única verdadeira porque:

O arco 𝐴𝐵̂ tem 180º de medida de amplitude (porque o diâmetro divide a circunferência em dois arcos de igual medida de amplitude). Como o ângulo 𝐴𝑉̂𝐵 é um ângulo inscrito, a sua medida de amplitude é metade da medida da amplitude do seu arco capaz. O arco capaz de 𝐴𝑉̂𝐵, é o arco 𝐴𝐵̂ , logo 𝐴𝑉̂𝐵 tem 90º de medida de amplitude, pelo que o triângulo [AVB] é retângulo, sendo que a hipótese D é falsa.

Hipótese A – Esta opção é falsa porque, apesar de o triângulo ser sempre retângulo, nem sempre é escaleno.

Quando a medida de amplitude de 𝑉𝑂̂𝐵 é de 90º, o triângulo é isósceles, porque:

• [OA]=[OV], por serem dois raios da circunferência.

• Uma vez que um triângulo retângulo nunca poderá ser equilátero, [AV] não tem o mesmo comprimento de [OA] nem de [OV].

Quando a medida de amplitude de 𝑉𝑂̂𝐵 difere de 90º, o triângulo é escaleno.

Hipótese B – Esta opção é falsa porque, apesar de o triângulo ser sempre retângulo, existe uma posição do ponto V para o qual o triângulo é isósceles (quando 𝑉𝑂̂𝐵 tem 90º de medida de amplitude).

1.

a. Os alunos podem não identificar os ângulos

como verticalmente opostos

b. Os alunos não conseguem utilizar a sugestão

dada porque

• Não identificam os triângulos [ABC] e

[CEF] como isósceles

• Não reconhecem que os triângulos [ABC] e [CEF] são iguais, pelo critério

de igualdade LAL.

• Não identificam [AB] e [EF] como lados opostos a ângulos de igual medida de amplitude, em triângulos iguais

ou

• Não reconhecem a existência de uma rotação que transforma um ângulo no outro / podem identificar a existência de uma rotação mas não reconhecer qual o centro e/ou a sua medida de amplitude.

2.

• Que relação existe entre estes ângulos?

• Porque achas que os ângulos têm a mesma medida amplitude? Que propriedade dos ângulos podes usar para confirmar?

• Classifiquem os triângulos [ABC] e [CEF] quanto

aos lados. Justifiquem.

• Que relação podem estabelecer entre os dois triângulos? Serão diferentes? Serão iguais? Porquê?

• Quando dois triângulos são geometricamente iguais, o que podemos dizer sobre os lados opostos aos ângulos que têm a mesma medida de amplitude?

• Se quisermos deslocar o ponto A até ao ponto E, de forma a sobrepô-los o que teremos de fazer?

• De que forma podemos sobrepor um ângulo no outro?

• Existe alguma isometria que transforme o ângulo 𝐴𝐶̂𝐵 no ângulo 𝐸𝐶̂𝐹? Qual?

• Qual o arco capaz do ângulo 𝛼? E o arco capaz do ângulo 𝛽? Que conclusão podem retirar?

(24)

12

Os alunos não reconhecem que os ângulos têm a mesma medida de amplitude porque não identificam os

ângulos como ângulos inscritos num mesmo arco.

3.

Hipótese [A]

Os alunos podem selecionar esta hipótese pois não reconhecem a existência de um caso que torna o triângulo [AVB] num triângulo isósceles, pelo que [AVB] nem sempre será escaleno.

Hipótese [B]

Os alunos podem selecionar esta hipótese porque não identificam que o triângulo é isósceles quando [OA] e [OV] formam um ângulo de 90º graus.

Hipótese [D]

Os alunos podem selecionar esta hipótese porque não identificam que o triângulo é retângulo.

• Não identificam que 𝐴𝑉̂𝐵 é um ângulo inscrito num arco com medida de amplitude 180º

• Não se recordam que a medida da amplitude do ângulo inscrito é metade da medida da amplitude do seu respetivo arco capaz

• Qualquer que seja a posição do ponto V, o triângulo é sempre escaleno porquê?

• Desenhem algumas posições possíveis para o ponto V e averiguem se o triângulo é escaleno para qualquer posição.

• Como classificam o triângulo [AVB] quando a posição do ponto P é tal que os segmentos [OA] e [OV] formam um ângulo de 90º? Porquê?

Esbocem a figura.

• Porque motivo consideram que este triângulo nunca é isósceles?

• Desenhem algumas possíveis posições para o ponto V. Existe alguma posição do ponto V para a qual o triângulo seja isósceles? Qual? Porquê?

• Que relação existe entre o ângulo 𝐴𝑉̂𝐵 e o arco 𝐴𝐵̂? Como se relacionam as suas medidas de amplitude?

• Já vimos que o diâmetro da circunferência é um eixo de simetria. O que podem concluir sobre a medida de amplitude do arco 𝐴𝐵̂?

• Que relação existe entre a medida da amplitude do ângulo inscrito e a medida da amplitude do seu respetivo arco capaz? Como poderá isso ser útil para classificarem o triângulo quanto aos ângulos?

O que concluem sobre a medida da amplitude do ângulo 𝐴𝑉̂𝐵?

(3) Este momento será o momento de discussão das resoluções dos alunos, no que diz respeito à ficha de trabalho.

Neste momento, a professora registará as respostas dadas pelos alunos, mesmo quando incorretas, de forma a poder existir um confronto de ideias entre os mesmos, sendo que o papel da professora será a de mediadora da discussão.

Será utilizado o projetor neste momento, para projetar as figuras referentes aos problemas propostos.

As respostas serão escritas, pela professora, no quadro e as corretas serão devidamente assinaladas, sendo que será colocado um traço sobre as respostas incorretas

Discussão

Em relação à questão 1., a discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Porque motivo os ângulos têm a mesma medida de amplitude?

• Porque têm as cordas o mesmo comprimento?

(25)

13

Sempre que um aluno sugerir outra resposta, ou mostrar que discorda do exposto até então, a professora orientará a discussão entre os alunos, com questões como: “porque dizes isso?”, “depois do que os teus colegas disseram, queres alterar a tua resposta?”

Se, por qualquer motivo, as respostas apresentadas forem incorretas, a professora deverá questionar a turma, através das questões orientadoras já descritas, de forma a orientá-los para a resposta correta.

Se as respostas apresentadas forem incompletas, a professora solicitará a ajuda de outros colegas, através do questionamento, com perguntas como “quem quer reformular?”, “quem quer acrescentar algo?”, “a resposta está completa?” ou, ainda, utilizar as questões orientadoras anteriormente descritas.

Extra

Uma vez que existem duas formas de justificar a alínea b), e uma delas envolve a mobilização de conhecimentos de anos anteriores no que diz respeito às isometrias, será interessante explorar essa resolução com os alunos, caso estes não o tenham feito sozinhos.

Para o efeito, a professora questionará:

• Haverá outra forma de justificar que as cordas têm o mesmo comprimento?

• Se quisermos deslocar o ponto A até ao ponto E, de forma a sobrepô-los o que teremos de fazer? / Pensemos em isometrias. De que forma podemos sobrepor um ângulo no outro? / Existe alguma isometria que transforme o ângulo 𝐴𝐶̂𝐵 no ângulo 𝐸𝐶̂𝐹? Qual?

As cordas são geometricamente iguais porque os ângulos ao centro têm a mesma medida amplitude. Esta relação é também válida para os respetivos arcos.

Quando as cordas e os arcos são geometricamente iguais, pode-se concluir, igualmente, que os respetivos ângulos ao centro têm a mesma medida de amplitude.

É importante explorar também isto com os alunos, pelo que a professora questionará:

• O que podem concluir sobre a medida de amplitude dos arcos 𝐴𝐵̂ e 𝐸𝐹̂ ? Porque será que isso se verifica?

• E se as medidas de amplitude dos ângulos forem as mesmas, será que se verificam as relações que vimos?

Porquê? Alguém consegue explicar? (caso nenhum aluno o consiga fazer, a professora deverá recorrer às questões orientadoras descritas anteriormente).

Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam no respetivo retângulo existente na ficha de trabalho, a conclusão que foi retirada da discussão deste problema, e que estará escrita, também, no quadro: “A ângulos ao centro geometricamente iguais, correspondem arcos e cordas geometricamente iguais, e vice-versa”.

--- Em relação à questão 2., a discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:

• Que relação encontraram entre as medidas das amplitudes destes dois ângulos? Porquê?

A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, será semelhante à descrita anteriormente.

Uma vez que, na aula anterior, não foi clarificada a hipótese de para um mesmo arco existir uma infinidade de ângulos inscritos, a professora questionará:

• Quantos ângulos inscritos têm como arco correspondente o arco 𝐴𝐵̂ ?

• Quantos ângulos inscritos correspondem a um ângulo ao centro? Porquê?

--- Em relação à questão 3., a discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:

• O que responderam a esta questão? Justifiquem.

• Alguém tem uma resposta diferente? Porque responderam isso?

Como se trata de uma escolha múltipla, poderá dar-se o caso de existirem respostas distintas, pelo que os alunos serão sempre incentivados a justificar as suas respostas.

A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, é semelhante à descrita anteriormente.

Extra

• O triângulo poderá ser equilátero? Porquê?

(26)

14

• Se um ângulo é inscrito numa semicircunferência, o que podemos concluir sobre a sua medida de amplitude?

Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam as conclusões retiradas das discussões dos problemas 2 e 3, no retângulo existente na ficha de trabalho. Essas conclusões também serão escritas no quadro: “Dois ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma medida de amplitude”, “Um ângulo inscrito numa semicircunferência tem sempre 90º de medida de amplitude”.

Plano de aula de dia 21 de fevereiro de 2018

Hora: 11:25 às 12:15 Sala 03, Pavilhão 02

Sumário

• Resolução de uma ficha de trabalho sobre propriedades geométricas numa circunferência

• Arcos e cordas determinados por duas retas paralelas

• Reta que contém o centro da circunferência e é perpendicular a uma corda Objetivos da aula

Geral

• Estudar as propriedades geométricas da circunferência que envolvem arcos e cordas compreendidos entre duas retas paralelas

• Estudar as propriedades geométricas da circunferência que envolvem a mediatriz de uma corda e que passa pelo centro da circunferência

Específicos

• Identificar a medida da amplitude de um ângulo inscrito cuja corda é um diâmetro da circunferência

• Reconhecer que qualquer reta que contenha o centro da circunferência e é perpendicular a uma corda, a bisseta, assim como aos arcos subtensos e aos ângulos ao centro correspondentes.

• Raciocínio dedutivo Recursos

• Computador e projetor Conhecimentos prévios

• Definição de circunferência

• Definição de arcos e cordas numa circunferência

• Noção de paralelismo e perpendicularidade

• Definição de mediatriz de um segmento

• Isometrias (reflexão axial)

• Critério de igualdade LAL

• Ângulo ao centro numa circunferência Metodologia de trabalho

(1) Entrada inicial dos alunos (05 minutos)

(2) Sistematização e discussão do último problema da ficha de trabalho da aula anterior (10 minutos) (3) Resolução autónoma da ficha de trabalho (15 minutos)

(4) Sistematização das ideias e discussão das resoluções (20 minutos) Observação

Para os alunos que terminem a resolução da ficha de trabalho mais cedo do que o previsto, serão propostos os problemas:

página 83 ex.6 e ex.10, do manual.

Desenvolvimento da aula:

(27)

15

(1) Este será o momento de entrada inicial dos alunos.

(2) Este momento terá inicio com uma breve sistematização das conclusões retiradas da aula anterior, sendo que essas conclusões deverão ser escritas no quadro, pela professora.

O último problema da aula anterior não foi discutido em grupo-turma, pelo que será discutido neste momento. A figura referente a este problema será projetada no quadro.

Discussão

A discussão irá iniciar-se com as seguintes questões:

• O que responderam a esta questão? Justifiquem.

• Alguém tem uma resposta diferente? Porque responderam isso?

Como se trata de uma escolha múltipla, poderá dar-se o caso de existirem respostas distintas, pelo que os alunos serão sempre incentivados a justificar as suas respostas.

A atividade da professora, caso algum aluno discorde / as respostas sejam incorretas ou incompletas, é semelhante à descrita anteriormente.

Extra

• O triângulo poderá ser equilátero? Porquê?

• Se um ângulo é inscrito numa semicircunferência, o que podemos concluir sobre a sua medida de amplitude?

Uma vez concluída esta fase, a professora solicitará aos alunos que escrevam as conclusões retiradas das discussões dos problemas 2 e 3, no retângulo existente na ficha de trabalho. Essas conclusões também serão escritas no quadro: “Dois ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma medida de amplitude”, “Um ângulo inscrito numa semicircunferência tem sempre 90º de medida amplitude”.

Por fim, será dito aos alunos que dispõe de cerca de 15 minutos para, autonomamente, resolverem a ficha de trabalho proposta para esta aula.

Durante este momento, a professora circulará pela sala a fim de:

• Observar as diferentes resoluções dos alunos Possíveis estratégias de resolução da questão 1.1:

a. Os alunos respondem que a reta r é perpendicular à corda [AB] porque a corda [AB] é paralela à corda [EF] e r é perpendicular a [EF].

b. r é a reta mediatriz de [FE] porque, como enunciado, r contém o ponto médio de [EF] e é perpendicular a esta.

r é a reta mediatriz de [AB] porque

• Como visto na alínea anterior, r é perpendicular a [AB]

• Como r contém o ponto médio de [EF] e [EF] // [AB], então r contém o ponto médio de [AB].

Logo, r é reta mediatriz de [AB].

𝐴𝐶̅̅̅̅=𝐵𝐶̅̅̅̅ ou os comprimentos são iguais.

Porque

Uma vez que r é a mediatriz de [AB], r contém o ponto médio de [AB], portanto r divide [AB] em dois segmentos de igual comprimento / divide [AB] em duas “partes “iguais.

Portanto, os comprimentos de [AC] e [BC] são iguais.

ou

A reta r é um eixo de simetria da circunferência (porque qualquer reta que contenha o centro da circunferência é um eixo de simetria da mesma). Portanto, [AC] tem o mesmo comprimento de [BC].

ou Existe uma isometria que transforma o ponto A no ponto B.

Essa isometria é uma reflexão axial de eixo r.

As isometrias preservam as distâncias, pelo que as cordas [AC] e [BC] têm o mesmo comprimento.

Os ângulos 𝐴𝑂̂𝐷 e 𝐵𝑂̂𝐷 têm a mesma medida de amplitude porque são a imagem um do outro, pela reflexão axial de eixo r/ porque r é um eixo de simetria da circunferência.

ou O ponto B é a imagem do ponto A, através da reflexão de eixo r.

Por pertencerem ao eixo de reflexão, os pontos O e D são aplicados neles próprios.

Portanto, a medida de amplitude dos ângulos é a mesma.

ou

(28)

16

As cordas [AD] e [DB] são geometricamente iguais, pois r é um eixo de simetria.

A cordas geometricamente iguais correspondem ângulos ao centro de igual medida de amplitude, portanto 𝐴ÔD e BÔD têm a mesma medida de amplitude.

As cordas [AF] e [BE] têm igual comprimento.

Os arcos 𝐴𝐹̂ e 𝐵𝐸̂ têm a mesma medida de amplitude.

Porque

podemos dividir a figura como a seguir se apresenta

𝑂𝐴̅̅̅̅=𝑂𝐵̅̅̅̅ porque são ambos raios da circunferência.

𝑂𝐹̅̅̅̅=𝑂𝐸̅̅̅̅ porque são ambos raios da circunferência.

Portanto, os triângulos [AOF] e [BOE] são isósceles.

𝐴𝑂̂𝐹 e 𝐵𝑂̂𝐸 têm a mesma medida de amplitude (porque r é eixo de simetria).

Pelo critério de igualdade LAL, os triângulos [AOF] e [BOE] são iguais.

Como [AF] e [BE] são lados opostos a ângulos de igual medida de amplitude em triângulos iguais, resulta que [AF] e [BE] têm o mesmo comprimento.

Como as cordas [AF] e [BE] são geometricamente iguais, resulta que os arcos 𝐴𝐹̂ e 𝐵𝐸̂ têm a mesma medida de amplitude (visto na aula anterior).

ou

Os ângulos 𝐴𝑂̂𝐹 e 𝐵𝑂̂𝐸 têm a mesma medida de amplitude, porque r é um eixo de simetria.

A medida da amplitude dos arcos 𝐴𝐹̂ e 𝐵𝐸̂ são iguais às medidas das amplitudes dos ângulos 𝐴𝑂̂𝐹 e 𝐵𝑂̂𝐸, respetivamente.

Portanto, 𝐴𝐹̂ e 𝐵𝐸̂ têm a mesma medida de amplitude.

A arcos geometricamente iguais correspondem cordas geometricamente iguais (visto na aula anterior), pelo que [AF] e [BE] têm o mesmo comprimento.

ou

Existe uma isometria que transforma a corda [AF] na corda [BE]. Essa isometria é uma rotação axial de eixo r, pelo que as cordas são geometricamente iguais.

Pelo mesmo motivo, conclui-se que os arcos 𝐴𝐹̂ e 𝐵𝐸 ̂são geometricamente iguais.

1.1.

a. Os alunos não reconhecem que a reta r é perpendicular à corda [AB] porque não se recordam que se duas retas paralelas forem intersetadas por uma secante, então os ângulos correspondentes são iguais.

• Quando duas retas são paralelas e são intersetadas por uma reta, o que acontece aos ângulos correspondentes?

Para clarificar, a professora poderá desenhar:

Os ângulos aqui desenhados, têm a mesma medida de amplitude ou medidas de amplitudes diferentes?

Se a reta for perpendicular a uma das retas, será perpendicular à outra?