Eletricidade e Magnetismo
Jonathan Tejeda Quartuccio
Instituto de Pesquisas Científicas
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Cargas Elétricas e a Lei de Coulomb
Quase tudo o que fazemos depende da eletricidade. Quando ligamos um carro, a TV, o computador ou o rádio estamos usando da eletricidade. Hospitais modernos necessitam da ele- tricidade. Informações rápidas dependem da eletricidade. Seu celular depende da eletricidade.
Os aviões só conseguem levantar voo por conta da eletricidade. Nossas funções vitais dependem da eletricidade. Todas as reações químicas, dentro e fora de nosso organismo, só ocorrem por- que a eletricidade existe. Por exemplo, nossos impulsos nervosos se originam devido as altera- ções das cargas elétricas na superfície de uma membrana celular. Aqui, podemos então, fazer uma pergunta importante: o que é uma carga elétrica?
A carga elétrica é uma propriedade intrínseca da matéria. Ela faz parte da matéria. A carga elétrica surge de duas formas, sendo +𝑞 ou −𝑞. Se a quantidade de cargas positivas e negativas em uma região é igual, então essas cargas se cancelam mutuamente. O fato de não podermos construir nem destruir a carga elétrica caracteriza sua conservação. Uma carga positiva pode aniquilar uma negativa, mas ela não pode simplesmente desaparecer sem a ação dessa outra.
De modo geral, a carga total do universo é fixa. Outro fator importante, é que a carga é quanti- zada, de modo a ser expressa por +𝑛𝑒 e −𝑛𝑒, onde 𝑛 é um número inteiro. Entretanto, existem partículas chamadas quarks que possuem cargas fracionárias, como ± 2/3 e ±1/3. Porém, nunca foi observado quarks livres na natureza (o que leva à propriedade de confinamento).
Para compreender melhor a carga elétrica devemos olhar para o átomo. basicamente, o átomo é composto por duas regiões: o núcleo e a eletrosfera. No núcleo está concentrada quase que toda a massa do átomo, e as partículas que o formam são os prótons e os nêutrons. Na eletrosfera, os elétrons orbitam ao redor do núcleo. Por convenção, os elétrons são ditos pos- suírem carga negativa, os prótons carga positiva e os nêutrons carga nula.
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A carga total de um átomo é neutra, o que significa que o número de prótons é sempre igual ao número de elétrons. Entretanto pode ocorrer do átomo perder ou ganhar elétrons. Se o átomo perde elétrons, a carga total dele se torna positiva. Por outro lado, se o átomo ganha elétrons sua carga se torna negativa. Para o primeiro caso, o átomo recebe o nome de cátion, ou íon positivo. No segundo caso, o átomo é denominado ânion, ou íon negativo. Como todo corpo é formado por átomos, podemos supor que todo corpo é naturalmente neutro. Mas po- demos mudar esse estado do corpo, ou seja, podemos torna-lo um corpo carregado. Um dos métodos mais antigos de carregar, ou eletrizar, um corpo foi descoberto por Talles de Mileto, e consiste em atritar dois matérias diferentes. Você pode fazer uma experiência usando uma ca- neta e pequenos pedaços de papel picotado. Se você esfregar a caneta em sua cabeça (contanto que seus cabelos estejam secos e limpos) e depois aproxima-la dos pedaços de papel verá que esses serão atraídos pela caneta. O fato é que, ao esfregar a caneta na cabeça nós transferimos elétrons para a caneta por conta do atrito com nossos cabelos. Como um dos corpos deixou de ser neutro, possui mais ou menos elétrons que o outro corpo, então surge uma força de atração entre eles. Nós iremos analisar daqui a pouco essa força. O que precisamos definir aqui é que cargas de sinais opostos se atraem, enquanto que cargas de mesmo sinal se repelem. Sabendo disso, podemos definir um segundo método de eletrização. Vamos supor que tenhamos duas esferas de metal, sendo que uma está com excesso de cargas positivas e a outra está neutra.
Como cargas positivas atraem as negativas e repelem suas semelhantes, se aproximarmos as duas esferas então ocorrerá algo interessante. O lado da esfera neutra que está mais próximo da esfera carregada ficará com excesso de cargas negativas, enquanto que o outro lado ficará com excesso de cargas positivas. Em outras palavras, a esfera que antes era neutra está com um lado carregado negativamente e com outro lado carregado positivamente.
Vamos supor que uma esfera esteja carregada negativamente e outra esteja neutra. O que acontece se encostarmos as duas esferas? Se fizermos isso, parte da carga negativa em ex- cesso da esfera carregada será transferida para a esfera neutra, de modo a torna-la negativa- mente carregada. Assim, no final do processo teremos duas esferas carregadas. O que aconte- ceria se juntássemos a esfera carregada positivamente com uma esfera neutra?
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Lembremos que a carga elétrica é quantizada, o que implica que todo valor de carga é múltiplo de um valor fixo. Esse valor fixo, denominado de carga elementar é expresso por:
𝑒 = 1,602 × 10−19 𝐶
onde a unidade de medida 𝐶 é o coulomb. Definimos um coulomb como a quantidade de carga elétrica que é transportada por uma corrente elétrica 𝑖 de um ampère que atravessa uma secção reta de um fio em um segundo. Matematicamente, a carga elétrica 𝑞 é:
𝑑𝑞 = 𝑖𝑑𝑡
As cargas que se movem num corpo são cargas negativas (elétrons). A capacidade que um corpo tem em permitir o movimento dessas cargas é denominada condutividade, e depende do material de cada corpo. Quando as cargas se movem livremente sobre um corpo, dizemos que esse corpo é um condutor. Se o movimento das cargas não é livre, o corpo é dito ser um isolante.
Metais, soluções e o corpo humano são exemplos de bons condutores. Vidro, borracha e plástico são exemplos de isolantes.
Vamos olhar para duas cargas 𝑄 e 𝑞 separadas por uma distância 𝑟 (não vamos nos preo- cupar com os sinais dessas cargas, mas sabemos que não são neutras). Uma força irá surgir entre
elas, e vemos que essa força depende dos valores algébricos de 𝑄 e 𝑞. Assim, escrevemos:
𝐹 ∝ 𝑄𝑞
Da mesma maneira, se aumentarmos a distância entre as car- gas a força irá diminuir. A distância é dada por:
𝑟2= 𝑥2+ 𝑦 ² logo, podemos escrever que:
𝐹 ∝ 1 𝑟2 A força elétrica, então, pode ser descrita por:
𝐹 = 𝐾𝑄𝑞 𝑟2
onde o termo 𝐾 é uma constante de correção. Experimentalmente, essa constante, para o vá- cuo, é dada por:
𝐾 = 1 4𝜋𝜀0
em que 𝜀0= 8,85 × 10−12 𝐶/𝑁𝑚2 é a permissividade elétrica. Porém, a força é um vetor e por essa razão devemos escreve-la como tal. O vetor da força está direcionado com respeito ao ver- sor da distância 𝑟̂, definido com 𝑟̂ = 𝑟⃗/|𝑟|. Logo a força será dada por:
𝐹⃗ = 1 4𝜋𝜀0
|𝑄||𝑞|
𝑟2 𝑟̂
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ou ainda
𝐹⃗ = 1 4𝜋𝜀0
|𝑄||𝑞|
|𝑟|3 𝑟⃗
e essa é a lei de Coulomb. Perceba que essa lei possui a mesma estrutura da lei da gravitação de Newton, de modo que podemos trabalhar com ambas de modo semelhante. Isso quer dizer que a lei de Coulomb também segue o princípio da superposição.
Esse princípio diz que, se tivermos várias cargas dis- tribuídas no espaço e tomarmos uma carga de prova (que na figura é a 𝑄5+), então essa irá sentir uma força resultante devido à presença das outras cargas. Para calcular a força resultante, calculamos, primeiro, as interações individuais de cada carga com a carga de prova. De acordo com a figura, a força atuando sobre a carga de prova é:
𝐹⃗𝑄5= 𝐹⃗15+ 𝐹⃗25+ 𝐹⃗35+ 𝐹⃗45
de modo que 𝐹⃗𝑗5 é a força que a carga 𝑗 aplica sobre a carga 𝑄5. Para 𝑛 cargas agindo sobre uma partícula 𝑖, escrevemos:
𝐹⃗𝑖 = 1
4𝜋𝜀0𝑞𝑖(∑ 𝑞𝑗
|𝑟𝑖𝑗|2𝑟̂𝑖𝑗
𝑛
𝑗=2
)
e esse é o princípio da superposição. É muito importante não ignorar o caráter vetorial da força, de modo que só devemos somar componentes que estão na mesma direção.
Partículas também possuem massa. Isso quer dizer que elas também experimentam a força gravitacional entre si. Dois prótons se repelem devido à força elétrica, mas se atraem por conta da gravidade. Essas partículas estão, como vimos, no núcleo atômico, que consiste em uma região muito pequena do átomo. A distância média entre dois prótons no núcleo é da or- dem de 10−12 metros. A carga de um próton é igual a carga de um elétron, ou seja, 𝑞𝑝= 1,602 × 10−19 𝐶. Já a massa de um próton é igual a 𝑚𝑝= 1,67 × 10−27 kg. Com esses valores, podemos calcular tanto a força elétrica quanto a força gravitacional entre dois prótons. Aqui não será necessário calcular a gravitacional, mas você pode fazer isso facilmente. Para a força elétrica, encontramos um valor 𝐹 ≈ 2,3 𝑁. Essa força não perece ser grande coisa. De fato, não é. Para nós pelo menos. Mas e para os prótons? Bom, vamos recorrer à Newton por um mo- mento. Sabemos que 𝐹 = 𝑚𝑎, de modo que a aceleração adquirida por um corpo é igual a 𝑎 = 𝐹/𝑚. Qual a aceleração que uma força de 2,3 𝑁 pode ocasionar à um próton? Vamos calcular:
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𝑎 = 2,3
1,67 × 10−27= 1,3 × 1027 𝑚/𝑠2
Esse número é muito grande! Muito grande mesmo! Esse resultado está nos dizendo que os prótons estão sendo repelidos de modo a adquirirem uma aceleração de 1,3 × 1027 metros por segundo ao quadrado em sentidos opostos! Esse valor é suficiente para separar os prótons e destruir o núcleo atômico. Porém, isso não ocorre! Mesmo sujeitos à uma aceleração monstru- osa, os prótons não se desprendem do núcleo! Por que isso ocorre? O que mantém os prótons coesos?
Descrevendo a força de Coulomb de um modo mais sofisticado: Duas cargas elétricas se- paradas por uma distância Δ𝑟⃗ = 𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗ sofrem uma força de atração ou repulsão dada pela lei 𝑖 de Coulomb.
Se tivermos um conjunto de N cargas, a força eletrostática sobre uma carga 𝑞 será:
𝐹⃗𝑞= ∑ 𝐹⃗𝑞𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑞
4𝜋𝜀0∑ 𝑞𝑖
|𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗|𝑖 2𝑟̂
𝑁
𝑖=1
Onde
𝑟̂ = 𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗𝑖
|𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗|𝑖 Podemos escrever, então,
𝐹⃗𝑞= 𝑞
4𝜋𝜀0∑𝑞𝑖(𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗)𝑖
|𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗|𝑖 3
𝑁
𝑖=1
Vamos olhar agora para distribuições contínuas de cargas, de maneira que usaremos integrais.
Distribuição Volumétrica
𝐹⃗𝑞 = 𝑞
4𝜋𝜀0∫𝜌(𝑟⃗)(𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗)𝑖
|𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗|𝑖 3
. 𝑉
𝑑𝑉 Onde 𝜌 é a densidade de carga volumétrica.
Distribuição Superficial
𝐹⃗𝑞 = 𝑞
4𝜋𝜀0∫𝜎(𝑟⃗)(𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗)𝑖
|𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗|𝑖 3
. 𝑆
𝑑𝑆 Onde 𝜎 é a densidade de carga superficial.
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Distribuição Linear
𝐹⃗𝑞 = 𝑞
4𝜋𝜀0∫ 𝜆(𝑟⃗)(𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗)𝑖
|𝑟⃗ − 𝑟⃗⃗⃗|𝑖 3
. 𝐶
𝑑𝐶 Onde C é uma curva qualquer e 𝜆 é a densidade de carga linear.
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O Campo Elétrico
Percebemos que a força elétrica não é uma força de contato. Isso quer dizer que a força entre duas cargas pode ocorrer à distância, assim como a força entre o Sol e a Terra (por exem- plo). Forças desse tipo são denominadas forças de campo. Para os planetas, o campo é denomi- nado gravitacional, enquanto que para as cargas elétricas o campo é denominado campo elé- trico. Se colocarmos uma carga de prova 𝑞 positiva nas proximidades de uma segunda carga 𝑄 (a uma distância 𝑟), então nossa carga 𝑞 sofrerá a ação de uma força, de atração ou repulsão.
Assim, a força agindo sobre a carga 𝑞 é:
𝐹⃗
𝑞 = 1 4𝜋𝜀0
𝑄 𝑟2𝑟̂
A partir disso, definimos o campo elétrico 𝐸⃗⃗ como:
𝐸⃗⃗ =𝐹⃗
𝑞
onde a unidade de medida é o 𝑁/𝐶. Como o campo elétrico é um vetor podemos representa-lo graficamente por setas, que nos mostram sua direção. Essa representação do campo dependerá do tipo do sinal da carga. Para cargas positivas, representamos as linhas de campo como setas abandonando a carga. Para cargas negativas, as setas são representadas direcionadas para a carga. É preciso atentar que essas linhas de campo são apenas um artifício matemático, que visa ilustrar o campo elétrico. Se quiséssemos representar algo mais próximo do real, deveríamos desenhar infinitas linhas de campo. Como desenhar infinitas linhas é um tanto quanto cansativo, vamos representar apenas algumas.
O princípio da superposição também se aplica ao campo elétrico. Isso quer dizer que, se tivermos várias cargas próximas à nossa carga de prova 𝑞, então essa estará sujeita a um campo elétrico resultante. Assim, se tivermos 5 cargas próximas a 𝑞, o campo elétrico sobre essa carga será:
𝐸⃗⃗𝑞 = 𝐸⃗⃗1𝑞+ 𝐸⃗⃗2𝑞+ 𝐸⃗⃗3𝑞+ 𝐸⃗⃗4𝑞 que é o mesmo caso para a força elétrica.
A questão é: até onde podemos usar o princípio da superposição?
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Esse princípio sempre será utilizado, porém nem sempre ele será calculado como uma simples soma de vetores. Por exemplo, vamos supor que temos um anel carregado na proximi- dade da nossa carga de prova. Para calcular o campo elétrico resultante sobre 𝑞, devemos apli- car o principio da superposição. Ou seja, devemos tomar cada carga separada em nosso anel e calcular o campo individualmente sobre 𝑞. Fazemos isso para cada carga do anel e somamos. O problema é o seguinte: quantas cargas existem em um anel carregado? Essa pergunta pode ser praticamente impossível de ser respondida, visto que o número é tão grande que, para nossos padrões usuais, pode ser considerado infinito. Somar infinitas cargas é uma tarefa muito exaus- tiva. Ainda mais em se tratando de uma soma vetorial. Por conta disso, devemos aplicar uma soma infinita de cargas, ou mais precisamente uma integral. Sabemos que o campo que 𝑞 está submetido é gerado pelo anel carregado. Assim, podemos tomar um elemento infinitesimal de carga 𝑑𝑞 presente no anel, de modo que o campo gerado por esse elemento de carga seja 𝑑𝐸⃗⃗. Logo, o campo elétrico total sobre 𝑞 será a integral (a soma das infinitas cargas) sobre o anel:
𝐸⃗⃗ = ∫ 𝑑𝐸⃗⃗
Esse nada mais é do que o princípio da superposição. Vamos ver como trabalhar com ele. A figura a seguir mostra um anel de raio 𝑅 carregado positivamente (embora existam poucos si- nais de carga, devemos considerar que a quantidade de cargas é infinita). Como o anel está carregado, um campo elétrico surge no ponto P.
Primeiro, estamos considerando o campo gerado em P por um único elemento de carga 𝑑𝑞. O sentido de 𝑑𝐸⃗⃗ gerado por 𝑑𝑞 em P está mostrado na imagem. Se traçarmos uma reta que liga P ao centro do anel, vemos que a direção de 𝑑𝐸⃗⃗ com essa reta forma um ângulo 𝛼 em P. A distân- cia entre P e o centro do anel é denotado por 𝑥. Agora iremos tomar um segundo elemento de carga 𝑑𝑞 que esteja diametralmente oposto ao primeiro. Fazendo isso, veremos, por soma de vetores, que o campo resultante 𝑑𝐸⃗⃗resultante aponta no sentido crescente de 𝑥̂:
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Note que existe uma simetria na construção dos vetores, e isso ocorre por conta dos dois ele- mentos 𝑑𝑞 serem diametralmente opostos (um é reflexo do outro). Atente que quaisquer dois elementos de carga irão produzir o mesmo campo resultante, contanto que estejam diametral- mente opostos. Sendo assim o campo total 𝐸⃗⃗ gerado pelo anel estará na direção de 𝑑𝐸⃗⃗resultante. Podemos descrever o campo resultante como 𝑑𝐸𝑥, visto que ele aponta na direção 𝑥. Para cal- cular esse campo, vamos recorrer à simetria do problema. Levando em conta um elemento qual- quer de carga no anel, temos:
Ou seja, pela simetria encontramos um triângulo retângulo. Sabemos que o campo resultante está direcionado no mesmo lado de 𝑥 do triângulo. Logo, o campo elétrico é descrito em termos do cosseno do ângulo 𝛼. Sabendo disso, o campo elétrico resultante será:
𝑑𝐸𝑥 = 𝑑𝐸 cos 𝛼
Lembremos que o campo elétrico é descrito pela distância entre a carga que o gera e o ponto P em questão. Na figura acima, essa distância é a hipotenusa do triângulo, 𝑑. Logo, por Pitágoras:
𝑑2= 𝑅2+ 𝑥2 o que fornece:
𝑑𝐸 = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑞 (𝑅2+ 𝑥2)
que nada mais é do que a definição do campo elétrico de 𝑑𝑞. Assim, o campo resultante será:
𝑑𝐸𝑥 = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
(𝑅2+ 𝑥2)cos 𝛼
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Por definição, sabemos que cos 𝛼 = 𝑥/𝑑 = 𝑥/(𝑅2+ 𝑥2)1/2. Então, substituindo na equação acima:
𝑑𝐸𝑥 = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑞𝑥 (𝑅2+ 𝑥2)3/2 Logo, o princípio da superposição será:
𝐸⃗⃗ = ∫ 𝑑𝐸𝑥
𝐸⃗⃗ = 1 4𝜋𝜀0
𝑥
(𝑅2+ 𝑥2)3/2∫ 𝑑𝑞
𝑄 0
𝐸⃗⃗ = 1 4𝜋𝜀0
𝑄𝑥
(𝑅2+ 𝑥2)3/2𝑥̂
e assim obtemos o campo elétrico sobre P. Note que, se o anel estivesse carregado negativa- mente, a resposta seria:
𝐸⃗⃗ = − 1 4𝜋𝜀0
𝑄𝑥
(𝑅2+ 𝑥2)3/2𝑥̂
Outro modo de calcular esse campo seria reescrevendo o elemento de carga 𝑑𝑞 em ter- mos da densidade linear de carga, ou 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑ℓ (onde 𝜆 é a densidade linear e 𝑑ℓ é o compri- mento diferencial do anel). Assim, a integral não seria feita sobre 𝑑𝑞, mas sim sobre 𝑑ℓ. Ambos métodos servem para o caso do anel carregado, mas nem sempre será assim. Como um exem- plo, vamos calcular o campo elétrico gerado por um disco de raio 𝑅 carregado positivamente.
Como o disco é um objeto plano, devemos considerar sua densidade superficial de carga, ex- pressa por
𝜎 = 𝑑𝑞/𝑑𝑎
onde 𝑑𝑎 é o elemento infinitesimal de área. Visto que 𝑑𝑎 depende do raio do disco e do ângulo total percorrido nele, escrevemos 𝑑𝑎 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃.
(a) (b) (c)
A figura (a) acima mostra um elemento de anel carregado no disco. Diferente do anel carregado, para o disco não consideramos apenas um elemento 𝑑𝑞. A parte (b) da figura mostra o campo gerado por um elemento 𝑑𝑞 desse anel no ponto P. A construção é semelhante ao que fizemos
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no exemplo anterior. Na parte (c) temos um elemento de área do anel tomado no disco, de modo que esse elemento é dado por 𝑑𝑎 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 (quando maior 𝑑𝑟, mais grosso é o anel, e quanto maior 𝑑𝜃 mais longo ele será). Por (b) vemos que a construção é muito semelhante ao caso anterior. Aqui, a distância entre o ponto P e o centro do disco é dado pela coordenada 𝑧 (poderia ser qualquer outra letra, como 𝑥 ou 𝑦, mas adotei 𝑧 por motivos de gostar de colocar o eixo 𝑧 na vertical). Assim, vemos facilmente que o campo elétrico está direcionado no sentido crescente de 𝑧. Logo:
𝑑𝐸𝑧 = 𝑑𝐸 cos 𝛼 Nesse caso, a distância 𝑑 do elemento do anel ao ponto P é:
𝑑 = (𝑟2+ 𝑧2)1/2 Sendo cos 𝛼 = 𝑧/(𝑟2+ 𝑧2)1/2, temos:
𝑑𝐸𝑧 = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑞 (𝑟2+ 𝑧2)
𝑧
(𝑟2+ 𝑧2)1/2= 𝜎𝑑𝑎𝑧
4𝜋𝜀0(𝑟2+ 𝑧2)3/2= 𝜎𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑧 4𝜋𝜀0(𝑟2+ 𝑧2)3/2
Temos uma integral dupla para resolver. Uma integral será em função de 𝑑𝑟 e outra em função de 𝑑𝜃. Para 𝑑𝑟, a integral deve ir de 0 até 𝑅, enquanto que para 𝑑𝜃 a integral deve ir de 0 a 2𝜋.
Separando as integrais:
𝐸𝑧 = 𝜎𝑧
4𝜋𝜀0∫ 𝑟𝑑𝑟
(𝑟2+ 𝑧2)3/2∫ 𝑑𝜃
2𝜋 0 𝑅
0
A integral de 𝑑𝜃, como dizem os físicos e matemáticos, é trivial. Já 𝑑𝑟 não é assim tão simples, e necessita de uma substituição. Para isso, vamos chamar 𝑟2+ 𝑧2 de 𝑢, de modo a derivar esse novo termo em função de 𝑟. Logo:
𝑢 = 𝑟2+ 𝑧2 𝑑𝑢 = 2𝑟𝑑𝑟 isolando 𝑑𝑟
𝑑𝑟 =𝑑𝑢 2𝑟 Substituindo em 𝑑𝐸𝑧:
𝐸𝑧 =𝜎𝑧2𝜋
4𝜋𝜀0∫ 𝑟𝑑𝑢 2𝑟𝑢3/2
𝑅2+𝑧2 𝑧2
Note que a mudança de variáveis implica numa mudança dos limites de integração. Então:
𝐸𝑧 = 𝜎𝑧
4𝜀0∫ 𝑑𝑢 𝑢3/2
𝑅2+𝑧2 𝑧2
𝐸𝑧 = −2𝜎𝑧 4𝜀0[ 1
𝑢1/2]
𝑧2 𝑅2+𝑧2
𝐸𝑧 = 𝜎𝑧 2𝜀0[1
𝑧− 1
(𝑅2+ 𝑧2)1/2]
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𝐸𝑧 = 𝜎
2𝜀0[1 − 𝑧
(𝑅2+ 𝑧2)1/2] que é o campo gerado em P. No caso vetorial:
𝐸⃗⃗ = 𝜎
2𝜀0[1 − 𝑧
(𝑅2+ 𝑧2)1/2] 𝑧̂
Quando duas cargas de sinais opostos interagem, temos um di- polo. Vamos supor então que a distância entre duas cargas seja 𝑑, e que elas estejam sobre o eixo 𝑧. Queremos determinar o campo elé- trico resultante em um ponto P sobre esse eixo. Pela imagem, vemos que a distância de P à carga +𝑞 é 𝑟+, e a distância à −𝑞 é 𝑟−. Por sime- tria, devemos analisar a interação dessas cargas com respeito ao centro do dipolo (é algo análogo a analisar um sistema físico com respeito ao seu centro de massa). Logo, a distância do ponto P à carga positiva é:
𝑟+= 𝑧 −1 2𝑑 A distância até a carga negativa é:
𝑟−= 𝑧 +1 2𝑑 Logo, o campo elétrico sobre P é:
𝐸𝑃 = 𝐸 = 𝐸++ 𝐸−
𝐸 = 𝑞
4𝜋𝜀0𝑟+2− 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟−2
𝐸 = 𝑞
4𝜋𝜀0(𝑧 −1 2 𝑑)
2− 𝑞
4𝜋𝜀0(𝑧 +1 2 𝑑)
2
Tomando 𝑧 em evidência no denominador:
𝐸 = 𝑞
4𝜋𝜀0𝑧2(1 − 𝑑 2𝑧)
2− 𝑞
4𝜋𝜀0𝑧2(1 + 𝑑 2𝑧)
2
Reorganizando:
𝐸 = 𝑞 4𝜋𝜀0𝑧2
2𝑑/𝑧 [1 − (𝑑
2𝑧)
2
]
2
𝐸 = 𝑞𝑑 2𝜋𝜀0𝑧3
1 [1 − (𝑑
2𝑧)
2
]
2
Note que se o ponto P estiver bem afastado, de modo que 𝑧 ≫ 𝑑, podemos aproximar nosso resultado para o valor
𝐸 = 𝑞𝑑 2𝜋𝜀0𝑧3
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Desse resultado, podemos tirar uma definição importante que é o momento de dipolo:
|𝑝| = 𝑞𝑑 ou em termos de vetor
𝑝⃗ = 𝑞𝑑⃗
Vejamos agora o caso em que uma carga +𝑄 está distribuída de modo uniforme sobre um fio semicircular de raio 𝑎. Queremos calcular a força que age sobre uma carga −𝑞 colocada no centro.
Primeiro, devemos tomar um elemento de carga qualquer 𝑑𝑄 sobre o fio e analisar o campo elétrico desse elemento sobre −𝑞 (você pode analisar a força diretamente, mas trabalharei primeiro com o campo elétrico apenas). Nosso elemento de carga está elevado por um ângulo igual a 𝜃. Escrevendo a coordenada da posição em coordenadas cilíndricas, obtemos:
𝑎⃗ = 𝑎 cos 𝜃 + 𝑎 sin 𝜃 Logo, o campo gerado por 𝑑𝑄 é:
𝑑𝐸⃗⃗ = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑄 𝑎⃗2𝑎̂
e sendo
𝑎̂ = 𝑎⃗
|𝑎|
obtemos
𝑑𝐸 = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑄
𝑎3𝑎(cos 𝜃 + sin 𝜃) onde tomamos 𝑎⃗2 como |𝑎⃗|2= 𝑎2. Então:
𝑑𝐸 = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑄
𝑎2 (cos 𝜃 + sin 𝜃) Tomando 𝑑𝑄 = 𝜆𝑑ℓ = 𝜆𝑎𝑑𝜃:
𝑑𝐸 = 𝜆
4𝜋𝜀0𝑎(cos 𝜃 + sin 𝜃)𝑑𝜃 𝐸 = 𝜆
4𝜋𝜀0𝑎∫ (cos 𝜃 + sin 𝜃) 𝑑𝜃
𝜋 0
𝐸 = 𝜆
4𝜋𝜀0𝑎[sin(𝜋) − sin(0) − cos(𝜋) + cos(0)]
𝐸 = 𝜆
4𝜋𝜀0𝑎[−(−1) + 1]
𝐸 = 2𝜆
4𝜋𝜀0𝑎= 𝜆 2𝜋𝜀0𝑎
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Como 𝜆 = 𝑄/𝜋𝑎, pois meia circunferência mede 𝜋𝑎, temos:
𝐸 = 𝑄
2𝜋2𝜀0𝑎2
Esse é o módulo do campo sobre −𝑞. Se quisermos saber a força, basta lembrar que 𝐹 = 𝑞𝐸, logo:
𝐹 = 𝑞𝑄 2𝜋2𝜀0𝑎2
Agora, vamos voltar para a análise gráfica do campo elétrico. Vamos esboçar como é o comportamento do campo elétrico ao redor de um dipolo. Sabemos que as linhas de campo abandonam as cargas positivas e chegam nas negativas. Logo, para um dipolo esperamos que o campo se comporte como a figura a seguir.
Como será a distribuição de linhas para o caso de duas partículas idênticas? Supondo que essas duas partículas sejam positivas, sabemos que nenhuma linha de campo poderá chegar até elas. Assim, teremos uma distribuição de campo da seguinte forma:
Note que entre duas cargas iguais existe uma região onde o campo elétrico é nulo. O que acon- teceria se colocássemos uma terceira carga positiva nessa região? E uma carga negativa? Como seria o campo resultante se ao invés de duas cargas positivas fossem duas cargas negativas?
Para concluir nosso estudo a cerca desse tópico vamos nos lembrar que o campo elétrico transmite a força elétrica. Sendo assim, podemos representar as linhas de campo como linhas de força. Num campo elétrico, a força sempre é paralela ás linhas de campo, direcionadas no mesmo sentido dessas.
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O Fluxo Elétrico
Nessa seção iremos analisar de modo mais geral o campo elétrico para sistemas que pos- suam alta simetria. Para iniciar vamos imaginar certa superfície de área 𝐴 que está imersa numa região do espaço onde existe um campo elétrico. Tomando elementos infinitesimais de área, veremos que linhas de campo elétrico irão atravessá-los, como mostra a figura. O ângulo 𝜃 é formado pela direção do vetor normal à superfície, 𝑛⃗⃗, com a direção do vetor do campo elé- trico 𝐸⃗⃗. Como temos certa quantidade, campo elétrico, atra- vessando determinada área, temos um fluxo de campo elé- trico:
𝑑𝜙 = 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑛⃗⃗𝑑𝐴 = 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗
ou ainda
𝑑𝜙 = 𝐸𝑑𝐴 cos 𝜃 A unidade de fluxo elétrico é 𝑁𝑚2/𝐶.
Podemos imaginar algo diferente agora. Ao invés de uma superfície bidimensional, vamos tomar uma superfície tridimensional, como uma azeitona. Por que uma azeitona? Porque é o que se parece com o desenho que fiz a seguir. Nesse caso, o campo elétrico atravessando a azeitona irá encontrar elementos de área que possuem seus vetores normais apontando em direções opostas. Vejamos a imagem.
O campo elétrico está direcionado, mais ou me- nos, da esquerda para a direita. Veja que de um lado, o campo elétrico encontra um elemento de área cujo vetor normal aponta no sentido oposto, enquanto que do outro lado o vetor nor- mal aponta na mesma direção do campo. É im- portante atentar para isso. Para determinar o fluxo sobre toda essa superfície, devemos aplicar uma integral fechada (pois a superfície é fechada):
𝜙 = ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗
. 𝑆
em que 𝑆 representa a superfície. Vejamos um exemplo mais simples e geral onde nossa super- fície fechada é uma esfera de raio 𝑟.
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No interior da esfera existe uma carga positiva, de modo que o campo elétrico seja direcionado para fora. Pela definição de fluxo, temos:
𝜙 = ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗
. 𝑆
= 𝐸𝐴
Aqui, a área 𝐴 é sempre a área da superfície que envolve a carga (ou a superfície por onde o campo elétrico atravessa). Como a superfície é uma esfera, sua área é igual a 4𝜋𝑟2. Portanto:
𝜙 = 𝐸4𝜋𝑟2
Ótimo, esse é o fluxo. Simples assim. Entretanto, vamos prosseguir com o raciocínio substituindo o valor do campo elétrico pela expressão fornecida pela lei de Coulomb. Então:
𝐸 = 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2 de modo que o fluxo se torna:
𝜙 = 𝑞
4𝜋𝜀0𝑟24𝜋𝑟2= 𝑞 𝜀0
Esse resultado é interessante. Bem interessante na verdade, pois nos diz que o fluxo elétrico independe do tamanho da superfície. Na verdade, o fluxo depende exclusivamente da carga que está dentro dessa superfície. Podemos estender esse conceito ainda mais, para o caso em que não existe apenas uma carga, mas várias cargas. Nesse caso, a carga interna total à superfície será a soma das 𝑛 cargas internas. Juntando as duas formas de descrever o fluxo, obtemos:
𝜙 = ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ =Σ𝑄𝑖𝑛 𝜀0
. 𝑆
onde Σ𝑄𝑖𝑛 é o somatório de todas as cargas que estão dentro da superfície. Então:
∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ =Σ𝑄𝑖𝑛 𝜀0
. 𝑆
Esse resultado é tão importante que resolvi emoldura-lo. A equação acima é denominada lei de Gauss, e nos auxilia a calcular o campo elétrico quando estamos diante de um sistema de grande simetria. Basicamente, para calcular a lei de Gauss devemos observar se conseguimos desenhar uma superfície em torno da carga, ou das cargas, que está gerando o campo elétrico. No caso visto, a superfície em torno da carga positiva era uma superfície esférica. Nem sempre a super- fície terá de ser esférica, mas sempre terá de ser simétrica (calcular áreas de coisas não simétri- cas é difícil). Chamamos essa superfície de superfície gaussiana, ou simplesmente gaussiana.
Além de ser uma lei que nos auxilia a calcular o campo elétrico facilmente, a lei de Gauss é a primeira das quatro equações de Maxwell. Nosso objetivo nesse curso é descrever e compreen- der essas quatro equações.
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Temos uma superfície esférica condutora de raio 𝑅. Uma carga 𝑄 está presente na parte externa da esfera. Vamos determinar qual a intensidade do campo elétrico em uma região den- tro da esfera, a uma distância 𝑟1 do centro, e em uma região fora da esfera, a uma distância 𝑟2. Para isso, devemos desenhar duas superfícies gaussianas. A primeira passa por 𝑟1 e a segunda por 𝑟2. Note que minhas superfícies são esféricas, pois englobam a esfera condutora. Sendo assim, posso aplicar a lei de Gauss para cada uma das superfícies (representadas por 𝑆1 e 𝑆2). Para a primeira:
∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗1= 0
. 𝑆1
o que implica que o campo é nulo no interior da esfera condutora. Por que? Lembre-se que a lei de Gauss relaciona o campo elétrico com a carga presente no interior da gaussiana. Como não há carga interna à 𝑆1, o campo elétrico é zero!
E quanto à 𝑆2? Nesse caso, a carga 𝑄 está no interior da segunda superfície, de modo que a lei Gauss nos fornece:
∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗2
. 𝑆2
= 𝑄 𝜀0 Como 𝑑𝐴⃗2= 4𝜋𝑟22, temos:
𝐸 = 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟22 que nada mais é do que a lei de Coulomb!
Quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico em seu interior é nulo. Isso ocorre por conta de as cargas migrarem para a parte mais externa de sua superfície, de modo que qualquer gaussiana interna terá uma carga líquida nula. Qual o campo elétrico no interior de um condutor quando uma carga negativa é inserida nele?
Bom, como desejamos calcular o campo elétrico no interior do condutor podemos propor que desenhemos uma superfície gaussiana de modo a englobar a carga. A superfície está desenhada em vermelho:
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Assim, nosso argumento implica que existe um campo elétrico gerado pela carga −𝑞. Entretanto isso está errado! Vimos acima que a lei de Gauss implica que o campo elétrico no interior de um condutor é nulo, e isso é verdade sempre! Então o que há de errado? Será que o simples fato de inserir uma carga muda o conceito inserido por Gauss? Lembremos que o condutor está inicial- mente em equilíbrio, ou neutro. Porém, quando inserimos uma carga negativa em seu interior elas irão atrair, para a parte interna do condutor, as cargas positivas e repelir, para a parte ex- terna, as negativas. A distribuição de cargas será:
Lembremos que o campo elétrico depende de todas as cargas internas à gaussiana. Assim, te- mos:
∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ =𝑞𝑖𝑛𝑡 𝜀0 = − 𝑞
𝜀0+ 𝑞 𝜀0= 0
. 𝑆
como a carga positiva total é igual à carga negativa total no interior do condutor, então a carga líquida interna é nula. Assim, o campo é nulo. Generalizando para uma esfera condutora de raio 𝑅, podemos descrever o comportamento do campo elétrico em função da distância 𝑟 como:
E se tivermos uma esfera isolante? O campo em seu interior permanecerá nulo? Como será o gráfico acima para esse caso?
A grande diferença aqui é que em um isolante as cargas não conseguem se mover. Por- tanto, uma carga inserida no interior de um isolante (mesmo que esse seja totalmente sólido)
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permanecerá em repouso. Usaremos novamente o exemplo de uma esfera. Supondo que essa esfera tenha raio 𝑎, o campo elétrico gerado em um ponto P a uma distância 𝑟 do centro da esfera é:
𝐸⃗⃗(𝑟) = 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2𝑟̂
onde 𝑞 é a carga total da esfera. Aqui, estou supondo que o ponto P esteja fora da esfera.
E se o ponto P estiver dentro da esfera, ele estará sujeito a um campo? Como a esfera é isolante, as cargas não serão atraídas ou repelidas pelas cargas internas. Assim, o ponto P está sujeito à um campo elétrico. A intensidade desse campo dependerá da quantidade de cargas internas à superfície gaussiana, e essa quantidade depende do volume que ocupam. Quanto maior a es- fera, maior o volume, mais cargas podem ser colocadas em seu interior. Quanto menor a esfera, menos cargas. Da mesma maneira, há uma quantidade maior de cargas na superfície da esfera do que em seu centro. Assim, a carga total interna à nossa gaussiana depende da densidade de cargas volumétrica. A seguir está representada uma gaussiana no interior da esfera a uma dis- tância 𝑟 do centro. Quantas cargas cabem no interior dessa gaussiana?
Para responder essa questão, devemos recorrer à densidade volumétrica, definida como 𝜌 = 𝑞/𝑉, onde 𝑉 é o volume delimitado pela nossa gaussiana. Assim:
𝜌 = 𝑞 4 3 𝜋𝑟3 o que fornece uma carga interna à superfície igual a
𝑞 =4 3𝜋𝑟3𝜌 Usando esse resultado na lei de Gauss
∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ =4𝜋𝑟3𝜌 3𝜀0
Sendo a integral de 𝑑𝐴⃗ igual à área da gaussiana, isso é 4𝜋𝑟2, temos:
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𝐸 = 4𝜋𝑟3𝜌 4𝜋𝑟23𝜀0= 𝑟𝜌
3𝜀0
A densidade 𝜌 representa a densidade da esfera isolante, nesse caso:
𝜌 = 𝑞 4 3 𝜋𝑎3 Usando no campo elétrico:
𝐸 = 𝑞𝑟 4𝜋𝜀0𝑎3 Ou em termos de vetores:
𝐸⃗⃗ = 𝑞𝑟 4𝜋𝜀0𝑎3𝑟̂
Logo, o campo elétrico aumenta linearmente com o tamanho da gaussiana e alcança o valor máximo em 𝑟 = 𝑎. Para 𝑟 > 𝑎, o campo elétrico decai.
Vamos usar um argumento de simetria e analisar qual o fluxo total de campo elétrico atravessando uma superfície cilíndrica. Nossa superfície gaussiana será uma superfície cilíndrica.
O campo elétrico se desloca da esquerda para a direita. Uma das bases do cilindro possui o vetor normal apontado para a esquerda, enquanto que a outra base possui o vetor normal apontado para a direita (no mesmo sentido do campo). A base do cilindro possui todos os vetores normais perpendiculares à direção do campo elétrico. Portanto, temos três regiões diferentes para ana- lisar o fluxo: duas bases e a lateral.
Como o fluxo é obtido através de um produto escalar, temos 𝜙 = 𝐸𝐴 cos 𝜃. Para a pri- meira região, que diz respeito à base do cilindro cujo vetor normal aponta para a esquerda, temos:
𝜙1= 𝐸𝐴 cos(180) = −𝐸𝐴
Para a região dois, em que os vetores normais são perpendiculares à direção do campo, temos:
𝜙2= 𝐸𝐴 cos(90) = 0
Por fim, na região três, em que o vetor normal aponta no mesmo sentido do campo:
𝜙3= 𝐸𝐴 cos(0) = 𝐸𝐴 Logo, o fluxo total sobre a superfície é:
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𝜙 = 𝜙1+ 𝜙2+ 𝜙3= −𝐸𝐴 + 0 + 𝐸𝐴 = 0
Fluxo diz respeito a algo entrando ou saindo de uma superfície. Nesse caso, o que entra ou sai da superfície é o campo elétrico. Note que a quantidade de linhas de campo que entram por um lado do cilindro é igual a quantidade de linhas de campo que saem pelo outro lado. Logo, o fluxo total é zero. Essa é a ideia da lei de Gauss. Um fluxo elétrico só existe se a gaussiana engloba cargas elétricas que não se anulam.
O próximo exemplo nos mostra como obter o campo elétrico gerado por uma placa, ou superfície. Cargas elétricas estão distribuídas pela placa, de modo que a densidade superficial é dada por 𝜎 = 𝑞/𝐴. Queremos determinar o campo em uma região próxima à placa, a uma dis- tância 𝑑. Para isso, irei desenhar uma superfície gaussiana cilíndrica que atravessa a placa (optei por uma superfície cilíndrica devido à facilidade do cálculo). Por simetria, os dois lados da super- fície gaussiana, separados pela placa, são exatamente iguais. Supondo que a carga da placa seja positiva, as linhas de campo apontaram no mesmo sentido dos vetores normais das bases da gaussiana.
Por Gauss, obtemos:
𝜙 = 𝐸2𝐴
onde o termo 2 surge devido ao fato de que estamos contando a base inferior e superior da gaussiana. Pela densidade de cargas, sabemos que 𝑞 = 𝜎𝐴, de modo que a lei de Gauss se torna:
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𝜙 =𝜎𝐴 𝜀0 Igualando os dois valores de fluxo, encontramos:
𝐸2𝐴 =𝜎𝐴 𝜀0 𝐸 = 𝜎
2𝜀0
Agora, vamos colocar duas placas em paralelo, em que uma possui uma densidade super- ficial de cargas positiva, +𝜎, e a outra negativa, −𝜎. As placas estão separadas por uma distância 𝑑.
Novamente irei recorrer ao argumento de simetria para determinar o campo elétrico na região entre as placas e fora delas. O diagrama a seguir representa as linhas de campo das duas placas.
As linhas de campo (setas) verticais à esquerda correspondem às cargas da placa negativa (placa inferior). As linhas verticais à direita são provenientes das cargas positivas da placa superior.
Cada seta possui um valor dado por 𝜎/2𝜀0. Assim, quando tivermos duas setas em sentidos opostos, os valores serão subtraídos. Se as setas estiverem no mesmo sentido, os valores serão somados.
↓ − ↑ = 𝜎 2𝜀0− 𝜎
2𝜀0= 0
↓ + ↓ = 𝜎 2𝜀0+ 𝜎
2𝜀0= 𝜎 𝜀0
↑ − ↓ = 𝜎 2𝜀0− 𝜎
2𝜀0= 0
Conclusão: existe campo elétrico apenas na região entre as placas e seu valor é
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𝐸 = 𝜎 𝜀0 A configuração do campo entre as placas é:
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Potencial Elétrico
Quando falamos em movimento, vem em nossas cabeças o conceito de trabalho. Se uma partícula se move de um ponto a outro, sujeita a ação de uma força, o trabalho sobre ela é:
𝐴→𝐵𝑊 ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗
𝐵 𝐴
Se nossa partícula em questão for uma carga 𝑞 e quisermos traze-la do “infinito” até uma posição 𝑟 nas proximidades de uma segunda carga 𝑞0, devemos realizar uma força igual a
𝐹 = 𝑞𝑞0 4𝜋𝜀0𝑟2 de modo que o trabalho será:
𝑊 = − ∫ 𝑞𝑞0 4𝜋𝜀0𝑟2𝑑𝑟
𝑟
∞
= 𝑞𝑞0 4𝜋𝜀0𝑟
O sinal de negativo surge por conta de que estamos nos movendo no sentido oposto ao vetor deslocamento. O resultado acima nos fornece a energia potencial elétrica, que representaremos por 𝑈. Assim:
𝑈 = − ∫ 𝑞𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗
𝑟
∞
onde escrevemos 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗. Se a partícula está sendo levada de uma posição 𝑟 até o infinito (onde ela deixa de sofrer a ação de qualquer força), teremos:
𝑈 = ∫ 𝑞𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗
∞ 𝑟
A energia potencial surge de um produto escalar, logo ela é um escalar, medido em joule (J). Outro fator importante é que a força elétrica é de natureza conservativa, o que vai facilitar nosso trabalho. Para uma força conservativa, o trabalho independe da trajetória descrita pela partícula, de modo que só devemos levar em consideração sua posição final e inicial.
Podemos tomar a energia potencial por unidade de carga elétrica. Por exemplo, a energia responsável por mudar o estado da partícula 𝑞 é:
𝑉 =𝑈
𝑞 = 𝑞0 4𝜋𝜀0𝑟
esse resultado é denominado potencial elétrico, às vezes chamado de tensão elétrica, e é me- dido em joule por coulomb ou em volts (V). A partir do potencial elétrico podemos definir uma nova grandeza que é utilizada para descrever a energia de partículas atômicas. Essa grandeza se chama elétron-volt (eV). Um elétron-volt é a energia cinética adquirida por um elétron quando submetido à uma tensão de 1 volt. Temos que 1 eV = 1,6 × 10−19 J.
Voltemos ao caso onde temos uma esfera condutora. Sabemos que as cargas irão se con- centrar na camada externa, de modo que o campo elétrico no interior do condutor é zero. Para
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um ponto P situado a uma distância 𝑟 da esfera, o potencial, gerado pelas cargas elétrica, é (aqui abro um parêntesis, pois quando eu citar apenas “potencial” estou me referindo ao potencial elétrico, ou à tensão):
𝑉𝑝= 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟
sendo 𝑄 a carga total sobre a esfera. A partir da definição de potencial (𝑉 = 𝑈/𝑞0), podemos obter uma nova expressão para o trabalho. Tomando 𝑊 ≡ 𝑈, obtemos que
𝑊 = 𝑞0𝑉
Escrevendo o potencial em termos da definição da energia potencial elétrica, temos:
𝑉(𝑟) =𝑈(𝑟)
𝑞0 = − ∫ 𝑞0𝐸⃗⃗
𝑞0 ∙ 𝑑𝑟⃗
𝑟
∞
𝑉(𝑟) = − ∫ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗
𝑟
∞
Se tomarmos dois pontos, cada um com um potencial, teremos:
Δ𝑉 = 𝑉𝑓− 𝑉𝑖= − ∫ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗
𝑟𝑓 𝑟𝑖
A figura ao lado mostra uma carga positiva 𝑞 e dois pontos espe- cíficos, P e Q, em uma região de seu campo elétrico (não con- funda o ponto Q como sendo uma segunda carga). Note que P e Q estão a mesma distância de 𝑞, o que implica que os potenciais nesses dois pontos são exatamente iguais. Mesmo que estejam em posição diferentes, o que implica em vetores de posição di- ferentes, o potencial é um escalar, de modo que só nos interessa seu valor algébrico. Dizemos que os pontos P e Q estão sobre uma mesma superfície equipotencial. Uma superfície equipo- tencial é aquela onde todos os seus pontos possuem o mesmo potencial. As superfícies equipo- tenciais estão representadas por círculos tracejados em torno da carga. Para um dipolo, as su- perfícies equipotenciais são mostradas a seguir:
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Pela notação de trabalho em termos do potencial, podemos descrever que o trabalho é diferente de zero quando existe uma variação do potencial elétrico. Por exemplo, vejamos o caso de uma carga se mo- vendo sobre uma superfície equipotencial gerada por uma segunda carga +𝑞. O movimento parte da posição A e ter- mina na mesma posição, percorrendo um caminho fe- chado. O potencial em A é dado por 𝑉𝐴. Assim, temos
Δ𝑉 = 𝑉𝐴− 𝑉𝐴= − ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ = 0
𝐴 𝐴
e o trabalho fica
𝑊 = 𝑞0Δ𝑉 = 𝑞0(𝑉𝐴− 𝑉𝐴) = 0
Disso concluímos que, por mais que tenha ocorrido movimento, o trabalho depende somente da posição final e inicial, ou no nosso caso mais prático o trabalho depende do potencial final e inicial (o trabalho ocorre quando existe uma diferença de potencial).
Retomemos à definição de potencial, mais precisamente a diferença de potencial, em ter- mos da integral do campo elétrico:
Δ𝑉 = 𝑉𝐵− 𝑉𝐴= − ∫ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗
𝐵 𝐴
Essa equação, basicamente, diz que a integral do campo elétrico em função da posição nos for- nece a diferença de potencial. Sabemos, através do cálculo, que a integral também é chamada de antiderivada. Isso quer dizer que, se temos uma determinada função 𝑓(𝑥) e a integramos obtemos uma nova função 𝐹(𝑥) + 𝐶, onde 𝐶 é uma constante arbitrária. Se derivarmos essa nova função, iremos retornar à função 𝑓(𝑥) original. Portanto, se integrarmos o campo elétrico em função da posição, obtemos a diferença de potencial. Se derivarmos o potencial em função da posição, encontramos o campo elétrico.
𝑑𝑉
𝑑𝑟𝑟̂ = −𝐸⃗⃗(𝑟)
de modo que a coordenada 𝑟 é generalizada. No caso real, o campo elétrico não se propaga somente em uma superfície bidimensional, como descrevemos aqui. O campo se propaga em todas as direções do espaço. Assim, existem diferenças de potencial em todas das direções do espaço. Para cada ponto do espaço, podemos atribuir um valor de potencial. Portanto, a deri- vada total 𝑑𝑉/𝑑𝑟 pode ser descrita como derivadas parciais em função de cada coordenada es- pacial:
𝐸⃗⃗ = − (𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑥̂ +𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑦̂ +𝜕𝑉
𝜕𝑧𝑧̂)
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O termo entre parêntesis é denominado gradiente do potencial elétrico, e pode ser expresso por
∇𝑉. Logo:
𝐸⃗⃗ − ∇𝑉
Com essa definição, podemos descrever uma segunda unidade de medida para o campo elétrico, que é o volt por metro (V/m).
Aprendemos que no interior de um condutor o campo elétrico tem de ser zero. Se olhar- mos para o campo em termos do potencial, vemos que o potencial no interior do condutor tem de ser constante. Por que? Vimos que o campo elétrico é igual à derivada do potencial, e a de- rivada de um valor constante é zero. Logo, se medirmos o potencial em qualquer ponto do inte- rior de um condutor deveremos encontrar o mesmo valor. Para um condutor esférico de raio R, o gráfico do potencial é o seguinte:
Dizemos que existe uma blindagem elétrica no interior de um condutor. Se você está den- tro de um automóvel e um raio atinge a lataria, você não levará choque. Você pode achar que os pneus o protegem, por serem feitos de um material isolante. Mas não são os pneus que fazem isso. O que lhe protege é a própria lataria do automóvel, que é um material condutor. Por ser um condutor, todo o excesso de cargas irá se concentrar na parte externa do veículo, mantendo o potencial constante no interior e impedindo que você leve choque. Esse mecanismo de blin- dagem de materiais condutores é denominado gaiola de Faraday.
O potencial gerado por uma carga puntiforme a uma distância 𝑟 é 𝑉(𝑟) = 𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
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Graficamente, o potencial de uma carga positiva e negativa assume a seguinte forma:
E no caso de existirem várias cargas? Qual será o potencial resultante em determinado ponto P? Na imagem que segue, temos várias cargas po- sitivas e negativas em uma região do espaço, de modo que cada uma aplica certo potencial no ponto P. Para a carga 𝑞𝑖, uma carga genérica, o potencial em P é dado por:
𝑉𝑖(𝑟) = 𝑞𝑖 4𝜋𝜀0|𝑟⃗ − 𝑟⃗𝑖|
Aqui o princípio da superposição também irá valer. Con- tudo o potencial é um escalar e isso fará com que a soma dos 𝑛 potenciais seja uma soma algé- brica simples. Assim, o potencial em P gerado por 𝑛 cargas 𝑞𝑖 no espaço é:
𝑉𝑃 = ∑ 𝑞𝑖 4𝜋𝜀0|𝑟⃗ − 𝑟⃗𝑖|
𝑛
𝑖=1
Por exemplo, temos uma distribuição de 12 cargas de valor −𝑒 ao redor de uma circunferência de raio 𝑅. Qual o potencial no centro 𝐶 da circunferência? Sabemos que uma carga qualquer está a uma dis- tância 𝑅 do centro, logo o potencial gerado por essa carga é:
𝑉 = − 𝑒 4𝜋𝜀0𝑅 Como existem 12 cargas, fazemos:
𝑉𝐶= ∑ − 𝑒 4𝜋𝜀0𝑅
12
𝑖=1
= − 12𝑒 4𝜋𝜀0𝑅
Se quisermos trazer várias cargas do “infinito” até determinada configuração, onde exis- tem outras cargas, teremos de aplicar certo trabalho sobre elas. A energia potencial para duas cargas 𝑞𝑖 e 𝑞𝑗 será:
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𝑈𝑖𝑗 = 𝑞𝑖𝑞𝑗 4𝜋𝜀0|𝑟⃗𝑖− 𝑟⃗𝑗|
A energia potencial 𝑈𝑖𝑗, que a carga 𝑖 aplica sobre 𝑗, é igual à energia potencial 𝑈𝑗𝑖, que a carga 𝑗 aplica em 𝑖. Sendo assim, se formos tomar a energia potencial total do sistema teremos de calcular sua média, dividir por um fator 2, para nos assegurar que não estaremos contando o mesmo resultado duas vezes. Assim, a energia potencial total do sistema é:
𝑈 =1
2∑ 𝑞𝑖𝑞𝑗 4𝜋𝜀0𝑟𝑖𝑗
𝑖,𝑗 𝑖≠𝑗
No caso a seguir temos três cargas distribuídas em posições que formam um triângulo equilátero de lado 𝑑. As cargas possuem os seguintes valores:
𝑞1= 𝑞 𝑞2= −4𝑞
𝑞3= 2𝑞
Vamos admitir que 𝑞1 esteja inicialmente em repouso e que ire- mos mover as outras duas cargas do infinito até que fique na po- sição triangular mostrada ao lado. Primeiro, trazemos a carga 𝑞2 e a colocamos em seu lugar. Em seguida trazemos a carga 𝑞3. Para mover essa última carga, precisamos fazer um trabalho igual a soma dos trabalhos necessários para aproximar 𝑞3 de 𝑞1 e 𝑞3 de 𝑞2. A soma das energias potencias de cada par de carga será a energia potencial total do sistema.
𝑈 = 𝑈12+ 𝑈13+ 𝑈23
sendo 𝑈12 o trabalho feito para aproximar a carga 𝑞2 de 𝑞1. Logo:
𝑈 = 1
4𝜋𝜀0𝑑(−4𝑞2+ 2𝑞2− 8𝑞2) = − 10𝑞2 4𝜋𝜀0𝑑
Aqui voltamos ao mesmo problema que encaramos ao trabalhar com o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas. Nesse caso, a quantidade de cargas envolvida é tão grande que o cálculo por superposição se torna impossí- vel. Mas sabemos como contornar esse problema, e basica- mente consiste em tomar o somatório como uma integral. Ve- jamos o caso de uma barra de comprimento 𝐿 que esteja re- pleta de cargas elétricas. Essas cargas irão gerar um potencial em um ponto P a uma distância 𝑑 da barra. Colocando a barra sobre um eixo 𝑥, tomamos um pequeno elemento de compri- mento 𝑑𝑥 o qual possui um pequeno elemento de carga 𝑑𝑞. A
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distância desse elemento de carga até o ponto P é 𝑟, e pela imagem vemos que 𝑟 é a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujo valor é:
𝑟 = √𝑥2+ 𝑑2
Como a carga está distribuída sobre uma superficial linear, escrevemos a carga em termos da densidade linear, de modo que 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥. Portanto, o potencial em P é ocasionado por todas as cargas na barra. Logo:
𝑉𝑃= ∫ 1 4𝜋𝜀0
𝜆𝑑𝑥
√𝑥2+ 𝑑2
𝐿 0
Note que o limite de integração vai de 0, o comprimento mínimo da barra, até 𝐿, o comprimento máximo. Resolvendo essa integral em função de 𝑥 obtemos:
𝑉𝑃 = 𝜆
4𝜋𝜀0ln [𝐿 + √𝐿2+ 𝑑2
𝑑 ]
Sabemos que um disco gera um campo elétrico em um ponto P igual a 𝐸𝑧 = 𝜎
2𝜀0[1 − 𝑧
(𝑅2+ 𝑧2)1/2] Qual será o potencial nesse ponto P?
Sabemos que o cálculo do potencial a partir do campo elétrico é dado por 𝑉 = − ∫ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝓇⃗
Como 𝑑𝓇⃗, para esse caso, é o diferencial da posição do ponto P (optei por escrever 𝓇 ao invés de 𝑟 para não confundir com o raio do disco), temos 𝑑𝓇⃗ = 𝑑𝑧⃗. Assim, basta integrarmos o campo elétrico em função de 𝑧:
𝑉(𝑧) = 𝜎
2𝜀0[(𝑅2+ 𝑧2)1/2− 𝑧]
Podemos até mesmo calcular o potencial de um anel carregado. Como já sabemos o valor do campo, basta integrar em função da distância até o ponto em que desejamos obter o potencial.
Se fizer isso, verá que o potencial gerado por um anel em um ponto P, que está a uma distância 𝑥 do centro do anel será:
𝑉(𝑥) = 1 4𝜋𝜀0
𝑞
√𝑎2+ 𝑥2 onde 𝑎 é o raio do anel.
Exercício: A figura a seguir mostra três hastes isolantes muito finas, todas com compri- mento 𝐿, que estão uniformemente carregadas com densidades lineares de carga 𝜆1, 𝜆2 e −𝜆1, respectivamente. As hastes são posicionadas de acordo com a figura. Queremos determinar a intensidade do campo elétrico produzido no ponto 𝑂, centro geométrico da figura, e o potencial nesse mesmo ponto.
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No ponto 𝑂, o campo elétrico é dado pelo princípio da superposição:
𝐸⃗⃗𝑂 = 𝐸⃗⃗+𝜆1+ 𝐸⃗⃗+𝜆2− 𝐸⃗⃗−𝜆1 E o potencial:
𝑉𝑂 = 𝑉+𝜆1+ 𝑉+𝜆2+ 𝑉−𝜆1
Vamos tomar o campo elétrico de uma barra ao longo de sua mediatriz:
O elemento de campo é dado por
𝑑𝐸 = 𝜆𝑑𝑧 4𝜋𝜀0(𝑧2+ 𝑥2)
Note que o campo resultante é direcionado no sentido de 𝑥, logo 𝑑𝐸𝑥= 𝑑𝐸 cos 𝜃. Note que cos 𝜃 = 𝑥/(𝑧2+ 𝑥2)1/2. Portanto:
𝐸𝑥 = 2 ∫ 𝜆𝑥𝑑𝑧
4𝜋𝜀0(𝑧2+ 𝑥2)3/2= 𝜆𝑥𝐿 4𝜋𝜀0
1 𝑥2[(𝐿
2)
2
+ 𝜆2]
1/2 𝐿/2
0
Como tomei o campo ao longo da mediatriz, a integral foi feita de 0 a 𝐿/2 e então multiplicamos a integral por 2 para tomar os dois pedaços do fio. Agora recorremos à superposição. O campo gerado pela haste horizontal superior e inferior aponta no sentido de −𝑘̂ (pois estamos supondo o eixo 𝑧 como horizontal). O campo gerado pela haste vertical aponta no sentido de +𝑖̂. Assim:
𝐸⃗⃗𝑂 = 𝐸⃗⃗+𝜆1+ 𝐸⃗⃗+𝜆2− 𝐸⃗⃗−𝜆1 = 2 [𝜆1(𝐿 2) 𝐿 4𝜋𝜀0
1 (𝐿
2)
3
√2
] (−𝑘̂) +𝜆2(𝐿 2) 𝐿 4𝜋𝜀0
1 (𝐿
2)
3
√2 𝑖̂
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𝐸⃗⃗𝑂 = 1
𝜋𝜀0𝐿√2(𝜆2𝑖̂ − 2𝜆1𝑘̂) 𝐸⃗⃗𝑂 = √2
2𝜋𝜀0𝐿(𝜆2𝑖̂ − 2𝜆1𝑘̂) O potencial ao longo da mediatriz é:
𝑉 = 2 ∫ 𝜆2𝑑𝑧
4𝜋𝜀0(𝑧2+ 𝑥2)1/2= 𝜆2 2𝜋𝜀0ln
[
(𝐿2) +√(𝐿2)
2
+ 𝑥2 𝑥
]
𝐿/2 0
Logo:
𝑉𝑂= 𝑉+𝜆2 = 𝜆2
2𝜋𝜀0ln[1 + √2]
Exercício 2: Seja uma haste de comprimento 𝑎 carregada uniformemente com densidade 𝜆. Qual o potencial e o campo elétrico resultante num ponto P ao longo do prolongamento da haste, situado a uma distância 𝑎 da extremidade da barra?
𝐸𝑃=?
Usando a densidade de cargas:
𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥 A distância até o elemento 𝑑𝑞 é:
𝑑𝐸 = 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑑𝑥2 → |𝐸| = ∫ 1 4𝜋𝜀0
𝑑𝑞 𝑥2
|𝐸| = 1
4𝜋𝜀0∫𝜆𝑑𝑥 𝑥2 = 𝜆
4𝜋𝜀0∫ 𝑑𝑥 𝑥2 = 𝜆
4𝜋𝜀0[−1 𝑥]
𝑎 𝑎+𝐿
= 𝜆 4𝜋𝜀0[1
𝑎− 1 𝑎 + 𝐿]
𝑎+𝐿 𝑎
tomando 𝜆 = 𝑄/𝐿
|𝐸| = 𝑄 4𝜋𝜀0𝐿[1
𝑎− 1 𝑎 + 𝐿]
