T6: A Teoria Cinética dos Gases

T6: A Teoria Cinética dos Gases

• Número de Avogadro

• Gases Ideais

• Pressão, Temperatura e Energia Cinética Média

• Livre Caminho Médio

• Distribuição das Velocidades Moleculares

• Calores Específicos Molares de um Gás Ideal

• Graus de Liberdade

• Expansão Adiabática de um Gás Ideal

Curso de Física Básica – Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor – H. Moysés Nussenzveig

Número de Avogadro

Termodinâmica (fenomenologia) variáveis macroscópicas

( p, V, T )

Lei Zero: equilíbrio térmico, temperatura

Primeira Lei:

ΔE

= E

− E

= Q − W

Teoria Cinética dos Gases: estudo dos gases do ponto de vista molecular Quantidade de uma substância:

1mol=número de átomos em uma amostra de 12g de ¹²C Número de Avogadro:

N

= 6,02 × 10

mol

n = N N_A

número de mols da amostra

n :

número de moléculas da amostra

N :

n = M_am

M = M_am mN_A

massa da amostra

M

:

massa molar

M :

massa molecular

m :

Hipóteses básicas:

1. O gás é constituído de um número muito grande de moléculas idênticas (1 mol do gás contém 6,02 X 10²³ moléculas).

2. O tamanho de uma molécula de gás é desprezível comparado com a distância média entre as moléculas.

3. As moléculas estão em movimento constante em todas as direções.

4. As forças de interação entre as moléculas são de curto alcance, atuando somente durante as colisões.

5. Tanto as colisões entre as moléculas como as colisões entre as moléculas e as paredes do recipiente são perfeitamente elásticas.

Gases Ideais

Gás ideal: baixa densidade

Lei dos Gases Ideais:

pV = nRT

T : n : número de mols

volume

V :

constante dos gases ideais

R = 8,31 J/mol K :

Lei de Boyle:

O volume de uma dada quantidade de gás, a temperatura constante, varia inversamente com a pressão.

Lei de Charles:

A pressão constante, o volume de um gás é diretamente proporcional à temperatura absoluta.

pV = nRT = N

N_A RT = N RN_A T = NkT Outra forma:

constante de Boltzmann

k = R

N_A = 1,38 × 10⁻²³J/K :

Um estado de equilíbrio termodinâmico fica caracterizado por qualquer par das variáveis

p, V, T

Expansão isotérmica de um gás ideal

p

V i

f

V_i V_f

isoterma (T constante)

pV = nRT → p = nRT V W = ∫

V_f

V_i

p dV = nRT ∫

V_f V_i

dV

V = nRT ln (

V

V

)

expansão

V

> V

:

compressão

V

< V

:

Considerando um processo isobárico (pressão constante):

W = pΔV = p(V

− V

) = nRT

− nRT

= nRΔT

Partimos da lei dos gases ideais:

Trabalho:

Pressão, temperatura e velocidade quadrática média

Vamos considerar n moles (N=nNA moléculas) de um gás ideal, a uma temperatura T, ocupando um volume V=L³. As paredes do recipiente são lisas e as colisões das moléculas com as paredes do recipiente são elásticas.

A transferência de momentum linear para a molécula é:

Δp = p_f − p_i = − mv_x − mv_x = − 2mv_x

A transferência de momentum linear para a parede é:

Δp = p_f − p_i = mv_x − (−mv_x) = 2mv_x

Seja o intervalo entre duas colisões sucessivas da molécula com a parede de referência. Assim:

Δt

Δt = 2L v_x

A taxa de transferência de momentum linear para a parede é (pela 2^a lei de Newton):

Δp

Δt = 2mv_x

2L/v_x = = mv_x²

L = F_x

Curso de Física Básica – Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor – H. Moysés Nussenzveig

Considerando agora N=nNA moléculas temos para a pressão:

p = F_x

L² = 1 L² (

mv_x1²

L + mv_x2²

L + mv_x3²

L + … + mv_xN²

L ) = m L³

N=nN_A

∑i=1

v_xi² Vamos agora considerar a média:

N=nN_A

∑i=1

v_xi² = ^N=nN∑^A

i=1

(v_x²)_med = nN_A(v_x²)_med

Mas: (v²)_med = (v_x²)_med + (v_y²)_med + (v_z²)_med; (v_x²)_med = (v_y²)_med = (v_z²)_med → (v_x²)_med = 1

3 (v²)_med Assim: _{p =} ^m

L³

nN_A(v²)_med

3 = nmN_A(v²)_med

3V = nM(v²)_med 3V

Definindo a velocidade quadrática média

v

3V

Usando a lei dos gases ideais temos: _{pV = nRT →} ^nRT

V = nMv_rms²

3V → v_rms = 3RT M

Concluímos que a pressão está relacionada com o valor médio da transferência de momentum linear nas colisões das moléculas do gás com as paredes do recipiente.

Energia cinética de translação

Para 1 molécula:

K = mv

2 → (K )

= m(v

)

2 = mv

2

Mas:

v

= 3 RT

M → (K )

= m

2 3RT

M = 3 mRT

2M = 3 mRT

2mN

= 3

2 kT

Para N moléculas:

E

= N(K )

= 3 NkT

2 = 3nN

kT

2 = 3

2 nRT

A energia interna do gás ideal (monoatômico) depende apenas da temperatura T.

Desta forma, para um processo isotérmico (T=constante) temos que:

ΔE

= 0 → Q = W

Livre caminho médio

Livre caminho médio : distância média percorrida pela molécula entre duas colisões sucessivas.

λ

Condição de colisão: os centros O e O’ estão a uma distância d, ou de forma equivalente, o centro O’ toca a superfície de uma esfera (de exclusão ou influência) de raio d.

Cilindro de colisão, varrido pelo centro O da esfera de exclusão de raio d. O volume de exclusão é:

V_excl = 4π 3 d³

e é 8 vezes maior do que o volume efetivo V de uma molécula:

V = 4π

3 (d 2 )

3 = 1

8V_excl

área da seção transversal do cilindro de colisão

σ :

σ = πd²

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deve aumentar a medida que que o diâmetro da molécula de exclusão e a densidade do gás diminuem. Assim propomos:

λ

λ ∝ 1

σρ = 1 πd²N/V

Vamos “esticar” o cilindro de colisão e contar o número de colisões que ocorrem no intervalo de tempo . Neste caso, o número de colisões é igual ao número de moléculas dentro do cilindro, dado por:

Δt

número de colisões = ρσvΔt = N

V πd²vΔt

Assim, o livre caminho médio é igual ao caminho percorrido pela molécula de exclusão no intervalo de tempo dividido pelo número de colisões neste mesmo intervalo de tempo:

Δt

λ = v_medΔt

πd²N/Vv_relΔt = 1 2

1 πd²N/V

velocidade (média) em relação ao recipiente

velocidade relativa

v_rel = 2v_med

A distribuição das velocidades moleculares

P(v) = 4π ( M

2πRT)

3/2 v² exp

(− Mv² 2RT) Distribuição de Maxwell:

P(v) dv : fração de moléculas com velocidades entre e

v v + dv

∫

∞

0 P(v) dv = 1 Normalização:

v_med = ∫

∞

0 v P(v) dv = 8RT πM (v²)_med = ∫

∞

0 v² P(v) dv = 3RT

M → v_rms = 3RT M v_P = [ dP(v)

dv ]_v=v

P

= 0 → v_P = 2RT M Médias:

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Calores específicos molares de um gás ideal

Vamos considerar um gás ideal monoatômico (átomos). Para N átomos:

E

= N(K )

= 3 NkT

2 = 3nN

kT

2 = 3

2 nRT

calor específico molar a volume constante

c

:

T → T + ΔT p → p + Δp

V = constante → W = 0 Q = nc_VΔT

Pela primeira lei:

ΔE_int = Q − W =

V=cte⏟

Q → 3

2 nRΔT = nc_VΔT → c_V = 3

2 R = 12,5J/molK Para um gás ideal, qualquer processo: E_int = nc_VT → ΔE_int = nc_VΔT

é a mesma para os 3 processos

indicados na figura e para qualquer outro processo que conecte as duas isotermas.

ΔE

calor específico molar a pressão constante

c

:

T → T + ΔT

p = constante → W = pΔV = nRΔT V → V + ΔV

Q = nc_pΔT Pela primeira lei:

ΔE_int = Q − W → nc_VΔT = nc_pΔT − nRΔT → c_V = c_p − R → c_p = c_V + R

Graus de liberdade

átomo molécula diatômica molécula poliatômica

: número de graus de liberdade

f

Teorema de equipartição da energia:

Toda molécula tem um certo número f de graus de liberdade, que são formas independentes pelas quais a molécula pode armazenar energia. A cada grau de liberdade está associada, em média, uma energia de 1/2 kT por molécula ou 1/2 RT por mol.

Mecânica quântica: quantização da energia

f = 3

f = 3 + 2

f = 3 + 2 + 2 T R V

OHS: _{E =}

1/2RT

⏞mv² 2 +

1/2RT

mω²x² 2

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A expansão adiabática de um gás ideal

Como Q=0, a primeira lei, na forma diferencial, fica:

dE_int = − pdV → nc_VdT = − pdV → ndT = − pdV c_V Usando a lei dos gases ideais temos:

pV = nRT → d(pV) = nRdT → pdV + Vdp = nRdT → ndT = pdV + Vdp

R = pdV + Vdp c_p − c_V Assim:

−pdV

c_V = pdV + Vdp

c_p − c_V → pdV

c_V + pdV

c_p − c_V = − Vdp

c_p − c_V → c_p

c_V pdV = − Vdp → γ dV

V + dp

p = 0 Integrando: γ ln V + ln p = constante′ → ln(pV^γ) = constante′ → pV^γ = constante