Raciocínio Lógico e Quantitativo para Teste ANPAD
Módulo 01 – Lógica Formal
Prof. Thiago Carvalho
Sumário
1. Introdução – o que é lógica? ... 5
1.1 Como estudar lógica ... 5
2. Fundamentos de Lógica ... 7
2.1 Proposição Lógica ... 7
2.2 Frase ... 7
2.3 Oração ... 8
2.4 Princípios Fundamentais da Lógica ...10
2.4.1 Princípio da Identidade ...10
2.4.2 Princípio da Não Contradição ...10
2.4.3 Princípio do Terceiro Excluído ...10
2.5 Classificação das proposições: Simples e Composta ...10
2.5.1 Proposição Simples ...10
2.5.2 Proposição Composta ...10
2.6 Operações Lógicas ...12
2.6.1 Operador “NÃO” (negação) ...12
2.6.1.1 Negação de símbolos matemáticos ...14
2.6.2 Conectivo “ou” (disjunção ou disjunção inclusiva) ...14
2.6.3 Conectivo “ou exclusivo” (disjunção exclusiva) ...16
2.6.4 Conectivo “e” (conjunção) ...17
2.6.5 Conectivo “se … então …” (condicional) ...19
2.6.6 Conectivo “… se, e somente se, …” (bicondicional) ...21
2.6.7 Resumo dos operadores e dicas ...24
2.7 Tabela-Verdade ...24
2.7.1 Precedência de operadores ...27
2.7.1.1 Proposição composta avaliada em partes ...29
2.8 Propriedades dos operadores lógicos ...31
2.8.1 Idempotência – aplicam-se somente a (“ou”) e (“e”) ...31
2.8.2 Comutativa – aplicam-se somente a (“ou”), (“e”) e ...31
2.8.3 Associativa – aplicam-se somente a (“ou”), (“e”) ...32
2.8.4 Distributiva - aplicam-se somente entre (“ou”), (“e”) ...33
2.8.5 Absorção - aplicam-se somente entre (“ou”), (“e”) ...33
2.9 Leis de De Morgan ...33
2.10 Tautologia, contradição e contingência...34
2.11 Relações lógicas...35
2.11.1 Implicação Lógica...36
2.11.2 Equivalência Lógica ...37
2.11.3 Equivalências lógicas notáveis...38
2.11.3.1 Dupla negação ...38
2.11.3.2 Condicional ...38
2.11.3.3 Negação da condicional ...40
2.11.3.4 Bicondicional ...41
2.11.3.5 Negação da bicondicional ...41
2.12 Sentenças Abertas ...42
2.12.1 Implicação ...43
2.12.2 Equivalência ...43
2.12.3 Negação de sentenças abertas ...43
2.13 Exercícios ...45
3. Quantificadores ...96
3.1 Tipos de Quantificadores ...96
3.1.1 Quantificador Universal ( ) ...97
3.1.2 Quantificador existencial ( ) ...97
3.2 Negação dos quantificadores ...98
3.2.1 Negação do quantificador universal ...99
3.2.2 Negação do quantificador existencial ...100
3.2.3 Resumo ...102
3.3 Exercícios ...104
4. Lógica de argumentação ...125
4.1 Argumento ...125
4.2 Validade de um argumento ...126
4.3 Condicional associada a um argumento ...129
4.4 Técnicas de validação dos argumentos ...131
4.4.1 Presença de quantificadores ...131
4.4.2 Sem a presença de quantificadores...133
4.4.2.1 Método das Premissas Verdadeiras ...134
4.4.2.2 Método do argumento inválido ...139
4.4.2.3 Comparativo entre os métodos de validação (sem quantificadores)...142 4.5 Exercícios ...143
1. Introdução – o que é lógica?
A lógica surgiu como um ramo da filosofia, sendo atribuída sua criação à Aristóteles (384 – 322 a.C.).
Entretanto, a lógica está presente em muitas áreas de nossa ciência e de nossas vidas, sendo utilizada por nós em nossas tarefas mais comuns. Muitas de nossas ações são tomadas com base em raciocínios estruturados de forma lógica sem mesmo percebermos. Quer um exemplo?
“Se vai chover hoje, então vou levar um guarda-chuva”.
Pronto! Estamos utilizando a lógica.
Apesar de ser uma disciplina presente em nosso cotidiano, com a qual estamos acostumados a lidar, é possível encontrar questões em provas bem mais complexas que as de nosso dia a dia. Tais questões foram elaboradas de maneira criteriosa para adicionar certo grau de complexidade e dificuldade de resolução, o que realmente é necessário em uma questão de prova. Sendo assim, é muito importante o estudo estruturado dos conceitos básicos da disciplina. Este conhecimento com certeza contribuirá para seu sucesso nos estudos e nas provas.
1.1 Como estudar lógica
Apesar de parecer simples, o estudo da lógica formal envolve alguns conceitos básicos que, se bem compreendidos, facilitam muito a resolução das questões. Seu foco principal no curso deve ser: A compreensão de regras e conceitos básicos. Estou reforçando este ponto pois notamos que muitos querem estudar lógica através de questões com a resolução já comentada ou mesmo já praticando a resolução de questões, sem antes ter os conceitos básicos bem definidos. Essa estratégia pode até permitir a resolução de algumas questões mais simples, mas com certeza não funcionará para questões mais complexas, em que um raciocínio mais elaborado será exigido. Portanto, estude bem os conceitos básicos da disciplina.
Sendo assim, em todos os assuntos, nosso roteiro consistirá em:
1. Aprender as regras básicas e como aplicá-las;
2. Apresentar a resolução de algumas questões para exemplificar e demonstrar como os conceitos são cobrados;
3. Praticar com muitas questões;
4. Em caso de dúvida nas resoluções, entrar em contato com nosso suporte de dúvidas para obter auxílio.
Desta forma, seguramente você obterá sucesso no Teste ANPAD e em muitas outras provas que cobram Raciocínio Lógico.
Como este curso tem como foco o Teste ANPAD, sempre que possível serão apresentados exemplos de questões cobradas em edições anteriores do teste. Porém, de forma auxiliar, foram incluídas também questões cobradas em outras provas de concursos públicos, a fim de exemplificar alguns conceitos e tornar este material mais completo.
Este material tem como objetivo ser um material completo e de referência para seus estudos para o Teste ANPAD, mas também é um material complementar ao curso oferecido através do site www.cursologikus.com.br. Logo, alguns conceitos podem ser melhor compreendidos através das aulas online disponíveis.
Vamos juntos nessa?!
2. Fundamentos de Lógica
2.1 Proposição Lógica
A proposição lógica é o alicerce do estudo da Lógica. Para entendermos o que é uma proposição vamos um pouco além para definirmos alguns outros conceitos básicos.
2.2 Frase
É qualquer enunciado linguístico que estabelece uma comunicação, sendo composta de uma ou mais palavras. Não é necessário ter um sujeito, verbo ou predicado.
Segundo nossa gramática, as frases podem divididas em:
Declarativa: É um enunciado terminado em ponto final (.) ou reticências (...), podendo ser afirmativa ou negativa.
Exemplos:
“Pedro é estudante.” (Afirmativa)
“José não é mineiro.” (Negativa)
Exclamativa: Demonstra um sentimento ou um som. Termina em ponto de exclamação (!).
Exemplos:
“Que belo dia!”
“Até que enfim!”
Imperativa: Exprime uma ordem, um pedido, etc. Possuem verbos no imperativo. Termina em ponto final (.), ponto de exclamação (!) ou reticências (...)
Exemplos:
“Desista!”
“Não vá por ali.”
Interrogativa: Apresenta uma pergunta de forma direta, quando terminada em interrogação (?), ou de forma indireta, quando terminada em ponto final (.).
Exemplos:
“O curso já acabou?”
“Gostaria de saber onde está meu livro.”
Existem outros tipos de frases, mas que não são o foco de nosso estudo para a definição do conceito de proposição lógica.
2.3 Oração
É todo enunciado linguístico contendo sujeito e predicado, logo possui também um verbo.
Exemplos:
“Patrícia é enfermeira.”
“O Brasil não é um país da América do Sul.”
Agora, podemos definir:
Uma proposição lógica é uma oração declarativa com sentido completo, podendo ser afirmativa ou negativa, que pode ser julgada com apenas um valor lógico (Verdadeiro ou Falso). A proposição lógica é a base para o estudo da lógica e é também chamada de “proposição fechada” ou “sentença lógica”.
Valor lógico: ou valor-verdade é o valor que pode ser atribuído quanto ao julgamento do conteúdo de uma proposição lógica, podendo ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), mas não ambos.
Exemplos:
“A água do mar é doce.” (proposição com valor lógico FALSO)
“Todo cachorro é mamífero” (proposição com valor lógico VERDADEIRO)
Observação: Neste caso é um tipo particular de proposição lógica chamada proposição categórica, em que há a presença de um quantificador (palavra “todo”).
Sentido completo: Uma proposição tem sentido completo quando não representa um paradoxo, pois nesse caso também não podemos julgá-la.
Exemplo:
“Esta sentença é falsa.”
Se a frase for considerada verdadeira, então ela mesmo está se declarando falsa, o que representaria um paradoxo, pois ela não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
DICA: Toda frase que se autodeclara falsa é um paradoxo. Logo, não é uma proposição lógica.
Outros exemplos clássicos de paradoxos:
“Só sei que nada sei.”
“Eu sou mentiroso.”
Sentença Aberta: São orações declarativas que não podemos julgá-las como verdadeiro ou falso. Seu valor lógico depende do valor atribuído à variável (x, y, etc) ou à pessoa a qual a sentença se refere.
Exemplos:
“x + 2 = 5” leia-se: “Xis mais dois é igual a cinco.”
Não sabemos o valor de x para julgar a sentença.
“Ele é melhor jogador de futebol do Brasil.”
Não sabemos a quem se refere a sentença para julgar se é verdade ou não seu conteúdo.
Observação: Podemos converter uma sentença aberta em uma proposição lógica pelo uso de quantificadores (todo, algum e nenhum).
No primeiro exemplo citado acima, poderíamos escrever:
“ x, x + 2 = 5”. Leia-se “Existe xis, tal que xis mais 2 é igual a cinco”.
Neste caso, tornamos a sentença uma proposição lógica e podemos julgá-la, pois sabemos que se x = 3, então x +2 = 5. Logo, existe x que atende a igualdade e a proposição tem valor lógico Verdadeiro.
O assunto de quantificadores e proposições categóricas será estudado de forma mais aprofundada adiante no curso. Por agora saiba apenas que uma sentença aberta (a qual não se pode julgar) não é uma proposição lógica.
RESUMO: Uma proposição lógica é:
Uma oração declarativa (possui sujeito e predicado);
Possui sentido completo (não é um paradoxo);
Possui somente um valor lógico (podemos julgar se é verdadeiro ou falso).
2.4 Princípios Fundamentais da Lógica
Os princípios fundamentais da lógica são as regras que norteiam o estudo das proposições lógicas, sendo eles:
2.4.1 Princípio da Identidade
Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. Uma proposição falsa é sempre falsa. (A proposição conserva seu valor lógico).
2.4.2 Princípio da Não Contradição
Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
2.4.3 Princípio do Terceiro Excluído
Uma proposição só pode ter um dos dois valores lógicos possíveis, isto é, Verdadeiro (V) ou Falso (F).
2.5 Classificação das proposições: Simples e Composta
2.5.1 Proposição Simples
É uma proposição que expressa um único pensamento completo a respeito de um objeto de estudo.
Normalmente representadas por letras minúsculas do alfabeto:
Exemplos:
p: O número 4 é divisível por 2.
q: A Amazônia é a maior floresta do Brasil.
2.5.2 Proposição Composta
Uma proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples unidas pelo uso de conectivos lógicos. Normalmente representada por letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Exemplos:
P: O céu é azul e água do mar é gelada.
Observação: Conectivos Lógicos
Conectivos lógicos são palavras ou expressões utilizadas para unir proposições simples, formando-se uma proposição composta.
São eles apresentados na tabela abaixo:
Conectivo Lógico Símbolo Significado em linguagem corrente
Disjunção Inclusiva … ou …
Disjunção Exclusiva Ou … ou …
Conjunção … e …
Condicional Se… então …
Bicondicional … se e somente se …
Por enquanto vamos nos preocupar apenas em definir as proposições em simples e compostas.
IMPORTANTE:
Uma única oração com sujeito composto, mas com apenas um predicado, é considerado uma proposição simples.
Exemplo:
“José e João são culpados.”
“O orgulho e a vaidade precedem a ruína do homem.”
