RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

1 ¹

Matemá- tica

RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

SIMPLES, FÁCIL E PRÁTICO

PEDRO EVARISTO

2 ²

Conjunto dos Números

INTRODUÇÃO

A estatística é uma área do conhecimento que utiliza teorias probabilísticas para explicação de eventos, estudos e experimentos. Tem por objetivo obter, organizar e analisar dados, determinar as correlações que apresentem, tirando delas suas consequências para descrição e explicação do que passou e previsão e organização do futuro.

A estatística é também uma ciência e prática de desenvolvimento de conhecimento humano através do uso de dados empíricos. Baseia-se na teoria estatística, um ramo da matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e incerteza são modeladas pela teoria da probabilidade. Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planeja- mento, a sumarização e a interpretação de observações. Porque o objetivo da estatística é a produção da "melhor" infor- mação possível a partir dos dados disponíveis, alguns autores sugerem que a estatística é um ramo da teoria da decisão.

Estuda-se estatística para aplicar seus conceitos como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas, justi- ficando cientificamente as decisões. Os princípios estatísticos são utilizados em uma grande variedade de situações – no governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito da ciências sociais, biológicas e físicas. A estatística presta-se a aplicações operacionais e de pesquisas, sendo efetiva não só em experimentos de laboratório, mas também em estudos fora dele.

A Estatística compreende o planejamento e a execução de pesquisas, a descrição e a análise dos resultados e a formulação de predições com base nesses resultados.

A Estatística pode ser dividida em:

• Estatística Descritiva ou Dedutiva;

• Inferência Estatística ou Indutiva.

ESTATÍSTICA DESCRITIVA OU ESTATÍSTICA DEDUTIVA

Conforme o próprio nome indica, a estatística descritiva tem por finalidade descrever as unidades de observação coletadas na amostra. Ela permite fazer comentários simples, da maneira mais informativa possível, usando métodos numéricos e métodos gráfi- cos.

A análise exploratória de dados é a fase inicial do processo de estudo dos elementos coletados nas amostras. Nessa etapa de avaliação, utilizam-se técnicas que resumem e classificam o conjunto de dados coletados para que se obtenham as informações pertinentes que serão utilizadas na fase final do processo, a chamada inferência estatística, também co- nhecida como análise confirmatória de dados.

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA OU ESTATÍSTICA INDUTIVA

A inferência estatística refere-se a um processo de generalização, a partir de resultados particulares. Consiste em obter e generalizar conclusões, ou seja, inferir propriedades para o todo com base na parte, no particular. A amostragem é um exemplo vivo do adágio. “Não é preciso comer um bolo inteiro para saber se é bom”. Os exemplos familiares são muitos. Mergulhar a ponta do pé na água para avaliar a temperatura da piscina. Folhear um novo livro. Testar um novo carro. Há, além disso, inúmeros exemplos da aplicação de tal conceito na indústria, no comércio e em repartições públicas.

Estatística é o campo do conhecimento científico que trata da coleta e análise de dados com o fim de se obter conclusões para tomada de decisões.

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POPULAÇÃO E AMOSTRA

Dois conceitos utilizados largamente em Estatística são população ou universo estatístico e amostra.

POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO

O conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência recebe o nome de população ou uni- verso. Em linguagem mais formal, a população é o conjunto constituído por todos os indivíduos que apresentem pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir). Essas características da população são comumente chamadas de parâmetros, os quais são valores fixos e ordinariamente desconhecidos.

Quanto ao número de elementos, a população pode ser finita e infinita.

População finita é aquela em que o número de unidades de observação pode ser contado e é limitado.

Exemplos de população finita:

• alunos matriculados nas escolas públicas estaduais;

• todas as declarações de Imposto de Renda recebidas pela Receita Federal;

• todos os crimes relatados pelas Secretarias de Segurança Pública.

Uma população é infinita se a quantidade de unidades de observação é ilimitada, ou a sua composição é tal que as unidades da população não podem ser contadas.

Exemplo de população infinita:

• Gases, líquidos e alguns sólidos, como o talco, porque as unidades não podem ser identificadas e contadas.

AMOSTRA

A amostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela população. As características da amostra são chamadas de estatísticas descritivas.

Exemplos:

• Dez alunos matriculados no curso de Estatística, escolhidos aleatoriamente;

• 20% dos habitantes de Fortaleza com renda entre 10 e 30 salários mínimos, escolhidos ao acaso, para estudo da situação socioeconômica.

CENSO E AMOSTRAGEM

Um censo envolve um exame de todos os elementos de um dado grupo, ao passo que a amostragem envolve o estudo de apenas uma parte dos elementos.

A amostragem é, pois, o processo através do qual, pelo estudo da amostra, são estudadas as características da população. A amostragem pode ser sem reposição e com reposição.

Amostragem sem reposição é quando não há repetições de elementos na amostra, ou seja, cada elemento não pode ser escolhido mais de uma vez.

Exemplo de amostragem sem reposição

• Em uma pesquisa eleitoral, pouco anterior a uma eleição, para que se conheça a intenção de voto das pessoas entrevistadas, estas devem ser ouvidas apenas uma vez, porque, em uma eleição, o voto é individual.

Amostragem com reposição é quando há repetições de elementos na amostra, ou seja, cada elemento pode ser escolhido mais de uma vez.

Exemplo de amostragem com reposição

• Quando se deseja saber quanto tempo uma pessoa fica em uma fila de banco, a mesma pessoa pode ser ob- servada duas ou mais vezes, a cada vez que retorna ao banco.

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À primeira vista pode parecer que a inspeção completa ou total de todos os itens de uma população seja mais conveniente do que a inspeção de apenas uma amostra deles. Na prática, o contrário é que é quase sempre válido; a amostragem é preferível ao censo.

VARIÁVEL

Em Estatística, a variável é uma atribuição de um número a cada característica da unidade de observação, ou seja, é o objeto da pesquisa, é aquilo que estamos investigando.

TIPOS DE VARIÁVEIS

Algumas variáveis como sexo, grau de instrução e estado civil, apresentam como possíveis realizações uma quali- dade (ou atributo) do indivíduo pesquisado. São denominadas de Variáveis Qualitativas. Outras variáveis tais como tempo na empresa, idade e salário, apresentam como possíveis valores, números resultantes de uma contagem ou men- suração. Estas são chamadas Variáveis Quantitativas.

QUALITATIVA

As variáveis qualitativas podem ser: nominal ou ordinal, sendo que a Variável Ordinal há uma ordenação natural das unidades, mas na variável nominal não existe essa ordenação natural.

QUANTITATIVA

As variáveis quantitativas podem ser: discreta ou contínuas, sendo que a Variável Discreta é possível contar, mas a variável contínua não. Esta última é obtida no procedimento de mensuração, ou seja, devemos pesar, medir, etc.

V A R I Á V E I S QUALITATIVAS

(ATRIBUTOS)

QUANTITATIVAS

NOMINAIS ORDINAIS DISCRETAS CONTÍNUAS

EXEMPLOS:

- Sexo;

- Cor;

- Raça;

- Religião;

- Naturalidade;

- Estado civil.

EXEMPLOS:

- Grau de instrução;

- Status social;

- Conceito escolar;

- Hierarquia;

- Patente do exército.

EXEMPLOS:

- Nº de funcionários;

- Quantidade de alunos;

- N^o de equipamentos.

EXEMPLOS:

- Peso;

- Altura;

- Salário;

- Comprimento.

SÉRIES ESTATÍSTICAS

Uma vez coletados os dados de todas as variáveis envolvidas em determinado estudo, o passo seguinte é descobrir o que os dados da amostra têm a dizer a respeito do que está sendo investigado. Olhar uma extensa listagem de dados não permite praticamente qualquer conclusão; é preciso utilizar medidas, tabelas ou gráficos que resumam e mostrem o comportamento das variáveis, permitindo interpretações práticas. Em outras palavras, devem-se utilizar técnicas que mostrem as informações contidas nas variáveis.

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Reunindo, pois, os valores em tabelas compactas, consegue-se apresentá-los e descreve-los, com a variação mais eficiente. Essa condensação dos valores permite ainda a utilização de representação gráfica, que normalmente representa uma forma mais útil e elegante de apresentação da característica analisada.

Uma série estatística define-se como toda e qualquer coleção de dados estatísticos referentes a uma mesma ordem de classificação quantitativa.

Para diferenciar uma série estatística de outra há de se levar em conta três características na tabela: fenômeno, local e época.

• A Época (fator temporal ou cronológico) a que se refere o fenômeno analisado.

• O Local (fator espacial ou geográfico) onde o fenômeno acontece.

• O Fenômeno (espécie do fato ou fator especificativo) que é descrito.

Logo, ao nos defrontarmos com uma série estatística, deveremos apresentar respostas às seguintes perguntas: O quê? Onde? Quando?

Na série estatística, haverá sempre um elemento que sofrerá variações. A partir deste elemento, estabeleceremos uma classi- ficação.

SÉRIE TEMPORAL

A série temporal, igualmente chamada série cronológica, série histórica, série evolutiva ou marcha, identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. Assim, deve-se ter: a característica variável é o tempo (Quando?), permane- cendo fixos o local (Onde?) e o fenômeno estudado (O quê?).

POPULAÇÃO BRASILEIRA NAS ÚLTIMAS DÉCADAS

(VALOR APROXIMADO EM MILHÕES)

Ano R$

1950 51

1960 70

1970 93

1980 120

1990 149

2000 174

2010 197

2020 212

Fonte: IBGE

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SÉRIE GEOGRÁFICA

Também denominada série territorial, série espacial ou série de localização, a série geográfica apresenta como elemento ou caráter variável somente o fator geográfico. Assim: a característica variável é o local (Onde?), permanecendo fixos o tempo (Quando?) e o fenômeno estudado (O quê?).

QUANTIDADE DE COPAS DO MUNDO DE FUTEBOL REALIZADAS EM CADA CONTINENTE

CONTINENTE Nº DE COPAS

Europa 11

América do Sul 5

América do Norte 3

Ásia 1

África 1

América Central 0

Oceania 0

Fonte: FIFA

SÉRIE ESPECÍFICA

A série específica recebe também outras denominações: série categórica ou série por categoria, onde a caracte- rística variável é o fenômeno (O quê?), permanecendo fixos o tempo (Quando?) e o local (Onde?).

VALOR DA INSCRIÇÃO NO CAMPEONATO DE F1 NO ANO DE 2018 (MILHÕES DE DÓLARES)

Investimentos US$

Mercedes 4,65

Ferrari 3,21

Red Bull 2,42

Force India 1,48

Williams 0,94

Renault 0,81

Toro Rosso 0,79

Haas 0,76

McLaren 0,67

Sauber 0,54

Fonte: Site Auto Racing

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SÉRIE MISTA

Estas são séries que resultam de uma combinação de, pelo menos, duas das séries vistas.

INVESTIMENTOS EM INFRA-ESTRUTURA, EDUCAÇÃO E SAÚDE NO MUNICÍPIO “X” EM 2016 E 2017 (MILHÕES DE REAIS)

INVESTIMENTOS ANOS

2016 2017

Infraestrutura 15 18

Educação 10 12

Saúde 12 15

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

Na distribuição de frequências os dados são ordenados em classes ou não, segundo a magnitude, permanecendo constantes o fenômeno (O quê?), o tempo (Quando?) e o local (Onde?).

NÚMERO DE EMPREGADOS POR CLASSES DE SALÁRIOS NA INDÚSTRIA “ABC”

SALÁRIOS (R$) N^O DE EMPREGADOS

500 a 750 150

750 a 1000 180

1000 a 1250 200

1250 a 1500 50

1500 a 1750 90

TOTAL 670

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TIPOS DE GRÁFICO

O gráfico estatístico tem como principal objetivo, apresentar de forma clara e rápida os dados de uma série. Com poucas palavras e de maneira ágil, é possível apresentar os dados da série em estudo.

Para que um gráfico seja realmente útil, deve ter simplicidade, clareza e veracidade.

HISTOGRAMAS, POLÍGONOS DE FREQUÊNCIA E OGIVA

GRÁFICO EM LINHA

Observações feitas ao longo do tempo, tais como as séries históricas ou temporais.

GRÁFICO EM COLUNAS

Representa uma série através de retângulo dispostos horizontalmente (em barras) ou verticalmente (em colunas).

15 MAIORES CONSUMIDORES DE VINHO (POR PES- SOA)

9 ⁹

GRÁFICO EM SETORES

Construído em um círculo, que é dividido em setores correspondentes aos termos, de forma que cada um dos dados é proporcional ao ângulo de abertura do setor correspondente.

Usada principalmente quando se quer salientar a proporção dos dados.

CARTOGRAMA

Deve representar os dados sobre um mapa, afim de associar o dado a região representada.

PICTOGRAMAS

Usa figuras associadas ao tema, que têm relação direta com a área que está sendo pesquisada, ou seja, é uma forma de escrita pela qual são transmitidas ideias através de desenhos. Esse tipo de representação não é muito precisa, pois é mais destinada ao grande público, por ser mais atrativo.

DISTRIBUIÇÃO DAS IDADES POR SEXO 10 MAIORES VOLUMES DE CONSUMO DE VI-

NHO

10 ¹⁰

n x x

x= x₁+ ₂+...+ ⁿ

MÉDIAS

MÉDIA ARITMÉTICA

A média aritmética é a mais utilizada no nosso dia a dia.

Pode ser obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pela letra M ou pelo símbolo x. Se tivermos uma série de N valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

EXEMPLO:

Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A sua média será (5 + 7 + 9 + 10) / 4 = 7.75

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Consideremos uma coleção formada por n números: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso (“peso” é sinônimo de “ponderação”) ou frequência (número de ocorrencia daquele número), respectivamente, indicado por: f1, f2, f3, ..., fn.

A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

Observe que a soma das frequências (ou pesos) é igual a “n”.

EXEMPLO:

Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média (ponderada) será (10x1 + 2x4)/(1 + 2). Teríamos então: (10 + 8) / 3. Logo, o resultado da média aritmética ponderada para este exemplo é: 6. Se o teste e a prova tivessem mesmo peso (e não importa qual o valor do peso, importa apenas a relação entre os pesos), a média ponderada aritmética seria sempre 7. Isto é, se o aluno fizesse um teste (peso 3) e uma prova (peso 3) obtendo respectivamente a mesma pontuação anterior (10 e 4), teríamos: (10 x 3 + 4 x 3) / (3 + 3). Continuando: (30 + 12) / 6. O resultado para pesos iguais será sempre: "7". Veja: (30 + 12) / 6 = 7.

i i i

f f

f

x f x

f x x f

+ + +

+ +

= +

...

. ...

. .

2 1

2 2 1 1

11 ¹¹

MEDIDAS DE DISPERSÃO

VARIÂNCIA

Na teoria da estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado. Ou ainda, é o valor esperado do quadrado do desvio de X da sua própria média.

De maneira simples, a variância pode ser expressa como "a média do quadrado da distância de cada ponto até a média".

A variância da variável aleatória "x" pode ser de dois tipo: populacional (σx2) ou amostral (Sx2).

VARIÂNCIA POPULACIONAL

A variância de uma população com N elementos é dada por:

RESOLVIDO

QUESTÃO:

As idades de dez amigos estão representadas a seguir. Com base nessas informações, responda o que se pede.

ROL:

Esse é o primeiro passo quando temos os dados bruto, fazer uma reorganização linear dos dados em ordem crescente.

MÉDIA:

A média aritmética para dados agrupados é dada por 𝑥̅ =^{∑ 𝑥}_{∑ 𝑓}^{𝑖.𝑓𝑖}

𝑖

Temos então

𝑥̅ =12.1 + 13.4 +14.3 +15.2

10

Logo

𝑥̅ = 13,6 MODA:

12 ¹²

Termo com maior frequência, ou seja, Mo = 13.

MEDIANA:

Elemento que divide a distribuição em duas partes iguais.

Em caso de número par de elementos, a mediana é a média entre os dois termos centrais.

Portanto, para esses dados, a mediana é dada por:

𝑀_𝑑=¹³⁺¹⁴

2 = 13,5

VARIÂNCIA:

A variância funciona como um pré-cálculo para descobrir o desvio padrão.

𝜎_𝑥²=^{∑(𝑥𝑖−𝑥̅).𝑓}_𝑁 ^𝑖

Substituindo, temos:

𝜎_𝑥²=^(12−13,6)

2.1 + (13−13,6)².4 + (14−13,6)².3 + (15−13,6)².2

10

Logo

𝜎_𝑥²= 0,84 DESVIO PADRÃO:

Sabemos que o desvio padrão é a raiz da variância 𝜎_𝑥 = √^{∑(𝑥𝑖−𝑥̅).𝑓}_𝑁 ^𝑖

Ou seja

𝜎_𝑥 = √0,84

Para fazermos uma aproximação, podemos buscar o quadrado perfeito mais próximo de 84, que seria 81. Dessa forma, podemos estimar o desvio como sendo

𝜎_𝑥 ≅ 0,9

13 ¹³

EXERCÍCIOS

01. Seis caixas d'água cilíndricas iguais estão assentadas no mesmo piso plano e ligadas por registros (R) situados nas suas bases, como sugere a figura abaixo.

Após a abertura de todos os registros, as caixas ficaram com os níveis de água no mesmo plano. A altura desses níveis, em cm, equivale a:

A) 425,5 B) 426,0 C) 426,5 D) 427,0 E) 427,5

02. A média aritmética de 11 números é 45. Se o número 8 for retirado do conjunto, a média aritmética dos números restantes será:

A) 48,7 B) 48 C) 47,5 D) 42 E) 40,5

03. (FGV) Em um conjunto de 100 observações numéricas, podemos afirmar que:

A) a média aritmética é maior que a mediana.

B) a mediana é maior que a moda.

C) 50% dos valores estão acima da média aritmética.

D) 50% dos valores estão abaixo da mediana.

E) 25% dos valores estão entre a moda e a mediana.

04. (FGV) A sequência a seguir mostra o número de gols marcados pelo funcionário Ronaldão nos nove últimos jogos disputados pelo time da empresa onde ele trabalha:

2, 3, 1, 3, 0, 2, 0, 3, 1.

Sobre a média, a mediana e a moda desses valores é verdade que:

A) média < mediana < moda;

B) média < moda < mediana;

C) moda < média < mediana;

D) mediana < moda < média;

E) mediana < média < moda.

05. As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram:

8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.

A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:

A) 7,9; 7,8; 7,2 B) 7,9; 7,2; 7,8 C) 7,8; 7,9; 7,2 D) 7,2; 7,8; 7,0 E) 7,9; 7,0; 7,2

14 ¹⁴

06. (FGV) Marcos anotou o número de correspondências eletrônicas que ele recebeu diariamente, durante 13 dias. A tabela a seguir mostra os números anotados por ele:

3 4 18 16 15 16 22 5 2 20 16 15 17

A diferença entre a mediana e a média dos números anotados por Marcos é:

A) 5;

B) 4;

C) 3;

D) 2;

E) 1.

GABARITO

1 2 3 4 5 6

E A D A A C