AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P ´

OS GRADUA ¸

C ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA

RENAN DANTAS MEDRADO

ANALITICIDADE E SUAVIDADE

MICRO-LOCAL PARA SOLU ¸

C ˜

OES DE

EQUA ¸

C ˜

OES DIFERENCIAIS PARCIAIS N ˜

AO

LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P ´

OS GRADUA ¸

C ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA

RENAN DANTAS MEDRADO

ANALITICIDADE E SUAVIDADE

MICRO-LOCAL PARA SOLU ¸

C ˜

OES DE

EQUA ¸

C ˜

OES DIFERENCIAIS PARCIAIS N ˜

AO

LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM

Disserta¸c˜ao apresentada ao PPGM da UFS-Car como parte dos requisitos para a obten-¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica. Ori-enta¸c˜ao: Prof Dr. Gustavo Hoepfner

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

M492as

Medrado, Renan Dantas.

Analiticidade e suavidade micro-local para soluções de equações diferenciais parciais não lineares de primeira ordem / Renan Dantas Medrado. -- São Carlos : UFSCar, 2012.

79 f.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2012.

1. Equações diferenciais. 2. Regularidade de soluções. 3. Conjunto frente de ondas. I. Título.

`

A Deus, pela vida, paz e sa´ude.

Aos meus pais, David L´ucio Medrado e Mirian Dantas Medrado, pela vida, educa¸c˜ao, incentivo e pelo amor recebido.

`

A Ellen por estar em minha vida e por ter me apoiado e me incentivado.

Ao professor Dr. Gustavo Hoepfner, por ter acreditado em mim, pela orienta¸c˜ao, pelos ensina-mentos e pelas horas dedicadas a este trabalho.

Ao programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal de S˜ao Carlos, pela oportunidade da realiza¸c˜ao deste trabalho.

`

Este trabalho tem como finalidade estudar o conjunto frente de onda C✽ e o conjunto frente de onda anal´ıtico de u♣x,0q, assumindo que a equa¸c˜ao diferencial parcial ut ✏f♣x, t, u, uxq possui uma solu¸c˜ao u ✏ u♣x, tq P Ck 1_{, para t ➙ 0 e ♣x, tq pertencendo a alguma vizinhan¸ca de ♣x}

0,0q, com as

seguintes nota¸c˜oes:

v ✏ ♣u, uxq;

fv♣x, tq ✏f♣x, t, u♣x, tq, ux♣x, tqq; L✏ ❇

❇t ✁ N

➳

j✏1

fζj♣x, t, ζ0, ζq

❇ ❇xj

;

gv♣x, tq ✏ Lv_v; H✏L _g0❇_ζ0

N

➳

j✏1

gj❇ζj.

Nossa an´alise visa a localiza¸c˜ao do conjunto frente de ondaC✽. Para isto, faz-se necess´ario a condi¸c˜ao abaixo:

❅xPΩ, 0↕j ↕k, ℑ♣Hj_f

ζqv♣x,0q ✏ 0, ℑ♣Hkfζqv♣x0,0q ✘0;

tendo como pressuposto ℑ♣Hk_f

ζqv♣x0,0q ☎ξ0 ➔0, no qual ξ0 pertence a esfera unit´aria SN✁1.

O conjunto de todos pressupostos apresentados acima nos faz chegar `a conclus˜ao da impossibi-lidade de o ponto ♣x0, ξ0q pertencer ao conjunto frente de onda C✽ do tra¸co u♣x,0q. Esta

impossi-bilidade requer n˜ao apenas a condi¸c˜ao de f ✏ f♣x, t, ζ0, ζq ser de classe C✽♣Ω✂ r0, Tq ✂Nq como

tamb´em requer a condi¸c˜ao de f ser holomorfa nas vari´aveis ♣ζ0, ζq, nas quais Ω, T e N representam

This work intends to study the analytic wave front set and the C✽ wave front set ofu♣x,0q, assu-ming that the partial differential equations ut ✏f♣x, t, u, uxqpresents a solution u✏u♣x, tq P Ck 1, once t➙0 and ♣x, tqbelongs to some neighbourhood of ♣x0,0q, under the following representations:

v ✏ ♣u, uxq;

fv_{♣x, tq ✏f♣x, t, u♣x, tq, u}

x♣x, tqq; L✏ ❇

❇t ✁ N

➳

j_✏1

fζj♣x, t, ζ0, ζq

❇ ❇xj

;

gv_{♣x, tq ✏ L}v_v; H✏L _g0❇_ζ0

N

➳

j_✏1

gj❇ζj.

Our analysis seeks the localization of theC✽wave front set. For that, the condition below is required:

❅xPΩ, 0↕j ↕k, ℑ♣Hj_f

ζqv♣x,0q ✏ 0, ℑ♣Hkfζqv♣x0,0q ✘0;

and it pressuposes that ℑ♣Hk_f

ζqv♣x0,0q ☎ξ0 ➔0, in which ξ0 belongs the unitary sphereSN✁1.

The comprehension of all conditions outlined above makes us conclude that it is impossible for the point♣x0, ξ0qto belong to theC✽ wave front set of the traceu♣x,0q. Such impossibility demands

not only that the condition f ✏ f♣x, t, ζ0, ζq be of class C✽♣Ω✂ r0, Tq ✂Nq but also requires the

holomorphic property in the variable ♣ζ0, ζq. In these cases Ω, T and N represent respectively an

open subset of RN_{, a real number and an open subset of} C✂CN_.

Another possibility that can be taken into consideration regarding the function f is that it can be real-analytic type. In this case,♣x0, ξ0qwill not bellong to the analytic wave front set of the trace

Introdu¸c˜ao 7

1 Pr´e-requisitos 10

1.1 As fun¸c˜oes teste . . . 10

1.2 Distribui¸c˜oes . . . 10

1.3 Suporte de distribui¸c˜oes . . . 13

1.4 A transformada de Fourier em S . . . 14

1.5 A transformada de Fourier em S✶ _{. . . . 15}

2 Conjuntos frente de onda. 17 2.1 Os Teoremas de Paley-Wiener . . . 17

2.2 Analiticidade micro-local e a transformada FBI . . . 25

3 Aplica¸c˜ao para solu¸c˜ao de EDP’s n˜ao lineares de primeira ordem. 45 3.1 SobreL _eH _{. . . . 45}

3.2 Colchetes de Lie . . . 51

3.3 Caso C✽ . . . 57

O artigo [11] ´e um dos precursores do estudo de suavidade micro-local para EDP’s. J. Y. Chemin, em [11], provou que se considerarmos f ✏ f♣x, t, ζ0, ζq de classe C✽ e holomorfa nas vari´aveis

♣ζ0, ζq P N ⑨ C✂Cm e supusermos que existe u P C2♣Ωq solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial parcial

n˜ao linear ut ✏ f♣x, t, u, uxq, ent˜ao W Fa♣uq ⑨ char♣Lvq, em que char♣Lvq representa o conjunto caracter´ıstico do operador linearizado

Lv _✏ ❇

❇t ✁ m

➳

j✏1

❇f

❇ζj

♣x, t, u, uxq ❇

❇xj .

C. Asano, em [4], publicou uma outra prova deste resultado. Em [12], com a hip´otese adicional de

f ser anal´ıtica nas vari´aveis ♣x, tq, N. Hanges e F. Treves demonstraram que o conjunto frente de onda anal´ıtico de u est´a contido no conjunto caracter´ıstico do operador linearizado Lv_{. No trabalho} [17], N. Lerner, Y. Morimoto e C.-J. Xu estudam a analiticidade micro-local do problema de Cauchy quase linear do tipo

✩ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✪

❇u

❇t N

➳

j✏1

aj♣x, t, uq❇ u

❇xj

✏b♣x, t, uq, 0➔t ➔T xPΩ

u♣x,0q ✏ ω♣xq, xP Ω

(1)

em que Ω⑨RN _{´e aberto eT →0. As fun¸c˜oes a}

j, b,j ✏1, ..., N, s˜ao restri¸c˜oes em Ω✂ r0, Ts ✂V3 de

fun¸c˜oes holomorfas definidas em algum dom´ınioV ✏V1 ✂V2✂V3 ⑨CN 2. Seja

L✏ ❇

❇t N

➳

j✏1

aj♣x, t, vq

❇ ❇xj

b♣x, t, vq ❇

❇v

ν0 ✏ ♣a1,☎ ☎ ☎, aNq, ν1 ✏ ♣L♣a1q,☎ ☎ ☎ ,L♣aNqq ✏ L♣ν0q,☎ ☎ ☎ , νk ✏L♣νk✁1q ✏Lk♣ν0q.

Em [17] ´e encontrada a demonstra¸c˜ao do seguinte resultado:

T

EOREMA 0.0.1. Sejam k PN _{e u uma solu¸c˜ao do problema de Cauchy (1), C}k 1 _{para t} →_{0 em} uma vizinhan¸ca de ♣x0,0q. Se para todo x P Ω tivermos ℑνj♣x,0, ω♣x0qq ✏ 0, ℑνk♣x,0, ω♣x0qq ✘ 0,

para todo 0↕j ➔k, ent˜ao ❅ξ0 PRN _tais ℑ_νk♣_{x0,0, ω}♣_x0qq ☎_ξ0 _{→0, o ponto ♣x}

0, ξ0q ❘W Fa♣ωq. Z. Adwan e S. Berhanu estenderam o teorema acima no trabalho [1], enunciado-o para uma equa-¸c˜ao n˜ao linear ut✏f♣x, t, u, uxq, f ✏f♣x, t, ζ0, ζq restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao holomorfa. Para tanto os

autores generalizaram os vetoresℑ_vj♣_{x,0, ω}♣_xqq_{, expressando} ℑ_νj♣_{x,0, ω}♣_xqq_{em termos de m´ultiplos}

colchetes de Lv _{e seu conjugadoL}v_{. Resultados sobre analiticidade micro-local de colchetes at´e} ter-ceira ordem s˜ao encontrados em [13] e [14]. Em [2] e [5] s˜ao encontrados resultados sobre regularidade Gevrey.

O terceiro cap´ıtulo, desta disserta¸c˜ao ´e baseado em [1]. No terceiro cap´ıtulo desta disserta¸c˜ao apresentamos e demonstramos a extens˜ao do Teorema 0.0.1. Para tanto, ´e utilizada uma caracteriza-¸c˜ao, via transformada FBI, dos conjuntos frente de onda. J´a que, a caracteriza¸c˜ao do conjunto frente de onda anal´ıtico via Transformada de Fourier ´e mais dif´ıcil de ser aplicada do que a caracteriza¸c˜ao via transformada FBI.

A transformada FBI ´e semelhante `a transformada de Fourier. Dada uma distribui¸c˜ao u com suporte compacto definimos sua transformada FBI por Fu♣x, ξq ✏

❆

uy, ei♣x✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁y⑤

2❊

. Dado um aberto conexo B ⑨ Sm✁1_{, com a topologia induzida de R}m_{, chamamos o conjunto Γ ✏ ttx P R}m _: x P B, t → 0✉ de cone aberto conexo com v´ertice na origem. No segundo cap´ıtulo deste trabalho demonstramos que um ponto n˜ao est´a no conjunto frente de onda anal´ıtico de uma distribui¸c˜ao se, e somente se, existem uma vizinhan¸caV e um cone Γ tal que a transformada FBI desta distribui¸c˜ao possui decrescimento exponencial emV ✂Γ. De forma an´aloga, demonstra-se que um ponto n˜ao est´a no conjunto frente de ondaC✽ de uma distribui¸c˜ao se, e somente se, existem uma uma vizinhan¸caV

envol-vendo os operadoresL_eH_{, os quais ser˜ao usados na extens˜ao do Teorema 0.0.1.Na segunda se¸c˜ao do}

1

Pr´

e-requisitos

Neste cap´ıtulo ser˜ao apresentadas algumas defini¸c˜oes e resultados, sem demonstra¸c˜ao (as de-monstra¸c˜oes destes resultados podem ser encontradas no livro de Hounie [16]), sobre fun¸c˜oes teste, distribui¸c˜oes, espa¸co de Schwartz e trasformada de Fourier.

1.1

As fun¸c˜

oes teste

DEFINI ¸C ˜AO 1.1.1. As fun¸c˜oes f : Ω ❸ Rn Ñ C _{indefinidamente diferenci´aveis, com suporte} com-pacto em Ω ser˜ao chamadas fun¸c˜oes teste em Ω. O conjunto das fun¸c˜oes teste em Ω ser´a denotado por Cc✽♣Ωq.

DEFINI ¸C ˜AO 1.1.2. Uma seq¨uˆencia ♣φjq de fun¸c˜oes de Cc✽♣Ωq converge a zero em Cc✽♣Ωq se:

1. Existe um compacto K ⑨Ω tal que S♣φjq ❸ K, j ✏1,2, ... (sendo S♣φjq o suporte de φj). 2. Para todo inteiro positivom, as derivadas de ordemmdas fun¸c˜oesφj convergem uniformemente

a zero quando j Ñ ✽.

OBSERVA ¸C ˜AO: E poss´ıvel dotar´ C_c✽♣Ωq com uma topologia n˜ao metriz´avel de forma que a

conver-gˆencia nessa topologia coincida com a dada pela defini¸c˜ao acima.

1.2

Distribui¸c˜

oes

DEFINI ¸C ˜AO 1.2.1. Seja Ω❸ Rn _{aberto. Um funcional linear cont´ınuo u :C}✽

c ♣Ωq ÑC ´e dito uma distribui¸c˜ao em Ω. O espa¸co das distribui¸c˜oes em Ω se denota por D✶♣_Ωq_{. Isto ´e seφ1, φ2} P _Cc✽♣_Ωq_,

λP C _e ♣_φjq _{´e uma seq¨uˆencia emCc}✽♣_Ωq_{, ent˜ao,}

u♣φ1 λφ2q ✏u♣φ1q λu♣φ2q (Linearidade)

φj Ñ0 em Cc✽♣Ωq ñu♣φjq Ñu♣0q (Continuidade).

Vamos escrever ①u, φ② em vez de u♣φq.

As opera¸c˜oes soma de distribui¸c˜oes e multiplica¸c˜ao de escalar por distribui¸c˜ao s˜ao definidas de maneira ´obvia. Dados u1, u2 P D✶♣Ωq, φP Cc✽, λP C, definimos:

①u1 u2, φ② ✏ ①u1, φ② ①u2, φ②

①λu1, φ② ✏ λ①u1, φ②

Dado L operador linear de C_c✽♣Ωq em C_c✽♣Ωq se Lφj Ñ0 em Cc✽♣Ωq quando φj Ñ0 em Cc✽♣Ωq dizemos que L´e cont´ınuo.

DEFINI ¸C ˜AO 1.2.2. _Sejam L e L✶ operadores lineares cont´ınuos de C_c✽♣Ωq em C_c✽♣Ωq. Dizemos que L ´e o transposto formal de L✶ e vice versa se

➺

Ω

♣Lφqψdx✏

➺

Ω

φ♣L✶ψqdx φ, ψP C_c✽♣Ωq. (1.1)

Na defini¸c˜ao acima temos φ, Lφ, ψ, Lψ P C_c✽♣Ωq ❸ L1

loc♣Ωq ⑨ D✶♣Ωq, ent˜ao, a equa¸c˜ao (1.1) pode ser reescrita na forma ①Lφ, ψ② ✏ ①φ, L✶ψ②. Deste modo, ´e intuitivo estender L a um operador

˜

L:D✶♣_Ωq ÑD✶♣_Ωq_{, definido por:}

①_{Lu, ψ}˜ _{② ✏ ①u, L}✶_{ψ② uPD}✶_{♣Ωq ψ PC}✽

c ♣Ωq. (1.2)

Exemplo 1.2.3 (Produto por uma fun¸c˜ao C✽). Seja f P C✽♣Ωq, definimos L :C_c✽♣Ωq Ñ C_c✽♣Ωq,

♣Lφq♣xq ✏f♣xq ☎φ♣xq. L ´e operador linear cont´ınuo e al´em disso,

➺

♣Lφq♣xq ☎ψ♣xqdx✏

➺

Vemos que o transposto formal de L (L✶) ´e L. Deste modo, definimos

①f u, φ② ✏ ①u, f φ②. (1.3)

Exemplo 1.2.4 (Deriva¸c˜ao). Sejam Ω um aberto de Rn _{e L}✏ ❇

❇xj

. L ´e operador linear cont´ınuo e

al´em disso, se φ, ψP C_c✽♣Ωq, pelo Teorema de Fubini e integra¸c˜ao por partes:

➺

Ω

❇φ

❇xj

♣xqψ♣xqdx ✏ ✁

➺

Ω

φ❇ψ

❇xj dx.

Portanto, o transposto formal de L ´e ✁ ❇

❇xj

e dado uPD✶♣_Ωq _definimos:

❇ ❇u

❇xj , φ

❋ ✏ ✁

❇

u, ❇φ

❇xj

❋

. (1.4)

Exemplo 1.2.5 (Mudan¸ca de vari´avel). Sejam Ω1, Ω2 abertos de Rn e Φ : Ω1 Ñ Ω2 um

difeomor-fismo, isto ´e, uma bije¸c˜ao de Ω1 em Ω2, com Φ e Φ✁1 de classe C✽. Definamos Lf ✏ f ✆Φ, L ´e

operador linear cont´ınuo de C_c✽♣Ω2q em Cc✽♣Ω1q. Dada uma fun¸c˜ao teste f em Ω2, x pertence ao

complementar de S♣f ✆Φq se, e somente se, existir Vx vizinhan¸ca de aberta de x , em que f ✆Φ ´e nula. Mas como Φ ´e difeomorfismo, isto equivale a dizer que existe uma vizinhan¸ca de Φ♣xq, a saber, Φ♣Vxq, em que f ´e nula. Deste modo, S♣f ✆Φq ✏ Φ✁1♣S♣fqq, j´a que S♣fq ´e compacto e Φ ´e difeomorfismo f ✆Φ possui suporte compacto. Assim, se Lf ✏ f ✆Φ, Lf ´e fun¸c˜ao teste em Ω1, o

que mostra a boa defini¸c˜ao de L. Dadaψ fun¸c˜ao teste em Ω2, pelo Teorema de mudan¸ca de vari´aveis

obtemos _➺

Ω2

f♣Φ♣xqqψ♣yqdy ✏

➺

Ω1

f♣xqψ♣Φ✁1♣xqq⑤J♣Φ✁1q⑤♣xq,

em que ⑤J♣Φ✁1_{q⑤ representa o valor absoluto do determinante da jacobiana de Φ}✁1_{, assim}

L✶ψ ✏ ⑤J♣Φ✁1_{q⑤ ☎ψ✆Φ}✁1_.

Portanto definimos:

1.3

Suporte de distribui¸c˜

oes

DEFINI ¸C ˜AO 1.3.1. Dados u1, u2 P D✶♣Ωq dizemos que u1 e u2 s˜ao iguais (u1 ✏ u2) se para todo

fun¸c˜ao teste φ em Ω temos ①u1, φ② ✏ ①u2, φ②.

Abaixo ser´a dada uma condi¸c˜ao necess´aria para igualdade de distribui¸c˜oes.

T

EOREMA 1.3.2. Sejam u1, u2 P D✶♣Ωq tais que para todo x P Ω existe vizinhan¸ca aberta V♣xq

onde u1 ✏u2. Ent˜ao, u1 ✏u2 em Ω

DEFINI ¸C ˜AO 1.3.3. Dado u PD✶♣_Ωq_{, definimos o suporte de u como sendo a interse¸c˜ao de todos os} fechados de Ω fora dos quais u ´e nulo. Denotamos o suporte de u por S♣uq.

OBSERVA ¸C ˜AO:As defini¸c˜oes de suporte de distribui¸c˜oes e de fun¸c˜oes coincidem, para fun¸c˜oes que s˜ao

cont´ınuas.

DEFINI ¸C ˜AO 1.3.4. Uma distribui¸c˜ao u P D✶♣_Ωq _{´e dita ser C}✽ _{em um aberto U} ⑨ _{Ω, se existe} f PC✽♣Uq tal que

①u, φ② ✏

➺

f♣xqφ♣xqdx; φ PC_c✽♣Uq.

DEFINI ¸C ˜AO 1.3.5. Definimos o suporte singular de u P D✶♣_Ωq_{, como sendo a intersec¸c˜ao de todos} os fechados de Ω fora dos quais u ´e C✽. Denotaremos o suporte singular de uPD✶♣_Ωq _{por SS}♣_uq_.

DEFINI ¸C ˜AO 1.3.6. Se Ω ´e aberto de Rn_{, denotamos o espa¸co das distribui¸c˜oes em Ω com suporte} compacto por E✶♣_Ωq_.

T

EOREMA 1.3.7. Seja uPE✶♣_Ωq_{. Existe um ´unico funcional linear u}r_:C✽♣_Ωq Ñ C _{tal que,} 1. ru♣φq ✏ u♣φq❅φPC_c✽♣Ωq.

2. ru♣φq ✏ 0 se φ PC✽♣Ωq e S♣φq➇S♣uq ✘ ❍.

DEFINI ¸C ˜AO 1.3.8. Uma seq¨uˆencia ♣φjq de fun¸c˜oes C✽♣Ωq converge a zero em C✽♣Ωq quando para todo compacto K e qualquer α em Nn _{a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes} ♣❇α_φjq _{converge uniformemente a zero}

em K.

OBSERVA ¸C ˜AO: Se♣φ_jq´e uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes convergindo a zero emC_c✽♣Ωq, ent˜ao,♣φ_jqconverge

Usaremos a seguinte nota¸c˜ao, dado α ✏ ♣α1, ..., αnq P Nn, i ✏

❄

✁1 e x ✏ ♣x1, ..., xnq P Rn denotaremos:

⑤α⑤ ✏ n

➳

j_✏1

αj Dj ✏ 1

i

❇ ❇xj

Dα ✏Dα1

1 ☎ ☎ ☎D

αn

n x

α _✏xα1

1 ☎ ☎ ☎x

αn

n α!✏α1!☎ ☎ ☎αn!

T

EOREMA 1.3.9. Sejam Ω um aberto de Rn _{e u um funcional linear em C}✽♣_Ωq_{. u ´e cont´ınuo ´e} se e somente se existem K ⑨Ω compacto, uma constante real positiva C e mP Z _{tais que:}

⑤①u, φ②⑤ ↕C ➳ ⑤α⑤↕m

sup K ⑤

Dαφ⑤, φP C✽♣Ωq (1.6)

T

EOREMA 1.3.10. SejamΩ um aberto de Rn _{e u um funcional linear em Cc}✽♣_Ωq_{. u ´e cont´ınuo se} e somente se para todo compacto K ⑨Ω existem uma constante real positiva C e mP Z _{tais que,}

⑤①u, φ②⑤ ↕C ➳ ⑤α⑤↕m

sup⑤Dαφ⑤, φP C_c✽♣Ωq, S♣φq ⑨K. (1.7)

Sejam Ω aberto de Rn _{e uP D}✶_{♣Ωq. Se, para todo compactoK, a condi¸c˜ao (1.7) ´e satisfeita para} algum valor m fixado dizemos que u´e de ordem ↕m. O conjunto das distribui¸c˜oes em Ω de ordem

↕m´e denotado por D✶m_♣Ωq.

1.4

A transformada de Fourier em

S

Sef PL1_♣Rn_{q, definimos a transformada de Fourier de f por;}

F_f♣_ξq✏ ♣. _f♣_ξq✏.

➺

e✁ixξf♣xqdx, ξP Rn _(1.8)

onde i ✏ ❄✁1, x ✏ ♣x1, ..., xnq, ξ ✏ ♣ξ1, ..., ξnq e xξ ✏ x1ξ1 ☎ ☎ ☎ xnξn. Temos que f♣´e cont´ınua e limitada.

Como j´a foi visto ´e poss´ıvel estender a D✶ _{um operador cont´ınuo definido em Cc}✽_{, o que n˜ao ´e}

aplic´avel neste caso, j´a que se φ P C_c✽♣Rn_{q, ent˜ao, φ}♣_{n˜ao tem suporte compacto a menos que φ seja} a fun¸c˜ao nula 1_{. Por isso definimos um espa¸co que contem C}✽

c e ´e invariante por transformada de 1_{Pelo Teorema 2.1.2 a transformada de Fourier ´e anal´ıtica real, deste modo, se possuir suporte compacto ela ser´a}

Fourier.

DEFINI ¸C ˜AO 1.4.1. Denotamos por S (ou S♣Rn_{q) o subespa¸co das fun¸c˜oes φ P C}✽_♣Rn_{q tais que} supt⑤xαDβφ⑤✉ ➔ ✽, para todo α, β P Nn_.

DEFINI ¸C ˜AO 1.4.2. Dizemos que uma seq¨uˆencia tφj✉✽j✏1 ⑨ S converge a zero em S se para todo

α, β PNn _{temos x}α_Dβ_φj Ñ_{0 uniformemente.}

S _{´e invariante por multiplica¸c˜ao por polinˆomio e deriva¸c˜ao e ainda} S ⑨_L1_♣Rn_q.

T

EOREMA 1.4.3. A transformada de Fourier ´e um operador cont´ınuo de S _em S _{e valem:}

③

Dα_φ♣_ξq ✏ _ξα_φ♣_{♣ξq (1.9)}

F♣_xα_{φ♣xqq ♣ξq ✏ ♣✁1q}⑤α⑤_Dα_φ♣_{♣ξq. (1.10)}

T

EOREMA 1.4.4. A transformada de Fourier ´e continuamente invert´ıvel de S♣Rn_{q em S♣R}n_{q e} F✁1_{φ♣xq ✏} 1

♣2πqn

➺

eixξφ♣ξqdξ, φ PS♣Rnq_{. (1.11)}

T

EOREMA 1.4.5. Se φ, ψPS_{, ent˜ao,}

➺ ♣

φψdx ✏

➺

φψdx♣ (1.12)

➺

φψdx ✏ ♣2πq✁n

➺ ♣

φψdx♣ (1.13)

③

φ✝ψ ✏ ♣φ☎ ♣ψ (1.14)

①

φψ ✏ ♣2πq✁nφ♣✝ ♣ψ. (1.15)

1.5

A transformada de Fourier em

S

✶

DEFINI ¸C ˜AO 1.5.1. Um funcional linear e cont´ınuo em S ´e dito uma distribui¸c˜ao temperada. O

espa¸co das distribui¸c˜oes temperadas se denota por S✶_.

T

EOREMA 1.5.2. Seja u um funcional linear em S_{. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:} 1. u ´e cont´ınua;

2. Existem inteiros positivos M, m tais que

⑤①u, φ②⑤ ↕ ➳ ⑤α⑤↕m

sup x ⑤♣

1 ⑤x⑤2qmDαφ♣xq⑤, φP S_.

DEFINI ¸C ˜AO 1.5.3. Dado tuj✉✽j_✏1 ⑨S✶ e uPS✶ dizemos queuj Ñu em S✶ quando, para todo φ PS,

①uj, φ② Ñ ①u, φ②, quando j Ñ ✽. As defini¸c˜oes de convergˆencia em D✶ e E✶ s˜ao definidas de modo an´alogo.

DEFINI ¸C ˜AO 1.5.4. Seja uPS✶_{, a transformada de Fourier de u ´e definida por}

①♣u, φ② ✏ ①u,φ♣②, φ PS_.

T

EOREMA 1.5.5. (i) Se f P L1_♣Rn_{q a transformada de Fourier de f como distribui¸c˜ao temperada} coincide com a transformada de f dada por (1.8).

(ii) Se f PL2_♣Rn_{q, ent˜ao, f}♣_PL2_♣Rn_{q e ⑥f⑥}2

2 ✏ ♣2πq✁n⑥ ♣f⑥22.

(iii) Se uPE✶♣Rnq_{, ent˜ao,} ♣_{u´e uma fun¸c˜ao C}✽ _{dada por}

♣

u♣ξq ✏ ①ux, e✁ixξ②. (1.16)

(iv) Se uP S✶ _ent˜ao

③

2

Conjuntos frente de onda.

O Teorema de Paley-Wiener caracteriza a suavidade de uma fun¸c˜ao a partir da transformada de Fourier. Na primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo ser´a apresentada a prova de um dos teoremas de Paley-Wiener. Quanto `a analiticidade o resultado obtido via transformada de Fourier se baseia em estimativas usando uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes corte, o que faz o resultado via transformada de Fourier ser de dif´ıcil aplica¸c˜ao. H´a uma caracteriza¸c˜ao para o conjunto frente de onda anal´ıtico via transformada FBI, a qual ´e de aplica¸c˜ao mais simples que o resultado via transformada de Fourier. A transformada FBI ´e semelhante `a transformada de Fourier. Dada uma distribui¸c˜aou com suporte compacto definimos sua transformada FBI por Fu♣x, ξq ✏

❆

uy, ei♣x✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁y⑤

2❊

. Dado um aberto conexo B ⑨ Sm✁1, com a topologia induzida de Rm_{, chamamos o conjunto Γ} ✏ t_tx P Rm _{: x} P

B, t → 0✉ de cone aberto conexo com v´ertice na origem. Neste trabalho demonstramos que um ponto n˜ao est´a no conjunto frente de onda anal´ıtico de uma distribui¸c˜ao se, e somente se, existem uma vizinhan¸ca V e um cone Γ tal que a transformada FBI desta distribui¸c˜ao possui decrescimento exponencial em V ✂Γ. De forma an´aloga demonstra-se que um ponto n˜ao est´a no conjunto frente de onda C✽ de uma distribui¸c˜ao se, e somente se, existem uma uma vizinhan¸ca V e um cone Γ tal que a transformada FBI desta distribui¸c˜ao possui decrescimento r´apido em V ✂Γ.

2.1

Os Teoremas de Paley-Wiener

Sejaf P L1_♣Rn_{qe suponha quex}

jf♣xq PL1♣Rnq. Pelo Teorema 1.5.5 temos quex②jf existe no sentido cl´assico, e que ②xjf ´e cont´ınuo. Pela equa¸c˜ao (1.10) obtemos ❇ejf♣✏ ✁iF♣xjf♣xqq, deste modo, ❇ ♣ f

❇ξj existe no sentido cl´assico e ´e cont´ınuo. Mais geralmente, se existemnatural em quexα_{f♣xq PL}1_♣Rn_q, para⑤α⑤ ↕msegue quef♣PCm_♣Rn_{q. Neste sentido a transformada de Fourier converte decrescimento}

no infinito em regularidade. Intuitivamente sexαf♣xq PL1♣Rnq_ent˜aof♣_xq_{deve tender a zero quando}

⑤x⑤ Ñ ✽para compensar o crescimento dexα_{. Mas isto n˜ao deve ser entendido literalmente, considere} a fun¸c˜ao f :r0,✽q dada por

f♣xq ✏ 23n_x✁23n_S

n✁1, xP rSn✁1;Snq, n ✏2,3, ...

em que Sn✏ n

➳

j✏1

1

22j, para esta fun¸c˜ao tem-se lim sup xÑ✽

f♣xq ✏ ✽ e

➺

f♣xqdx ➔ ✽. Quando f tem suporte compacto (que ´e o m´aximo que se pode exigir em mat´eria de tender a zero no infinito) obt´em-se a m´axima regularidade def♣. Isto ser´a estudado com mais detalhes nos Teoremas de Paley-Wiener. Dada u P E✶♣Rn_{q, pelo Teorema 1.5.5, u♣´e de classe C}✽ _{e ♣u♣ξq ✏ ①u}

x, e✁ixξ②. Deste modo, ´e natural estender u♣♣ξqde Rn _para Cn _{definindo o operador}

♣

u♣ζq ✏ ①ux, e✁ixζ②,

em que xζ ✏x1ζ1 ☎ ☎ ☎ xnζn, x✏ ♣x1, ..., xnq PRn eζ ✏ ♣ζ1, ..., ζnq PCn . Este operador est´a bem definido pois e✁ixζ _{´e uma fun¸c˜ao de classeC}✽_♣Rn_q.

Defina

ej♣x, ζq ✏ j

➳

k✏0

♣✁ixζqk k! ,

j´a sabemos queej♣x, ζq Ñ e✁ixζ uniformemente em em qualquer compacto. Deste modo, dadoα PNn temos

❇α

x ej♣x, ζq ✁e✁ixζ

✟ ✏

✩ ✫ ✪

j

➳

k✏⑤α⑤

♣✁iζqα♣✁ixζq k✁⑤α⑤

k! k♣k✁1q ☎ ☎ ☎ ♣k✁ ⑤α⑤ 1q

✱ ✳

✲✁ ♣✁iζqαe✁ixζ

✏ ♣✁iζqα

✩ ✫ ✪

☎ ✆ ➳j

k_✏⑤α_⑤

♣✁ixζqk✁⑤α⑤

♣k✁ ⑤α⑤q!

☞

✌✁e✁ixζ

✱ ✳ ✲

✏ ♣✁iζqα

★✄_j✁⑤α⑤ ➳

k✏0

♣✁ixζqk k!

☛

✁e✁ixζ

✰

✏ ♣✁iζqα ej✁⑤α⑤✁eixζ

✟ Ñ0

uniformemente em qualquer compacto, quando j Ñ ✽. Ent˜ao, conclu´ımos que ej♣x, ζq Ñe✁ixζ em C✽ quando j Ñ ✽. Pela continuidade de u, em C✽♣Rnq_, ♣_u♣_ζq ✏ _lim

polinˆomio em ♣x, ζq segue que

①u, ej♣x, ζq② ✏

❈

u, j

➳

k✏0

♣✁ixζqk k!

●

´e polinˆomio em ζ. A distribui¸c˜ao u P E✶ _{satisfaz a estimativa (1.6), ou seja, existem constantes}

positivas e reais R, C e natural m tais que

⑤①u, φ②⑤ ↕ ➳ ⑤α⑤↕m

sup ⑤x⑤↕R

⑤Dαφ⑤, φ PC✽♣Rnq_.

Por outro lado ♣✁ixζ_k!qk PC✽ para todoζ PCn _{e para todo k natural,}

⑤①u, ej♣x, ζq②⑤ ✏

✞✞ ✞✞ ✞

j

➳

k✏0

❇

ux,♣✁ ixζqk

k!

❋✞✞ ✞✞ ✞

↕ C

j

➳

k✏0

➳

⑤α⑤↕m sup ⑤x⑤↕R

✞✞ ✞✞Dαx

✧

♣✁ixζqk k!

✯✞✞

✞✞. (2.1)

Sabe-se que

❇α_♣✁ixζqk_✏

✩ ✫ ✪

k♣k✁1q ☎ ☎ ☎ ♣k✁ ⑤α⑤ 1q♣✁ixζqk✁⑤α⑤♣✁iζqα, se ⑤α⑤ ↕k

0, se ⑤α⑤ →k

e assim,

sup ⑤x⑤↕R

✞✞ ✞✞Dα_x

✂ ✁ixζ

k!

✡✞✞

✞✞ ↕ sup ⑤x⑤↕R

1

♣k✁ ⑤α⑤q!⑤xζ⑤

k✁⑤α⑤_⑤ζα_⑤

↕ sup ⑤x⑤↕R

1

♣k✁ ⑤α⑤q!♣⑤x⑤⑤ζ⑤q

k✁⑤α⑤_⑤ζ⑤⑤α⑤

↕ _♣ 1

k✁ ⑤α⑤q!R

k✁⑤α⑤_⑤ζ⑤⑤α⑤_.

Ao voltar na desigualdade (2.1) temos,

⑤①u, ej♣x, ζq②⑤ ↕ C j

➳

k✏⑤α⑤

➳

⑤α⑤↕m 1

♣k✁ ⑤α⑤q!R

mostrando que se ⑤ζ⑤ ➔M ent˜ao,

✞✞ ✞✞ ✞

✽

➳

k_✏0

❇

u,♣✁ixζq k

k!

❋✞✞ ✞✞ ✞↕C

✽

➳

k✏⑤α⑤

➳

⑤α⑤↕m 1

♣k✁ ⑤α⑤q!R

k✁⑤α⑤_Mk_.

A s´erie `a esquerda, na express˜ao acima, pelo teorema de Weierstrass, converge uniformemente em compactos. Logo,①u, ej♣x, ζq②converge uniformemente a♣u♣ζqem compactos deCne, pela completude de O♣Cnq _{(conjunto das fun¸c˜oes holomorfas em} Cn_{), tem-se que} ♣_u♣_ζq _{´e holomorfa. Agora estamos} prontos para a pr´oxima defini¸c˜ao.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.1. Seja uPE✶♣Rmq_{, a fun¸c˜ao inteira} ♣_u♣_ζq ✏ ①_{ux, e}✁ixζ②_{´e chamada transformada de} Fourier-Laplace de u. Sua restri¸c˜ao `a Rn _{´e a transformada de Fourier de u.}

A transformada de Fourier-Laplace possui propriedades an´alogas `as da transformada de Fourier, com rela¸c˜ao a deriva¸c˜ao, convolu¸c˜ao, etc.

H´a dois Teoremas de Paley-Wiener, um para fun¸c˜oes e outro para distribui¸c˜oes, primeiro faremos o Teorema de Paley-Wiener para fun¸c˜oes e logo depois enunciaremos, sem demonstrar, o Teorema para distribui¸c˜oes.

T

EOREMA 2.1.2 (Paley-Wiener). Uma fun¸c˜ao U♣ζq inteira em Cn _{´e a transformada de} Fourier-Laplace de uma fun¸c˜ao u P C_c✽♣Rn_{q com S♣uq ⑨ tx : ⑤x⑤ ↕ R✉ se, e somente se, para cada inteiro} positivo N existe uma constante CN tal que

⑤U♣ζq⑤ ↕CN♣1 ⑤ζ⑤q✁NeR⑤ ℑζ⑤_.

(2.2)

DEMONSTRA ¸C ˜AO.♣ñqDadouP C_c✽♣Rnq ⑨E✶♣Rnq, foi demonstrado que u♣♣ζq´e inteira. Portanto, s´o

nos resta demonstrar a desigualdade (2.2). Pela defini¸c˜ao da transformada de Fourier

⑤♣u♣ζq⑤ ✏✞✞✞✞

➺

e✁ixζu♣xqdx✞✞✞✞ ↕

➺

⑤e✁ixζ⑤⑤u♣xq⑤dx. (2.3)

Sex✏ ♣x1, ..., xnq PRn e ζ ✏ ♣ζ1, ..., ζnq PCn ent˜ao

⑤e✁ixζ⑤ ✏

✞✞ ✞✞ ✞exp

★ ✁i

n

➳

j✏1

xj♣Rζj iℑζjq

✰✞✞ ✞✞ ✞✏

✞✞ ✞✞ ✞exp

★ _n ➳

j✏1

♣xjℑζjq

✰✞✞ ✞✞ ✞↕e⑤x⑤⑤

Pela desigualdade acima e por S♣uq ⑨ tx:⑤x⑤ ↕R✉conclu´ımos que

⑤♣u♣ζq⑤ ↕

➺

⑤x⑤↕R

e⑤x⑤⑤ℑζ⑤⑤u♣xq⑤dx↕eR⑤ℑζ⑤

➺

⑤u♣xq⑤dx✏eR⑤ℑζ⑤⑥u⑥1. (2.4)

Para todo naturalN fixado e j P t1, ..., n✉,

⑤③DN

j u♣ζq⑤ ✏ ⑤

❅

DNj ux, e✁ixζ

❉

⑤ ✏ ⑤❅ux,♣✁iζjqNe✁ixζj

❉

⑤ ✏ ⑤ζjNu♣♣ζq⑤

e analogamente a (2.4)

⑤ζ_jNu♣♣ζq⑤ ✏ ⑤③DN

j u♣ζq⑤ ↕ ⑥D N j u⑥1eR⑤

ℑζ⑤_.

(2.5) Ao somar (2.4) e (2.5), para 1 ↕j ↕n e definir C✏sup✥⑥u⑥1 ⑥D1Nu⑥1 ☎ ☎ ☎ ⑥DNnu⑥1

✭

temos,

♣1 ⑤ζ1⑤N ☎ ☎ ☎ ⑤ζn⑤Nq⑤♣u♣ζq⑤ ↕CeR⑤

ℑζ⑤_{. (2.6)}

Por outro lado (ver Apˆendice, Teorema 3.4.2) existe uma constante BN que s´o depende de N en em que

♣1 ⑤ζ⑤qN ↕BN♣1 ⑤ζ1⑤N ☎ ☎ ☎ ⑤ζn⑤Nq. (2.7)

Seja CN ✏BNC, por (2.6)e (2.7),

♣1 ⑤ζ⑤qN⑤♣u♣ζq⑤ ↕BN♣1 ⑤ζ1⑤N ☎ ☎ ☎ ⑤ζn⑤Nq⑤♣u♣ζq⑤ ↕CNeR⑤ ℑζ⑤_.

♣ðq Reciprocamente, seja U inteira satisfazendo a estimativa (2.2). Quando ζ ✏ ξ P Rn _segue que

⑤ξlU♣ξq⑤ ↕ ⑤ξl⑤⑤U♣ξq⑤

↕ ⑤ξ⑤⑤l⑤CN♣1 ⑤ξ⑤q✁NeR ℑξ

↕ CN♣1 ⑤ξ⑤q⑤l⑤✁N, (2.8)

para todo multi-´ındicel. ParaN tal que⑤l⑤✁N ➔ ✁n, mostra-se que o lado esquerdo da desigualdade acima ´e integr´avel. Pela equa¸c˜ao (1.10), paraF✁1_{, temos queF}✁1_♣U

⑤Rnq´e de classeC✽. Deste modo,

consideremos u♣ξq ✏F✁1_♣U

quando ⑤x⑤ →R. Dado real positivo A considere a integral

IA✏

➺A

✁A eix1ζ1

U♣ζqdζ1. (2.9)

Por outro lado, dado η PCn _{e h}♣_ζ1q ✏ _eix1ζ1_U♣_ζq

,ζ ✏ ♣ζ1, ..., ζnq eη ✏ ♣η1, .., ηnq, como h´e anal´ıtica

IA ✏

➺_✁A iη1

✁A

h♣ζ1qdζ1

➺A iη1

✁A iη1

h♣ζ1qdζ1

➺A

A iη1

h♣ζ1qdζ1

✏ ➺η1

0

h♣✁A itqdt

➺A

✁A

h♣t iη1qdt

➺0

η1

h♣A itqdt, (2.10)

em que na segunda igualdade as integrais s˜ao reais. DadoN natural, paraA suficientemente grande, por (2.2),

✞✞

✞✞➺₀η1h♣✁A itqdt✞✞✞✞ ↕

➺η1

0

⑤h♣✁A itq⑤dt

✏ ➺η1

0

⑤e✁ix1A✁x1t⑤⑤

U♣✁A it, ζ2, ..., ζnq⑤dt

✏ ➺η1

0

e✁x1t

CN♣1 ⑤♣✁A it, ζ2, ..., ζnq⑤q✁NeR⑤

ℑ♣✁A it,ζ2,...,ζnq⑤_dt

↕ sup tPr0,η1s

✥

e✁x1t

eR⑤♣t,ℑζ2,...,ℑζnq⑤✭_C

N

➺η1

0

♣1 ⑤ ✁A it⑤q✁Ndt

↕ C♣1✁ ⑤A⑤q✁N

➺η1

0

dt Ñ0,

quando AÑ ✽. Analogamente

➺0

η1

h♣A itqdt Ñ0 quando A Ñ ✽.

Assim, fazendo AÑ ✽ em (2.9) e (2.10)

➺

eix1ξ1

U♣ξ1, ζ2, ..., ζnqdξ1 ✏

➺

eix1♣ξ1 iη1q

U♣ξ1 iη1, ζ2, ..., ζnqdξ1.

Se reiterarmos o argumento nas demais vari´aveis temos, 1

♣2πqn

➺

eix♣ξ iηqU♣ξ iηqdξ✏ 1

♣2πqn

➺

eixξU♣ξqdξ✏F✁1_♣U

Por (2.2), para N ✏n 1,

⑤u♣xq⑤ ↕ ♣2πq✁n

➺

e✁xη⑤U♣ξ iηq⑤dξ

↕ ♣2πq✁n

➺

e✁xηCn 1♣1 ⑤ξ iη⑤q✁n✁1eR⑤η⑤dξ

↕ ♣2πq✁n

➺

e✁xηCn 1♣1 ⑤ξ⑤q✁n✁1eR⑤η⑤dξ

↕ ♣2πq✁neR⑤η⑤✁xηCn 1

➺

♣1 ⑤ξ⑤q✁n✁1dξ,

como ♣1 ⑤ξ⑤q✁n✁1 _PL1_♣Rn_{q existe constante C em que}

⑤u♣xq⑤ ↕ CeR⑤η⑤✁xη.

Seja η✏tx, para algum tP R_,

⑤u♣xq⑤ ↕ Ce⑤t⑤⑤x⑤♣R✁⑤x⑤q. (2.12)

Para ⑤x⑤ →R temos ⑤t⑤⑤x⑤♣R✁ ⑤x⑤q ↕0, por issoe⑤t⑤⑤x⑤♣R✁⑤x⑤q _{Ñ0 quando tÑ ✽. Portanto ⑤u♣xq⑤ ↕ 0,} ou seja, u♣xq ✏0 quando ⑤x⑤ →R. Finalmente provaremos queu♣♣ζq ✏ U♣ζq. De (2.11) segue que

u♣xq ✏ 1

♣2πqne ✁xη

➺

eixηU♣ξ iηqdξ✏e✁xηF✁1

ξ ♣U♣ξ iηqq♣xq.

Ent˜ao,

♣

u♣ξ iηq ✏

➺

e✁i♣ξ iηqxu♣xqdx✏

➺

e✁iξxeηxu♣xqdx

✏ F♣_eηx_{u♣xqq♣ξq ✏F♣F}✁1_{U♣ξ iηq♣xqq♣ξq}

✏ U♣ξ iηq.

Na demonstra¸c˜ao anterior poder´ıamos ter verificado que ♣u♣ζq ✏U♣ζq, pelo seguinte fato: Dadas

f e g fun¸c˜oes inteiras em Cn _{tais que f}⑤_Rn ✏g⑤_Rn ent˜ao f eg coincidem em Cn.

A seguir ser´a enunciado, sem demonstra¸c˜ao o outro Teorema de Paley-Wiener.

tais que

⑤U♣ζq⑤ ↕C♣1 ⑤ζ⑤qNeR⑤ℑζ⑤.

COROL ´ARIO 2.1.4. Sejam Ω um subconjunto aberto de Rm_{, u} P D✶♣_Ωq _{e x0} P _{Ω. Tem-se que} x0 ❘SS♣uqse e somente se existe φPCc✽♣Ωq, φ ✏1 em alguma vizinhan¸ca dex0 e para cada natural

N existe constante CN →0 tal que

⑤①φu♣ξq⑤ ↕ CN♣1 ⑤ξ⑤q✁N, ❅ξ PRm.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.5. Seja B ⑨Sm✁1(em queSm✁1 ´e a esfera unit´aria deRm_{) um aberto conexo, com} a topologia induzida de Rm_{. O conjunto Γ ✏ ttx P R}m _{: x P B, t → 0✉ ´e chamado cone aberto} conexo com v´ertice na origem, quando os vetores posi¸c˜ao de quaisquer dois pontos do cone formam

um ˆangulo agudo dizemos que o cone ´e agudo.

O Corol´ario 2.1.4 nos leva `as seguintes defini¸c˜oes. DEFINI ¸C ˜AO 2.1.6. Sejam u P D✶♣_Ωq_{, Ω} ⑨ Rm _{aberto, x}

0 P Ω, e ξ0 P Rm③t0✉. N´os dizemos que

uma distribui¸c˜ao u ´e suave micro-local em ♣x0, ξ0q se existe φP Cc✽♣Ωq, φ ✑1 pr´oximo de x0 e uma

vizinhan¸ca cˆonica Γ⑨Rm_{③t0✉ de ξ}0 _{tal que para todo k ✏1,2, ... e para todo ξP Γ,}

⑤①φu♣ξq⑤ ↕ Ck

♣1 ⑤ξ⑤qk.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.7. O conjunto frente de onda C✽ de uma distribui¸c˜ao u, denotado por W F♣uq, ´e definido por

W F♣uq ✏ t♣x, ξq:u n˜ao ´e suave micro-local em ♣x, ξq✉.

Dado um cone aberto conexo com v´ertice na origem Γ ⑨Rm _{e δ →0 definimos o cone truncado} Γδ ✏. Γ

➇

tν PRm _:⑤_ν⑤ ➔_δ✉_{. Se Γ}✶ _{´e outro cone, escrevemos Γ}✶ ⑨⑨_{Γ se Γ}✶➇_Sm✁1 ⑨_Γ➇_Sm✁1_.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.8. Uma fun¸c˜ao holomorfa f P O♣_{V iΓδ}q _{tem crescimento temperado se existem} um natural k e uma constante c tais que ⑤f♣x iyq⑤ ↕ _⑤yc_⑤k.

Para f PO♣_{V iΓδ}q _eν P_{Γ vamos definir a seguinte distribui¸c˜ao:}

①fν, φ② ✏

➺

T

EOREMA 2.1.9. Suponhaf PO♣_{V iΓδ}q_{de crescimento temperado ek como na defini¸c˜ao acima.} Ent˜ao,

bf ✏ lim νÑ0, νPΓδfν

est´a definido no sentido das distribui¸c˜oes em V, al´em disso bf define uma distribui¸c˜ao de ordem

k 1.

A demonstra¸c˜ao deste Teorema pode ser vista em [7].

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.10. _Sejam f P C✽♣Ωq, Ω ⑨Rm _{aberto. Uma fun¸c˜ao f}˜_{´e chamada extens˜ao quase} anal´ıtica de f se se existir uma vizinhan¸ca Ω˜ de Ω, emCm_{, tal que f}˜♣_{x, y}q P_C✽♣_Ω˜q_{, f}˜♣_x,0q ✏ _f♣_xq_,

❅xPΩ, e para cada j ✏1, ..., m

❇_f˜

❇zj

♣x, yq ✏O♣⑤y⑤kq para k✏1,2, ...

A seguir ´e apresentada, sem demonstra¸c˜ao, uma importante caracteriza¸c˜ao do conjunto frente de onda C✽.

T

EOREMA 2.1.11. Seja uP D✶♣Rm_{q. Ent˜ao♣x}

0, ξ0q ❘W F♣uqse, e somente se, existem vizinhan¸ca

V dex0, cones abertos e agudos Γ1, ...,ΓN em Rm③t0✉e fun¸c˜oesfj quase anal´ıticas em V iΓj_δ (para algum δ →0) de crescimento temperado tais que u✏

N

➳

j✏1

bfj pr´oximo de x0 e ξ0☎Γj ➔0 para todo j.

2.2

Analiticidade micro-local e a transformada FBI

u por

Fu♣x, ξq ✏ ①uy, ei♣x✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁y⑤

2

②, (2.13)

para ♣x, ξq PRm✂Rm_{, onde}♣_x✁_yq_ξ✏ m

➳

j✏1

♣xj✁yjqξj.

O pr´oximo Teorema nos d´a a inversa da transformada FBI.

T

EOREMA 2.2.2 (Invers˜ao da FBI). Seja uP C_c✽♣Rm_{q. Ent˜ao,}

u♣xq ✏ lim ǫÑ0

1

♣4π3qm2

➺ ➺

Fu♣t, ξqei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2dtdξ (2.14)

onde o limite ´e entendido no sentido de convergˆencia uniforme.

DEMONSTRA ¸C ˜AO.

Pelo Exemplo V.1.2 de [16] temos F

✂

e✁⑤x⑤

2 2

✡

♣ξq ✏ ♣2πqm2e✁

⑤ξ⑤2

2 . Da´ı, fazendo a mudan¸ca de

vari´avel η✏ξ❄2ǫ,

➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2dξ ✏

➺

ei♣x✁yqξe✁ǫ⑤ξ⑤2dξ

✏ ➺

eix❄✁2yǫηe✁⑤ η⑤2

2

✂

1 2ǫ

✡m

2

dη

✏ ✂

1 2ǫ

✡m

2

F

✂

e✁⑤η⑤

2 2

✡ ✂

y✁x

❄

2ǫ

✡

✏ ✂

1 2ǫ

✡m

2

e✁⑤x✁y⑤

2 4ǫ ♣2πq

m

2

✏ ✁π

ǫ

✠m

2

e✁⑤x✁y⑤

2 4ǫ .

Seja ǫ→0, fazendo a mudan¸ca de vari´avel t✏ x₂✁❄y ǫ, 1

♣2πqm

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2u♣yqdξdy ✏ 1

♣4πǫqm2

➺

u♣yqe✁⑤x✁y⑤

2 4ǫ dy

✏ 1

πm2

➺

u♣x✁2t❄ǫqe✁t2dt.

⑤u♣x✁2t❄ǫq ✁u♣xq⑤ ➔ δ₂ quando⑤t⑤❄ǫ➔ǫ0. Como

➺

e✁t2dt ✏πm2,

✞✞ ✞✞_π1m

2

➺

u♣x✁2t❄ǫqe✁t2dt✁u♣xq✞✞✞✞ ↕ 1 πm2

➺

⑤u♣x✁2t❄ǫq ✁u♣xq⑤e✁t2dt

✏ 1

πm2

➺

⑤t⑤➙_❄ǫ0

ǫ

⑤u♣x✁2t❄ǫq ✁u♣xq⑤e✁t2dt

1

πm2

➺

⑤t⑤➔_❄ǫ0

ǫ

⑤u♣x✁2t❄ǫq ✁u♣xq⑤e✁t2dt

↕ 2⑥u⑥✽

πm2

➺

⑤t⑤➙_❄ǫ0

ǫ

e✁t2dt δ

2.

Por outro lado, quando ǫÑ0 temos

➺

⑤t⑤➙_❄ǫ0

ǫ

e✁t2dtÑ0. Assim, existe ǫ1 tal que se⑤ǫ⑤ ➔ǫ1 ent˜ao

➺

⑤t⑤➙_❄ǫ0

ǫ

e✁t2dt↕ π

m

2δ

4⑥u⑥_✽.

Logo,

✞✞ ✞✞_π1m

2

➺

u♣x✁2t❄ǫqe✁t2dt✁u♣xq✞✞✞✞ ↕δ.

Ent˜ao, conclu´ımos que 1

♣2πqm2

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2u♣yqdξdy ✏ 1 πm2

➺

u♣x✁2t❄ǫqe✁t2dtÑu♣xq uniforme-mente, quando ǫÑ0 . Como

➺

e✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤2dt✏ π

m

2

⑤ξ⑤m2

, pelo Teorema de Fubini

u♣xq ✏ lim ǫÑ0

1

♣2πqm

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2u♣yqdξdy

✏ lim ǫÑ0

1

♣2πqm_πm2

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2u♣yq

✂➺

e✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤2⑤ξ⑤m2 dt

✡

dξdy

✏ lim ǫÑ0

1

♣4π3qm2

➺ ➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤2✁ǫ⑤ξ⑤2⑤ξ⑤m2u♣yqdydtdξ

✏ lim ǫÑ0

1

♣4π3qm2

➺ ➺ ✂➺

ei♣t✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤2u♣yqdy

✡

ei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤2⑤ξ⑤m2dtdξ

✏ lim ǫÑ0

1

♣4π3qm2

➺ ➺

Fu♣t, ξqei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2dtdξ.

que _➺

①uy, φ♣x, yq②dx✏

❇

uy,

➺

φ♣x, yqdx

❋

.

Isto pode ser demonstrado sabendo que uma distribui¸c˜ao de ordem finita se escreve como soma de derivadas de fun¸c˜oes cont´ınuas (vide [19]).

OBSERVA ¸C ˜AO: Dado u P E✶♣Rmq a equa¸c˜ao (2.14) continua valendo, com o limite no sentido de

distribui¸c˜oes de suporte compacto. De fato, dadas φ P C✽ e ψ P Cc✽♣Rmq, ψ ✏1 numa vizinhan¸ca deS♣uq obtemos ①u, φ② ✏ ①u, ψφ②. Isto ´e, basta supor φ PC_c✽. Assim, para φPC_c✽, temos

1

♣4π3qπ2

➺ ➺ ➺

Fu♣t, ξqei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2dtdξφ♣xqdx

✏ 1

♣4π3qm2

➺ ➺ ➺ ❆

uy, ei♣t✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤

2❊

ei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤2⑤ξ⑤m2 dtdξφ♣xqdx

✏ 1

♣4π3qm2

➺ ➺ ➺ ❆

uy, ei♣x✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤

2

✁ǫ⑤ξ⑤2

⑤ξ⑤m2

❊

dtdξφ♣xqdx

✏ 1

♣4π3qm2

➺ ➺ ❇

uy, ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2

➺

e✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤2dt

❋

dξφ♣xqdx

✏ 1

♣4π3qm2

➺ ➺ ❈

uy, ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2

✂

π

⑤ξ⑤

✡m

2

●

dξφ♣xqdx

✏ 1

♣4π2qm2

➺ ➺ ❆

uy, ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2❊

dξφ♣xqdx

✏ _♣ 1

2πqm

➺ ❇

uy,

➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2dξ

❋

φ♣xqdx

✏ _♣ 1

2πqm

❇

uy,

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2φ♣xqdξdx

❋

.

Para demonstrar que 1

♣2πqm

❇

uy,

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2φ♣xqdξdx

❋

Ñ ①u, φ②, quandoǫÑ0 basta observar que comouP E✶♣Rm_{qexistem K, compacto de R}m_{, n PN eC →0 tais que}

✞✞ ✞✞❇uy,

1

♣2πqm

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2φ♣xqdξdx

❋

✁ ①u, φ②✞✞✞✞

✏✞✞✞✞ ❇

uy, 1

♣2πqm

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2φ♣xqdξdx✁φ♣yq❋✞✞✞✞

↕C ➳ ⑤α⑤↕n

sup yPK

✞✞

✞✞_♣2π1_qm❇ α y

✂➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2φ♣xqdξdx

✡

✁ ❇α_φ♣yq✞✞

✞✞

✏C ➳ ⑤α⑤↕n

sup yPK

✞✞ ✞✞_♣2π1_qm

➺ ➺

✏C ➳ ⑤α⑤↕n

sup yPK

✞✞ ✞✞_♣2π1_qm

➺ ➺

♣✁1q⑤α⑤_❇α x

✁

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2

✠

φ♣xqdξdx✁ ❇αφ♣yq✞✞✞✞

✏C ➳ ⑤α⑤↕n

sup y_PK

✞✞ ✞✞_♣2π1_qm

➺ ➺

ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤2❇α_xφ♣xqdξdx✁ ❇αφ♣yq✞✞✞✞

✏C ➳ ⑤α_⑤↕n

sup yPK

✞✞ ✞✞_♣2π1_qm

✁_π

ǫ

✠m

2

➺

e✁⑤x✁y⑤

2 4ǫ ❇α

xφ♣xqdx✁ ❇ α_φ♣yq✞✞✞✞

✏C ➳ ⑤α⑤↕n

sup yPK

✞✞

✞✞₂m♣_πǫ1 qm2

➺

e✁⑤x✁y⑤

2

4ǫ ❇αφ♣xqdx✁ ❇αφ♣yq✞✞✞✞

✏C ➳ ⑤α⑤↕n

sup yPK

✞✞ ✞✞_π1m

2

➺

e✁⑤t⑤2❇αφ♣y✁2t❄ǫqdt✁ ❇αφ♣yq✞✞✞✞,

integrando por partes, pelo fato de que ⑤❇α_ei♣x✁yqξ✁ǫ⑤ξ⑤_{φ♣xq⑤ ↕ ⑤ ✁i⑤}⑤α⑤_Ce✁ǫ⑤2ξ⑤φ♣xq P L1♣Rm✂Stφ✉q

e fazendo a mudan¸ca de vari´aveis t ✏ y✁2

2ǫ12 (para uma certa constante C → 0) permite derivar sobre

o sinal de integra¸c˜ao. Veja que a ´ultima express˜ao converge a zero, j´a que, no teorema anterior provamos que dado ψ PCc♣Rmq temos

1

πm2

➺

e✁t2ψ♣x✁2t❄ǫqdt Ñψ♣xq

uniformemente, quando ǫ Ñ 0 . e ❇α_{φ P C}✽

c ♣Rmq. Portanto, quando u P E✶♣Rmq temos que que (2.14) ´e satisfeita no sentido de limite de distribui¸c˜oes de suporte compacto

O Teorema a seguir caracteriza a analiticidade de uma fun¸c˜ao pelo decaimento exponencial da transformada FBI.

T

EOREMA 2.2.3. Dada uPCc♣Rmq as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

♣iq u ´e anal´ıtica real em x0 PRm (possui s´erie de Taylor convergente, numa vizinhan¸ca de x0).

♣iiq Existem uma vizinhan¸ca V de x0 em Rm e constantes c1, c2 →0 tais que

⑤Fu♣x, ξq⑤ ↕c1e✁c2⑤ξ⑤ para ♣x, ξq PV ✂Rm. (2.15)

DEMONSTRA ¸C ˜AO.Seu´e anal´ıtica real emx₀, existem δ →0 e ruanal´ıtica emtz PCm :⑤z✁x₀⑤ ➔δ✉,

tal que ru♣xq ✏ u♣xq, quando xP Rm_{. Sem perda de generalidade assuma δ} ➔_{2. Seja φ} P _Cc✽♣Rmq_, com 0 ↕ φ ↕ 1, φ♣xq ✏ 0 quando ⑤x✁x0⑤ ➙ δ₂ e φ♣xq ✏ 1 quando ⑤x✁x0⑤ ➔ δ₄. Assim, S♣φq ⑨

B♣x0,δ₂q ⑨B♣x0, δq. Fixeξ PRm③t0✉ es P 0,δ₂

✟

e D✏ tx itsφ♣xq_⑤ξξ_⑤ : 0↕t ↕1, ⑤x✁x0⑤ ↕ δ₂✉. Dado x itsφ♣xq_⑤ξ_ξ⑤ PD, obtemos

✞✞

✞✞x itsφ♣xq ξ

⑤ξ⑤✁x0

✞✞

✞✞ ↕ ⑤x✁x0⑤ ts➔δ,

mostrando queD⑨U. Definaθ:Rm _{Ñ C}m_{,θ♣yq ✏ y✁isφ♣yq}ξ

⑤ξ_⑤. Vamos denotardz ✏dz1❫☎ ☎ ☎❫dzm e dy ✏ dy1 ❫...❫ym. Temos que ❇D ✏ Imgtθ✉

➈

B♣x0,₂δq, deste modo, pelo Teorema de Stokes,

analiticidade de ˜ue analiticidade da fun¸c˜ao exponencial, temos

➺

❇D

ei♣x✁zqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁z⑤2ur♣zqdz ✏

➺

D d

✁

ei♣x✁zqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁z⑤2ur♣zqdz

✠

✏ ➺

D

✄ _m ➳

j✏1

✄

❇ei♣x✁zqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁z⑤2ru♣zq

❇zj

dzj

❇ei♣x✁zqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁z⑤2ru♣zq

❇zj

dz¯j

☛☛

❫dz ✏0. (2.16)

Ent˜ao,

Fu♣x, ξq ✏

➺

S_♣u_q

ei♣x✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤x✁y⑤2u♣yqdy

✏ ➺

Imgtθ✉

ei♣x✁zqξ✁⑤ξ⑤♣x✁zq2ru♣zqdz

✏ ➺

S♣uq

ei♣x✁y isφ♣yq⑤ξξ⑤qξ✁⑤ξ⑤♣x✁y isφ♣yq⑤ξξ⑤q

2

r

u

✂

y✁isφ♣yq ξ

⑤ξ⑤

✡

⑤detθ✶♣yq⑤dy.

Se

Q♣x, y, ξq ✏ i

✂

x✁y isφ♣yq ξ

⑤ξ⑤

✡

ξ✁ ⑤ξ⑤

✂

x✁y isφ♣yq ξ

⑤ξ⑤

✡2

✏ i♣x✁yqξ✁sφ♣yq⑤ξ⑤ ✁ ⑤ξ⑤

✂

⑤x✁y⑤2 2isφ♣yq ξ

⑤ξ⑤♣x✁yq ✁s

2_♣

φ♣yqq2

✡

,

temos R_Q♣_{x, y, ξ}q ✏ ✁_sφ♣_yq⑤_ξ⑤ ✁ ⑤_ξ⑤⑤_x✁_y⑤2 _{⑤ξ⑤♣φ♣yqq}2_s2_{. Como φ e u s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas de}

suporte compacto existe constante real positiva C tal que ⑤detθ✶♣yq⑤⑥ru⑥_✽ ➔C. Deste modo,

⑤Fu♣x, ξq⑤ ↕

➺

S♣uq

eRQ♣x,y,ξq✞✞✞✞ru

✂

y✁isφ♣yq ξ

⑤ξ⑤

✡✞✞

✞✞⑤detθ✶♣yq⑤dy

↕ C

➺

S♣uq

eRQ♣x,y,ξqdy

✏ C

➺

⑤y_✁x0⑤↕δ₄

eRQ♣x,y,ξqdy C

➺

t⑤y_✁x0⑤➙δ₄✉➇S♣uq

eRQ♣x,y,ξqdy

Pela defini¸c˜ao de Q e de φ temos

I1♣x, ξq ↕ C

➺

⑤y✁x0⑤↕δ₄

e✁s⑤ξ⑤♣1✁sqdy ✏Ce✁s⑤ξ⑤♣1✁sq,

na ´ultima igualdadeC representa uma constante diferente. Comoδ ➔2 e 0 ➔s ➔ δ₂ temoss♣1✁sq →

0. Se⑤x✁x0⑤ ➔ δ₈ eypertence ao dom´ınio de integra¸c˜ao deI2, temos ⑤x✁y⑤ ➙ ⑤y✁x0⑤ ✁ ⑤x✁x0⑤ → ₈δ.

Ses ✏ ₁₆δ , pela defini¸c˜ao deQ temos

I2♣x, ξq ↕ C

➺

t⑤y✁x0⑤➙δ₄✉➇S♣uq

e✁⑤ξ⑤⑤x✁y⑤2 ⑤ξ⑤s2⑤φ♣yq⑤2dy↕Ce✁⑤ξ⑤3δ

2 162.

Ent˜aoFu♣x, ξq tem decrescimento exponencial.

Reciprocamente, sem perda de generalidade considere x0 ✏ 0 e suponha que para certos c1, c2

tenhamos

⑤Fu♣x, ξq⑤ ↕ c1e✁c2⑤ξ⑤,

para todo ξ em Rm _{e x pr´oximo de 0. Para provar que u´e anal´ıtica real em x0 usaremos a f´ormula} de invers˜ao dada pela equa¸c˜ao (2.14). Considere

➺ ➺

Fu♣t, ξqei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2dtdξ ✏Iǫ

1♣xq I

ǫ

2♣xq I

ǫ

3♣xq I

ǫ

4♣xq

onde Iǫ

1♣xq, I2ǫ♣xq, I3ǫ♣xq, I4ǫ♣xq representa a integral dupla de Fu♣t, ξqei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2 sobre

t♣t, ξq:⑤t⑤ ↕A1, ξP Rm✉,

t♣t, ξq:A1 ↕ ⑤t⑤ ↕A2,⑤ξ⑤ ↕B✉,

t♣t, ξq:⑤t⑤ ➙A2, ξP Rm✉,

t♣t, ξq:A1 ↕ ⑤t⑤ ↕A2,⑤ξ⑤ ➙B✉,

respectivamente, com A1, A2 e B a escolher. Nosso objetivo ´e encontrar uma vizinhan¸ca da origem

em que Iǫ

j coincide com uma fun¸c˜ao anal´ıtica real e converge uniformemente quando ǫ Ñ 0 , para j P t1,2,3,4✉. Para isso usaremos a Afirma¸c˜ao 3.4.3. Considere primeiroI1ǫ. Seja A1 →0 tal que,

Ao complexificarmos x, tomando z✏x iy com ⑤y⑤ ➔ c2

2, observe que

⑤Fu♣t, ξq⑤✞✞✞ei♣x iy✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2✞✞

✞ ⑤ξ⑤m2 ↕ c

1e✁c2⑤ξ⑤e✁yξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2

↕ c1e♣✁c2 ⑤y⑤q⑤ξ⑤⑤ξ⑤ m

2

↕ c1e✁ c2

2⑤ξ⑤⑤ξ⑤

m

2.

Ent˜ao o membro `a direita na express˜ao acima ´e uma fun¸c˜ao L1_♣Rm_{q. Como a fun¸c˜ao exponencial ´e} holomorfa, pela Afirma¸c˜ao 3.4.3, Iǫ

1♣zq´e holomorfa em tz :⑤ℑz⑤ ➔

c2

2✉. Agora s´o nos resta verificar

se Iǫ

1 converge uniformemente, caso seja convergente, este limite ser´a uma fun¸c˜ao holomorfa. Uma

vez que ǫ→0 temos

✞✞ ✞✞➺_⑤t⑤↕A

1

Fu♣t, ξqei♣x iy✁tqξ⑤ξ⑤

m

2

✁

e✁ǫ⑤ξ⑤2 ✁1

✠

dt✞✞✞✞ ↕c1e✁ c2

2⑤ξ⑤⑤ξ⑤

m

2 PL1♣Rmq,

aumentandoc1, se necess´ario. Como a integral de fun¸c˜oes integr´aveis define uma medida, dadoδ→0

existe λ →0 tal que

➺

⑤ξ⑤→λ

✞✞ ✞✞➺_⑤t⑤↕A

1

Fu♣t, ξqei♣x iy✁tqξ⑤ξ⑤

m

2

✁

e✁ǫ⑤ξ⑤2 ✁1

✠

dt✞✞✞✞dξ ↕ δ

2, (2.17)

observe que podemos tomar λ → 1. Por outro lado temos 0 ↕ 1✁e✁ǫλ2

↕ 1✁e✁ǫ _{Ñ 0, quando} ǫÑ0 , ent˜ao, existeǫ0 →0 (independente de λ e independente de x) tal que

✞✞

✞e✁ǫλ2 ✁1✞✞_{✞ ↕}δ

✂

2

➺

⑤ξ⑤↕λ

➺

⑤t⑤↕A1

c1e✁c2⑤ξ⑤⑤ξ⑤ m

2dtdξ

✡_✁1

quando ǫ↕ǫ0. Deste modo, por (2.17) e (2.18), temos

✞✞ ✞✞➺ ➺

⑤t⑤↕A1

Fu♣t, ξqei♣x iy✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2dtdξ✁

➺ ➺

⑤t⑤↕A1

Fu♣t, ξqei♣x iy✁tqξ⑤ξ⑤

m

2dtdξ✞✞✞✞

↕ ✂➺

⑤ξ⑤→λ

➺

⑤ξ⑤↕λ

✡ ✂✞✞ ✞✞➺_⑤t⑤↕A

1

Fu♣t, ξqei♣x iy✁tqξ⑤ξ⑤

m

2

✁

e✁ǫ⑤ξ⑤2 ✁1

✠

dt✞✞✞✞

✡

↕ ➺

⑤ξ_⑤↕λ

➺

⑤t_⑤↕A1

c1e✁ c2

2⑤ξ⑤⑤ξ⑤

m

2 1✁e✁ǫ⑤ξ⑤✟dtdξ δ

2

↕ ➺

⑤ξ⑤↕λ

➺

⑤t⑤↕A1

c1e✁ c2

2⑤ξ⑤⑤ξ⑤

m

2 1✁e✁ǫλ✟dtdξ δ

2

↕ δ,

quando 0➔ǫ➔ǫ0. Como ǫ0 n˜ao depende de x temos queI1ǫ♣xqconverge uniformemente para

I1♣x iyq ✏

➺ ➺

⑤t⑤↕A1

Fu♣t, ξqei♣x iy✁tqξ⑤ξ⑤

m

2dtdξ,

a qual deve ser holomorfa em tz :ℑ_z ➔ c2

2✉ pois neste dom´ınio, para todo ǫ→0,I

ǫ

1 ´e holomorfa.

Agora, vamos tratar Iǫ

2. Neste caso o dom´ınio de integra¸c˜ao ´e limitado, pela analiticidade do

integrando, podemos concluir, pela Afirma¸c˜ao 3.4.3 , que I2ǫ ´e anal´ıtica em tz :⑤ℑz⑤ ↕ c

2

2✉. Com as

mesmas id´eias feitas no caso anterior conclu´ımos que I2

ǫ converge uniformemente para uma fun¸c˜ao anal´ıtica em tz : ⑤ℑ_z⑤ ↕ c2

2✉. Observe que, diferente do caso anterior, temos ⑤ξ⑤ ↕ B (n˜ao ´e preciso

tomarλ como antes) e assim⑤Fu♣t, ξqei♣z✁tqξ⑤⑤ξ⑤

m

2 ´e limitada no dom´ınio de integra¸c˜ao de Iǫ

2. ParaI3ǫ

escolheremos A2 de modo que S♣uq ⑨ ty✶ : ⑤y✶⑤ ↕ A₄2✉, c2 ↕ A₂2 e A2 → 1. Note que no dom´ınio de

integra¸c˜ao de Iǫ

3 temos

⑤Fu♣t, ξq⑤ ✏

✞✞ ✞✞ ✞ ➺

⑤y✶⑤↕A2 4

ei♣t✁y✶qξ✁⑤ξ⑤⑤t✁y✶⑤2u♣y✶qdy✶

✞✞ ✞✞ ✞

↕ ➺

⑤y✶⑤↕A2 4

e✁⑤ξ⑤♣⑤t⑤✁⑤y✶⑤q2⑤u♣y✶q⑤dy✶

↕ ➺

⑤y✶⑤↕A2 4

e✁⑤ξ⑤♣⑤t⑤✁A42q 2

⑤u♣y✶q⑤dy✶

↕ C☎e✁⑤ξ⑤♣⑤t⑤✁A42q 2

j´a que ⑤t✁y✶⑤ ➙ ⑤t⑤ ✁ ⑤y✶⑤ ➙ ⑤t⑤ ✁A2

4 ➙A2✁

A2

4 →0. Seja ⑤y⑤ ➔

A2

4 , pela defini¸c˜ao de A2, segue que

✞✞

✞Fu♣t, ξqei♣x iy✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2✞✞

✞ ⑤ξ⑤m2 ↕ C e✁⑤ξ⑤ 9A22

16 e✁yξ✁ǫ⑤ξ⑤ 2

⑤ξ⑤m2

↕ C e✁⑤ξ⑤

9A22

16 ⑤y⑤⑤ξ⑤⑤ξ⑤

m

2

↕ C e✁⑤ξ⑤

9A22 16

A2 4 ⑤ξ⑤⑤ξ⑤

m

2

↕ C e✁✁

5A22 16 ⑤ξ⑤⑤ξ⑤

m

2 P L1♣Rmq.

Analogamente aos casos anteriores temos que I3ǫ♣zq ´e holomorfa e converge uniformemente a uma

fun¸c˜ao holomorfa. Para Iǫ

4 consideraremos ⑤x⑤ ↕A2, assim,

I4ǫ♣xq ✏

➺

⑤ξ⑤➙B

➺

A1↕⑤t⑤↕A2

Fu♣t, ξqei♣x✁tqξ✁ǫ⑤ξ⑤

2

⑤ξ⑤m2 dtdξ

✏

➺ ➺ ➺

R

ei♣x✁yqξ✁⑤ξ⑤⑤t✁y⑤2✁ǫ⑤ξ⑤2⑤ξ⑤m2u♣yqdydtdξ

em que R ✏ t♣y, t, ξq P Rm ✂Rm ✂Rm _: ⑤_ξ⑤ ➙ _{B, A1} ↕ ⑤_t⑤ ↕ _{A2 e} ⑤_y⑤ ↕ A2

4 ✉. Considere ζ♣ξq ✏

ξ is⑤ξ⑤♣x✁yq, com 0➔s➔ _5A4

2. O ramo da extens˜ao holomorfa da fun¸c˜ao m´odulo est´a bem definido

em tz PCm _:⑤ℑ_z⑤ ➔ ⑤R_z⑤✉_{. Veja que}

⑤ℑ_ζ⑤ ↕_s⑤_ξ⑤♣⑤_x⑤ ⑤_y⑤q ➔ ⑤_ξ⑤ ✏ ⑤R_ζ⑤_,

deste modo, emR, o ramo anal´ıtico da fun¸c˜ao m´odulo ①ζ② est´a bem definido . Se voltarmos paraIǫ

4,

pelo Teorema de Stokes, sendo ζ♣ξq ✏ ξ is⑤ξ⑤♣x✁yq (parametriza¸c˜ao de ❇D③Rm_{) temos}

I₄ǫ♣xq ✏

➺ ➺ ➺

R

eP♣x,y,t,ζ,ǫq①ζ♣ξq②m2u♣yqdξdydt,

com P♣x, y, t, ζ, ǫq ✏ i♣x✁yqζ✁ ①ζ②⑤t✁y⑤2✁ǫζ2. Podemos diminuir s, de modo a obters ↕ ❄2

10A2

e concluir que

R♣_ζ♣_ξqq2 _✏

ξ2✁s2⑤ξ⑤2⑤x✁y⑤2 ➙ ⑤ξ⑤2✁ ⑤ξ⑤

2

2 ✏

⑤ξ⑤2

Temos ℑ♣_ζ♣_ξqq2 _{↕ ⑤ξ⑤}2_{, assim,}

costarg♣ζ♣ξqq2✉ ✏ R♣ζ♣ξqq

2

❛

♣R♣_ζ♣_ξqq2q2 ♣_ℑ♣_ζ♣_ξqq2q2 ➙

⑤ξ⑤2

2

⑤ξ⑤2❄₂ ➙

1 2❄2 ➙

1 4.

J´a que cos2 θ

2 ✏

cos♣θq 1

2 , temos

R♣①_ζ♣_ξq②q ✏ R♣_e12log♣ζ♣ξqq 2

q ✏R

✦

e12tln⑤♣ζ♣ξqq 2

⑤ iarg♣ζ♣ξqq2✉✮

✏ ⑤♣ζ♣ξqq2⑤12 cosarg♣ζ♣ξqq 2

2 ➙ ⑤R♣ζ♣ξqq

2_⑤12 cosarg♣ζ♣ξqq

2

2

➙ ⑤ξ⑤

2

✁

cos♣arg♣ζ♣ξqq2_{q 1}

2

✠1 2

➙ ⑤ξ⑤5

8.

Assim, complexificando x e considerando z ✏ x iy✶, com ⑤x⑤ ↕ A1

4 e ⑤y✶⑤ ↕ max

✦

5♣A1q2

64 ,

s♣A1q2

32

✮

, obtemos

✞✞_eP♣z,t,ξ,ǫq✞✞ ↕ _eRt✁y✶ζ✉ Rti♣x✁yqζ✉✁Rt①ζ②✉⑤t✁y⑤2

✁ǫRζ2

↕ e✁y✶ξ✁⑤x✁y⑤2s⑤ξ⑤✁58⑤ξ⑤⑤t✁y⑤ 2

✁⑤ξ⑤2

ǫ

2 .

Para estimar o exponencial acima iremos dividir o dom´ınio deyem duas regi˜oes (lembre-se que neste caso ⑤y⑤ ↕ A2

4 ). Primeiro consideremos a regi˜ao⑤y⑤ ↕

A1

2 . Observe que neste dom´ınio temos

⑤t✁y⑤ ➙ ⑤t⑤ ✁ ⑤y⑤ ➙A1✁

A1

2 ✏

A1

2 →0, j´a que ⑤t⑤ ➙A1. Deste modo,

✞✞_eP♣z,y,t,ξ,ǫq✞✞ ↕ _e⑤y✶⑤⑤ξ⑤✁58⑤t✁y⑤ 2

⑤ξ⑤

↕ e⑤y✶⑤⑤ξ⑤✁58☎

♣A1q2 4 ⑤ξ⑤

↕ e✁

5♣A1q2 64 ⑤ξ⑤.

Agora, ao considerar a regi˜ao A1

2 ↕ ⑤y⑤ ↕

A2

4 temos

⑤x✁y⑤ ➙ ⑤y⑤ ✁ ⑤x⑤ ➙ A1

2 ✁

A1

4 ✏

A1

j´a que ⑤x⑤ ➔ A1

4 . E, ent˜ao

✞✞eP♣z,y,t,ξ,ǫq✞✞ ↕ e⑤y✶⑤⑤ξ⑤✁♣A1q

2

16 s⑤ξ⑤ ↕e✁

s♣A1q 2 32 ⑤ξ⑤,

j´a que ⑤y✶⑤ ↕ s♣A2q2

128 . Destas considera¸c˜oes sobrey vemos que existe c→0 tal que

✞✞_eP♣z,y,t,ξ,ǫq✞✞ ↕_e✁c⑤ξ⑤_,

para todo ♣y, t, ξq P R. Portanto, pela Afirma¸c˜ao 3.4.3, Iǫ

4 tamb´em ´e anal´ıtica, em uma vizinhan¸ca

de x✏ 0. De modo an´alogo ao feito em Iǫ

1 vemos que I4ǫ converge uniformemente para uma fun¸c˜ao

holomorfa.

OBSERVA ¸C ˜AO: Com uma adapta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao acima podemos mostrar que o Teorema 2.2.3

continua v´alido se no lugar de uP Cc♣Rmq supusermos uPE✶♣Rmq.

Agora vamos estudar o conjunto frente de onda anal´ıtico, mas primeiro precisamos definir anali-ticidade micro-local.

DEFINI ¸C ˜AO 2.2.4. SejamuPD✶♣Rm_q,x

0 PRm eξ0 PRm③t0✉. N´os dizemos queu´e anal´ıtica

(micro-local) em ♣x0, ξ0q se existir vizinhan¸ca V de x0 e cones abertos e conexos Γ1, ..., ΓN de Rm③t0✉ e

fun¸c˜oes holomorfas de crescimento temperadofj PO♣V iΓ j

δq(para algum δ→0) tal queu✏ N

➳

j✏1

bfj,

pr´oximo de x0 e ξ0Γj ➔0 para j P t1,2, ..., N✉.

OBSERVA ¸C ˜OES:

1. Quando m ✏1, x0 ✏ 0 e ξ0 ✏ ✁1, temos que u ´e anal´ıtica micro-local no ponto ♣0,✁1q se h´a

uma fun¸c˜ao holomorfa de crescimento temperado f sobre algum retˆangulo ♣✁a, aq ✂ ♣0, bq tal que u✏bf sobre ♣✁a, aq.

2. Uma fun¸c˜ao anal´ıtica ´e anal´ıtica micro-local em todas as dire¸c˜oes.

DEFINI ¸C ˜AO 2.2.5. O conjunto frente de onda anal´ıtico de uma distribui¸c˜aou, denotado porW Fa♣uq ´e definido porW Fa♣uq✏ t♣. x, ξq:u n˜ao ´e anal´ıtica micro-local em ♣x, ξq✉.