SIMULAÇÃO DE ACONTECIMENTOS DISCRETOS

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Simulação de Acontecimentos Discretos 1 Gestão da Produção

SIMULAÇÃO DE ACONTECIMENTOS DISCRETOS

Definições:

• Representação imitativa do funcionamento de um sistema ou processo através do funcionamento de outro.

• Estudo de um problema frequente não sujeito a experimentação directa através de um mecanismo de simulação.

• Um simulador é um mecanismo que permite ao operador reproduzir ou representar em condições experimentais fenómenos prováveis de acontecer em desempenho real.

Sistema real Simulação Modelo analítico Aumento do nível

de abstracção Aumento do

nível de realismo

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Componentes:

Modelo: Físico maquetes, dummies

Análogo túnel de vento

Esquemático diagrama de circuítos eléctricos Simbólicos algorítmos e programas informáticos Execução temporal: conjunto de resultados obtidos através da execução do

modelo para vários eventos (e para diversos valores das variáveis) de forma a analisar o desempenho.

Custos Operacionais

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

1 2 3 4

Semanas

Contos

WIP Equipamentos Mão-de-Obra Total Product Cycle Time

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

1 2 3 4

Semanas

Dias

Fios para Montagem Lead 23 -> DP02 Lead 77 -> DP02 Lead 64 -> DP01A Lead 76 -> DP01A Lead 80 -> T02 Lead 81 -> T02 TPCT

Sistema real Experiências com

o sistema real Modelo

Icónico Matemático Analógico Simulação Relações analógicas

Estocástica Deterministica Discreta Combinada Contínua

Início Definir problema Elaborar modelo de

simulação

Executar a simulação Especificar valores de variáveis e parâmetros

Avaliar resultados Propôr nova experiência

Fim Estudo de um sistema real

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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

DA SIMULAÇÃO DE ACONTECIMENTOS DISCRETOS (MÉTODO MONTE CARLO)

EXEMPLO 1:

Alfredo, o dono de uma pequena peixaria, quer avaliar a sua política de encomendas diárias de SARDINHA.

A sua regra actual é encomendar a quantidade solicitada pelos clientes (procura) no dia anterior, mas ele pensa que é altura de considerar outra regra.

O Alfredo compra o Sardinha a 0,20 contos/kg e vende-o por 0,60 contos/kg.

O peixe é encomendado no fim de cada dia e recebido no dia seguinte.

Qualquer peixe não vendido durante o dia é deitado fora.

Baseado na sua experiência, Alfredo determinou que a sua procura de sardinha se tem situado entre os 30 e 80 kg por dia.

Ele possui também um registo da frequência relativa das quantidades de procura:

Procura média por dia (kg)

Frequência relativa (%)

35 0,1 45 0,3 55 0,2 65 0,3 75 0,1 Alfredo de pretende comparar a seguinte regra com a regra actual:

Em cada dia encomendar a quantidade média de peixe que foi pedida no passado:

35.0,1+45.0,3+55.0,2+65.0,3+75.0,1 = 55 kg

(4)

METODOLOGIA 1. Definir o problema

1.1 Especificar objectivos

1.2 Identificar variáveis controláveis 1.3 Identificar variáveis não controláveis 2. Construção de um modelo de

simulação

2.1 Especificação das variáveis

(propriedades do sistema que variam)

2.2 Especificação dos parâmetros

(propriedades fixas do sistema)

2.3 Especificação das regras de decisão

(Conjunto de condições sob as quais é observado o comportamento do sistema de simulação. Estas regras são directa ou indirectamente o objectivo

da maior parte dos estudos de simulação)

2.4 Especificação da distribuição de probabilidades

(pode ser empírica ou matemática)

EXEMPLO

Maximizar lucro de vendas, testando duas regras

regra da encomenda

níveis de procura diária de Sardinha

Variáveis:

Quantidade de peixe encomendado Quantidade pedida

Quantidade vendida Parâmetros:

Custo do peixe

Preço de venda do peixe

Regra 1: Encomendar quant. vendida no dia anterior

Regra 2: Encomendar a média do passado (55 kg/dia)

Existem dados empíricos Procura média por

dia (kg)

Frequência relativa (%)

35 0,1 45 0,3 55 0,2 65 0,3 75 0,1

(5)

2.5 Especificação do incremento de tempo

(tempo fixo ou tempo variável)

3. Especificação dos valores das variáveis e dos parâmetros 3.1 Determinar condições iniciais

(afectam o desenrolar do problema)

3.2 Determinar a dimensão da simulação

(tempo ou número de simulações, até se atingir situação de equilíbrio)

4. Executar a simulação 5. Avaliação de resultados

5.1 Determinar testes estatísticos

5.2 Comparação com outra informação 6. Proposta de uma nova experiência

6.1 Alteração das condições 6.2 Reiniciar o processo

Incremento de 1 dia

Pode-se assumir para o dia zero uma encomenda de 55 kg

Para este caso pode ser por exemplo 20 dias (que corresponde a quatro semanas)

EXECUÇÃO DA SIMULAÇÃO (método de Monte Carlo)

Qn = Quantidade encomendada no dia n Pn = procura no dia n Vn = Quantidade vendida no dia n c = custo por kg Ln = Lucro do dia n p = preço por kg

REGRA 1: Qn = Pn-1 REGRA 2: Qn = 55 Ln = (Vn . p) - (Qn . c)

(6)

Geração da procura diária: números aleatórios (de 00 a 99)

Procura por dia Frequência relativa Probabilidade Intervalo de números aleatórios

35 0,1 0,1 00-09

45 0,3 0,3 10-39

55 0,2 0,2 40-59

65 0,3 0,3 60-89

75 0,1 0,1 90-99

Tabela de números aleatório discretos

06 74 05 21 33 80 60 63 96 65 50 69 49 81 15 39 31 30 29 33 50 04 05 32 47 60 88 82 99 8 89 36 64 17 51 01 74 90 15 62 00 18 53 84 40 61 19 38 20 41 27 67 00 97 95 79 98 63 18 40 99 47 32 50 22 26 42 15 10 81 55 95 99 36 49

95 58 73 98 38 33 69 30 73 82 39 51 55 37 72 55 94 27 75 30 86 92 99 66 43 60 39 64 61 35 35 45 42 53 40 07 88 04 34 06 40 83 25 46 62 59 86 80 79 24 80 68 48 99 03 09 39 51 25 18 57 81 05 07 72 95 34 62 60 95 95 46 59 40 01

30 77 78 35 93 53 69 23 63 74 6 41 93 33 10 81 88 67 2 12 29 38 90 11 03 15 65 92 83 41 02 03 94 82 01 45 74 13 50 03 88 95 07 34 09 18 91 62 75 50 23 00 59 66 25 06 06 94 65 72 87 56 67 13 95 03 72 95 22 99 48 05 78 14 20

Critério: os dois primieros dígitos em cada introdução na linha 1, depois linha 2, 3 etc.

1º dia: 06, então a procura é de 35 unidades; 2º dia: 39, então a procura é de 45, etc.

(7)

regra 1 regra 2

Dia NA Procura Qn Vn Restos Faltas Ln Qn Vn Restos Faltas Ln 0 - 55 - - - - - - - - - -

1 06 35 55 35 20 0 $ 10 55 35 20 0 $ 10 2 39 45 35 35 0 -10 $ 14 55 45 10 0 $ 16 3 89 65 45 45 0 -20 $ 18 55 55 0 -10 $ 22 4 61 65 65 65 0 0 $ 26 55 55 0 -10 $ 22 5 99 75 65 65 0 -10 $ 26 55 55 0 -20 $ 22 6 95 75 75 75 0 0 $ 30 55 55 0 -20 $ 22 7 55 55 75 55 20 0 $ 18 55 55 0 0 $ 22 8 35 45 55 45 10 0 $ 16 55 45 10 0 $ 16 9 59 55 45 45 0 -10 $ 18 55 55 0 0 $ 22 10 57 55 55 55 0 0 $ 22 55 55 0 0 $ 22 11 30 45 55 45 10 0 $ 16 55 45 10 0 $ 16 12 81 65 45 45 0 -20 $ 18 55 55 0 -10 $ 22 13 02 35 65 35 30 0 $ 8 55 35 20 0 $ 10 14 18 45 35 35 0 -10 $ 14 55 45 10 0 $ 16 15 87 65 45 45 0 -20 $ 18 55 55 0 -10 $ 22 16 68 65 65 65 0 0 $ 26 55 55 0 -10 $ 22 17 28 45 65 45 20 0 $ 14 55 45 10 0 $ 16 18 44 55 45 45 0 -10 $ 18 55 55 0 0 $ 22 19 80 65 55 55 0 -10 $ 22 55 55 0 -10 $ 22 20 84 65 65 65 0 0 $ 26 55 55 0 -10 $ 22

TOTAL 1175 1110 1000 110 -120 $ 378 1100 1010 90 -165 $ 386 MÉDIA 55.9524 55.5 50 $ 18.90 55 50.5 $ 19.30

(8)

Simulação de Acontecimentos Discretos Gestão da Produção II

8

Resultados da Simulação para 2000 pontos

regra 1 regra 2

NA Procura Qn Vn Restos Faltas LUCRO REGRA 1 Lucro Acumulado REGRA 1 Média 1 Qn Vn Restos Faltas LUCRO REGRA 2 Lucro Acumulado REGRA 2 Média 2

0 55

1 6 35 55 35 20 0 10 10 10 55 35 20 0 10 10 10 2 39 45 35 35 0 -10 14 24 12 55 45 10 0 16 26 13 3 89 65 45 45 0 -20 18 42 14 55 55 0 -10 22 48 16 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

20 84 65 65 65 0 0 26 378 18,90 55 55 0 -10 22 386 19,3 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

200

0 62 65 45 45 0 -20 18 36352 18,16 55 55 0 -10 22 38296 19,13

Representação gráfica dos resultados Variação do lucro ao longo da simulação

0 5 10 15 20 25 30 35

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nº de simulações

Variação do lucro (contos)

LUCRO REGRA 1 LUCRO REGRA 2

0 5 10 15 20 25 30 35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Nº de simulações

LUCRO REGRA 1 LUCRO REGRA 2

0 5 10 15 20 25 30 35

0 500 1000 1500 2000

Nº de simulações

LUCRO REGRA 1

0 5 10 15 20 25 30 35

0 500 1000 1500 2000

Nº de simulações

LUCRO REGRA 2

(9)

9

Evolução do lucro acumulado ao longo da simulação

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0 5 10 15 20

Nº de simulações

Lucro acumulado (contos)

Lucro Acumulado REGRA 1 Lucro Acumulado REGRA 2

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

0 500 1000 1500 2000

Nº de simulações

Lucro acumulado (contos)

Lucro Acumulado REGRA 1 Lucro Acumulado REGRA 2

Evolução do valor médio ao longo da simulação

18,9 19,3

15 16 17 18 19 20 21

0 5 10 15 20

Nº de simulações

Média do Lucro (contos)

Valor Médio do Lucro REGRA 1

Valor Médio do Lucro REGRA 2

18,1578 19,1289

15 16 17 18 19 20 21

0 500 1000 1500 2000

Nº de smulações

Valor Médio do Lucro REGRA 1 Valor Médio do Lucro REGRA 2

Evoluções para vários conjuntos de números aleaórios

18,0150 18,9850

15 16 17 18 19 20 21

0 500 1000 1500 2000

Nº de smulações

18,2078 19,1109

15 16 17 18 19 20 21

0 500 1000 1500 2000

Nº de smulações

Regra 1 Regra 2

Regra 2

Regra 1 Regra 2

Regra 1

Regra 2 Regra 1

(10)

10

EXEMPLO 2:

• Linha de montagem com duas etapas

• O Bob no primeiro posto pode iniciar

uma nova unidade, após passar ao posto seguinte (não há stocks intermédios).

• O Ray inicia após o Bob lhe passar a unidade.

Objectivos:

1. Qual o tempo médio de desempenho de cada trabalhador ? 2. Qual é a taxa de output de produto através da linha ?

3. Quanto tempo é que o Bob espera pelo Ray ? 4. Quanto tempo é que o Ray espera pelo Bob ? Dados recolhidos:

Tempo de execução Ponto médio Ocorrências

(seg) (seg) Bob Ray

5 a 14,99 10 4 4

15 a 24,99 20 6 5

25 a 34,99 30 10 6

35 a 44,99 50 20 7

45 a 54,99 50 40 10

55 a 64,99 60 11 8

65 a 74,99 70 5 6

75 a 84,99 80 4 4

100 50

Intervalo de números aleatórios:

Tempo de execução Ponto médio Bob Ray

Bob Int. NA Ray Int. NA 5 a 14,99 10 4% 00-03 8% 00-07 15 a 24,99 20 6% 04-09 10% 08-17 25 a 34,99 30 10% 10-19 12% 18-29 35 a 44,99 40 20% 20-39 14% 30-43 45 a 54,99 50 40% 40-79 20% 44-63 55 a 64,99 60 11% 80-90 16% 64-79 65 a 74,99 70 5% 91-95 12% 80-91 75 a 84,99 80 4% 96-99 8% 92-99

Posto 1 Posto 2

Bob Ray

4% 6% 10% 20% 40% 11% 5% 4%

8% 10% 12% 14% 20% 16% 12% 8%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

10 20 30 40 50 60 70 80 Tempo de Execução (Seg.)

Probabilidade de ocorrência Bob

Ray

(11)

11

BOB RAY Indicadores desempenho

NA Inicial (seg) Execução(seg) Final(seg) NA Inicial (seg) Execução(seg) Final(seg) Tempo de espera (Bob) Tempo de Espera (Ray) Tciclo (seg/unid) T.médio espera (Bob) T.médio espera (Ray)

1 56 0 50 50 83 50 70 120 0 50 120,00 0,00 50,00 2 55 50 50 100 47 120 50 170 20 0 85,00 10,00 25,00 3 84 120 60 180 8 180 20 200 0 10 66,67 6,67 20,00 4 36 180 40 220 5 220 10 230 0 20 57,50 5,00 20,00 5 26 220 40 260 42 260 40 300 0 30 60,00 4,00 22,00 6 95 260 70 330 95 330 80 410 0 30 68,33 3,33 23,33 7 66 330 50 380 17 410 20 430 30 0 61,43 7,14 20,00 8 3 410 10 420 21 430 30 460 10 0 57,50 7,50 17,50 9 57 430 50 480 31 480 40 520 0 20 57,78 6,67 17,78 10 69 480 50 530 90 530 70 600 0 10 60,00 6,00 17,00

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1000 52 56030 50 56080 94 56080 80 56160 0 0 56,16 10,59 9,55 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2000 20 113330 40 113370 57 113390 50 113440 20 0 56,72 10,67 9,58

60,00

6,00 17,00

0 20 40 60 80 100 120 140

0 2 4 6 8 10

Nº de simulações

Tempo (seg)

Valor médio do Tempo de Ciclo (seg/unid)

Valor médio do Tempo de Espera (Bob) Valor médio do Tempo de Espera (Ray)

56,16

10,59 0 9,55

20 40 60 80 100 120 140

0 200 400 600 800 1000

Nº de simulações

Tempo (seg)

Valor médio do Tempo de Espera (Bob)

Valor médio do Tempo de Espera (Ray)

Vários conjuntos de números aleatórios

56,79

11,02 0 9,48

20 40 60 80 100 120 140

0 200 400 600 800 1000

Nº de simulações

Tempo (seg)

56,74

10,56 0 9,23

20 40 60 80 100 120 140

0 200 400 600 800 1000

Nº de simulações

Tempo (seg)

(12)

12

EXEMPLO 3:

Exemplo 2, utillizando média e desvio padrão em vez de “histograma”

Admitindo que as variáveis cumprem distribuição normal:

Valor = Média + Número aleatório de Distribuição Normal * Desvio Padrão Admitindo que: Bob: Tempo médio execução: 45 seg. Dp = 1,5 seg.

Ray: Tempo médio execução: 48 seg. Dp = 2,5 seg.

Recorre-se a números aleatórios para a distribuição normal (exemplo)

-2,104 -0,741 0,813 -0,002 0,613 1,131 0,760 -1,370 0,124 -1,358 1,185 -0,912 -2,588 0,145 0,722 -0,742 -1,888 -0,849 -1,771 0,882 -1,192 -0,492 1,571 -0,639 0,268 -0,361 -1,012 1,039 -0,675 1,177 -0,988 -0,448 0,593 0,247 -1,551 -1,344 -0,757 -0,740 -0,672 0,764 0,962 -1,623

1,145 0,147 0,727 0,623 -0,164 1,243 -0,775

-0,064 0,002 -1,538 1,285 2,358 1,221 -0,734 1,823 -0,361 -0,697 -0,408 -0,069 -0,620 -0,220 0,253 -1,888 0,516 0,090 1,068 0,809 0,159 -0,731 0,392 -0,124 -0,370 0,895 -0,839 -0,258 -0,523 1,439 -1,205 0,481 -1,399 -0,001 -1,131 1,809 0,369 -0,073 0,323 -1,557 -1,136 -1,219 -0,756 -0,499 -0,151 -0,181 -0,764 -0,365 0,035

BOB RAY Indicadores desempenho

NA Dnormal Inicial (seg.) Execução (seg.) Final (seg.) NA Dnormal Inicial (seg.) Execução (seg.) Final (seg.) Tempo de espera (Bob) Tempo de Espera (Ray) Tciclo (seg/unid) T.médio espera (Bob) T.médio espera (Ray) 1 -2,104 0,00 41,84 41,84 0,760 41,84 49,90 91,74 0,00 41,84 91,74 0,00 41,84 2 -1,370 41,84 42,95 84,79 0,145 91,74 48,36 140,11 6,95 0,00 70,05 3,48 20,92 3 0,722 91,74 46,08 137,83 -1,192 140,11 45,02 185,13 2,28 0,00 61,71 3,08 13,95 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

10 0,253 420,36 45,38 465,74 0,159 467,81 48,40 516,21 2,07 0,00 51,62 2,10 4,62 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

50 -0,683 2341,89 43,98 2385,56 0,589 2391,11 49,47 2440,58 5,25 0,00 48,81 3,11 1,12 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

-0,100 48149,11 44,85 48193,96 -0,777 48198,38 46,06 48244,44 4,42 0,00 48,24 3,24 0,27 1000

(13)

13

Representação gráfica dos resultados da simulação

51,62

2,10 4,62 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 2 4 6 8 10

Nº de simulações

Tempo (seg)

48,81

3,11Bob 1,12Ray 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50

Nº de simulações Tempo (seg) Valor médio do Tempo de Ciclo (seg/unid)

48,24

3,24 Bob 0,27 Ray 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 200 400 600 800 1000

Resultados com outra série de números aleatórios

52,34

3,07 4,86 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 2 4 6 8 10

Nº de simulações

Tempo (seg)

48,22

3,24 Bob 0,27 Ray 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 200 400 600 800 1000

(14)

Simulação de Acontecimentos Discretos 14 Gestão da Produção II

EXEMPLO 4:

A Projiflex, fabricante de retroprojectores, distribui a clientes específicos parte dos seus produtos (a restante produção são os clientes que efectuam a recolha).

A procura média por parte destes clientes é de 40 unidades unidades por semana (com desvio padrão de 10 unidades).

A Projiflex pretende sub-contratar este serviço de distribuição, existindo duas opções no mercado:

• Caso 1: transporte semanal de 40 unidades, com um custo por transporte de 100 000$.

• Caso 2: transporte semanal de 50 unidades, com um custo por transporte de 115 000$00.

As encomendas não entregues numa semana (por não haver capacidade de transporte), ficam armazenadas (custo armazém por semana = 250$/Unid) visto que foram encomendadas à produção. Para este tipo de clientes o custo de ruptura não é significativo.

Qual dos sistemas é mais vantajoso ?

A decisão não é trivial:

• O caso 1 é mais barato por transporte (por semana), mas é mais caro por unidade transportada.

• O caso 1 originará custos extras de armazém nas semanas de maior procura (encomendado à produção mas não consegue entregar).

• O caso 2 pode originar mais custos se a camioneta realizar muitas viagens sem a carga completa.

(15)

VANTAGENS DA SIMULAÇÃO

☺ Permite uma melhor compreensão do sistema real

☺ Permite analisar grandes intervalos de tempo em pouco tempo

☺ Não afecta as actividades em curso no sistema real

☺ Mais versátil e realista que os modelos matemáticos

☺ Pode ser utilizada como um jogo para actividades de "formação"

☺ Pode responder a questões do tipo "e se"

DESVANTAGENS DA SIMULAÇÃO

Não há garantia de uma boa resposta

Não há forma de provar que o sistema é fiável

Os sistemas complicados podem levar muito tempo a serem construídos e a informação a ser processada

É menos exacta que os modelos matemáticos

Os resultados da simulação dependem estritamente do seu construtor

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APLICAÇÕES DE MÉTODOS DE SIMULAÇÃO Programação da manutenção de aviões

Concepção de um aeroporto

Filas de espera no controlo de tráfego aéreo Localização e envio de ambulâncias

Programação de linhas de montagem Programação das caixas de um banco

Programação de transportes públicos (cidade) Concepção de circuitos

Concepção de um sistema de processamento de trabalho de escritório

Concepção de um sistema de comunicações Partilha de tempo de computador

Encaminhamento de chamadas telefónicas Sistemas de mensagens

Comunicações móveis

Concepção de sistemas para testes de fabrico de unidades de memória de computadores Previsão do comportamento de consumidores

Selecção de marcas Decisões de promoção Atribuição de publicidade

Atribuição de recursos a um sistema judicial Concepção de sistemas de distribuição

Localização de armazéns

Correspondência (postos de correios) Engarrafamento de refrigerantes Correio bancário

Fluxo de materiais num hospital Modelos empresariais

Produção de aço Hospital

Linhas de navegação

Operações de caminhos-de-ferro Distrito escolar

Programação de equipamento: Avião Previsão financeira

Seguros Escolas

Leasing de computadores

Operação de um terminal de cereais Concepção de um porto

Modelos industriais

Concepção de um sistema de informação Decisões de pessoal de seguros

Comunicação inter-grupos (estudos sociológicos)

Concepção de regras de encomenda Indústria aero-espacial

Produção

Logística militar Hospitais

Programação das secções fabris Peças de avião

Modelagem de metais

Controlo de trabalho em curso Estaleiro

Concepção de operações de biblioteca Programação de manutenção

Companhias de aviação Fornos de vidro

Fornos de aço

Serviço de assistência informática

Sistema de ajustamento do potencial humano Programação de recursos naturais

Minério de ferro

Mineração por escavação superficial Concepção de instalações de produção Concepção de instalações de parqueamento Programação de pessoal

Departamento de inspecção Viagens em naves espaciais

Concepção de processos petroquímicos Concepção de sistemas de resposta policial Previsão de voto político

Envio de automóveis por caminho-de-ferro Programação do tráfego ferroviário

Programação de uma siderurgia Distribuição de táxis

Coordenação de semáforos Distribuição e carga de camiões

Provisão financeira e operacional de uma universidade

Concepção de um sistema de tráfego urbano Desenvolvimento de recursos hídricos

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Últimos Desenvolvimentos

Ambientes inteligentes e distribuídos de Simulação-Realidade Virtual

” Um sistema informático utilizado para criar um ambiente artificial no qual o utilizador tem a impressão de estar nesse ambiente real e com a possibilidade de navegar através desse

SIMULAÇÃO DE ACONTECIMENTOS DISCRETOS