Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva

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Equação Vetorial da Reta

Seja uma reta que passa pelo ponto e tem a direção de um vetor não-nulo . Para que um ponto P do espaço pertença à reta , é necessário e suficiente que os vetores e sejam colineares, isto é:

ou

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Equações Paramétricas da Reta

Sejam um sistema de coordenadas, e

um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta , e

um vetor de mesma direção de .

Equações Simétricas da Reta

Estas equações são denominadas equações simétricas ou

normais de uma reta que passa por um ponto e

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Equações Reduzidas da Reta

Estas são as equações reduzidas da reta.

Retas paralelas ao plano e aos eixos coordenados

Equações Paramétricas

Equações

Simétricas

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1) Uma das componentes de é nula.

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2) Duas das componentes de são nulas.

ou, simplesmente,

r

A(x

, y

, z

)

y

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ou, simplesmente,

ou, simplesmente,

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Observação

Os eixos , e são retas particulares, que passam pela origem e têm a direção de seus versores , e , respectivamente.

As equações do eixo Ox são:

As equações do eixo Oy são:

As equações do eixo Oz são: ^x _y ^ _ ⁰ ₀ 0 0



 z x

0 0





z

y

Condição de paralelismo de duas retas

A condição de paralelismo das retas

e

é a mesma dos

vetores e , que define as

direções dessas retas, isto é:

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Condição de ortogonalidade de duas retas

A condição de ortogonalidade das retas

e

é a mesma dos

vetores e , que define as

direções dessas retas, isto é:

Exercício

1) Verificar se as retas

e

são ortogonais.

6 1 8

3 3



 





z x

y

4 3 5

1 3

 

 y  z x

r

r

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Exercício

2) Calcular o valor de para as retas e sejam ortogonais.

x z

mx y

2

3









t z

t y

t x

5 3

2 1











 r

s

Condição de coplanaridade de duas retas

A reta r

, que passa por um ponto e tem a direção de um vetor , e a reta r

, que passa por um ponto e tem a direção de um vetor

, são coplanares se os vetores , e

forem coplanares, isto é, se for nulo o produto misto

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Exercício

1) Determinar se as retas r e s são coplanares.

4 5 3

2

2   

 y z

x

3 6 1

3 1

5 

 

 

 y z

x r

s

Posições relativas de duas retas

Coplanares:

• Concorrentes • Paralelas

Duas retas r

e r

, no espaço, podem ser:

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Posições relativas de duas retas

Duas retas r

e r

, no espaço, podem ser:

Reversas

(não situadas no mesmo plano)

Exercício

1) Estudar a posição relativa das retas:

x z

x y







 2 3

t z

t y

t x

3

6 4

3 1









 r

s

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Exercício

2) Estudar a posição relativa das retas:

4 5 3

2

2 



  y z x

t z

t y

t x

2 7

2 5











 r

s

Exercício

3) Estudar a posição relativa das retas:

x z

y 2

3





z y x   r

s

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Interseção de duas retas

Duas retas e , coplanares e não paralelas, são concorrentes.

Considerando as retas abaixo, encontrar sua interseção.

1 3

2 3









 x z

x y

t z

t y

t x

2 2 1











 r

s