Eletromagnetismo I. Cap. 5: Magnetostática 5.3: A divergência e o rotacional do campo magnético. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

Eletromagnetismo I

Cap. 5: Magnetostática

5.3: A divergência e o rotacional do campo magnético Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

5.3 – A divergência e o rotacional do campo magnético

5.3.1 – A divergência de 𝐁 e a lei de Gauss para o magnetismo

Vamos utilizar a lei de Biot-Savart para calcular explicitamente a divergência do campo. Para uma distribuição volumétrica de correntes:

Tomando a divergência:

Utilizando agora a seguinte regra de produto:

com

Portanto:

ou seja: o campo magnético não apresenta divergência!

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0

Utilizando o teorema de Gauss, podemos expressar o resultado acima em forma integral (ver cap. 1):

ර

𝑆

𝐁 ⋅ 𝑑𝐀 = 0

Estas equações representam a lei de Gauss para o magnetismo nas formas diferencial e integral.

Interpretação física:

• Linhas de 𝐁 não emanam ou terminam em nenhum ponto do espaço. Todas as linhas devem ser fechadas!

• Polos magnéticos não são observados isoladamente. O que acontece quando quebramos o imã acima ao meio?

• A lei de Gauss para o magnetismo reflete a não-observação de monopolos magnéticos na natureza!

ර

𝑆

𝐁 ⋅ 𝑑𝐀 = 0

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0

5.3.2 – O rotacional de 𝐁 e a lei de Ampère

Partindo novamente da lei de Biot-Savart, vamos agora tomar o rotacional:

A regra de produto conveniente para este caso é:

e novamente vamos tomar

Com isso:

• Devemos analisar então a contribuição dos dois termos não-nulos (segundo e terceiro).

• Pode-se mostrar que o segundo termo é integrado a zero (ver livro-texto ou slides adicionais). Sobra então apenas o termo com a delta de Dirac!

Substituindo o termo com a delta na expressão do rotacional, obtemos:

Portanto:

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

𝐉

න

𝑆

𝛁 × 𝐁 ⋅ 𝑑𝐀 = 𝜇

න

𝑠

𝐉 ⋅ 𝑑𝐀

Utilizando o teorema de Stokes, podemos expressar o resultado acima em forma integral:

ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝜇

𝐼

Note que:

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

𝐉

• 𝐼_𝑖𝑛𝑡^𝑆 é a corrente total que flui através de uma superfície aberta 𝑺 delimitada pela curva 𝑪.

• A orientação de 𝐶 e o sentido do vetor normal unitário em 𝑆 (sentido positivo da corrente) estão ligados pela regra da mão-direita.

• Estas equações representam a lei de Ampère nas formas diferencial e integral.

• Assim como a lei de Biot-Savart, elas são válidas apenas para correntes estacionárias!

ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝜇

𝐼

5.3.3 – Aplicações da lei de Ampère

Como vimos no curso de Física 3, a forma integral da lei de Ampère é muito útil para a obtenção de campos magnéticos produzidos por distribuições de corrente com alta simetria. Vamos recordar alguns exemplos.

Exemplo 1: Simetria cilíndrica

Calcule o campo magnético produzido por este cilindro em todo o espaço.

Os passos a seguir são semelhantes aos que utilizamos nos problemas de lei de Gauss, fazendo as adaptações necessárias.

(i) Forma de 𝐁: Supondo que não conhecemos nada a respeito do campo, vamos utilizar o sistema de coordenadas cilíndricas e escrevê-lo na forma mais geral possível:

𝐁 = 𝐵

𝑠, 𝜙, 𝑧 ො𝐬 + 𝐵

𝑠, 𝜙, 𝑧 𝝓 + 𝐵 ෡

𝑠, 𝜙, 𝑧 ො𝐳

Por outro lado, podemos explorar as seguintes simetrias:

• Simetria de translação ao longo do eixo 𝒁 elimina dependências das componentes em 𝑧.

• Simetria de rotação em torno do eixo Z elimina dependências das componentes em 𝜙.

Com isso, obtemos até aqui:

𝐁 = 𝐵

𝑠 ො𝐬 + 𝐵

𝑠 ෡ 𝝓 + 𝐵

𝑠 ො𝐳

Agora, como 𝐉está orientado ao longo de ො𝐳, a lei de Biot-Savart nos diz que:

de forma que:

𝐵

𝑠 = 0

Além disso, note que 𝐵_𝑠 𝑠 ≠ 0 violaria a lei de Gauss para o magnetismo. Para a superfície gaussiana cilíndrica 𝑆 abaixo (incluindo as tampas):

𝐵

𝑠 = 0 ර

𝑆

𝐁 ⋅ 𝑑𝐀 = 𝐵

𝑠 2𝜋𝑠𝐿

Portanto, para que o fluxo seja sempre nulo, devemos ter:

Com isso, obtemos a forma final para o campo neste problema:

𝐁 = 𝐵

𝑠 ෡ 𝝓

o que era esperado, considerando o campo produzido por um fio fino, retilíneo e infinito (ver cap. 5.2).

A circulação de 𝐁 ao longo de 𝐶 é:

𝛤

= ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = ර

𝐶

𝐵

𝑠 ෡ 𝝓 ⋅ 𝑑𝑙 ෡ 𝝓

(ii) Amperiana e cálculo da circulação: Vamos agora escolher uma curva fechada 𝐶 na forma de um círculo de raio 𝑠, orientado no sentido de 𝐁.

= 𝐵

𝑠 ර

𝐶

𝑑𝑙 = 𝐵

𝑠 2𝜋𝑠

(iii) Corrente que flui através de 𝑆

Vamos tomar 𝑆 como sendo a área de 𝐶 (disco de raio 𝑠) com 𝐧 = ො𝐳. Devemos agora analisar separadamente duas ෝ regiões do espaço.

(iii-a) Fora do fio (𝑠 > 𝑎): Neste caso, toda a corrente do fio atravessa a superfície. Repetindo a análise do prob.

5.5-b (ver cap. 5.1), obtemos:

𝐼

= න

𝑠

𝐉 ⋅ 𝑑𝐀 = න

0 𝑎

𝐽 𝑠

2𝜋𝑠

𝑑𝑠

= 4𝐼

𝑎

න

0 𝑎

𝑠

1 − 𝑠

𝑎

𝑑𝑠

= 𝐼

Com isso, a lei de Ampère dá:

𝛤

= 𝜇

𝐼

𝐵

𝑠 2𝜋𝑠 = 𝜇

𝐼

𝐵

𝑠 = 𝜇

𝐼

⇒ 2𝜋𝑠

fio fino, retilíneo e infinito!

(iii-b) Dentro do fio (𝑠 ≤ 𝑎): Neste caso, apenas parte da corrente do fio atravessa a superfície. Verifique que:

𝐼

= 𝐼

𝑠

𝑎

(2𝑎

− 𝑠

)

e:

𝐵

𝑠 = 𝜇

𝐼

𝑠

2𝜋𝑎

(2𝑎

− 𝑠

)

Note que o campo é contínuo na superfície do fio (𝑠 = 𝑎)!

Exemplo 2: simetria planar

(i) Forma de 𝐁: Vamos agora utilizar o sistema de coordenadas cartesianas e escrever o campo na forma mais geral possível:

𝐁 = 𝐵

𝑥, 𝑦 , 𝑧 ො𝐱 + 𝐵

𝑥, 𝑦, 𝑧 ෝ 𝒚 + 𝐵

𝑥, 𝑦, 𝑧 ො𝐳

Agora, sabemos que:

• Simetria de translação ao longo dos eixos 𝑿 e 𝒀 elimina dependências das componentes em 𝑥 e 𝑦.

• Como 𝐊 aponta ao longo do eixo 𝑋, a lei de Biot-Savart nos dá 𝐵_𝑥 = 0

• Contribuições de tiras de corrente simétricas com relação ao plano 𝑋𝑍 nos mostram que 𝐵_𝑧 = 0

Com isso:

𝐁 = 𝐵

𝑧 ෝ 𝒚

Note que a regra da mão direita ainda nos indica que 𝐵_𝑦 −𝑧 = −𝐵_𝑦(𝑧) (o campo inverte de sentido abaixo do plano)!

A circulação de 𝐁 ao longo de 𝐶 é:

𝛤

= ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 + න

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥

(ii) Amperiana e cálculo da circulação: Vamos agora escolher uma curva fechada 𝐶 como indicado na figura abaixo (retângulo de comprimento l e altura 2𝑧, com 𝑧 > 0, orientado no sentido anti-horário).

= 2 න

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠𝑢𝑝

𝐵

𝑧 ො 𝐲 ⋅ (−𝑑𝑦 ො 𝐲)

= 2 න

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑓

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥

= −2𝐵

𝑧 𝑙

(iii) Corrente que flui através de 𝑆

Vamos tomar 𝑆 como sendo a área de 𝐶 com 𝐧 = ො𝐱.ෝ

𝐼

= 𝐾𝑙

e a lei de Ampère dá:

𝐵

𝑧 = − 𝜇

𝐾 2

Com isso:

−2𝐵

𝑧 𝑙 = 𝜇

𝐾𝑙

(𝑧 > 0)

e 𝐵_𝑦 −𝑧 = −𝐵_𝑦(𝑧).

Note que o campo sofre uma descontinuidade ao atravessar o plano 𝑧 = 0. Por que isto ocorre aqui?

Exemplo 3 (comentário): simetria axial

Leia o exemplo no livro-texto (ou veja gravações/notas de aula de Fis. 3) e verifique que:

𝐁 = ቐ

𝜇

𝑛𝐼 ො𝐳, dentro do solenoide 𝟎, fora do solenoide

• 𝑛 é o número de voltas por unidade de comprimento ao longo do eixo.

• O campo é uniforme dentro do solenoide! Em particular, já havíamos calculado o valor acima para pontos ao longo do eixo (ver aula 5.2)

• O campo sofre uma descontinuidade ao atravessarmos a superfície do solenoide. Por que?

• Este resultado permanece válido para uma seção transversal de formato arbitrário, mas constante ao longo de 𝑍.

Caso queira verificar, veja o problema 5.17 (desafiador) ou o exemplo a seguir.

Exemplo 4 (comentário): solenoide toroidal

Leia o exemplo no livro-texto e verifique que:

𝐁 =

𝜇

𝑁𝐼

2𝜋𝑠 𝝓, ෡ dentro do solenoide 𝟎, fora do solenoide

• 𝑁 é o número de voltas de fio e 𝑠 é a distância até o eixo 𝑍.

• Note que o campo se comporta como se tivéssemos enrolado o solenoide do exemplo anterior no formato de toroide!

• Formalmente, o maior desafio deste problema é determinar a forma do campo para uma seção transversal de forma arbitrária, por exemplo, via lei de Biot-Savart. Veja o raciocínio no livro-texto!

Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap. 5

• Purcell – cap. 6

Leitura avançada

• Zangwill – seção 10.3