Eletromagnetismo I. Cap. 2: Eletrostática 2.1: Campo elétrico. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

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Eletromagnetismo I

Cap. 2: Eletrostática

2.1: Campo elétrico

Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

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2.1 – Campo elétrico

2.2.1 - Lei de Coulomb (1784)

Força elétrica que uma carga puntiforme 𝑞 em repouso exerce sobre outra carga puntiforme 𝑄:

(permeabilidade elétrica do vácuo)

• 𝑞𝑄 > 0 (cargas de mesmo sinal): repulsão

• 𝑞𝑄 < 0 (cargas de sinais opostos): atração Verificação experimental:balança de torção

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2.1.2 - Campo elétrico

Pelo princípio da superposição, a força resultante que as cargas 𝑞₁, 𝑞₂, … exercem sobre a carga de teste 𝑄 vale:

Distribuição de cargas (discreta)

OBS: Lembre que o princípio da superposição não é óbvio. Ele vem de uma verificação experimental!

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Podemos reescrever o resultado anterior como:

onde:

é o campo elétrico produzido pela distribuição no ponto P onde a carga 𝑄 é posicionada.

Distribuição de cargas (discreta)

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Note que:

• 𝑬 depende da posição 𝒓 no espaço

• 𝑬 não depende da magnitude nem do sinal da carga de prova 𝑄, sendo portanto uma propriedade apenas da distribuição (no limite 𝑄 → 0)

• O princípio da superposição também vale para campos elétricos.

Interpretação física: distribuição de cargas produz um campo elétrico 𝑬, que “preenche” todo o espaço. Presença de 𝑬 é sentida por meio da força que ele exerce sobre objetos carregados.

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Exemplo: campo produzido por duas partículas carregadas

Configuração 1: Cargas idênticas

(a) Determine o campo elétrico resultante em um ponto 𝑃 sobre o eixo 𝑍.

(b) Discuta o limite em que 𝑃 está muito distante, de forma que 𝑧 ≫ 𝑑.

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(a) Na figura abaixo, identificamos os campos produzidos por cada partícula (supondo 𝑞 > 0). Como o arranjo é simétrico com relação ao eixo 𝑍, as componentes horizontais de 𝑬₁ e 𝑬₂ se cancelam, de forma que:

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(b) No limite 𝑧 ≫ 𝑑, podemos aproximar 𝑧² + ^𝑑Τ₂ ² ≈ 𝑧², de forma que:

𝐄 ≈ 1 4𝜋𝜀

₀

2𝑞 𝑧

²

ො𝐳

que é o campo produzido por uma carga puntiforme 2𝑞.

Este resultado está de acordo com a nossa expectativa pois, a longas distâncias, as dimensões da distribuição se tornam irrelevantes e a enxergamos como uma carga puntiforme contendo a carga total da distribuição (quando ela é não-nula).

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Configuração 2: Cargas opostas (dipolo elétrico físico)

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(a) Como agora as cargas são opostas, vemos que as componentes verticais de 𝑬₁ e 𝑬₂ se cancelam, de forma que:

𝐄 = 1 4𝜋𝜀

₀

𝑞𝑑

𝑧

²

+ 𝑑 2 Τ

^{2 3/2}

ො𝐱

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(b) Novamente, no limite 𝑧 ≫ 𝑑, podemos aproximar 𝑧² + ^𝑑Τ₂ ² ≈ 𝑧². Com isso:

𝐄 ≈ 1 4𝜋𝜀

₀

𝑞𝑑 𝑧

³

ො𝐱

Este não é o campo produzido por uma carga puntiforme, pois varia com 1/𝑧³ ao invés de 1/𝑧². Por que obtivemos este resultado?

Mais adiante, veremos que este é o campo produzido por um dipolo elétrico puntiforme em pontos sobre o eixo 𝑍.

Podemos ainda reescrever esta expressão como:

onde 𝐩 = −𝑞𝑑 ො𝐱 é o momento de dipolo elétrico dessa distribuição.

Configuração 2: Cargas opostas (dipolo elétrico)

𝐄 ≈ − 1 4𝜋𝜀

₀

𝐩

𝑧

³

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Campo elétrico em pontos arbitrários do espaço:

Os campos estão representados por meio de linhas de campo:

• 𝐄 é tangente às linhas em cada ponto do espaço.

• Módulo de 𝐄 é indicado pela densidade de linhas

• Duas linhas não podem se cruzar, pois o campo ficaria indefinido no ponto de cruzamento.

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2.1.3 - Distribuições contínuas de carga

Exemplos: objetos macroscópicos (dimensões >> distâncias interatômicas), densidade eletrônica em átomos, moléculas ou sólidos

Para um elemento infinitesimal de carga 𝑑𝑞, podemos escrever sua contribuição para o campo elétrico no ponto 𝑃 como:

Pelo princípio da superposição, o campo elétrico resultante neste ponto será:

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Dimensionalidade

Para fazer a integral, devemos converter 𝑑𝑞 em um infinitésimo espacial utilizando a densidade de carga adequada para a dimensionalidade da distribuição:

1D: barras finas, anéis, ...

𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑙

^′

2D: placas finas, superfícies esféricas, cilíndricas, ...

𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝐴

^′

𝑑𝑞 = 𝜌 𝑑𝑣′

3D: placas finas, superfícies esféricas, cilíndricas, ...

𝜆, 𝜎 e 𝜌 são as densidades linear, superficial e volumétrica de carga, respectivamente.

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Exemplo: Campo produzido por um fio semicircular uniformemente carregado

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Considere um elemento de carga infinitesimal 𝑑𝑞 do fio. Este

elemento está na posição definida pelo vetor 𝒓′e compreende uma porção de arco infinitesimal 𝑑𝑙^′ = 𝑅d𝜑:

Desejamos calcular o campo elétrico no ponto P, definido pelo vetor 𝒓:

onde 𝜑 é o ângulo entre 𝒓′ e o eixo 𝑋.

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A contribuição de 𝑑𝑞 para o campo elétrico no ponto 𝑃 é:

Substituindo as expressões de 𝑑𝑞, 𝒓, 𝒓^′e , obtemos:

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Integrando sobre cada componente:

Note que a expressão 𝑅² + 𝑧^{2 3/2} não depende de 𝜑 e pode ser retirada de cada integral. O resultado final é:

Note que a componente 𝐸_𝑥 é nula, como esperado pela simetria da distribuição de cargas com respeito ao plano 𝑌𝑍 (𝑥 = 0).

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Para 𝑧 ≫ 𝑅, a componente 𝐸_𝑧 é dominante. Aproximando 𝑅² + 𝑧^{2 3/2} ≈ 𝑧³, obtemos:

onde 𝑄 = 𝜆 𝜋𝑅 é a carga total do fio (pois 𝜆 = 𝑐𝑡𝑒).

Portanto, neste limite o campo se reduz ao de uma carga puntiforme 𝑄, como esperado.

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Exemplo: Campo produzido por uma superfície esférica uniformemente carregada

Problema 2.7 (livro-texto): Uma superfície esférica de raio 𝑅 encontra-se carregada com uma densidade superficial de carga constante e positiva 𝜎.

(b) Generalize o resultado, obtendo o campo elétrico em todo o espaço.

Dica: Ao resolver a integral, analise cuidadosamente as regiões 𝑧 < 𝑅 (dentro) e 𝑧 > 𝑅 (fora da esfera).

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Começamos identificando o elemento infinitesimal de carga 𝑑𝑞 e os parâmetros geométricos relevantes:

A contribuição de 𝑑𝑞 para o campo em 𝑃 é:

onde ො𝒓′é o unitário da direção radial no sistema de coordenadas esféricas.

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Como a distribuição é simétrica em torno do eixo 𝑍, antecipamos que apenas a componente 𝐸_𝑧 do campo elétrico resultante em 𝑃 será não-nula. Assim, é conveniente partirmos direto da componente 𝑑𝐸_𝑧:

Substituindo os valores relevantes, encontramos:

A integral em 𝜑 é imediata, resultando em um fator 2𝜋. Com isso:

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Fazendo a mudança de variável 𝑢 = cos 𝜃, podemos reescrever a integral como:

A integral acima pode ser resolvida por uma substituição simples. O resultado é:

onde o fator |𝑅 − 𝑧| vem da expressão 𝑅 − 𝑧 ² = 𝑅 − 𝑧 . Para simplificar este fator, devemos analisar separadamente as regiões 𝑧 < 𝑅 (dentro) e 𝑧 > 𝑅 (fora da esfera).

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Para 𝑧 < 𝑅, temos 𝑅 − 𝑧 = 𝑅 − 𝑧 e:

Para 𝑧 > 𝑅, temos 𝑅 − 𝑧 = −(𝑅 − 𝑧) e:

onde 𝑄 = 𝜎 4𝜋𝑅² é a carga total da superfície (pois 𝜎 = 𝑐𝑡𝑒).

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Como qualquer eixo que passa pelo centro da esfera é um eixo de simetria equivalente ao que consideramos, podemos obter o campo elétrico em um ponto arbitrário do espaço fazendo as substituições 𝑧 → 𝑟 e 𝐸_𝑧 → 𝐸_𝑟 nas expressões anteriores. Assim:

Note que:

• 𝐄 se reduz ao campo de uma carga puntiforme 𝑄 em pontos fora da esfera. Este comportamento é típico de

distribuições de carga com simetria esférica, onde a densidade de carga depende apenas da distância 𝑟 até a origem.

• 𝐄 apresenta uma descontinuidade ao atravessarmos a superfície (𝑟 = 𝑅). Este comportamento é típico de distribuições superficiais de carga, como veremos mais adiante.

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Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap.2

• Purcell – cap. 1