Eletromagnetismo I. Cap. 3: Técnicas especiais 3.2: O método das imagens. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

Eletromagnetismo I

Cap. 3: Técnicas especiais 3.2: O método das imagens

Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

3.2 – O método das imagens

3.2.1 – O problema clássico de carga imagem

Uma partícula de carga 𝑞 é posicionada a uma distância 𝑑 de um plano condutor infinito aterrado (𝑉 = 0 em todos os pontos dele). Qual é o potencial produzido por este sistema em todo o espaço?

• Note que a carga 𝑞 deve induzir uma carga negativa sobre o plano.

• O potencial resultante deve ser a soma dos potenciais produzidos por 𝑞 e pela carga induzida!

Vamos começar analisando a região acima do plano (𝑧 > 0):

Matematicamente, devemos resolver a eq. de Poisson em uma região que contém uma única carga puntiforme no ponto (0,0, 𝑑).

As condições de contorno são:

• 𝑉 = 0 quando 𝑧 = 0 (plano aterrado)

• 𝑉 → 0 longe da carga

Pelo primeiro teorema de unicidade, sabemos que esse problema admite uma única solução. Se formos capazes de descobri-la de alguma forma, o problema estará resolvido!

Problema auxiliar e carga imagem

Partindo deste princípio, vamos substituir o problema original por um problema auxiliar, onde removemos o plano e posicionamos uma carga imagem −𝑞 no ponto (0,0, −𝑑):

Note que a distribuição de cargas é a mesma na região 𝑧 > 0: ambas contém uma única carga puntiforme no ponto (0,0, 𝑑). E as condições de contorno?

⇒

No problema auxiliar, podemos determinar facilmente o potencial produzido pelas duas partículas em todo o espaço:

Note que:

• Quando 𝑧 = 0, temos 𝑟₊ = 𝑟_ e 𝑉 𝑥, 𝑦, 0 = 0.

• Longe da carga, temos 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² ≫ 𝑑 e 𝑉 → 0.

𝑉 = 𝑉

+ 𝑉

= 1 4𝜋𝜀

𝑞

𝑟

+ 1 4𝜋𝜀

(−𝑞) 𝑟

𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑞 4𝜋𝜀

1

𝑥

+ 𝑦

+ 𝑧 − 𝑑

− 1

𝑥

+ 𝑦

+ 𝑧 + 𝑑

Estas são exatamente as mesmas condições de contorno do problema original na região 𝑧 > 0!

• Como o potencial do problema auxiliar obedece as mesmas condições do problema original na região 𝑧 > 0, a unicidade nos garante que o potencial acima também deve representar a solução para o problema original nesta região!

• Esta técnica de solução, que envolve o uso de um problema auxiliar com o posicionamento de cargas imagem fora da região de interesse, é conhecido como método das imagens.

⇒

𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑞 4𝜋𝜀

1

𝑥

+ 𝑦

+ 𝑧 − 𝑑

− 1

𝑥

+ 𝑦

+ 𝑧 + 𝑑

problema auxiliar problema original

(𝑧 > 0)

Mais uma vez, este problema admite uma única solução. Não é difícil descobri-la desta vez. O que você acha?

E o que acontece na região abaixo do plano (𝑧 < 0)?

Nessa região não há cargas, então a eq. de Laplace deve ser satisfeita. As condições de contorno são

• 𝑉 = 0 quando 𝑧 = 0 (plano aterrado)

• 𝑉 → 0 longe das cargas induzidas no plano

3.2.2 – Carga induzida no plano

Já vimos que uma densidade superficial de carga 𝜎 produz uma descontinuidade na componente normal do campo elétrico:

onde ^𝜕𝑉

𝜕𝑛 = 𝛁𝑉. ෝ𝐧 é a derivada normal do potencial e ෝ𝐧 = ො𝒛 para o plano condutor.

𝐄

− 𝐄

= 𝜎 𝜀

𝐧 ෝ

𝜕𝑉

𝜕𝑛 − 𝜕𝑉

𝜕𝑛 = − 𝜎 𝜀

Em termos do potencial:

Como 𝑉^{𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜} = 0 (𝑧 < 0), obtemos:

𝜎 = −𝜀

𝜕𝑉

𝜕𝑧 ቚ

𝑧=0

Substituindo 𝑉^{𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎} pela expressão que obtivemos para a região 𝑧 > 0:

𝜎 = −𝜀

𝜕

𝜕𝑧

𝑞 4𝜋𝜀

1

𝑥

+ 𝑦

+ 𝑧 − 𝑑

− 1

𝑥

+ 𝑦

+ 𝑧 + 𝑑

ቚ

𝑧=0

𝜎 𝑥, 𝑦 = − 𝑞𝑑

2𝜋 𝑥

+ 𝑦

+ 𝑑

Note que a carga induzida tem simetria radial (cilíndrica), pois 𝜎 depende apenas da distância 𝑠 até o eixo 𝑍:

𝜎 𝑠 = − 𝑞𝑑

2𝜋 𝑠

+ 𝑑

onde 𝑠² = 𝑥² + 𝑦².

A carga total induzidaé (utilizando coordenadas cilíndricas no plano para a integração):

𝑄 = න

𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝜎𝑑𝐴 = න

0

∞

න

0 2𝜋

𝜎(𝑠) 𝑠𝑑𝑠𝑑𝜑 = −2𝜋 න

0

∞

𝑞𝑑

2𝜋 𝑠

+ 𝑑

𝑠𝑑𝑠

= −𝑞𝑑 න

0

∞

𝑠𝑑𝑠

𝑠

+ 𝑑

= 𝑞𝑑

𝑠

+ 𝑑

ቚ

𝑠=0 𝑠→∞

= −𝑞

Fisicamente, o fato do plano ter carga total igual a −𝑞 implica que todas as linhas de campo que emanam de 𝑞 devem terminar no plano. Pensando no problema auxiliar (dipolo físico), isto era esperado!

3.2.3 – Força e energia

Qual é a força que o plano exerce sobre a partícula de carga 𝑞?

Sabemos que esta força se deve ao campo elétrico 𝐄_ produzido pelas cargas induzidas no plano. Por outro lado, este campo deve ser idêntico ao campo produzido pela carga imagem −𝑞 do problema auxiliar na região 𝑧 > 0 (por que?).

Assim:

𝐅

= 𝑞𝐄_ = − 1 4𝜋𝜀

𝑞

2𝑑

ො𝒛

Pergunta: Qual é a força que a partícula exerce sobre o plano?

Qual é a energia associada à interação entre a partícula e o plano?

Pela análise anterior, é tentador supor que essa energia será idêntica à da interação entre a carga original e a carga imagem no problema auxiliar:

No entanto, este resultado é incorreto! Por que?

𝑈

= − 1 4𝜋𝜀

𝑞

2𝑑

Podemos calcular a energia a partir do trabalho realizado pela força elétrica para trazer a carga 𝑞 do infinito até sua posição final:

Este valor é metade do valor anterior e de fato corresponde ao resultado correto!

Note que:

• Ao deslocarmos a carga 𝑞, as cargas induzidas no plano também devem se deslocar. No entanto, nenhum trabalho é realizado sobre elas, uma vez que elas se movem sobre uma superfície equipotencial (𝑉 = 0).

• Por outro lado, no problema auxiliar, a força elétrica realiza trabalho ao trazer a carga imagem do infinito até sua posição final. Por isso a energia desta configuração é diferente!

𝑈 = −𝑊

= − න

∞ 0,0,𝑑

𝐅

⋅ 𝑑𝐥 = න

∞

0,0,𝑑

1 4𝜋𝜀

𝑞

2𝑧

ො𝒛 ⋅ 𝑑𝐥

= 𝑞

16𝜋𝜀

න

∞ 𝑑

𝑑𝑧

𝑧

= − 𝑞

16𝜋𝜀

𝑑

Outra forma de visualizar este resultado é a partir da ideia de que a energia é armazenada no campo elétrico:

• No problema original, temos 𝐄 = 0 na região 𝑧 < 0, o que não ocorre no problema auxiliar.

• Pela forma das linhas de campo, é evidente que a energia armazenada nas regiões 𝑧 < 0 e 𝑧 > 0 é a mesma no problema auxiliar, de forma que a energia armazenada na porção 𝑧 > 0 deve ser metade do valor total. Esta é exatamente a energia armazenada no problema original!

𝑈 = 𝜀

2 න

𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜

𝐸

𝑑𝑣

3.2.4 – Outro problema de carga imagem

Uma partícula de carga 𝑞 é posicionada a uma distância 𝑎 de uma esfera condutora de raio 𝑅 aterrada. Qual é o potencial produzido por este sistema em todo o espaço?

Como no caso anterior, para obter o potencial fora da esfera:

• Devemos buscar um problema auxiliar onde a esfera condutora é substituída por uma carga imagem puntiforme.

• Esta carga deve estar dentro da região onde estava a esfera, de forma a não alterar a distribuição de cargas no lado de fora.

Considere então a configuração na figura da direita, onde uma carga 𝑞^′ < 0 é posicionada a uma distância 𝑏 < 𝑅 à direita da origem (centro da esfera no problema original):

O potencial produzido por esta configuração no ponto 𝐫 é:

Utilizando as coordenadas esféricas 𝑟 = 𝐫 e 𝜃, podemos escrever (lei dos cossenos):

𝑉(𝑟, 𝜃) = 1 4𝜋𝜀

𝑞

𝑟

+ 𝑎

− 2𝑎𝑟 cos 𝜃 + 𝑞

𝑟

+ 𝑏

− 2𝑏𝑟 cos 𝜃

No problema original, devemos ter 𝑉 𝑅, 𝜃 = 0 (superfície da esfera). Para o potencial acima, esta condição é satisfeita se escolhermos (verifique! - problema 3.7):

𝑞

= − 𝑅

𝑎 𝑞

𝑏 = 𝑅

𝑎

Note que este potencial também obedece a condição 𝑉 → 0 para 𝑟 → ∞. Assim, ele obedece a todas as condições de contorno do problema original.

Portanto, pelo primeiro teorema de unicidade, este potencial deve representar a solução correta do problema original na região fora da esfera:

Exercícios adicionais (ver problema 3.7):

• Determine o potencial dentroda esfera.

• Determine a densidade superficial de carga induzida na esfera. Note que ela deve ser uma função de 𝜃.

• Determine a carga total induzida na esfera e discuta o resultado.

• Determine a força que a partícula exerce sobre a esfera.

• Determine a energia armazenada nesta configuração.

𝑉(𝑟, 𝜃) = 𝑞 4𝜋𝜀

1

𝑟

+ 𝑎

− 2𝑎𝑟 cos 𝜃 − 1

𝑅

+ ( 𝑟𝑎 𝑅) Τ

−2𝑎𝑟 cos 𝜃

Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap.3

Leitura adicional (mais avançada)

• Zangwill – seções 8.3 e 8.4 (outros problemas de carga imagem)

• Jefimenko – seção 6.5 (outros problemas de carga imagem)