3
ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
A Resistência dos Materiais estabelece uma metodologia simples e analítica que trabalha sob
considerações lineares e elásticas e que envolve carregamentos e geometria para proceder à
definição e à análise do estado de tensão dos pontos críticos das estruturas. Neste capítulo estão
apresentadas as facetas da Resistência dos Materiais que têm a ver com a definição, a análise dos
estados de tensões e o estabelecimento de suas relações com os estados de deformações.
3.1 – INTRODUÇÃO
As disciplinas de Projeto e de Adequação ao Uso de Estruturas e Equipamentos têm como objetivo garantir a Integridade Estrutural dos sistemas e seus componentes de modo a não ocorrerem falhas nos pontos críticos das estruturas. Para isto elas acoplam diversas outras disciplinas, tais como: Resistência dos Materiais, Comportamento Mecânico dos Materiais, Ensaios Não Destrutivos, e Inspeção, Manutenção e Monitoração de Equipamentos.
A Resistência dos Materiais, assim como a Teoria da Elasticidade, a Análise Experimental de Tensões e o Método de Elementos Finitos têm como objetivos determinar as tensões que atuam nas faces dos paralelepípedos elementares que representam estes pontos críticos e permitir estabelecer suas tensões equivalentes com base em critérios de resistência referentes a cada possível modo de falha. A Resistência dos Materiais estabelece uma metodologia simples e analítica que trabalha sob considerações lineares e elásticas e que envolve carregamentos e geometria para proceder à definição e à análise dos estados de tensão dos pontos críticos das estruturas. Neste capítulo estão apresentadas as facetas da Resistência dos Materiais que têm a ver com a definição, a análise dos estados de tensões e o estabelecimento de suas relações com os estados de deformações.
A Resistência dos Materiais procura definir e analisar os estados de tensões nos diversos pontos críticos de componentes novos ou daqueles que já entraram em operação e podem apresentar algum tipo de deterioração pelo uso, para então verificar a admissibilidade de sua utilização segura.
Definir o estado de tensão significa:
1. Estabelecer os carregamentos que atuam na estrutura ou componente.
2. Determinar as reações de apoio e os diagramas de corpo livre.
3. Determinar os diagramas de esforços.
4. Selecionar as seções críticas.
5. Determinar os pontos críticos das seções críticas.
6. Determinar as tensões que atuam nas faces dos paralelepípedos elementares que representam estes pontos críticos.
Analisar o estado de tensão significa:
1. Determinar as tensões principais que atuam nos pontos críticos.
2. Determinar os possíveis modos de falhas que poderão atuar nestes pontos críticos.
3. Determinar as resistências referentes aos possíveis modos de falhas para cada um dos pontos críticos.
4. Calcular as tensões equivalentes para cada paralelepípedo elementar com base em critérios de resistência referentes a cada possível modo de falha.
5. Comparar as tensões equivalentes com as resistências segundo os critérios de resistência.
6. Calcular os fatores de segurança e as probabilidades de falha para cada ponto
crítico e para cada critério de falha selecionado e comparar com valores
admissíveis estabelecidos por agentes internos e/ou externos.
Os carregamentos que atuam ou atuarão sobre um sistema mecânico ou sobre seus componentes individuais podem ser previstos ou determinados através dos seguintes modos:
• Experiência prévia com similares.
• Modelo matemático associado à interpretação do fenômeno físico.
• Determinação experimental.
o Usando transdutores de força ou células de carga.
o Usando sensores de deformação (“strain gages”), transdutores de deslocamento, velocidade e aceleração, e associando estas medições com modelos matemáticos e procedimentos de calibração.
Na determinação de carregamentos é importante considerar os seguintes aspectos:
• Se o carregamento é estático ou tem natureza vibratória.
• Se existem impactos na estrutura.
• A história do carregamento no que se refere à sua repetição, seqüência de valores e número de ciclos.
• A temperatura, sua influência na resposta do material e sua variação ao longo das dimensões e ao longo do tempo para diferentes pontos da estrutura.
• A possibilidade de existirem tensões residuais, causadas por fabricação, soldagem, tratamentos térmicos, montagens, sobrecargas, etc.
• A natureza determinística ou aleatória do carregamento.
• A incerteza associada ao processo de determinação do carregamento.
3.2 – O ESTADO DE TENSÃO NO PONTO
Sejam P i e M i os carregamentos que atuam num corpo deformável e que está em equilíbrio.
Considera-se que este corpo é secionado por um plano que passa por um de seus pontos interiores conforme ilustrado na Figura 3.1. Este plano, A, é definido por sua normal unitária n A . Para haver equilíbrio da parte esquerda, que será objeto de estudo, a força e momento resultantes, denominados R A e M A, devem ser iguais à soma das forças e momentos que a parte da direita, cortada e retirada, faz sobre a parte da esquerda.
Figura 3.1 – Corpo deformável submetido a carregamentos
As resultantes R A e M A resultam das soma de forças e momentos que as forças de ligação dF fazem sobre as pequenas áreas dA que compõem a seção de corte A. Cada dF atuante em dA pode ser decomposta numa parcela normal, dN, e numa parcela tangencial ao plano, dQ conforme está ilustrado na Figura 3.2. Assim, as tensões total, normal e tangencial ou cisalhante que atuam na área dA, que passa pelo ponto P (que definiu a posição de passagem do plano A) podem ser definidas como está expresso nas equações (3.1).
Figura 3.2: Forças que atuam num elemento de área definido pelo plano de corte
(3.1)
A Figura 3.3 mostra o ponto P representado por um pequeno volume definido por quatro planos que passam por ele, formando um pequeno tetraedro. Ao destacar-se este tetraedro ele deverá continuar em equilíbrio. A análise do equilíbrio do tetraedro mostra que o estado de tensão em torno de um ponto qualquer de um corpo solicitado fica definido quando forem conhecidas as tensões atuantes referentes a três elementos de superfície quaisquer que nele se interceptem. A tensão total que atua no quarto plano pode ser determinada fazendo-se o equilíbrio das forças atuantes no tetraedro. Considerando as tensões totais mostradas no tetraedro da Figura 3.3 faz-se a pergunta: qual o valor de Tn (e sua direção) atuante em n n se as tensões Tx, Ty, Tz e a força de corpo C ( por exemplo, peso próprio) forem conhecidas?
Figura 3.3: Tetraedro representativo de um ponto material em equilíbrio e submetido às tensões totais Ti atuantes em suas faces e à força de corpo C
dA dQ dA
dN dA
T = dF σ = τ =
Para responder a esta pergunta a Figura 3.4 e as expressões 3.2 apresentam a notação para representar os vetores relacionados com as tensões total, normal, cisalhantes e unitários referentes aos eixos z e n. Os planos são definidos por suas normais. A notação usada para as tensões normais é a letra grega σ enquanto que para tensões cisalhantes é τ. Os índices relacionados a estas tensões devem ser entendidos da seguinte forma: o primeiro índice informa o plano onde a tensão está atuando; o segundo índice informa a direção em relação à qual a tensão é paralela.
Figura 3.4: Notação para as tensões atuantes num plano que passa por um ponto
( (3.2)
O somatório das forças que atuam no tetraedro é dada por:
n n z
z y y x
x A T A T A C V T A
T . + . + . + . = . (3.3)
Para cálculo das áreas A x , A y e A z , em função da área A n , pode-se usar um produto escalar da normal n por cada unitário correspondente. A Figura 3.5 ilustra este cálculo para a área A z , que resulta da multiplicação do valor da área A n pelo resultado do produto escalar entre os vetores que definem as direções n e Z. O cálculo está mostrado na equação (3.4).
Figura 3.5: Cálculo da área A z , projeção da área A n no plano z
( )
( )
( )
( zx zy z )
z
nz ny nx n
z y x
z zy
zx z
nz ny
nx n
z y x
, , T
T ., T , T T
n , n , n n
, , z
z . y . x . T
z . T y . T x . T T
z . n y . n x . n n
z . y . x . z
σ τ σ τ
τ
τ =
=
=
=
→ +
+
=
+ +
=
+ +
=
+ +
= 0 0 1 0 0 1
(3.4)
Considerando que a força de corpo é geralmente pequena, o somatório de forças pode ser escrito da seguinte forma:
( )
n z z y y x x
n n z
n z y n y x n x
T n T n T n T
A T V
C n A T n A T n A T
= +
+
∴
=
→ +
+ +
. .
.
. 0 . .
. .
. .
. (3.5)
Desmembrando cada tensão total em termos de suas componentes para cada eixo tem-se:
(3.6) Para o equilíbrio tem-se:
(3.7)
(3.8)
A matriz [σ] é um tensor, chamado de tensor das tensões, que possui apenas 6 componentes independentes por causa das igualdades
zy yz zx
xz yx
xy τ τ τ τ τ
τ = , = , = (3.9)
geradas pela necessidade de equilíbrio quanto a momentos.
Paralelepípedos elementares representando o estado de tensão segundo dois conjuntos de eixos (quaisquer - X, Y, Z, e principais - 1, 2, e 3 - ver seção 3.3) para um ponto do corpo carregado e em equilíbrio estão ilustrados na Figura 3.6.
( σ x . x + τ xy . y + τ xz . z ) ( n x + τ yx . x + σ y . y + τ yz . z ) ( n y + τ zx . x + τ zy . y + σ z . z ) ( n z = T nx . x + T ny . y + T nz . z )
[ ] ( ) ( ) n
nz ny nx
z y x
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
nz z z y yz x xz
ny z zy y y x xy
nx z zx y yx x x
T n ou
T T T n
n n . ou
T n . n
. n
.
T n . n
. n
.
T n . n
. n
.
=
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
= +
+
= +
+
= +
+
σ σ
τ τ
τ σ
τ
τ τ
σ
σ τ
τ
τ σ
τ
τ τ
σ
( ) z n n ( ) n z
z y x
n . A n . z A cos . A A n
n n n , , ,
z → = = =
⎟⎟
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎝
⎛
=
= 0 0 1 α
Figura 3.6: Representação do estado de tensão segundo dois conjuntos de eixos (quaisquer - X, Y, Z, e principais - 1, 2, e 3) para um ponto do corpo carregado
3.2.1 Tensões atuantes numa barra prismática
Um exemplo simples para ser estudado é o caso de uma barra prismática tracionada, tal como mostrada na Figura 3.7a. Se um plano de corte n x é passado na seção transversal longe da região de aplicação da força P, é razoável admitir que as tensões atuantes nas várias facetas que compõem o plano de corte serão normais, trativas e iguais para todas as facetas e que, por razão de simetria, não deverão haver tensões cisalhantes neste plano. As tensões normais serão denominadas σ x . Aplicando a equação de equilíbrio de forças na direção x:
A A P
P dA
P
F x x
A x
x = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
∑ 0 ∫ σ . 0 σ . 0 σ
A aplicação do mesmo raciocínio usando planos de corte com normais n y ou n z mostrará que as tensões σ y e σ z são iguais a zero. Considerando que as tensões cisalhantes também serão zero por causa das inclinações dos planos em relação a P, tem-se que a matriz [σ] definida para os eixos X, Y, Z será dada por:
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡ =
0 0 0
0 0 0
0 A 0
P σ x
(3.10)
Figura 3.7: Planos de corte virtuais de uma barra prismática tracionada segundo planos definidos por suas normais X e X’ que fazem um ângulo α entre si.
(a
(b
O estado de tensão [σ] pode ser representado por outros planos que formarão diferentes paralelepípedos elementares em torno do mesmo ponto material. Por exemplo, sejam os planos de corte definidos pelas normais X’, Y’e Z, ilustrados na Figura 3.7b. As tensões normal e cisalhante σ x’ e τ x’y’ atuantes no plano X’ são calculadas através da aplicação das condições de equilíbrio de forças para a barra prismática estabelecido para as direções X’e Y’, ainda supondo distribuições uniformes das tensões no plano X’.
( )
α α
α α τ
τ α τ
α
α α
α σ σ α σ
α
2 2 cos . . cos 0
. 1 . .
0 . .
0
2 cos 2 1 cos . cos 0
. 1 . cos . 0 . cos . 0
' ' '
' '
' ' '
2 '
' '
'
A sen sen P
A A P
sen P dA
sen P F
A P A
A P P
dA P
F
y x y
x A
x y x y
x x
A x x x
=
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
+
=
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
∑ ∫
∑ ∫
Da mesma forma, o equilíbrio de forças aplicado à barra prismática que conta com o plano de corte definido pela normal Y’ levará às tensões:
( )
α α
α τ
α α
σ
2 2 cos . .
2 cos 2 1
.
' '
2 '
A sen sen P
A P
A sen P
A P
x y
y
=
=
−
=
= (3.11)
O estado de tensão no mesmo ponto, definido segundo os eixos X’, Y’e Z será representado por:
( )
( )
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
=
= +
=
0 0
0
0 2 cos 2 1 2 2
0 2 2
2 cos 1
' '
'
' ' '
α σ
α τ
α τ
α σ
A sen P
A P
A sen P A
P
y x
y
y x x
(3.12)
3.2.2 Tensões atuantes numa casca cilíndrica fina submetida à pressão interna
Um segundo exemplo simples para ser estudado é o caso de um tubo de paredes finas (relação entre diâmetro externo D e espessura do tubo t maior que, por exemplo, 20) submetido à uma pressão interna p, tal como mostrado na Figura 3.8a. Se um plano de corte é passado na seção diametral e horizontal do tubo (Figura 3.8b), é razoável admitir que as tensões atuantes nas faces que compõem o plano de corte serão normais, trativas e uniformes ao longo do seu comprimento l, enquanto que, por razão de simetria, não deverão haver tensões cisalhantes nestas faces. As tensões normais serão denominadas σ c . Aplicando a equação de equilíbrio de forças na direção vertical e ortogonal ao plano de corte tem-se:
( ) ( )
t D p t
t D l p
t l t D p
F c c c
2 . 2
0 2 . . . 2 . 2 .
0 ⇒ − − = ⇒ = − ≅
∑ = σ σ (3.13.a)
Figura 3.8: Tubo com parede fina submetido à pressão interna com tampo ou sem tampo (a); Plano de corte diametral do cilindro mostrando pressão interna e tensões circunferenciais na parede cortada, necessárias para manter o equilíbrio de forças na direção vertical (circunferencial) (b); elemento de parede do tubo formado por dois planos de cortes radiais divergentes do ângulo dθ e pelas superfícies interna e externa do tubo (c).
Na direção radial, na parede interna da casca, a tensão radial é igual a p. Na parede externa ela é igual a zero. Para os tubos de paredes finas estas tensões σ r =p são geralmente desprezadas quando comparadas com as tensões circunferenciais. Deve-se notar que a razão entre estas tensões é dada pela metade da razão entre o diâmetro e a espessura da casca cilíndrica.
A Figura 3.7c mostra as tensões e carregamento p atuante num paralelepípedo elementar retirado da Figura 3.7b que auxilia na determinação da mesma tensão circunferencial a partir do equilíbrio de forças efetuado na direção vertical (radial do elemento). Tem-se que:
t D l p
D d d p sen l t
F r c c
. 2 . .
2 . 2 . . . . . 2
0 ⇒ = ⇒ ≅
∑ = σ θ θ σ (3.13.b)
As tensões longitudinais σ l também podem ser determinadas através da aplicação do equilíbrio de forças na direção longitudinal. Para um tubo longo aberto, sem efeito de tampos, a tensão longitudinal é zero. Para um tubo fechado, tal como acontece com um vaso de pressão cilíndrico, a pressão atuante no tampo provocará uma força ( )
4 . 2
t 2
p π D − que deverá ser equilibrada por uma força longitudinal que atua de forma distribuída na seção transversal do tubo. Esta força é dada por [ ( 2 ) ]
4
2 D t 2
l π D − −
σ . Igualando estas forças encontra-se:
t pD D
t t D pD t
l
l 4 1 4
1 2
2
≅
⇒
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ −
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ −
= σ
σ (3.14)
Para o caso de dutos longos enterrados, a restrição imposta pelo solo ao deslocamento longitudinal requerida pelo efeito de Poisson (coeficiente µ) faz com que a tensão longitudinal seja (ver seção 3.9):
t pD
l µ 2
σ = (3.15)
(a) (b) (c)
Num sistemas de eixos C, R, e L, respectivamente circunferencial, radial e longitudinal, tem-se que o estado de tensão será definido por:
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
l r
c
p t
D p
σ σ
σ
0 0
0 0
0 2 0
.
(3.16)
3.2.3 Tensões atuantes numa casca cilíndrica espessa submetida à pressão interna e externa O terceiro exemplo envolve a determinação das tensões num tubo de parede espessa. Nesta situação a tensão circunferencial não pode ser assumida como uniforme ao longo da espessura.
Tampouco a tensão radial pode ser considerada desprezível quando comparada com a circunferencial. Para a determinação destas tensões adota-se um volume elementar, mostrado na Figura 3.9, delimitado por dois planos radiais separados por um pequeno ângulo dθ e por dois arcos com comprimentos r. dθ e (r+dr). dθ. Admite-se que as tensões radiais variam segundo uma aproximação tayloriana linear. A simetria radial faz com que as tensões σ c sejam iguais para ambos as faces radiais e que as tensões cisalhantes τ cr sejam iguais a zero. Aplicando-se a equação de equilíbrio de forças na direção radial tem-se:
0
0 ⇒ − − =
∑ F radiais = σ c r σ r d dr σ r (3.17)
Figura 3.9: Tubo com parede espessa submetido à pressão interna e externa
Para a solução desta equação diferencial são necessárias mais informações. A primeira usa as relações entre as deformações circunferenciais e radiais e o deslocamento radial u de uma circunferência com raio r. Define-se a deformação circunferencial como a variação percentual do comprimento de um arco de círculo de comprimento inicial r.dθ e que passa a ter um comprimento (r+u).dθ. A deformação radial é igual à variação percentual de um segmento com comprimento inicial dr que passa a ter um comprimento final (dr+du).
r u dr
du
c
r = ε =
ε (3.18)
Considerando a simetria radial, a relação entre estas deformações é dada por:
c c r
c c
dr r d dr
r d dr
r d u
ε ε ε
ε ε
ε = + ⇒ = −
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= .
r (3.19)
A segunda informação a ser usada vem das relações elásticas entre tensões e deformações (ver seção 3.9 deste capítulo):
( ) ( )
( r c ) r ( r c )
r
r c c r
c c
E E
E E
σ µ σ ε ε
µ µ ε σ
σ µ σ ε ε
µ µ ε σ
1 . 1 .
1 . 1 .
2 2
−
=
− +
=
−
=
− +
= (3.20)
Substituindo as equações (3.20) em (3.19) determina-se a equação diferencial:
( + ) = 0
dr
r d σ r σ c (3.21)
A integração de (3.21) leva a:
( σ r + σ c ) = 2K 1 (3.22)
que em conjunto com a equação (3.17) leva à seguinte equação diferencial e à sua integração:
( )
2 2 1 2
1 2
. .
2 K r r K r K
dr r d
r = ⇒ σ r = +
σ (3.23)
Na direção radial, na parede interna da casca, a tensão radial é igual a p i . Na parede externa ela é igual a p o . Aplicando estas condições de contorno:
( ) i i r ( ) o o
r r = p σ r = p
σ (3.24)
encontram-se as tensões
2 2 1
2 2 1
. 1 . 1
K r K
K r K
r c
−
= +
= σ
σ (3.25)
onde
( )
2 2 0
2 2 0 2 0
2 2 0
2 0 0 2 1
. .
i i i
i i i
r r
r r p K p
r r
r p r K p
−
= −
−
= − (3.26)
Num sistemas de eixos C, R, e L, respectivamente circunferencial, radial e longitudinal, tem-se que o estado de tensão será definido para cada ponto posicionado ao longo da espessura do tubo e localizado pela sua coordenada r i <r<r o por:
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
l r c
r
σ σ σ σ
0 0
0 0
0 0 )]
(
[ (3.27)
3.3 – TENSÕES E PLANOS PRINCIPAIS
As componentes de tensões que fazem parte da matriz representativa do estado de tensão no ponto podem ser alocadas num volume representativo do ponto material, que é comumente chamado de paralelepípedo elementar, tal como ilustrado na Figura 3.6. Nesta Figura também está apresentada a possibilidade de serem modificados os eixos X, Y, Z definindo novos planos que passarão pelo ponto e que, em conseqüência, acarretarão componentes de tensões com valores diferentes das anteriormente mostradas. A matriz definida para os eixos XYZ é simétrica e isto significa que ela poderá ser diagonalizada. Se a matriz [σ] for definida segundo as direções e planos 1, 2 e 3, a tensão total que atuará em cada um destes planos terá sua projeção paralela ao vetor normal unitário ao plano. Pode-se formular então a questão: quem são os vetores que definem estes planos e quem são as tensões totais que atuam nestes planos? Deve-se notar que se as tensões normais possuem a mesma direção do vetor normal aos planos isto implicará que as componentes paralelas ou cisalhantes nestes planos serão iguais a zero. A pergunta acima pode ser reformulada da seguinte forma. Existe um plano v tal que:
v .
T v = σ v (3.28)
onde σ ν é um escalar igual ao módulo do vetor T v que tem sua direção dada pelo vetor unitário v?
Quais são os planos dados por seus vetores unitários v tal que seja válida a equação acima (3.28)? Valendo-se da equação (3.28) e reescrevendo a equação (3.8) tem-se:
[ ] σ { } v = σ v . { } v ou
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
=
= +
+
=
= +
+
=
= +
+
z vz
z z y yz x xz
y vy
z zy y y x xy
x vx
z zx y yx x x
v . T
v . v
. v
.
v . T
v . v
. v
.
v . T
v . v
. v
.
σ σ
τ τ
σ τ
σ τ
σ τ
τ σ
(3.29)
Este é um problema de auto-valor e auto-vetor onde a equação homogênea é dada por:
[ ] [ ]
( σ − σ v I ){ } v = 0 ou
( )
( )
( )
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
=
− + +
= +
− +
= +
+
−
0 0 0
z z
y yz x xz
z zy y y
x xy
z zx y yx x x
v . v
. v
.
v . v
. v
.
v . v
. v
.
σ σ τ
τ
τ σ
σ τ
τ τ
σ σ
(3.30)
onde:
[ ]
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I (3.31)
Para a equação homogênea ter solução o determinante característico deve ser igual a zero:
[ ] − [ ] I = 0
det σ σ v ou = 0
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
−
σ σ τ
τ
τ σ
σ τ
τ τ
σ σ
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
det (3.32)
Efetuando-se o determinante chega-se à equação característica, que é do terceiro grau.
3 0
2 2
3 − I 1 . σ + I . σ − I =
σ (3.33)
onde
( )
( )
( 3 . 36 )
. 2
35 . 3
34 . 3
2 2
2 3
2 2 2 2
1
xy z xz y zy x z y x z y x
zy xz xy y z x z y x
z y x
I I I
τ σ τ σ τ σ τ τ τ σ σ σ
τ τ τ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ
−
−
− +
=
−
−
− +
+
=
+ +
=
As raízes da equação característica são os auto-valores. No caso da análise de tensões, elas são chamadas de tensões principais. Estas raízes são sempre números reais. Deve-se notar que uma rotação de eixos, isto é, a definição do estado de tensão a partir de três novos planos X’, Y’, Z’, não deve alterar a tensão que atua num quarto plano definido pela sua normal. Por exemplo, seja calcular a tensão que atua no plano v, isto é, σ v ou σ, uma das raízes da equação. Desta forma, quaisquer que sejam os eixos ortogonais X, Y, Z, que definem o estado de tensão, as mesmas soluções deverão ser encontradas para a equação característica. Isto implica em dizer que os coeficientes I 1 , I 2 , e I 3 são constantes para quaisquer eixos. Devido a isto estas três quantidades são chamadas de invariantes do estado de tensão.
As raízes da equação característica são ordenadas da seguinte forma: σ 1 > σ 2 > σ 3 . O estado de tensão pode ser definido por estas componentes de tensões, segundo os planos 1, 2 e 3, da seguinte forma:
[ ]
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 2 1
0 0
0 0
0 0
σ σ σ
σ (3.37)
Os planos referentes a cada uma das raízes são chamados de planos principais e estes planos são
ortogonais entre si. A determinação dos vetores unitários de cada um destes planos é feita através
da substituição dos valores de σ i (i = 1,2,3) nas equações 3.30. Por exemplo, a determinação das coordenadas ou cossenos diretores do vetor v 1 , que define o plano principal 1, em função da sua posição com relação aos eixos X, Y, e Z, é dada por (ver Figura 3.10):
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) 1
0 0 0
1 2 1 2
1 2
1 1 1 1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
= +
+
↔
⎟⎟
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎝
⎛
=
⇒
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
=
− + +
= +
− +
= +
+
−
z y
x z
y x
z z
y yz x xz
z zy y y
x xy
z zx y yx x x
v v
v v
v v v v
. v
. v
.
v . v
. v
.
v . v
. v
.
σ σ τ
τ
τ σ
σ τ
τ τ
σ σ
(3.38)
Figura 3.10: Vetores que definem as normais aos planos de referência (X,Y,Z) e principais (1,2,3)
O estado de tensão, representado pelo tensor [ ] σ pode ser escrito segundo suas componentes com relação aos eixos X,Y, Z ou 1, 2, 3, tal como ilustrado na Figura 3.11 e colocado sob forma matricial:
[ ] ⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
=
z y x
z yz
xz
yz y
xy
xz xy
x
n n n σ
τ τ
τ σ
τ
τ τ
σ
σ ou [ ]
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 2 1
3 2 1
0 0
0 0
0 0
n n n σ σ σ
σ (3.21)
Figura 3.11: Paralelepípedo elementar: posição doe eixos de referência e
posição dos eixos principais.
As componentes da tensão total T n que atuam num plano n definido segundo os eixos 1, 2 e 3, T 1 , T 2 e T 3 são representadas por:
3 3 3 2
2 2 1
1
1 . n T . n T . n
T = σ = σ = σ (3.40)
Como:
( ) ( ) ( ) n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = 1 (3.41)
tem-se:
1
2 3 2 3 2 2 2 1
1 ⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
n T n
T n
T (3.42)
Esta é a equação do elipsóide de “Lamé” cujos eixos principais coincidem com os eixos principais 1, 2 e 3. Deve-se notar que nenhuma componente T i poderá ser maior ou menor que σ 1
e σ 3 , respectivamente.
3.4 – ESTADOS DE TENSÃO TÍPICOS. ESTADO PLANO DE TENSÕES
O estado de tensão para qualquer ponto deverá sempre ser considerado como um estado triaxial de tensões. Mas, em muitos casos, ele poderá apresentar certas peculiaridades que tornarão sua análise mais direta e, ao mesmo tempo, possibilitarão seu enquadramento em casos simples e comuns da engenharia. A Figura 3.12 ilustra o estado triaxial e outras duas situações onde os estados de tensões recebem as denominações de estado plano ou biaxial de tensões e de estado uniaxial de tensões 1 . É muito importante notar que as representações gráficas simplificadas dos estados biaxial e uniaxial, segundo projeções no plano Z, apresentam a face Z do paralelepípedo elementar e as tensões que atuam nos planos X e Y.
Figura 3.12: Estado triaxial de tensões e casos particulares – estados biaxial e uniaxial
1 Na seção 3.9 que trata das relações entre tensões e deformações será também definido e caracterizado o estado
plano de deformações.
No estado plano, as tensões paralelas a uma determinada direção são nulas. Geralmente, o paralelepípedo elementar referente ao estado plano é representado pela sua projeção no plano onde as tensões são nulas, conforme está mostrado na Figura 3.12.
Os estados planos de tensões são característicos dos pontos das superfícies livres dos componentes estruturais. Na maioria dos componentes estruturais tem-se que os pontos mais carregados (maiores tensões) são aqueles que têm uma face do seu paralelepípedo elementar localizada na superfície livre. No pontos das superfícies encontram-se também os locais onde mais defeitos podem surgir causados por problemas de acabamento superficial, mudanças microestruturais devido a processos de fabricação, dano provocado pelo meio e por solicitações cíclicas. Isto explica a maior incidência de análises de tensões através de expressões dedicadas ao estado plano, além, da maior simplicidade no seu trato.
A representação triaxial do tensor das tensões para um estado de tensão biaxial é ilustrada na expressão (3.43) onde se usa a hipótese que σ z = τ zx = τ zy = 0 .
0 0
0 0
0 0
=
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⇒ ⎡
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
III y z
xy xy y x
xy xy x
z yz xz
yz y
xy
xz xy
x
e σ σ
σ τ
τ σ σ
τ τ σ σ
τ τ
τ σ
τ
τ τ
σ
(3.43)
Deve-se notar que a redução da ordem da matriz de 3x3 para 2x2 na expressão (3.43) significa dizer que uma tensão principal já é conhecida. Esta tensão é igual a zero e “atua” no plano Z, onde as tensões cisalhantes são zero (condição para que σ z seja principal e que o plano Z seja principal também). Convenciona-se chamar de σ III a tensão principal igual a zero do estado biaxial de tensões. As demais tensões principais são chamadas de σ I e σ II e podem ser obtidas da equação característica da matriz 2x2:
( ) 0
0 ⇔ 2 − + + − 2 =
− =
−
xy y x y y x
xy
xy
x .
det τ σ σ σ σ σ σ σ σ τ
τ σ
σ (3.44)
onde convenciona-se fazer σ I > σ II . A solução da equação do segundo grau fornece os valores das tensões principais:
( )
0 2 4 1 2
2 2
=
>
+
− + ±
=
III II
I
xy y
y x II x
, I
e σ
σ σ
τ σ
σ σ σ σ
(3.45)
Após seu cálculo, através da equação (3.45), as tensões σ I , σ II e σ III devem ser renomeadas para a convenção do estado triaxial, tal que seus valores máximo, intermediário e mínimo sejam enquadrados na condição: σ 1 > σ 2 > σ 3 .
A análise do estado plano de tensão possibilita a determinação das tensões que atuam em planos
quaisquer ortogonais a Z e, por procura de máximos e mínimos, a determinação das tensões e
planos principais I e II que, como já foi visto, serão obrigatoriamente ortogonais a Z. A Figura 3.13 ilustra um estado plano de tensões para o qual será estudado o equilíbrio do paralelepípedo elementar. Este está representado por um prisma que tem bases no plano Z e faces X, Y, e α.
Para a face ou plano α se deseja conhecer as tensões normal e cisalhante σ α e τ α . Na Figura 3.13 está apresentada a seguinte convenção de sinais:
• Os ângulos são definidos a partir do eixo X e são positivos para rotação no sentido trigonométrico;
• As tensões normais trativas são positivas e têm o mesmo sentido do vetor unitário externo ao plano;
• As tensões cisalhantes são positivas quando seu sentido coincide com o da normal ao plano quando esta é girada de 90 o .
Figura 3.13: Equilíbrio do paralelepípedo elementar para o estado plano de tensões Aplicando as condições de equilíbrio de forças para as direções α e α + π/2 encontra-se:
α τ
σ α σ σ σ α σ
α 2 2
2
0 2 cos sen
F x y x − y + xy
+ +
=
→
∑ = (3.46)
α τ
σ α τ α σ
α π 2 2
0 2
2
cos sen
F x − y + xy
−
=
→
∑ + = (3.47)
Os comportamentos das tensões σ α e τ α para qualquer plano α de topo a Z podem ser previstos através das expressões (3.46) e (3.47) Em particular, verifica-se que σ α passa por um máximo ou mínimo quando
= 0 α σ α d
d (3.48)
Como
α σ σ α τ α τ α
α
σ 2 2 2
2 + =
− −
= sen cos
d
d x y xy
(3.49)
tem-se que a tensão cisalhante no plano deve ser zero para que a tensão normal seja máxima ou mínima. Os planos principais, onde atuam as tensões máxima e mínima, serão conhecidos através de:
y x II xy ,
tg I
σ σ α τ
= 2 −
2 (3.50)
A determinação de α I ou α II a partir da equação (3.50) não é única porque os ângulos α e α + π possuem a mesma tangente. Convenciona-se adotar como α I o plano onde atua a máxima tensão principal e que este plano sempre estará adiantado de 90 o em relação ao plano onde atua σ II . Como α I corresponde à tensão σ I > σ II deve-se estudar a segunda derivada de σ α para decidir-se que determinação de 2α será a correspondente a σ I . Esta discussão está apresentada nos livros básicos de Resistência dos Materiais (ver, por exemplo, as referências [1] a [11] listadas no final do capítulo) e seu resultado é o seguinte:
2 2
2 2
α π σ π
σ
α π σ π
σ
<
<
−
→
<
<
<
−
→
>
II y
x
I y
x
se se
(3.51)
Os valores das tensões principais máxima e mínima, σ I e σ II , podem ser obtidos da substituição dos valores de α I e α II na equação (3.46) de σ α e gerarão os valores de σ I e σ II calculados anteriormente, equação (3.45).
O mesmo procedimento pode ser seguido para a determinação da tensão cisalhante máxima.
Novamente, recomenda-se a consulta a livros básicos de Resistência dos Materiais.
Considerando-se tanto o desenvolvimento para casos triaxiais gerais quanto para casos biaxiais, as tensões cisalhantes máximas serão dadas por:
Análise triaxial:
2 2
2
3 2 2 1 3 1 max
σ σ σ σ σ
τ σ − > − −
= e (3.52)
Quando a procura da tensão cisalhante máxima é feita por pesquisa limitada aos planos de topo ao plano Z, numa análise biaxial, isto é, através da análise dos planos de topo a Z ou III , tem-se:
= 0 α τ α d
d (3.53)
e então:
Análise biaxial: ( ) 2 4 2
2 1
2 x y xy
II IeII I
max, σ σ σ σ τ
τ = − = − + (3.54)
Não se pode deixar de mencionar que a tensão cisalhante máxima no ponto será aquela que resultar da diferença entre σ 1 e σ 3 , e não obrigatoriamente de σ I e σ II .
Ainda, consultando os livros básicos de Resistência dos Materiais, pode-se chegar à conclusão que os planos onde atuam as tensões cisalhantes máximas fazem ângulos de 45 o com os planos das tensões principais, e que a tensões normais que atuam nestes planos são os valores médios das tensões principais. Por exemplo, fixando o eixo 3 e pesquisando todos os planos que estão de topo a 3, tem-se que a tensão normal máxima e a tensão cisalhante máxima atuarão em planos a + 45 o com os planos 1 e 2 e seus valores serão:
o
em referente a atuando em 45
2
2 1
2 1 2 , 1 2
1
2 , 1 2
,
1
