Considere o problema ilustrado na Figura 2.1. Um fluido com velocidade u 0. Figura 2.1 Escoamento laminar sobre uma superfície plana.

2. Convecção Externa Laminar. Camada Limite

Neste item serão considerados escoamentos externos sobre superfícies planas ou curvas e a convecção térmica será analisada usando o conceito de camada limite.

2.1 Camadas Limites Hidrodinâmica e Térmica

Considere o problema ilustrado na Figura 2.1. Um fluido com velocidade u₀ e temperatura T₀ a partir de uma dada coordenada passa a escoar sobre uma superfície plana de comprimento L, mantida à temperatura T_w.

Figura 2.1 Escoamento laminar sobre uma superfície plana.

Sendo a placa suficientemente larga, este escoamento pode ser considerado como 2D. Em coordenadas cartesianas, sob hipótese de regime permanente e propriedades constantes, este escoamento pode ser modelado pelo conjunto de equações a seguir:

1) Equação de Continuidade

=0

∂ +∂

∂

∂ y v x

u (2.1)

2) Equações e Quantidade de Movimento em x e y

x: _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂

2 2 2

1 2

y u x

u x

p y

v u x

u u ν

ρ ^{; (2.2)}

y: _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂

2 2 2

1 2

y v x

v y

p y

v v x

u v ν

ρ ^(2.3)

3) Conservação de Energia Térmica

2 2

2 2 2

2 2 2 2

p

T T T T u u v v

u v

x y x y c x y x y

α μ

ρ

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂∂ + ∂∂ = ⎜⎝∂∂ +∂∂ ⎟⎠+ ⎢⎢⎣ ⎛⎜⎝∂∂ ⎞⎟⎠ +⎜⎝∂∂ +∂∂ ⎟⎠ + ⎜⎝∂∂ ⎟⎠ ⎥⎥⎦

(2.4)

As seguintes condições de contorno se aplicam

) ( ) , 0 (

) ( ) , (

0 ) 0 , (

0 y

u y u

x u x

u x u

=

=

∞

=

∞

0 ) , 0 (

0 ) , (

) 0 , (

=

=

∞

=

y v

x v

v x

v _w

0

0 0 T( x, ) Tw

T( x, ) T ( x ) T( , y ) T ( y )

∞

=

∞ =

=

(2.5)

Para obter as equações de camada limite, aquela região em que o efeito viscoso é predominante e grandes gradientes de temperatura ocorrem, uma análise de ordem de grandeza dos termos das equações (2.1)-(2.5) será realizado. Supondo que

L x

≈ 1

∂

∂ ,

2 2

2 1

L x ≈

∂

∂ ,

t

y δ ou δ 1

≈ 1

∂

∂ , _{2 2 2}

2 1 1

t

y ^≈δ ou δ

∂

∂ . Da equação de continuidade pode se

demonstrar que

Lu v v

L u y v x

u δ

δ ^{⇒ ≈} +

∂ ⇒ +∂

∂

∂

L u v y

u x ≈

∂

≈ ∂

∂

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ≈

∂

≤ ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ≈

∂

∂

2 2

2 2 2

2

2 1 1 1

t

y ou L

x δ δ

Na equação de momentum têm-se os termos de inércia, de pressão e de atrito viscoso. A Tabela 2.1 indica a ordem de grandeza destes termos na equação de quantidade de movimento em x.

Tabela 2.1. Ordem de grandeza de termos na equação de quantidade de movimento x Inércia Pressão Fricção

δ δ δ

uu L vu L

uu, =

L p

ρ ν ^{2 ,} νδ^u2

L u

Observando a ordem de grandeza dos termos na Tabela 2.1, pode-se concluir que x

u

u∂ /∂ e v∂u/∂y são da mesma ordem. Se δ <<L, a ordem de grandeza dos termos de atrito será ₂

ν δ^u . Após esta análise pode-se reescrever a Eq. (2.2) como

2

1 2

y u x

p y

v u x u u

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂ ν

ρ ^{. (2.6)}

A partir da Eq. (2.6) pode-se dizer que a ordem de grandeza do gradiente de pressão em x será:

L u x

p =ρ ²

∂

∂ ou ₂

μδ^u x

p =

∂

∂

Na equação de quantidade de movimento em y, a ordem de grandeza dos termos será

L u x u u L u L L

u L u x u v

2 2

∂ ≈

<< ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

∂ ≈

∂ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ

δ 1 ^{2 2} u²

L u L

u y v u L u L L

u L

u y

v v ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

∂ ≈

<< ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

∂ ≈

∂

Uma análise mostra que o gradiente de pressão em y será de ordem de grandeza

2 2

2

1

μδ δ δ

μδ δ

μ u

u L L v y

p ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

∂ ≈

∂

Portanto,

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

≈ ⎛

∂

∂

∂

∂

O L x p y

p δ

/

Considerando p= p( )x,y , então

ydy dx p x dp p

∂ +∂

∂

=∂ ou

dx dy y p x p dx dp

∂ +∂

∂

= ∂ .

Assim, ∂p/∂x=dp/dx, o que sugere que p= p(x) e deve ser da mesma ordem da pressão fora da camada limite, ou seja

dx dp dx

dp _∞

=

Na região fora da camada limite, considera-se o escoamento como potencial. Se ),

(x u u_∞ = _∞

2 0 1

1 ^∞ + ^∞2 = dx du dx

dp ρ

podendo-se concluir que

dx du dx

dp ²

2 1

1 = _∞

−ρ

No caso em que u_∞ não varia, dp/dx=0.

Em resumo as equações da camada limite serão

=0

∂ +∂

∂

∂ y v x

u (2.7)

2

1 2

y u x

p y

v u x u u

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂

∂ ν

ρ ^(2.8)

=0

∂

∂ y

p (2.9)

2 2 2

p

T T T u

u v

x y y c y

α μ

ρ

⎛ ⎞

∂∂ + ∂∂ = ∂∂ + ⎜⎝∂∂ ⎟⎠ (2.10)

sujeitas às condições de contorno:

) ( ) , 0 (

) ( ) , (

0 ) 0 , (

0 y

u y u

x u x

u x u

=

=

∞

=

∞

0 ) , 0 (

0 ) , (

) 0 , (

=

=

∞

=

y v

x v

v x

v _w

) ( ) , 0 (

) ( ) , (

) 0 , (

0 y

T y T

x T x

T

T x

T _w

=

=

∞

=

∞ (2.11)

2.2 Adimensionalização das Variáveis

Na solução das equações (2.7) a (2.11) é necessário se conhecer as propriedades do fluido. Estes valores de propriedades nem sempre estarão disponíveis. Uma maneira de evitar o problema de encontrar as propriedades é adimensionalizar as variáveis nas equações, formando grupos de números adimensionais pela combinação de propriedades e parâmetros do escoamento. Com este propósito se define o seguinte grupo de variáveis adimensionais:

L X = x ;

L Y = y;

u0

U = u ;

u0

V = v ; ₂ u0

P p

= ρ ;

w w

T T

T T

−

= −

0

θ ;

ν L u

L

Re = 0 ;

α L

Pe_L =Re_LPr =u⁰ ; ⁰

2

p

Ec u

c T

= Δ

Nas variáveis adimensionais, as equações serão

=0

∂ +∂

∂

∂

Y V X

U (2.12)

2 2

Re 1

Y U X

P Y

V U X U U

L ∂

+ ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂

∂ (2.13)

=0

∂

∂ Y

P (2.14)

2 2 2

1

Re Ec U

U V

X Y Pe Y Y

θ θ θ

∂ + ∂ = ∂ + ⎛⎜∂ ⎞⎟

∂ ∂ ∂ ⎝∂ ⎠ (2.15)

sujeitas às condições de contorno:

1 ) , 0 (

) ( ) , (

0 ) 0 , (

=

=

∞

=

∞

Y U

X U X

U X U

0 ) , 0 (

0 ) , (

) 0 , (

=

=

∞

=

Y V

X V

V X

V _w

1 ) , 0 (

) ( ) , (

0 ) 0 , (

=

=

∞

=

∞

Y

X X

X

θ

θ θ

θ

(2.16)

Em geral se assume u_∞ =u₀ e T_∞ =T₀, de modo que U(X,∞)=1 e θ(X,∞)=1.

2.3 Solução Exata das Equações de Camada Limite

A solução exata das equações e camada limite é possível em alguns casos particulares. Uma técnica para é admitir que ao longo de x os perfis de velocidade são similares e definir uma variável de similaridade e usar o conceito de função de corrente.

Assumindo que a velocidade do escoamento externo à camada limite seja da forma cxm

x

u_∞( )= com c e m constantes, pode-se obter o gradiente de pressão a partir de

dx u du dx

dp dx

dp _∞

∞ = ∞

−

=

− ρ (2.17)

Define-se a função de corrente de modo que

u y

∂ Ψ

= ∂ v x

∂ Ψ

−∂

= (2.18)

e a equação de continuidade é automaticamente satisfeita, ou seja

0 0

2 2

∂ =

∂ Ψ

− ∂

∂

∂ Ψ

⇒ ∂

∂ = +∂

∂

∂

x y y x y

v x

u (2.19).

Agora define-se uma variável de similaridade e uma função de corrente adimensional como a seguir

x x

y

m Re

2 +1

η = _x

x u

f m Re

2 ) 1

(

∞

Ψ

= +

η (2.20)

em que

ν x u

x

= ∞

Re . A equação (2.20) pode ser simplificada após substituição de Re e _x u∞, resultando

( )

y cx

m m1/2

2

1 ₋

= +

η ν = + 1 ^{−( +1)/2}Ψ

2 ) 1

( x ^m

c f m

η ν (2.21)

( ^{1 / 2})

1 1 1

2 2 2

m m c m m

x y

x x x

η η

ν

∂ − + − −

= =

∂ 1 ^{( 1 / 2)}

2 m c m

y x η

ν

∂ + −

∂ =

Os componentes de velocidade e suas derivadas em função de η e f(η) serão

η

η d

u df d cx df

u y = ^m = _∞

∂ Ψ

= ∂ (2.22)

1/ 2

1 1

2 Re_x ( ) 1

m u m df

v f

x η m ηd

∞ ⎛ η⎞

∂Ψ + −

= − ∂ = − ⎜⎝ + + ⎟⎠ (2.23)

2 2

1 2

u mu df m u d f

x x d x η d

η η

∞ ∞

∂ = + ⎜⎛ − ⎞⎟

∂ ⎝ ⎠ (2.24)

2 2

1 Re 2

u x

u m d f

y x dη

∂ = + ∞

∂ (2.25)

2 2 3

2 3

1 2

u m u d f y x ν η^∞ d

∂ = +

∂ (2.26)

Substituindo as equações (2.22) a (2.26) na equação (2.8), após várias manipulações, chega-se a

0 1 1

2 ²

2 2 3

3 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

+ η η

η d

df m

m d

f f d d

f

d (2.27)

Definindo

1 2

= + m

β m , a equação (2.27) fica na forma:

0 1

2 2

2 3

3

⎥=

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

+ β η

η

η d

df d

f f d d

f

d . (2.28)

A equação (2.28) é denominada na literatura de equação de Falkner-Skan. As condições de contorno na variável f serão

0 ,

0

;

0 = =

= f

d df

η η (2.29)

1

; =

∞

→ η

η d

df (2.30)

Após a solução da equação (2.28) com as condições de contorno (2.29) e (2.30), pode-se calcular os componentes de velocidade como

η d u df

u= _∞ e ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

− −

= + ^∞ f

d df m

u m v m

x η η

1 1 2 Re

1 (2.31)

Definindo g d df =

η ^e d ^h

f d² ₂ =

η , a equação (2.28) pode ser transformada num sistema de equações diferenciais ordinárias como a seguir

( ^{2 −1})

+

−

=

=

=

g d fh

dh d h dg d g df

η β η η

(2.32)

com as seguintes valores iniciais

do desconheci h

g f

=

=

=

) 0 (

0 ) 0 (

0 ) 0 (

(2.33)

Como pode ser observado na equação (2.33) a valor inicial para h é desconhecido e também deve ser determinado na solução do problema. O valor inicial correto para h é aquele que leva a condição da equação (2.30). Portanto, a solução do sistema (2.32) deve ser obtida de forma iterativa.

No caso especial de m=0, definindo η^* =η/ 2 e f^* = f / 2, obtém-se a partir da equação (2.28), nas novas variáveis, mas omitindo o asterisco.

2 ² 0

2 3

3

=

+ η

η d

f d f d

f

d (2.34)

que é conhecida como equação de Blasius. A partir da equação (2.32) obtém-se com

=0

β que

2 / d fh

dh d h dg d g df

−

=

=

=

η η η

(2.35)

com as condições iniciais da equação (2.33) e com a restrição que df(∞)/dη →1. Os perfis de velocidade serão

) (η η ^f d df u

u = = ′

∞

e ¹ ( )

2 _x

v f f

u Re η

∞

= ′− (2.36)

O perfil de velocidade longitudinal em função de η é apresentado na Figura 2.2.

Figura 2.2. Perfil de velocidade longitudinal em função de η

O fator de atrito local é definido por

2 0

, 2

/1 _∞

∂ =

= ∂ u

y c u

y x

f μ ρ (2.37)

Nas variáveis η e f , o fator de atrito pode ser expresso como

x x

f d

f

c 2 d / Re

0 2 2 ,

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

η η ^(2.38)

A partir da solução de f obtém-se 0,332

0 2

2 ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

η=

η d

f

d . Portanto o fator de atrito será

expresso como

x x

cf

Re 664 , 0

, = (2.39)

A força de cisalhamento numa parede de comprimento x é: _wx

x x

w dx x _,

0

, τ

τ =

∫

Assim, obtém-se

∫

=

=

∞

x x f x

f x

w c dx

c x

u ⁰

, ,

2

, 1

2 1ρ

τ (2.40)

O coeficiente médio de atrito, após substituir o coeficiente local na equação (2.40) e resolver a integral será

x x

f x

f c

c

Re 328 , 2 _, 1

, = = (2.41)

A partir da solução de u pode-se mostrar que u=0,99u_∞ em η ≅4,92. Fazendo um balanço entre inércia e atrito na equação de quantidade de movimento resulta

δ2

ν ^∞

∞ ∞ ≈ u

x u u

da qual pode-se concluir que a espessura da camada limite será

∞

≈ u

νx

δ ou

x Rex

∝ 1 δ

De _x

x y Re

η = , para η=4,92→ y=δ₉₉, resultando para a espessura da camada limite

x Rex

92 ,

99 = 4

δ (2.42)

Outras espessuras de camada limite também são definidas na literatura:

espessura de deslocamento (δ^*) e espessura de momentum (δ^**), que são respectivamente definas como

∫

=

0

* 1 dy

u

δ u e ^{** =}

∫

δ u (2.43)

Substituindo perfil de velocidade na equação (2.43) obtém-se

x Rex

72 ,

* 1 δ =

x Rex

664 ,

* 0

*

δ =

(2.44)

Exemplo 2.1: Camada Limite de Velocidade Laminar

Uma solução 0,01% de água e sal escoa sobre uma parede com velocidade 6

,

=0

u∞ cm/s. Calcule as espessuras δ₉₉,δ^*,δ^** 20 cm abaixo da borda de ataque.

Calcule também os coeficientes de atrito local e médio e as respectivas tensões de cisalhamento.

2.4 Camada Limite Térmica

A camada limite térmica geralmente é analisada considerando o caso Pr=1 e o caso geral para qualquer número de Pr . O caso Pr=1 pode ser analisado a partir das equação (2.13) sem gradiente de pressão e equação (2.15), que ficam na forma

2 2

Re 1

Y U Y

V U X U U

L ∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂ (2.45)

2 2

Re 1 Y Y X V

U

L ∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂θ θ θ

(2.46)

A equação (2.46) é similar à equação (2.45), então ambas as soluções devem ser idênticas. O número de Nusselt é definido por

Y X X

Nu_x

∂

= ∂ ( ,0) )

( θ

(2.47)

e o fator de atrito é definido por

x x x

f Y

X X U

c

Re 664 , 0 ) 0 , ( Re ) 2

, ( =

∂

= ∂ (2.48)

A partir da equação (2.48) obtém-se que derivada da velocidade na parede é:

Y x

X

U( ,0) 0,332 Re

∂ =

∂

e portanto, como

Y X U Y

X

∂

= ∂

∂

∂θ( ,0) ( ,0)

, obtém-se o número de Nusselt neste caso definido por

x

x X

Nu ( )=0,332 Re (2.50)

No caso mais geral de qualquer número de Prandtl não unitário assume-se que

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

= Y X

Y

X Re^L

) ( ) ,

( θ η θ

θ . A partir da equação de energia

2 2

Re Pr

1 Y V Y

U X

L ∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂θ θ θ

com ( ) (η)

η η f

d

U = df = ′ e ¹ ( )

2 _x

V ( ) f f

Re

η = η ′− , pode-se demonstrar que

2 0 Pr

2 2

=

+ η

θ η

θ

d d f d

d (2.51)

sujeita as seguintes condições de contorno

1 ) (

0 ) 0 (

=

∞

= θ

θ (2.52)

Definindo

η θ d

g = d , então ₂

2

η θ η d

d d

dg = . Daí ^θ(η)=

∫

2 0

Pr =

+ f g d

dg

η ^(2.53)

A solução da equação (2.53) pode ser prontamente obtida como

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ′′ ′′

′ =

∫

η

0

) 2 (

exp Pr )

( C f d

g

resultando a solução da distribuição de temperatura na forma

η η η η

θ ^{η η} ⎟ ′

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ′′ ′′

=

∫

∫

exp Pr )

( (2.54)

A condição de contorno θ(∞)=1 fornece a constante C

η η

η η

⎟ ′

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ′′ ′′

=

∫

∫

C

0 0

) 2 (

exp Pr

1

que substituída na equação (2.54) resulta

η η η

η η η η

θ _η

η η

⎟ ′

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ′′ ′′

⎟ ′

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− ′′ ′′

=

∫ ∫

∫ ∫

∞ ′

′

d d f

d d f

0 0

0 0

) 2 (

exp Pr

) 2 (

exp Pr )

( (2.55)

O número de Nusselt será então

η θ η

η θ θ

d d X Y

d d Y

X X

Nu_x ( ,0) Re^L (0)

)

( =

∂

= ∂

∂

= ∂ (2.56)

A partir da equação (2.56) pode-se obter correlações para calcular o número de Nusselt. Schilichting (1968) sugere as correlações, para 0,6≤Pr ≤10:

3 / 1 2 /

1 Pr

Re 332 , 0 )

( _x

x X

Nu = (2.57)

e para o Nusselt global resulta

3 / 1 2 / 1 0

Pr Re 664 , ) 0

(

L L

x

L dX

X X

Nu =

∫

2.4.1 Camada Limite Térmica Espessa (Parede Isotérmica)

A distribuição de temperatura no escoamento paralelo a uma parede isotérmica na temperatura T_w é ilustrada na Figura 2.3. Neste caso, a espessura da camada limite térmica é bem maior do a espessura da camada limite hidrodinâmica, ou seja

δ

δ_T >> (2.59)

Figura 2.3. Camada térmica em fluidos com baixos números de Prandtl.

A partir da equação de energia,

l transversa condução convecção

y T y

v T x

u T ₂

2

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂ α , (2.60)

pode-se demonstrar a ordem de grandeza dos termos convectivos e condução transversal, obtendo-se

, 2

t

T v T

x u T

α δ δ

≈ Δ Δ

Δ (2.61)

Fora da camada limite hidrodinâmica a velocidade transversal,

u δx

ν ≈ _∞ . Então obtém-se para o termo convectivo transversal

t

t x

u T T

δ δ ν Δδ ≈ ^Δ

∞ (2.62)