Sistemas Complexos. Luiz Renato Fontes

Luiz Renato Fontes

Modelo de Ising (ferromagn´etico) em Z^d

Spins emZ^d

S={−1,+1}^Zd . . . configura¸c˜oes de spins em Z^d.

Material (ferro)magn´etico em equil´ıbrio termodinˆamico:

Λ⊂Z^d, finito;SΛ={−1,+1}^Λ

Energia/Hamiltonianodeσ∈ SΛc/cond de fronteiraη∈ S_Zd

H_Λ^η(σ) =− X

x,y∈Λ

∗Jxyσxσy−X

x∈Λ

hxσx− X

x∈Λ,y∈Λ/

Jxyσxηy,

ondeJxy ≥0,x,y∈Z^d;Jxy = 0, sekx−yk16= 1: ctes de acoplamento;

(hx)_x∈Zd ∈[0,∞)^Zd: campo externo.

Eventual/e: Jxy ≡J>0,x ∼y ^†;hx ≡0;η ≡+1 ou ≡0 Medida de Gibbs: µ^η_Λ(σ) = 1

Z_Λ^η exp{−βH_Λ^η(σ)},σ∈ S_Λ, onde β ≥0 (par: inv temp); Z_Λ^η = X

σ∈S_Λ

e^{−βHΛη(σ)}: normaliza¸c˜ao

∗Cada par conta s´o uma vez na soma.

†Not: x ∼y sekx−yk1= 1;x,y ditosvizinhos mais pr´oximos

Obs. (hx ≡ 0; η ≡ +1 ou η ≡ −1)

1) Competi¸c˜ao entre confs alinhadas (com maiores pesos de Gibbs individuais) e confs desordenadas (em maior n´umero), mediada p/β;

2) Qto maiorβ, maior o peso das confs alinhadas;

3) Em vol finito,β >0: tendˆencia de alinha/o com a fronteira;

4) Em volinfinito: tendˆencia pode desaparecer;

5)Jxy ≡J>0,x∼y, vol∞,d ≥2: trans. fase;∃βc ∈(0,∞):

a) seβ < β_c, alinhamento desaparece;

b)β > β_c: alinhamento persiste (magnetiza¸c˜ao espontˆanea);

6)Jxy ≡J,x∼y,d = 1: n˜ao h´a magnetiza¸c˜ao espontˆanea;

7)Jxy ≡J,x∼y,hx ≡h>0: alinha/o com o campo vence.

De agora em diante: η≡+1 (fronteira +) ou≡0 (fronteiralivre) (substη por + ou 0, resp, emH,µ eZ).

Dado∅ 6=A⊂Λ eσ ∈ S_Λ, sejaσ_A =Q

x∈Aσ_x; e σ_∅ = 1.

Not: 1) Dadaf :S_Λ→Re ∗= + ou 0:

hfi^∗_Λ=µ^∗_Λ(f) = Z

f(σ)dµ^∗_Λ(σ) = X

σ∈S_Λ

f(σ)µ^∗_Λ(σ), 2)hσ_A;σ_Bi^∗_Λ=hσ_Aσ_Bi^∗_Λ− hσ_Ai^∗_Λhσ_Bi^∗_Λ.

Proposi¸c˜ao 1. (6=⁰s de Griffiths)

∀A,B ⊂Λ e∗= + ou 0 (i)hσ_Ai^∗_Λ≥0;

(ii)hσ_A;σ_Bi^∗_Λ≥0.

6=⁰s Griffiths

Dem.Basta fazer o caso∗= 0, pois hσ_Ai⁺_Λ = limh→∞hσ_Ai⁰_¯

Λ, (0)

onde ¯Λ = Λ∪∂⁺Λ,∂⁺Λ ={y ∈/ Λ : x ∼y}, e hx ≡h em∂⁺Λ.

(i) Basta mostrar que X

σ∈S_Λ

σ_Aexpn X

x,y∈Λ

J_xyσ_xσ_y+X

x∈Λ

h_xσ_xo

≥0 (1)

(β incorporado nos Js ehs, spg).

Sejam{e_i,i ∈ M={1, . . . ,M}} e {x_j,j ∈ N ={1, . . . ,N}}

enumera¸c˜oes dos elos e s´ıtios de Λ, resp; fa¸camosJ_i =J_ei =J_yi,zi, σ_ei =σ_yiσ_zi, onde y_i,z_i s˜ao as extr dee_i, e h_j =h_xj; ent˜ao

exp{· · · }=

∞

X

n=1

1 n!

n

X

k=0

n k

X

σ

σ_A X

i∈M

J_iσ_eik X

j∈N

h_jσ_xjn−k

Expandindo as potˆencias, temos, resp, X

(i1,...,ik)∈M^k

J_i1...ikσ_ei

1...e_ik, X

(j1,...,jn−k)∈N^n−k

h_j1...jn−kσ_xj

1...x_jn−k, ondeJ_i1...ik =J_i1· · ·J_ik ≥0;σ_ei

1...e_ik =σ_ei

1· · ·σ_eik, e similarmentehj1...jn−k ≥0 e σxj1...x_jn−k.

Logo, o lado esq de (1) fica:

∞

X

n=1

1 n!

n

X

k=0

n k

X

i1,...,ik

J_i1...ik X

j1,...,jn−k

h_j1...jn−kX

σ

σ_F

z }| { σ_Aσ_ei

1...e_ikσ_xj

1...x_jn−k, para certoF ⊂Λ (que pode ser ∅).

Basta agora verificar que seF 6=∅, ent˜ao X

σ∈S_Λ

σ_F = Y

x∈Λ\F

X

σx∈{−1,+1}

1

| {z }

2

×Y

x∈F

X

σx∈{−1,+1}

σ_x

| {z }

0

= 0 (i)

Dem. Griffiths (ii)

Sejaσ⁰ uma c´opia indep deσ, ie,σ⁰ tem distr marg µ⁰_Λ=µ (omitimos ´ındices 0 e Λ no resto da dem) e ´e indep de σ; ent˜ao hσ_A;σ_Bi=hσ_Aσ_Bi − hσ_Aihσ_Bi= ¹₂h(σ_A−σ_A⁰)(σ_B−σ_B⁰ )i. (2) Sejam agora, parax∈Λ,τx = σx +σ_x⁰

2 , τ_x⁰ = σx−σ⁰_x

2 ; ent˜ao σ_A−σ_A⁰ = Y

x∈A

σx −Y

x∈A

σ_x⁰ = Y

x∈A

(τx+τ_x⁰)−Y

x∈A

(τx −τ_x⁰)

= X

C⊂A

Y

x∈C

τx

| {z }

τC

Y

x∈A\C

τ_x⁰

| {z }

τ_A\C⁰

1−(−1)^|A\C|

| {z }

aC≥0

= X

C⊂A

a_Cτ_Cτ_A\C⁰ ;

∴(σ_A−σ_A⁰)(σ_B −σ_B⁰ ) = X

C⊂A D⊂B

a_C b_D

|{z}

1−(−1)^|B\D|

τ_Cτ_Dτ_A\C⁰ τ_B\D⁰ (3)

Repetindo:

(σA−σ_A⁰ )(σB−σ_B⁰ ) = X

C⊂A D⊂B

aCbD τCτDτ_A\C⁰ τ_B\D⁰ (3) Por outro lado (incβ nosJs e hs),

µ(σ)µ(σ⁰) = 1

Z² expn X

x,y

Jxy˜

z}|{2Jxy(τxτy+τ_x⁰τ_y⁰)

z }| { Jxy(σxσy +σ_x⁰σ_y⁰) +X

x

2hxτx=˜hxτx

z }| { hx(σx +σ_x⁰)

o

(4)

∴Z²h(σ_A−σ_A⁰)(σ_B −σ_B⁰ )i= X

C⊂A D⊂B

aCbD

X

τΛ,τ_Λ⁰∈S⁰_Λ:={−1,0,+1}^Λ

τCτDτ_A\C⁰ τ_B\D⁰ expn X

i

J˜i(τe_i+τ_e⁰_i) +X

j

˜hjτx_j

o

(5)

Dem. Griffiths (ii) (cont)

A soma interna em (5) pode ser escrita da seguinte forma:

X

τ_Λ,τ_Λ⁰∈S⁰_Λ

τ_Cτ_D expn X

i

J˜_iτ_ei +X

j

˜h_jτ_xjo

τ_A\C⁰ τ_B\D⁰ expn X

i

J˜_iτ_e⁰

i

o

= X

τ_Λ∈S_Λ⁰

τCτD expn X

i

J˜iτei+X

j

h˜jτxj

o× (6)

× X

τ_Λ⁰∈S⁰_Λ

τ_A\C⁰ τ_B\D⁰ expn X

i

J˜_iτ_e⁰

i

o

(7)

Os fatores em (6,7) s˜ao similares — no segundo o campo externo ´e≡0.

Basta mostrar que o primeiro ´e≥0.

Procedendo como em (i), expandindo a exp, a expr em (6) pode ser escrita como a soma de termos≥0 multiplicando termos da forma

X

τΛ∈S_Λ⁰

Y

x∈F

τ_x^kx, com F ⊂Λ ekx ∈ {0,1,2},x∈Λ.

Como na parte (i), esta soma ´e um produto de fatores obviamente positivos multiplicado por produto de termos da forma

X

τx∈{−1,0,+1}

τ_x^kx, p/algum x∈Λ.

Cada uma destas somas acima ´e obvia/e ≥0, sek_x = 0 ou 2;

e se anula, sekx = 1; de toda forma, ´e sempre ≥0.

Logo, a expr em (5) ´e ≥0, e o resultado segue da subst em (2).

(ii)

6=⁰s Griffiths — Corol´arios

1) DadoA⊂Λ,hσ_Ai^∗_Λcresc em cadaJxy e hx,x,y ∈Λ, e∴ emβ.

Pois, tomando a derivada dehσ_Ai^∗_Λ em rela¸c˜ao a qquer um destes argumentos, basta notar que ´e≥0:

d

dhxhσ_Ai^∗_Λ=hσ_A;σ_xi^∗_Λ, _dJ^d

xyhσ_Ai^∗_Λ=hσ_A;σ_{x,y}i^∗_Λ s˜ao ambas≥0 por Griffiths (ii).

2) De (0) e de 1), segue quehσ_Ai⁰_Λ≤ hσ_Ai⁺_Λ.

3) ”hσ_Ai^∗_Λ ´e crescente emd.” Sejad ≥2 e suponha que A⊂Z^d−1× {0}; sejaA⁻={x∈Z^d−1 : (x,0)∈A}.

De 1): hσ_Ai^∗_Λ≥ hσ_A−i^∗_Λ−, onde Λ⁻={x ∈Z^d−1: (x,0)∈Λ}.

6=s Griffiths — Corol´arios (cont)

4) SeA⊂Λ⊂Λ⁰, ent˜ao: a) hσ_Ai⁰_Λ≤ hσ_Ai⁰_Λ0, e b) hσ_Ai⁺_Λ ≥ hσ_Ai⁺_Λ0. Checagem de a): explicitando dep emJ={J_xy}, temos que hσ_Ai⁰_Λ(J) =hσ_Ai⁰_Λ0(J⁰), comJ_xy⁰ =

(J_xy, sex,y ∈Λ;

0, c.c.

Checagem de b): explicitando dep emh={h_x}, temos que hσ_Ai⁺_Λ(J) = limh→∞hσ_Ai⁺_Λ0(h⁺), comJ_xy⁺ =

(h_x, sex ∈Λ;

h, c.c.

4⁰) De 4) segue que, dada (Λ_n)n≥1 uma seq cresc (na ordem de inclus˜ao) de subcjs finitos deZ^d tq ∪_n≥1Λ_n=Z^d. Ent˜ao∀A⊂Z^d finito, os seguintes limites existem (por monotonicidade)

hσ_Ai^∗ := limn→∞hσ_Ai^∗_Λ

n,∗= 0,+, (?)

e n˜ao dependem da particular seq (Λ_n)n≥1 satisfazendo as conds acima. (Verifique!)

Limite termodinˆamico

Para∗= 0,+, de 4⁰) acima segue que os limiteshσ_Ai^∗,A⊂Z^d finito, definidos acima, podem ser usados para obter medidas de probabilidadeµ^∗ em (S,G), ondeS ={−1,+1}^Zd e G ´e a σ-´algebra gerada pelos subcjs cilindr´ıcos de S tq

µ^∗(σ_A) =hσ_Ai^∗ ∀A⊂Z^d finito.

(Isto segue do fato de qq f¸c cil´ındrica f :S →R´e uma comb linear deσ_A’s comA⁰s finitos^‡.)

Pelo restante deste t´opico do curso, vamos nos ater a estas medidas de Gibbs em volume infinito, em particular, µ⁺. N˜ao ´e dif´ıcil checar que as ppddes de monotonicidade deµ^∗_Λ estabelecidas acima s˜ao herdadas por µ^∗.

‡inclusiveA=∅

Vamos tomar o modelo sem campo, ie, comhx ≡0. Neste caso, temos a simetria por troca global de spinsσx → −σ_x ∀x em µ⁰_Λ para todo Λ finito, e ent˜ao tb emµ⁰. Logo a magnetiza¸c˜aoda origem c/ fronteira livreµ⁰(σ₀) =hσ₀i⁰= 0.

N˜ao ´e dif´ıcil ver por um argumento direto que se houver um caminhoγ (no mesmo sentido usado em percola¸c˜ao) ligando a origem `a fronteira de Λ finito tqJ·>0 em todos os elos de γ, e seβ >0, ent˜ao hσ₀i⁺_Λ >0. (Veremos um argumento indireto adiante.)

Mas isto n˜ao garante quehσ₀i⁺>0 para todoβ >0, mesmo que Jxy seja uniforme/e positivo para todo elo vizinho mais pr´oximo hx,yide Z^d (na linguagem de percola¸c˜ao).

A seguir definimos o parˆametro cr´ıtico do modelo.

Transi¸c˜ao de fase (cont)

β_c= sup{β ≥0 :hσ₀i⁺= 0}

{· · · }´e n˜ao-vazio (verifique que cont´em 0), mas pode ser ilimitado, neste casoβc=∞. Pela monotonicidade emβ:

hσ₀i⁺

(= 0, seβ < β_c;

>0, seβ > βc.

Diremos que o modelo de Ising exibetransi¸c˜ao de fase(n˜ao trivial) seβc ∈(0,∞).

Veremos que o modelo de Ising homogˆeneo (J_xy ≡J>0, x∼y) sem campo ext (hx ≡0) exibe transi¸c˜ao de fase em d ≥2.^§ Isto ser´a feito, diferentemente do mais usual, por meio de uma representa¸c˜ao do modelo de Ising em termos de um modelo de percola¸c˜ao dependente, que por sua vez ser´a comparado com o modelo independente que j´a estudamos.

Come¸camos a seguir pelo modelo de percola¸c˜ao dependente.

§Pode-se mostrar queβ =∞emd= 1.

Vamos voltar ao quadro do modelo de percola¸c˜ao, desta vez em volume finito.

SejamQ_n={−n, . . . ,n}^d,E_n={hx,yi ∈ E^d : x,y ∈ Q_n}, E_n⁺={hx,yi ∈ E^d : x∈ Q_n}, e∂E_n+1 =E_n+1\ E_n⁺.

Seja Ωn={0,1}^En+ o esp de confs de elos fechados e abertos de Q⁺_n ={y∈Z^d : y∼x para algum x∈ Q_n}(como no mod de perc, mas em vol fin), e seja

Ω^a_n= Ω_n× {1}^∂En+1 o esp de confs de elos fechados e abertos de Q_n+1 em que os elos de ∂E_n+1 est˜ao todos abertos (amarrados).

Paraω∈Ω_n,ω⁰∈Ω^a_n tqω⁰|_E+

n =ω, sejaN(ω) o n´umero de aglomerados distintos determinados porω⁰ emQ_n+1.

Obs. Aglomerados distintos de Ω_n (usando s´o elos de ω) que tocam∂⁺Q_n:=Q⁺_n \ Q_n fazem parte de um mesmo aglomerado qdo adicionamos os elos abertos/amarrados de∂E_n+1.

MAA (cont)

ω∈Ω2(linhas escuras);N(ω) = 5 Sejamp∈[0,1] eq >0 parˆametros. Seja a prob em Ωn

φn(ω) =φ^p,qn (ω) = _Z¹

nq^N(ω)P(ω), (8)

ondeP=Pp ´e a prob produto em Ω_n tq ω_e ∼^P Bernoulli(p), e∈ E_n⁺, (como em perc indep), eZn´e a normaliza¸c˜ao:

Zn=Zn(p,q) =P

ω∈Ωnq^N(ω)P(ω) =E(q^N). (9)

1)φ^p,1_n ´e o modelo de perc indep (emQ⁺_n);

2) Paraq 6= 1, trata-se de um modelo de percdependente, ie, as va’sω_e,e ∈ E_n⁺ s˜ao dependentes.

3) Veremos adiante que h´a uma repr simples da medida de Gibbs µ⁺_Qn do modelo de Ising em termos deφ^p,2n (modelo dependente), comp =p(β) uma f¸c deβ a ser explicitada. Isto pode parecer n˜ao facilitar muito, pois transferimos a an´alise de µ⁺_Q

n para φ^p,2_n , que n˜ao ´e particularmente simples, a n˜ao ser que podemos comparar φ^p,qn com q >1 a φ^p,1n , que ´e o caso indep, por cima e por baixo.

Com isto, obteremos o resultado de trans de fase para o modelo de Ising a partir do resultado de trans de fase que j´a obtivemos para percola¸c˜ao independente.

Desigualdades de compara¸c˜ao

Proposi¸c˜ao 2. (6=⁰s de compara¸c˜ao)

Paraq ≥1, existe p⁰=p⁰(p,q) cont em (p,q), cresc emp, tq p⁰(1,q) = 1 e para todo n≥0 e X :E_n⁺ →Rcrescente, temos

φ^pn^0,1(X)≤φ^p,qn (X)≤φ^p,1n (X), (10) ondeφ^··_·(X) ´e a esperan¸ca de X sob φ^··_·.

Dem.Segue do Exerc´ıcio 2 da Lista 2.

Obs. 1) Podemos de fato tomarp⁰ = _p+(1−p)q^p = 1 ¹

pq−(q−1), (11) o que indica a monotonici// emp, mas tb emq (p⁰ & em q).

2) Sejam a esfera emL₁ centrada em 0 de raio k,

S_k ={x∈Z^d : kxk₁ =k}, e ∂S_k =S_n\Sk−1,k ≥1, e o evento{0↔∂Sk}=∪_x∈∂S {0↔x}.

FazendoX =1{0↔∂Sk} em (10),k ≤n+ 1:

φ^p_n^0,1(0↔∂S_k)≤φ^p,q_n (0↔∂S_k)≤φ^p,1_n (0↔∂S_k).

Sejam agora θ⁻_q(p) = lim

k→∞lim inf

n→∞ φ^p,q_n (0↔∂S_k);

θ⁺_q(p) = lim

k→∞lim sup

n→∞

φ^p,q_n (0↔∂Sk)

Ent˜aoθ(p⁰) =θ1(p⁰)≤θ⁻_q(p)≤θ_q⁺(p)≤θ1(p) =θ(p), e logo θ⁺_q(p) = 0, sep<pc; eθ_q⁻(p)>0, sep⁰>pc ⇔p>pˆc:=f_q⁻¹(pc), ondef_q(p) =p⁰(p,q)

(11): f_q⁻¹(r) = qr 1 + (q−1)r

. (12) (”Transi¸c˜ao de fase n˜ao trivial”no MAA em d≥2: pc<1⇒pˆc <1;

MAA ”trivial”emd = 1).

Obs.

3) O limiteφ^p,q:= limn→∞φ^p,q_n existe (como uma prob em (Ω,F)) para q ≥1 e θ_q⁻(p) =θ⁺_q(p) =:θ_q(p) =φ^p,q(|C|=∞).

θq(p)% em p; fazendo pc(q) = sup{θ_q(p) = 0}, e logo θ_q(p)

(= 0, sep<pc(q);

>0, sep>p_c(q); (12): ˆp_c ≤p_c(q)≤p_c. (MAA exibe trans fase n˜ao trivial emd ≥2 e ´e trivial em d = 1.) 4) Podemos definir um outro MAA emQ_n, desta vez comfronteira livre, ie, sem aamarra¸c˜aoda fronteira imposta acima. Este modelo tb se relaciona com o modelo de Ising, mas o com fronteira livre.

O limite emn do modelo livre tb existe e tem propriedades semelhantes `as do modelo amarrado.

Vamos estabelecer uma repr do modelo de Ising homogˆeneo e sem campo (Jxy ≡J >0,x ∼y;hx ≡0) com fronteira + em termos de um MAA comq= 2 ep=p(βJ) adequado.

Vamos come¸car tomandoJ = 1 spg (ou incorporandoJ emβ).

Dadoσ∈ Sn:=S_Qn, usando a not σe intr no slide 6 (abaixo de (3)) µ⁺_n(σ) :=µ⁺_Q

n(σ) = 1 Zn⁺

e^β

P

e∈E+ n σe

= 1 Z_n⁰e^β

P

e∈E+ n(σe−1)

, (13)

comσ|∂⁺Qn ≡+1. (14)

Ofator de Gibbsdeσpode ser escrito da seguinte forma:

Q

e∈En⁺e^β(σe−1)=Q

e∈E⁺n(pδe(σ) + (1−p)),

ondep= 1−e^−2β eδ_e(σ) =1{σ_e=1}. Expandimos o produto:

X

ω∈Ωn

Y

e∈En⁺:ω_e=1

(pδe(σ)) Y

e∈En⁺:ω_e=0

(1−p) =

Representa¸c˜ao FK (cont)

= X

ω∈Ωn

Y

e:ωe=1

δ_e(σ) Y

e:ωe=1

p Y

e:ωe=0

(1−p) = X

ω∈Ωn

χ_σ(ω)P(ω), (15) onde

χσ(ω) =1{σtem o mesmo sinal em cada o aglomerado de (Q⁺_n, ω)}.

Logo,Z_n⁰ =P

σ∈Sne^β

P

e∈E+ n(σ_e−1)

=P

ω∈Ωn

P

σ∈Snχσ(ω)P(ω). (16) Recordando (14), concluimos que a soma interna em (16) vale 2^N0(ω), ondeN⁰(ω) ´e o # de aglomerados de (Q⁺_n, ω) que n˜ao tocam∂⁺Qn. Note queN⁰(ω) =N(ω)−1. Logo

Dadoω∈Ωn, sejaC1, . . . ,CN uma enum dos aglos6=⁰s de (Q⁺_n, ω), ondeN=N(ω), tqC1´e o aglom da fronteira. Ent˜ao:

χ_σ(ω) =1{σ|_C1 ≡+1}QN

i=21{σ|_Ci ≡ −1 ou ≡+1}

= 2^N−11{σ|_C1 ≡+1}QN i=2

1

21{σ|_Ci ≡ −1 ou ≡+1}

= 2^N−1P_ω(σ), (17)

onde, dadaω∈Ωn eC₁, . . . ,C_N,Pω ´e a prob emS_n que atribui spin +1 aos s´ıtios deQ_n conectados `a fronteira (∂⁺Q_n) — ie, a C₁∩ Q_n —, e, para os s´ıtios de cadaC_i, atribui o mesmo spin −1 ou +1, escolhido uniformemente ao acaso, e de forma

independente paraC_is 6=⁰s.

Subst (17) em (15) e (16), segue de (13) que µ⁺_n(σ) = 2

Z_n X

ω∈Ωn

P_ω(σ) 2^N(ω)−1P(ω) = X

ω∈Ωn

P_ω(σ) 1

Z_n2^N(ω)P(ω), ondeZ_n=Z_n(p,2). Em outras palavras:

µ⁺_n(σ) = X

ω∈Ωn

P_ω(σ)φ^p,2_n (ω). (18)

Magnetiza¸c˜ao

De (18), amagnetiza¸c˜ao hσ₀i⁺_n =µ⁺_n(σ₀) =P

ω∈ΩnP_ω(σ₀)φ^p,2n (ω).

Dadaω∈Ω_n, se 0 n˜ao estiver conectada `a fronteira deQ_n por um caminho aberto deω (ie, se 0∈ C_i para algum i = 2, . . . ,N(ω)), ent˜ao Pω(σ0) ´e a esperan¸ca da distr unif em {−1,+1}, e logo P_ω(σ₀) = 0.

Por outro lado, se 0 estiver conectada `a fronteira (ie, se 0∈ C₁), ent˜ao Pω(σ0) = 1.

Logohσ₀i⁺_n =φ^p,2_n (0↔∂⁺Q_n), e de (10):

Pp⁰(0↔∂⁺Q_n)≤ hσ₀i⁺_n ≤Pp(0↔∂⁺Q_n).

Tomandolimn→∞: θ(p⁰)

(i)

≤ hσ₀i⁺⁽ⁱⁱ≤⁾θ(p), (19) ondep = 1−e^−2β e p⁰ = _2−p^p = ^1−e_1+e^−2β−2β. (20)

De (19) e (20) e dos resultados para percola¸c˜ao independente:

1) Emd= 1,p<1 para todoβ <∞, e logo de (19ii)hσ0i⁺= 0, e o modelo de Ising unidimensional ´e trivial.

2) Emd≥2,pc <1:

a) se 1−e^−2β <pc ⇔β <logq

1

1−pc, ent˜aohσ0i^{+ (19}= 0;ⁱⁱ⁾ b) se ^1−e_1+e^−2β−2β >p_c⇔β >logq

1+pc

1−pc, ent˜aohσ₀i⁺⁽¹⁹ⁱ⁾> 0;

logo, o modelo de Ising exibe trans de fase ˜n trivial emd≥2 e logq

1

1−pc ≤βc≤logq_1+p

c

1−pc

2⁰) Emd= 2, temos cotas expl´ıcitas (pois sabemos quepc = 1/2):

log√

2≤βc ≤log√ 3 (Sabe-se, neste caso, queβc = logp

1 +√ 2.)

3) Podemos mostrar em geral que sehσ0i⁺= 0, ent˜aoµ⁺=µ⁰, ie, as medidas de Gibbs em vol∞com fronteira livre e + s˜ao iguais (o que obvia/e n˜ao ´e caso seµ⁺(σ0) =hσ0i⁺>0 =µ⁰(σ0)).