EA614 – An´alise de Sinais 2

EA614 – An´ alise de Sinais

2

Semestre de 2012 – 3

Prova – Prof. Renato Lopes

Nota: As notas ser˜ ao divulgadas dia 21 de novembro, e as quest˜ oes refeitas dever˜ ao ser entregues dia 28 de novembro at´e o final do dia em minha sala.

Quest˜ ao 1 (1,5 Ponto):

Considere um sinal peri´ odico x(t) com per´ıodo fundamental T

= 0,5 s. Os coeficientes de sua s´erie de Fourier s˜ ao dados por

a

=



 

 

1, k = 0, 1/2, 0 < |k| ≤ 5, 0, caso contr´ ario.

Este sinal ´e colocado em um filtro passa-baixas ideal com frequˆencia de corte 5 Hz. Determine qual dos sinais da figura 1 corresponde ` a sa´ıda do filtro. Justifique sua resposta.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

a

t (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

b

t (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

c

t (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

d

t (s)

Figura 1: Poss´ıveis sa´ıdas do filtro da quest˜ ao 1.

Quest˜ ao 2 (1,5 Ponto):

Um sinal x(t) qualquer ´e colocado na entrada de um sistema linear invariante no tempo com resposta em frequˆencia H(jω) = e

. Determine a rela¸c˜ ao entre a sa´ıda y(t) do filtro e sua entrada x(t).

Quest˜ ao 3 (1 Ponto):

Um dos gr´ aficos na figura 2 representa a transformada de Fourier de um sinal cont´ınuo no tempo, a outra representa a transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo. Determine qual ´e qual. Justifique.

Quest˜ ao 4 (1 Ponto):

Determine o n´ıvel dc dos sinais cujas transformadas de Fourier s˜ ao mostradas na figura 2.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−4

−2 0 2 4 6 8 10

a

ω −4−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−2 0 2 4 6 8 10

b

ω

Figura 2: Poss´ıveis sa´ıdas do filtro da quest˜ ao 3.

Quest˜ ao 5 (1 Ponto):

O sinal x[n] = cos(2πn) ´e colocado na entrada de um sistema discreto, linear e invariante no tempo com a resposta em frequˆencia mostrada na figura 2. Determine o sinal y[n] na sa´ıda do sistema.

Quest˜ ao 6 (2 Pontos):

Em um cd, o sinal de ´ audio ´e amostrado a f

= 44100 Hz. A faixa de interesse do sinal amostrado

´e f

= 20000 Hz, pois esta ´e a maior frequˆencia que a maioria das pessoas consegue ouvir. Como sempre, antes da amostragem o sinal de ´ audio passa por um filtro passa-baixas, para eliminar o efeito de aliasing. De posse destas informa¸c˜ oes, determine:

• Qual a maior frequˆencia que o filtro passa-baixas deve deixar passar sem distor¸c˜ ao?

• O filtro deve rejeitar (n˜ ao deixar aparecer em sua sa´ıda) quais frequˆencias, de forma a eliminar o aliasing dentro da faixa de interesse? Observe que quanto maior este valor, mais simples a implementa¸c˜ ao do filtro. Assim, determine a maior frequˆencia de rejei¸c˜ ao poss´ıvel, lembrando que podemos admitir aliasing, desde que isso n˜ ao afeta as frequˆencias na faixa de interesse.

Quest˜ ao 7 (2 Pontos):

Considere o sinal x(t) = sen(2πt). Esse sinal ´e amostrado a f

= 4 amostras por segundo, gerando o sinal x[n]. Em seguida, o sinal x[n] passa por um conversor digital-anal´ ogico (DAC) para formar o sinal reconstru´ıdo x

(t). Entretanto, o DAC usa uma frequˆencia de amostragem errada, de f

= 2 amostras por segundo. Ou seja, ele assume que os valores de x[n] foram obtidos a 2 amostras por segundo.

• Esboce os sinais x[n] e x

(t).

• Qual a frequˆencia de x

(t)?