Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos

• Sejam e constantes, seja uma função definida sobre os inteiros não negativos pela recorrência

• então pode ser limitado assintoticamente como a seguir:

1. Se para alguma constante , então

2. Se , então

3. Se para alguma constante , e se . para alguma constante e grande,

então

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 1

a b  1 T (n )

) (n T

  

 





 

1 se

, ) (

1 se

, ) 1

( aT n b f n n

n n T

 ^{ } 

 O n

^a n

f ( ) ^log  0

 ⁿ

^a 

n

T ( )   ^log

 ⁿ

^a 

n

f ( )   ^{log T ( n )  }  ^{n log}

^{a log n} 

 ^{ } 



 n

^a n

f ( ) ^log

  ^{n b cf (n )}

af 

 0

 ^{( )} 

)

( n f n

T  

n

• Exemplo #01

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  

 





 

1 se

, 1 2

1 se

, ) 1

( T n n

n n T

) (log )

( n n

T  

 1 a

 2 b

) 1 ( 1

)

( n    f

0 1 log

log _b a  ₂ 

      ¹

)

( n   n ^log   n ⁰  

f

^a

 ^{n n}   ^{n n}  ^{ n }

n

T ( )   ^log

^a log   ⁰ log   log

• Exemplo #02

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) ( )

( n n

T  

 2 a

 2 b

) 1 ( 1

)

( n    f

1 2 log

log _b a  ₂ 

    ^{  1 , para 1}

)

( n  O n ^{log  }  O n ^{1  }  O 

f

^a

 ⁿ    ^{n   n}

n

T ( )   ^log

^a   ¹  

  

 





 

1 se

, 1 2

2

1 se

, ) 1

( T n n

n n

T

• Exemplo #03

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) ( )

( n n

T  

 2 a

 3 b

) ( )

( n n n

f   

6 , 0 2 log

log _b a  ₃ 

    ^{  , para 0 , 4}

)

( n   n ^{log  }   n ^{0 , 6  }   n 

f

^a

 ^{f n}    ⁿ

n

T ( )   ( )  

  

 





 

1 se

, 3

2

1 se

, ) 1

( T n n n

n n T

  ^{n b  cf}   ^{n  2 f}   ^{n 3  cf}     ^{n  2 3 n  cn ,  3  c  1}

af verdade 2

• Mostre que o custo do Bubble-sort é

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) ( n ²



BUBBLE-SORT(A, n)

1: for i  1 to n do

2: for j  i + 1 to n do 3: if A[j] < A[i] then 4: troca(A[i], A[j]);

5: end if

6: end for

7: end for

• Mostre que o custo do Bubble-sort é

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) ( n ²



BUBBLE-SORT(A, n)

1: for i  1 to n do

2: for j  i + 1 to n do 3: if A[j] < A[i] then 4: troca(A[i], A[j]);

5: end if 6: end for 7: end for

Avaliar o número de

comparações

• Mostre que o custo do Bubble-sort é

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) ( n ²



BUBBLE-SORT(A, n)

1: for i  1 to n do

2: for j  i + 1 to n do 3: if A[j] < A[i] then 4: troca(A[i], A[j]);

5: end if 6: end for 7: end for

 1

)

(n

T

• Mostre que o custo do Bubble-sort é

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) ( n ²



BUBBLE-SORT(A, n)

1: for i  1 to n do

2: for j  i + 1 to n do 3: if A[j] < A[i] then 4: troca(A[i], A[j]);

5: end if 6: end for 7: end for

 



 

 



 n

i

j 1

 1

)

(n

T

     



 





n

i

n

i j

1 1

1

• Mostre que o custo do Bubble-sort é

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) ( n ²



BUBBLE-SORT(A, n)

1: for i  1 to n do

2: for j  i + 1 to n do 3: if A[j] < A[i] then 4: troca(A[i], A[j]);

5: end if 6: end for 7: end for



)

(n

T

• Resolvendo os somatórios temos

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 

 

 ^{n n} 

n n n

n T

n n n

n n n

n T

i n

i n n

T

i n n

T n T

n

i n

i n

i n

i n

i

n

i j











 

 





















 

 



 









 









  

2 2

2

2 2

2

1 1

1 1

1 1

2 1 2

) 2 (

2 2

) 1 ) (

( ) (

1 ) 1 (

) (

1 )

(

• Observe e analise a variação abaixo do merge-sort, assumindo que a função MERGE3 possui custo n.

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MERGE3-SORT(A, p, r) 1: if p < r then

2: d  (p+r)/3; // inteiro 3: MERGE3-SORT(A,p,p+d);

4: MERGE3-SORT(A,P+d+1,r-d);

5: MERGE3-SORT(A,r-d+1,r);

6: MERGE3(A,p,d,r); // custo n 7: end if

  

 







 

1 1

3 3

1 ) 1

( T n n n

n n

T , se

se

,

• Analise o algoritmo abaixo que calcula o n-ésimo elemento de uma PG de razão 2

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NUM-PG2(n)

1: if n = 0 then 2: return 1;

3: else

4: return NUM-PG2(n-1) + NUM-PG2(n-1);

5: end if

 

 









 

0 se

, 1 1 2

0 se

, ) 1

( T n n

n n

T

• Analise o algoritmo abaixo que troca o elemento da posição i com o elemento da posição i + 1, caso o elemento em i+1 seja par

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EMBARALHA(A, i, f) 1: if i < f then

2: if (A[i+1] mod 2) = 0 then 3: troca(A[i], A[i+1]);

4: end if

5: EMBARALHA(A, i+2, f);

6: end if

 

 









 

1 se

, 1 2

1 se

, ) 1

( T n n

n n

T