Seção 1.2. Função quadrática. Diálogo aberto

Seção 1.2

Função quadrática

Diálogo aberto

Na seção anterior deste livro tivemos contato com o universo das funções e função afim, observamos sua singular importância no mundo da matemática já nas definições introdutórias. A proposta desta seção é apresentar a você o estudo de outro tipo específico de função, a função quadrática.

Você pode encontrar o estudo desta função mais detalhadamente em livros de Matemática do ensino fundamental e médio. Pesquise também no site <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/

funcao2.php>. Acesso em: 21 jun. 2015.

Dica

O estudo da função quadrática é encontrado na história dos babilônicos há cerca de 4.000 anos. Outros povos também ofereceram uma contribuição para a formação da álgebra, de forma que a representação atual da equação de segundo grau é ax²+bx+c = 0, com a não nulo, onde o valor de x é desenvolvido pela fórmula atribuída por muitos a

Bhaskara: .

Lembre-se

É importante saber reconhecer quais conceitos matemáticos resolvem os problemas do nosso cotidiano, ou seja, para resolver um determinado problema devemos saber qual é o modelo matemático adequado.

Para tanto, realizaremos um estudo sobre funções quadráticas, pois elas apresentam diversas aplicações no cotidiano, como em situações relacionadas à Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; à Administração e Contabilidade, relacionando as funções custo, receita e lucro; e à Física e Engenharia, envolvendo movimento uniformemente variado, assim como nas diversas construções, medições e aplicações na resolução de diversos problemas relacionados à área. Assim, a leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre a função quadrática, abordando os termos que envolvem as características notáveis e suas propriedades.

A segunda situação-problema apresentada pela empresa para o estagiário foi a seguinte:

A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?

O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?

Conceito e propriedades da função quadrática. Você deve esboçar a situação-problema, ou seja, a função quadrática, na forma algébrica e calcular o valor do ¨ e da coordenada x do vértice da parábola. Pode- se representar a função graficamente para melhor compreender a situação-problema.

Reflita

Não pode faltar

A função quadrática, também nomeada função polinomial do 2º grau, é definida a partir de: f de R em R, dada na forma: f(x)=ax²+b+c com a, b e c pertencentes ao conjunto dos números reais, onde a ≠ 0. Vale salientar que o domínio desta função é o conjunto dos números reais e a representação de seu gráfico é a curva conhecida como parábola.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 e f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1.

Atenção!

Seu gráfico é sempre uma parábola, onde sua concavidade é definida pelo valor de a, se temos a > 0, sua concavidade é voltada para cima, se a < 0, sua concavidade é voltada para baixo. Vamos estudar mais sobre esse assunto adiante.

Fonte: <www.brasilescola.com/imagem>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.7 | Gráfico de função do 2º grau

Cálculo das Raízes da função quadrática

Chamamos de raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau dado por: f (x)

= ax² + bx + c, a≠0, os números reais x que satisfazem f(x) = 0, ou seja, os valores da abscissa x que tornam y nulo. A descrição que nos permite obter as raízes é da forma:

, tal representação é denominada como fórmula de bhaskara.

Para cálculo das raízes representadas por x’ e x” temos: e , Onde: ¨= b² – 4ac

Assim, denominamos discriminante o radical b² - 4ac que é representado pela letra grega ¨ (delta).

O discriminante deve ser considerado para a análise gráfica da função. A Figura 1.2 nos informa como ¨ influencia os pontos (x’ e x”), de interseção entre a curva nomeada parábola e o eixo das abscissas, quando a>0.

Fonte: <www.alunosonline.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.8 | Estudo das raízes

Assimile

Ao analisar a Figura 1.8, você pode concluir que:

I. No primeiro gráfico, onde ¨< 0, a função não apresenta raízes reais.

A parábola não toca em nenhum ponto do eixo das abscissas.

II. No gráfico onde temos ¨= 0, a função apresenta raízes reais e iguais; logo: x’=x”. A parábola tangencia o eixo x.

III. Já no terceiro gráfico, em que ¨> 0, a função contém raízes reais e diferentes, logo x’ ≠ x”. A parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.

Vértice da parábola

O vértice é representado pela letra V, é o ponto que pertence à interseção do eixo de simetria com a parábola; este ponto pode ainda ser observado como o ponto mínimo ou o ponto máximo. Isso depende da posição da concavidade da parábola. Observe na Figura 1.9, podemos calcular o vértice da parábola através das expressões: X_v = ou y_v =

Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.9 | Vértice de uma função quadrática

Vale lembrar que o conjunto de pontos que descreve a parábola é simétrico em relação à reta que contém o vértice V (Xv, Yv), esta reta é o eixo de simetria.

Conjunto imagem da função quadrática.

O conjunto imagem da função definida por y = ax² + bx + c com a≠0 é o conjunto composto pelos valores que y pode assumir.

I. Se o coeficiente , podemos

afirmar que y = f (x) assume valores maiores ou iguais à ordenada (Yv) do vértice, se o coeficiente “a” é maior que zero.

II. Se , afirmamos que y= f(x)

assume valor menor ou igual à ordenada (y_v) do vértice.

Reflita

Construção da parábola!

O gráfico é construído a partir da definição de pares (x,y). Entretanto, podemos destacar:

I. As raízes, quando existem, podem ser facilmente obtidas utilizando a equação de bhaskara já indicada e podem ser observadas no gráfico, pois são os valores das abscissas dos pontos (x,0) em que a parábola intercepta o eixo 0x.

II. O vértice V nos indica o máximo ou mínimo da parábola, sendo o ponto de interseção da parábola com o eixo de simetria; sua coordenada pode ser identificada utilizando ( , ).

III. A concavidade pode ser observada no formato característico da parábola y = ax² + bx + c pelo coeficiente a.

Vale salientar que:

O coeficiente c presente na função polinomial do 2º grau, dada por y = ax² + bx + c, é o valor da interseção da parábola como eixo y.

Exemplificando

Como representar o gráfico da função quadrática dada por y = -x²+2x+3?

I. Definindo a concavidade da parábola.

Temos a = -1, como a < 0 a concavidade é para baixo.

II. ¨ pode ser obtido por ¨= b² – 4ac ¨= (2)² – 4(–1)(3)

¨= 4 + 12 = 16 III. Cálculo das raízes.

IV. Assim, por meio de encontramos o

vértice V.

V. Esboçando a parábola.

Estudo de sinal

Considere uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c para determinar os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo, devemos considerar o sinal ¨ = b² - 4ac. Pode-se observar os seguintes casos:

1º.  ¨ > 0

Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x₁  ≠  x₂). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos da Figura 1.10:

Figura 1.10 | Estudo de sinal

2º.  ¨= 0

Nessa situação a função terá duas raízes reais iguais (x₁ = x₂). A parábola tangencia o eixo das abscissas e o sinal da função y=f(x) é descrito.

Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.11 | Estudo de sinais

3º. ¨< 0

Quando ¨< 0 a função não admite raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x. O sinal que y=f(x) assume é único e pode ser observado na Figura 1.12.

Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.

Figura 1.12 | Estudo de sinais

Você pode observar a construção da parábola nos exemplos apresentados no site: <http://<www.matematicadidatica.com.br/

FuncaoQuadratica.aspx>. E também encontrar diversas atividades envolvendo funções polinomiais do 2º grau em: <http://<www.

im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/

cap103.html>. Acesso em: 16 maio 2015.

Pesquise mais

Faça você mesmo

Sendo f(x) = - x² + x + 6, esboce seu gráfico, determine suas raízes e coordenadas do vértice, classifique o y do vértice como valor máximo ou valor mínimo da função.

Sem medo de errar

Após o estudo de função quadrática, vamos resolver a segunda situação- problema apresentada ao João?

Vamos relembrar! A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?

Solução:

Considerando x uma das dimensões do retângulo em que haverá a construção, podemos representar a área do galpão por:

x 30-x

x.(30 – x) ou –x²+ 30x

Para determinarmos as dimensões do retângulo em que o galpão será construído, no intuito de obter área máxima, basta calcular o valor do vértice x da parábola, dado x = - .

Sendo f(x) = -x²+ 30x, 0 < x < 30, o valor máximo de f(x) é obtido para

x = - = - = 15

Portanto, as dimensões do retângulo serão 15 m e 15 m.

Avançando na prática

Pratique mais!

Instrução

Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois compare- as com a de seus colegas.

Trajetória da Bola 1. Competência de

Fundamentos de área

Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas.

2. Objetivos de aprendizagem

Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e situações.

3. Conteúdos relacionados Função Quadrática

4. Descrição da SP

Matemáticos buscaram descrever a trajetória de uma bola de futsal atirada para cima por um determinado jogador, em um momento do jogo observado. Para isso, levantaram os dados necessários e tomaram como referência o sistema de coordenadas cartesiano.

Verificaram que a trajetória descrita poderia ser analisada por meio da função h(t)= , onde t indica o tempo, dado em décimos de segundo, e h(t) representa a altura em metros. Considerando esses dados:

a) Represente o gráfico que descreve a trajetória da bola analisada.

b) Qual deve ser a altura máxima atingida pela bola em relação ao eixo horizontal?

c) Em quanto tempo a bola atinge a altura máxima?

d) A bola atinge o solo após quanto tempo do lançamento?

5. Resolução da SP

Resposta:

a) h(t)= ,

Raízes:

Vértice:

b) A altura máxima é observada pela ordenada do vértice.

, Portanto, a altura máxima atingida pela bola nesta trajetória é 15 metros.

c) A altura máxima é observada pela abscissa do vértice.

. Aos 30 décimos de segundo, a bola atinge a altura máxima.

d) A raiz indica que

Podemos fazer ainda y=0, em h(t)= 0=

, logo t’=0 e t”=60

Portanto, após decorridos 60 décimos de segundos, a bola atinge o solo.

Faça valer a pena

1. A balança comercial de um país é determinada pela diferença entre o valor monetário das exportações e importações. Tendo em vista este entendimento e os dados atualizados, suponha que alguns analistas financeiros representem a balança comercial de um país no ano de 2013 por meio da função V(t)= t² -7t +6, onde t representa o tempo em mês, variando de janeiro t=1 a dezembro t=12. Sendo o intervalo [0,1] o período de janeiro, [1,2] o período de fevereiro e assim sucessivamente.

Considerando esses dados, deseja-se saber:

a) Qual deve ser o gráfico desta função.

b) Em que período(s) do ano a balança comercial foi nula?

c) Podemos dizer que houve superávit comercial em outubro de 2013?

(Dizemos que houve superávit comercial quando o valor da balança

comercial de um país é positivo.)

d) Em algum período de 2013 houve déficit na balança comercial?

(Dizemos que houve déficit quando a balança comercial é negativa.)

2. O número de pedidos na pizzaria Bela Dona, das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em Jundiaí, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de pedidos nesse período do dia foi de:

a) 0.

b) 15.

c) 9.

d) 18.

3. Determine os valores de m para que a função f(x) = -x² -4x – (-m +1) assuma valores negativos para todo x real:

a) m < 3 b) m > 3 c) m < 2 d) m < -3

4. Dada a função y= - x² +x+6, determine as raízes e as coordenadas do vértice.

5. Considerando a função y= - x² + x + 6 podemos afirmar que os valores que representam o Yv (valor máximo ou valor mínimo da função) e a interseção da curva com o eixo y são:

a) ½ e (6,0) b) 5/7 e (3, 2) c) 25/4 e (0,6) d) 4/25 e (0,6)

6. Uma empresa vai lançar no mercado um produto novo. O material usado para confecção desse produto fabricado pela empresa tem um custo de R$ 20,00. A empresa pretende colocar cada produto à venda por x reais e, assim, conseguir vender (80 - x) produtos por mês. Assim, para

que mensalmente seja obtido um lucro máximo, qual deve ser o preço de venda do produto?

a) 60.

b) 70.

c) 100.

d) 50.

7. Para que a função y= (3m-9).x² -7x +6 seja quadrática, o parâmetro m deve ser:

a) m = 3 b) m ≠ 3 c) m ≠ 4 d) m ≠ 1/3 e) m = 1/3