Tópicos em teoria de muitos corpos: Interação elétron-fônon. Diana Mercedes Meneses Gustin

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Tópicos em teoria de muitos corpos: Interação elétron-fônon

Diana Mercedes Meneses Gustin

O conceito de Polaron foi introduzido por Landau em 1933 [1], resulta da interação de elétron com as vibrações da rede de um cristal, assim, um elétron, injetado na banda de condução, polariza o material, os íons deslocam das posições de equilíbrio blindando-o. Em quanto o elétron se movimenta pelo cristal, um estado ligado se vá formando e a rede sofre distorções geradas pela polarização induzida ao cristal, a tal fenômeno emergente se conhece como polaron. Propriedades de cristais, semicondutores e metais, quando interatuando com elétrons, foram descritas usando este conceito, e como a interação é basicamente uma partícula carregada em presença de um campo escalar bosônico, resulta um interessante exemplo e modelo de investigação teórico e experimental para a física de matéria condensada e para física de campos.

Figura 1: Representação artística de um polaron. O elétron atrai os íons positivos, repele os negativos, e ca envestido pelas vibrações da rede. A deformação da rede acompanha o elétron.

Uma das primeiras evidencias experimentais da interação elétron-fônon foi a fotocondutividade oscilató-ria, 1966 [2]. A interpretação qualitativa proposta, estaria baseada no acoplamento dos elétrons com os fônons longitudinais ópticos do cristal. As oscilações na resposta espectral da fotocondutividade, gura 2, apresentava mínimos em múltiplos da energia de oscilação da rede do InSb, estas quedas foram associ-adas ao processo de emissão de fônons devidas ao forte acoplamento com os elétrons injetados na banda de condução devidos a um campo elétrico externo, posteriormente, estas apreciações foram conrmadas mediante uma derivação formal da física do mencionado processo oscilatório [3].

Com a conrmação da existência da interação elétron-fônon em cristais algumas propriedades físicas foram explicadas. por exemplo, a mobilidade dos elétrons pode estar comprometida com a formação de polarons, os semicondutores orgânicos também resultam serem sensíveis à este fenômeno, as interações que originam pares de Cooper são modelados com polarons.

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Figura 2: Fotocondutividade oscilatória do p-InSb a 7K, extraída de [2].

interagente, a função de Green, para o operador ψ(r, t)ψ†_(r0_{, t}0₎_{atuando no estado fundamental | ψ} 0>,

é denida usando o operador de ordenamento temporal T , G0(r − r0; t − t0) = −i< ψ0| T ψ(r, t)ψ

†_(r0_{, t}0_{) | ψ} 0>

< ψ0| ψ0> (1)

Vamos supor agora que uma perturbação V é ligada. O estado | ψ0 >possivelmente sofrera mudanças

devido aos novos acoplamentos dentro do sistema e a probabilidade de uma partícula, que começou a interatuar com o sistema no tempo t1no ponto r1, ser encontrada num tempo posterior t2 num ponto r2

é calculada usando o formalismo da matriz S,

G(r − r0; t − t0) = −i< ψ0| T ψ(r, t)ψ †_(r0_{, t}0_{)S | ψ} 0> < ψ0| S | ψ0> ou G(r − r0; t − t0) = −i< ψ0| T ψ(r, t)ψ †_(r0_{, t}0_{) exp(−i}´_dt 1V (t1)) | ψ0> < ψ0| exp(−i ´ dt1V (t1)) | ψ0> . (2)

Para férmions livres com frequência ω e vetor de onda k, a função de Green no espaço de momentos é

G0(k; ω) = 1

ω − k+ iηsgn(k − kf)

(3) Para fônons não interagentes é usada a letra D0_{para identicar a função de Green, que corresponde á}

D0(q; t − t´) = −i < ψ0| T

bq(t) + b†−q(t)

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Como a temperatura zero não há fônons, | ψ0>é o estado de vácuo. partículas serão criadas e destruídas

por os operadores b†_{e b respetivamente.}

Tendo em mente que bq(t) = bq(0)e−iωt , bq | ψ0 >= 0e que a transformada de Fourier para D(q, t) é

D(q; ω) =´dteiωt_{D(q; t)}_{, a equação 4, para fônons com momento q e frequência ω, é}

D0(q; ω) = 2ωq ω2_{− ω}2

q+ iη

(5) Nas expressões 4 e 5 iη é uma quantidade innitesimal que assegura a convergência para tempos longos. A interação elétron-fônon é descrita pelo potencial V ,

V =X

q,k

MqC_k+q† Ck(bq+ b†−q) (6)

Mq é a matriz de elementos da interação. Baixo esta consideração, o estado fundamental do sistema é

uma combinação do estado fundamental de elétrons e do vácuo dos fônons. O Hamiltoniano que descreve tal acoplamento é [4] : H = He+ Hph+ V (7) He= X k εkCk†Ck (8) Hph= X q ωqb†kbk (9) V =X q,k MqCk+q† Ck(bq+ b†−q) (10)

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G(k, t − t0) =G0(k, t − t0)+ + (−i)1 ˆ dt1hψ0| X q1,k1 Mq1T [Ck(t)C † k(t 0_)C† k1+q1(t1)Ck1(t1) ×bq1(t1) + b † −q1(t1) ] | ψ0i+ +(−i) 3 2! ˆ dt1dt2hψ0| X q1k1,q2,k2 T [Mq1Mq2Ck(t)C † k(t 0₎ × C_k† 1+q1(t1)Ck1(t1)C † k2+q2(t2)Ck2(t2) ×bq1(t1) + b † −q1(t1) bq2(t2) + b † −q2(t2) ] | ψ0i + ... (11)

Em primeira ordem de V, temos um termo do tipo hψ0 | bq(t) + b†−q(t) | ψ0i que é zero. Logo não

temos contribuição de primeira ordem na função de Green para esta interação, a partir deste resultado, é fácil ver que para ordens ímpares de V não teremos contribuição alguma à função de Green exata. Em segunda ordem, respeito a fônons temos o termo hψ0 |

bq1(t1) + b † −q1(t1) bq2(t2) + b † −q2(t2) | ψ0i = iδq1,q2D 0_{(q; t}

1− t2). Para elétrons, as seguintes contrações devem ser avaliadas,

† k2+q2Ck2| ψ0i = hψ0| Ck(t)Ck†(t0) | ψ0ihψ0| Ck†1+q1Ck1 | ψ0ihψ0| C † k2+q2Ck2| ψ0i (b) hψ0| Ck(t)Ck†(t 0_{) | ψ} 0ihψ0| Ck†1+q1Ck2 | ψ0ihψ0| Ck1C † k2+q2| ψ0i = −hψ0| Ck(t)Ck†(t0) | ψ0ihψ0| Ck2C † k1+q1 | ψ0ihψ0| Ck1C † k2+q2 | ψ0i (c) −hψ0| Ck(t)Ck†1+q1 | ψ0ihψ0| C † k(t0)Ck1 | ψ0ihψ0| C † k2+q2Ck2 | ψ0i = hψ0| C_k†₂_+q₂Ck2| ψ0ihψ0| Ck(t)C † k1+q1 | ψ0ihψ0| Ck1C † k(t 0_{) | ψ} 0i (d) −hψ0| Ck(t)Ck†1+q1 | ψ0ihψ0| C † k(t0)Ck2 | ψ0ihψ0| Ck1C † k2+q2 | ψ0i = hψ0| Ck(t)Ck†1+q1 | ψ0ihψ0| Ck1C † k2+q2 | ψ0ihψ0| Ck2C † k(t 0_{) | ψ} 0i

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(a) i(−i)2_G0_{(k, t}0_{− t)G}0_(k 1)G0(k2)δq1=0 (b) −(i)3_G0_{(k, t − t}0_)G0_(k 1, t1− t2)G0(k1+ q1; t2− t1)δk1=k2−q1 (c) −i(i)2_G0_(k 2)G0(k, t − t1)G0(k, t1− t0)δk=k1,q1=0 (d) (i)3_G0_{(k, t − t} 1)G0(k + q1; t1− t2)G0(k, t2− t0)δk=k1+q1=k2 (e) (i)3_G0_{(k, t − t} 2)G0(k + q1; t2− t1)G0(k, t1− t0)δk=k2−q1=k1 (f) −i(i)2_G0_(k 1)G0(k, t − t2)G0(k, t2− t0)δq1=0,k=k2

Estes termos serão desenhados por líneas sólidas e por líneas tracejadas representando a função de Green do elétron e do fônon respetivamente. Uma seta indicará a direção do processo. Os termos (a) até (f) são a continuação mostrados junto com as líneas de fônon.

Os diagramas (a), (c) e (f) contem termos de fônon com vetor de onda q = 0, e esses termos não serão considerados de interesse. O diagrama (b), por sua vez, é um diagrama desconectado, logo não contribui para a função de Green exata.

Para desenhar os processos fermiônicos e de fônon, na gura 3, linhas continuas e tracejadas foram designadas respetivamente, etiquetas necessárias nos vértices e ao longo dos processos também são expli-citadas. Então, vemos que para para gerar os diagramas que representam uma função de Green de ordem n, Gn_{(k, ω)}_{, ou vice-versa, as seguintes regras deveram ser cumpridas:}

Desenhar os diagramas conetados com n

2 linhas de fônon e (n + 1) linhas fermiônicas.

Por cada linha de elétron associe a função de Green G0_{(k, ω)}

Por cada linha de fônon associe o termo MqD0(k, ω)

some sobre os graus de liberdade. Se estiver calculando o termo de auto energia, a soma devera ser feita sobre os graus de liberdade internos dos sistema.

Integre sobre as variáveis internas de tempo. Multiplique por in+n

2+1(−1)L sendo n o número de linhas fermiônicas e L o número de loops.

Para temperaturas T > 0, a interação será determinada pelo banho térmico do sistema, e a função de Green para fônons não interagentes, será:

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Sendo ρ0a matriz de densidade, Tτ o operador de ordenamento temporal, onde τ C. A dependência dos

operadores de criação e destruição com τ está denida por meio da relação bq(τ ) = eτ H0bqe−τ H0, tal que

bq(τ ) =bqe−τ ωq b†q(τ ) =b†qeτ ωq logo, D0_{(q, τ ) = −T r}n_ρ 0Tτ h bqe−τ ωq+ b†−qeτ ωq b−q+ b†q io = −θ(τ )T rnρ0 h 1 + b†_qbq e−τ ωq+ b†−qb−qeτ ωq io − θ(−τ )T rnρ0 h 1 + b†_−qb−q eτ ωq_{+ b}† qbqe−τ ωq io = −θ(τ )(1 + nq) e−τ ωq+ nqeτ ωq − θ(−τ ) (1 + nq) eτ ωq+ nqe−τ ωq

nq= _eβωq1₋₁ é a função de distribuição para um sistema de bosons.

Usando o fato de que no formalismo para T > 0, as frequências estão discretizadas (isto é, a funcao de Green é periodica de τ, com período β), sendo ωn =    2π β (2n + 1) n Z para fermions 2π βn n Z para bosons , (13)

a função de Green de Matsubara para um sistema de fônons não interagentes com frequência ω é D0_{(q; ω} n) = ´β 0 e iωnτ_D0_{(q, τ ) ⇒} D0_{(q; ω} n) = − 2ωq ω2 n+ ωq2 (14) Se uma interação for ligada e a temperatura for diferente de zero, a amplitude de probabilidade, para um elétron ser espalhado pelos fônons do sistema, poderá ser determinada por meio de um calculo de teoria de perturbações, análogo ao descrito antes. A função de Green a T > 0, agora chamada função de Green Matsubara, será calculada como a soma de todos os possíveis diagramas conetados, respeitando novos limites de integração (devidos à periodicidade) e lembrando que a variável de tempo é imaginaria.

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Não temos contribuição de primeira ordem nem para ordens ímpares de V . Em segunda ordem, respeito a fônons temos o termo hψ0|

bq1(τ1) + b † −q1(τ1) bq2(τ2) + b † −q2(τ2) | ψ0i = −δq1,q2D 0_{(q; τ} 1−τ2). Para

elétrons, as contrações que fornecerão diagramas conetados já foram calculadas em 12, e estão etiquetados como (d) e (e), logo, os termos de interesse de G(q, τ) em segunda ordem são:

(a) hψ0| Ck(τ )Ck†1+q1 | ψ0ihψ0| Ck1C † k2+q2| ψ0ihψ0| Ck2C † k(τ0) | ψ0i (b) hψ0| Ck(τ )Ck†2+q2 | ψ0ihψ0| Ck2C † k1+q1| ψ0ihψ0| Ck1C † k(τ 0_{) | ψ} 0i

Estes dois termos diferem só das etiquetas das variáveis internas τ1 e τ2 já que os momentos k1,2 e q1,2

cam denidos por δk=k1+q1=k2 e δk=k2−q1=k1, logo

G(k, τ ) = G0_{(k, τ )} ₋´ β 0 dτ1dτ2 P q1M 2 q1D 0_{(q; τ} 1− τ2)G0(k, τ − τ1)G0(k + q1; τ1− τ2)G0(k, τ2).

Para saber a dependência com ω devemos lembrar que agora as frequências de vibração estão discretizadas, D0_{(q; τ} 1− τ2) = 1 β X n e−iωn(τ1−τ2)_D0_{(q; ω} n) (15) G0_{(k; τ} 1− τ2) = 1 β X n_´ e−iωn´(τ1−τ2)_G0_{(k; ω} n_´) (16) tal que 0 < τ < β. G(k, ω) ≈ G0_{(k, ω} n) − P q1M 2 q1 β β ˆ 0 dτ dτ1dτ2 X n,m,n,´n´´,n´´´ D0_{(q; ω} n)G0(k, ωn´)G0(k + q1; ωn´´)G0(k, ωn´´´)

eiτ (ωm−ωn´)_eiτ1(ωn0−ωn´´−ωn)_eiτ2(ωn´´−ωn´´´+ωn)

G(k, ω) ≈ G0_{(k, ω}

n)1 + G0(k, ωn)Σ1(k, ωn) .

Com uma continuação analítica, iωn → ω + iη − µ, obtemos a função de Green G0(k, ω) retardada, a

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Referências

[1] J.T. Devreese. Polarons. Digital Encyclopedia of Applied Physics, Artigo disponivel a cond-mat/0004497v2, 2008.

[2] H. J. Stocker, H. Levinstein, and C. R. Stannard. Oscillatory photoconductivity in insb. Phys. Rev., 150:613618, Oct 1966.

[3] H. KAPLAN H. J. STOCKER. Theory of oscillatory photoconductivity in semiconductors: Boltzmann-equation approach. Phys. Rev., 150:619 631, 1966.

(9)

(a) (b) (c) (d) (e) (f)