a) m b) m s 1 c) m s 2 d) s 1

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 11/06/2017

CANDIDATO: ___________________________________________________________________ CURSO PRETENDIDO: ___________________________________________________________ OBSERVAÇÕES: 01 – Prova sem consulta.

02 – Duração: 2 HORAS

1ª Questão (10 pontos): Em situações em que a resistência do ar não pode ser

desprezada, o módulo da aceleração de um objeto que cai a partir do repouso é dado por a (t) = gec t _{. Nessa função, t é o tempo, g é a aceleração da gravidade e c é uma constante.}

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade da constante c é:

a) m b) m s1

c) m s2

d) s1

Solução: Alternativa (d). O argumento da função exponencial é adimensional. Como o tempo é dado em segundos (s) no SI, a unidade da constante c será s1_.

2ª Questão (10 pontos): Considere a mesma situação descrita na questão anterior. O

gráfico que melhor representa o módulo da aceleração desse objeto em função do tempo é:

(a) (b) (c) (d)

(2)

3ª Questão (10 pontos): A figura abaixo mostra um bloco em repouso sobre uma mesa

horizontal. Se a magnitude da força externa F aplicada ao bloco for igual a 5,0 N, é correto afirmar que a magnitude da força de atrito estático entre bloco e a mesa:

a) é igual a zero;

b) é maior do que zero e menor do que 5,0 N; c) é igual a 5,0 N;

d) é maior do que 5,0 N;

Solução: Alternativa (c). Se o bloco está em repouso, a soma das forças que atuam sobre ele deve ser zero. Se a magnitude da força externa é 5,0 N e aponta para a direita, a força de atrito estático terá a mesma magnitude, a mesma direção e sentido contrário.

4ª Questão (10 pontos): A tabela ao lado lista o

momento de inércia, em relação a um determinado eixo fixo, de quatro objetos homogêneos de mesma massa M e mesmo raio R. Cada um deles, no entanto, tem uma distribuição de massa diferente. Se eles tiverem a mesma velocidade angular, qual terá o menor momento angular?

a) Aro b) Disco c) Casca esférica d) Esfera maciça Objeto Momento de inércia Aro MR 2 Disco (1/2) MR 2 Casca esférica (2/3) MR 2 Esfera maciça (2/5) MR 2

Solução: Alternativa (d). A magnitude do momento angular em torno de um eixo fixo L de um objeto com momento de inércia I e velocidade angular



é dado por L = I



. Se a velocidade angular for a mesma para todos eles, aquele que tiver o menor momento de inércia terá o menor momento angular.

(3)

5ª Questão (10 pontos): Uma esfera maciça é solta a

partir do repouso de uma altura h (ponto A) e rola sem deslizar ao longo do trilho mostrado na figura abaixo. Supondo que o raio do trecho circular do trilho seja um terço da altura h, assinale a alternativa que corresponda à velocidade da esfera ao chegar ao ponto B. Considere que r, o raio da esfera, seja muito menor do que a altura h. Dado: Iesfera = (2/5) m r 2.

a) v  10gh/21 b) v  2gh/3 c) v  20gh/21 d) v  10gh/7

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6ª Questão (10 pontos): Uma esfera rola sem deslizar sobre a superfície de uma mesa

horizontal de 80 cm de altura. Supondo que o efeito da resistência do ar possa ser desprezado, calcule o tempo decorrido entre o instante em que a esfera deixa a mesa e o instante em que ela toca o chão. Adote g = 10 m/s2_.

Solução:

(5)

7ª Questão (10 pontos): A figura ao lado mostra um

pêndulo cônico, que é constituído por uma esfera de massa m presa a um fio inextensível de comprimento L, sujeita a duas forças: o peso e a tração. Determine o módulo da aceleração da esfera, sabendo que ela descreve um movimento circular uniforme de raio r e que o ângulo  que o fio faz com a vertical é 37º. Adote g = 10 m/s2_{, sen 37º = 0,60 e cos 37º = 0,80.}

https://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Conical_pendulum.svg

(6)

8ª Questão (10 pontos): Um artefato, inicialmente em repouso, explode dividindo-se em

dois fragmentos que se deslocam ao longo de um trilho retilíneo horizontal. Sabendo que um fragmento tem massa m e se desloca para a direita com velocidade constante v, calcule a velocidade que deve ter o outro fragmento, cuja massa é 3 m, para que o centro de massa do sistema permaneça em repouso.

Solução:

9ª Questão (10 pontos): Uma partícula que descreve um movimento retilíneo está sujeita

a uma única força cuja magnitude é dada por F (x) = a x2_{+ b x}4_{. Nessa expressão, a e b}

são constantes e x é a posição da partícula. Calcule o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca da posição x1 = 0 para a posição x2 = 2,0 m. Dados:

a = 6,0 N m-2_{; b = 5,0 N m}-4_.

(7)

10ª Questão (10 pontos): O momento angular de uma partícula é dado no Sistema

Internacional de Unidades (SI) pelo vetor L(t)2,0t2 iˆ5,0t jˆ. Nessa expressão iˆ e jˆ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente, e t é o tempo. Calcule o torque



 sobre essa partícula no instante t = 1,5 s. Dado:

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UNIFEI Universidade Federal de Itajub´a 11/06/2017

Prova de C´alculos 1 e 2 - Exame de Transferˆencia Interna, Externa

e para Portador de Diploma de Curso Superior

Candidato:

Curso pretendido:

Prova sem consulta. Proibido o uso de calculadoras e similares.

A prova pode ser feita a l´apis. Tempo de dura¸c˜ao: 2h.

Quest˜oes de m´ultipla escolha: assinale a alternativa correta

Q1: (10 pontos) Se 10e

x_{− 21}

2ex < f (x) <

5√x

√

x − 1, para todo x > 1, qual ´e o valor de limx→+∞f (x)?

a) 0 b) 1 c) 5 d) + ∞

Resposta: c)

De fato, note que 10e

x_{− 21} 2ex = 5 − 21 2 e −x e 5 √ x √ x − 1 = 5 s 1

1 − 1_x. Al´em disso, essas duas

fun¸c˜oes tendem a 5 quando x → +∞. Portanto, pelo Teorema do Confronto, lim

x→+∞f (x) = 5.

Q2: (10 pontos) Para quais valores de α e β a reta 2x + y = β é tangente à parábola y = αx2

quando x = 2? a) α = 1, β = 3 b) α = 2, β = 6 c) α = 1 2, β = 6 d) α = − 1 2, β = 2 Resposta: d)

O coeficiente angular da reta é -2. Este coeficiente é igual à derivada da fun¸cão y(x) = αx2

avaliada em x = 2, ou seja, y0(2) = 4α = −2 ⇒ α = −1/2. Assim, o ponto onde ocorre a

tangência é P = (2, y(2)) = (2, −2). Como P também pertence à reta 2x + y = β, temos que

(9)

Q3: (10 pontos) Sabendo que f ´e cont´ınua e Z 9 0 f (x) dx = 4, o valor de Z 3 0 xf (x2) dx ´e igual a: a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 Resposta: a)

Aplicando a t´ecnica da substitui¸c˜ao simples na integral

Z 3 0 xf (x2) dx, obtemos u = x2, du = 2x dx ⇒ Z 3 0 xf (x2) dx = 1 2 Z 9 0 f (u) du | {z } 4 = 1 2· 4 = 2.

Q4: (10 pontos) Qual ´e o valor de c tal que

∞ X n=0 enc = 10? a) 9 10 b) ln 9 10 c) 11 10 d) ln 11 10 Resposta: b) Notemos que ∞ X n=0 (ec)n= ∞ X n=1 (ec)n−1= ∞ X n=1

arn−1 trata-se de uma série geométrica de razão

r = ec e a = 1. Portanto, para encontrar o valor de c devemos aplicar a f´ormula da soma da

série geométrica e for¸car o resultado ser igual a 10, isto é,

soma = a 1 − r = 1 1 − ec = 10 ⇒ e c = 9 10 ⇒ c = ln 9 10 .

Q5: (10 pontos) A taxa de varia¸cão máxima da fun¸cão f (x, y) = sen(xy) no ponto P = (1, 0) é

igual a:

a) − 1 b) 0 c) sen(1) d) 1

Resposta: d)

A derivada direcional de f em um ponto P na dire¸cão do vetor unitário ~u é dada por

D~uf (P ) = ∇f (P ) · ~u. A taxa de varia¸c˜ao m´axima ocorre quando o vetor ~u aponta na mesma

dire¸cão do vetor ∇f (P ), implicando que o ângulo entre estes dois vetores é zero. Portanto,

D~uf (P ) = ∇f (P ) · ~u = k∇f (P )k k~uk |{z} 1 cos(0) | {z } 1 = k∇f (P )k.

(10)

Quest˜oes discursivas:

resolva dentro dos espa¸cos indicados explicitando os c´alculos

Q6: (10 pontos) Encontre os pontos P e Q sobre a par´abola y(x) = 1 − x2 _{(linha tracejada)}

de forma que o triˆangulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes em P e Q seja

equil´atero (veja a figura abaixo).

x 0 A Q C B P

Resolu¸c˜ao: Sejam Q = (x0, y0) um dos pontos de tangˆencia procurados e r a reta que passa

pelos pontos Q e A. Como o triângulo ABC é equilátero, o ângulo entre a reta r e o eixo x é

igual a 120◦. Uma vez que r é também tangente à parábola em Q, podemos escrever:

tg(120◦) = y0(x0) = −2x0 ⇒ −2x0 = − √ 3 ⇒ x0 = √ 3 2 .

Substituindo em y(x) o valor de x0 encontrado obtemos:

y(x0) = 1 − x20 = 1 − √ 3 2 !2 = 1 4. Assim, Q = ( √ 3 2 , 1

4). Ainda utilizando o fato do triˆangulo ABC ser equil´atero, podemos concluir

que o ponto P é simétrico ao ponto Q em rela¸cão ao eixo y. Portanto, P = (−

√ 3 2 ,

(11)

Q7: (10 pontos) Calcule a integral

Z 2

−1

|ex_{− 1| dx.}

Resolu¸cão: Aplicando a defini¸cão de módulo no integrando temos:

|ex_{− 1| =}

(

ex− 1 se ex− 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0,

−(ex_{− 1) se e}x_{− 1 < 0 ⇒ x < 0.}

Portanto, para calcular a integral proposta devemos divid´ı-la em duas partes, como segue:

Z 2 −1 |ex_{− 1| dx =} Z 0 −1 −(ex_{− 1) dx +} Z 2 0 (ex− 1) dx, = Z 0 −1 (1 − ex) dx + Z 2 0 (ex− 1) dx, = (x − ex₎ 0 −1 + (ex_{− x)} 2 0 , = e−1+ e2_{− 3,} = 1 + e 3_{− 3e} e .

Observa¸cão: ao invés de aplicar a defini¸cão de módulo, é poss´ıvel construir o gráfico da fun¸cão

f (x) = |ex− 1| (veja a figura abaixo) e perceber pelo gr´afico a necessidade de dividir a integral

em duas partes para poder calcul´a-la.

(12)

Q8: (10 pontos) Seja f (x) uma fun¸cão de uma variável. Sabendo que f é derivável em x = a,

onde a > 0, calcule o seguinte limite em termos de f0(a):

lim

x→a

f (x) − f (a) √

x −√a .

Resolu¸c˜ao: Vamos multiplicar e dividir a fra¸c˜ao no limite por (√x +√a). Assim, obtemos

lim x→a f (x) − f (a) √ x −√a · (√x +√a) (√x +√a).

Utilizando a propriedade do produto de limites, podemos escrever lim x→a f (x) − f (a) x − a · limx→a( √ x +√a).

O primeiro limite no produto acima ´e a defini¸c˜ao da derivada de f (x) em x = a e o segundo

limite ´e facilmente calculado. Portanto,

lim x→a f (x) − f (a) √ x −√a = f 0 (a) · 2√a.

Observa¸cão: a regra de L’Hôspital não pode ser utilizada no cálculo deste limite pois, por

hipótese, a fun¸cão f (x) é derivável somente em x = a e, para utilizar a regra, f (x) deveria ser

(13)

Q9: (10 pontos) A figura abaixo ilustra os três primeiros triângulos de uma sequência (Tn)n de

triângulos retângulos. Cada triângulo Tn tem altura igual a 1 e, para todo n ≥ 2, a base de

Tn é a hipotenusa de Tn−1. Considerando a sequência de ângulos (θn)n sugerida na figura,

determine se a s´erie P∞ n=1θn ´e convergente ou divergente. θ2 θ1 θ3 .. . T1 T2 T3 1 1 1 1

Resolu¸cão: De acordo com a sequência de triângulos sugerida na figura, podemos calcular as

tangentes dos trˆes primeiros ˆangulos apresentados e generalizar o resultado para qualquer valor

de n. Assim, tg(θ1) = 1/1, tg(θ2) = 1/ √ 2, e tg(θ3) = 1/ √ 3.

Generalizando, podemos escrever que tg(θn) = 1/

√

n para todo n ≥ 1. Portanto, o termo geral

da sequˆencia (θn)n ´e dado por θn= arctg(1/

√

n), para todo n ≥ 1. Al´em disso, como

lim

n→∞θn= limn→∞arctg(1/

√

n) = arctg(0) = 0,

precisamos utilizar um teste para decidir se a s´erieP∞

n=1θnconverge ou diverge. Vamos utilizar

o teste da compara¸c˜ao do limite tomando P∞

n=1bn, com bn = 1/

√

n (note que esta s´erie ´e

divergente). Deste modo temos lim n→∞ θn bn = lim n→∞ arctg(1/√n) 1/√n = limx→∞ arctg(1/√x) 1/√x .

Para calcular o limite anterior, utilizamos a regra de L’Hˆospital pois temos uma indetermina¸c˜ao

do tipo 0/0: lim x→∞ arctg(1/√x) 1/√x = limx→∞ 1 1+(1/√x)2 · (− 1 2x −3/2₎ (−1₂x−3/2₎ = 1 > 0.

Como o limite resultou em um n´umero positivo e a s´erie P∞

n=1bn ´e divergente (pois ´e

uma s´erie p com p < 1), conclu´ımos que a s´erie P∞

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com-Q10: (10 pontos) Em jogos como Diablo 3 os jogadores s˜ao expostos a situa¸c˜oes em que precisam

tomar a melhor decisão para seguir adiante na disputa. Suponha que você está jogando este

jogo como o personagem do feiticeiro e se depara com a seguinte situa¸c˜ao:

Na cidade de Nova Tristam um feiticeiro entra em um territ´orio dominado por

quatro advers´arios que est˜ao localizados em pontos do plano cartesiano, a saber:

A1 = (0, 0), A2 = (−2, 3), A3 = (4, 1) e A4 = (5, 0). O feiticeiro ´e capaz de produzir

um golpe m´agico que pode eliminar todos os inimigos ao mesmo tempo. Para que o

golpe seja bem sucedido, ele deve estar o mais pr´oximo poss´ıvel das posi¸c˜oes em que

est˜ao os advers´arios.

Formule e resolva a situa¸cão descrita acima como um problema de otimiza¸cão em duas variáveis

para determinar a posi¸c˜ao ´otima em que o feiticeiro deve ser colocado de forma que o golpe

m´agico possa funcionar adequadamente.

Resolu¸c˜ao: Seja P = (x, y) o ponto que representa a posi¸c˜ao do feiticeiro no jogo. De acordo

com a situa¸c˜ao descrita, podemos minimizar a soma dos quadrados das distˆancias de P a cada

um dos pontos pré-estabelecidos. Assim, o problema de otimiza¸cão que devemos resolver é

dado por

minimizar f (P ) = d(P, A1)2+ d(P, A2)2+ d(P, A3)2+ d(P, A4)2,

sabendo que P ∈ R2.

Como f é uma fun¸cão de duas variáveis, devemos encontrar seus pontos cr´ıticos que são

candi-datos à solu¸cão ótima do problema de otimiza¸cão. Desenvolvendo os quadrados das distâncias e

simplificando os termos, podemos escrever a fun¸c˜ao f como f (x, y) = 55 − 14x − 8y + 4x2+ 4y2.

Agora, calculamos o vetor gradiente de f e o igualamos ao vetor nulo para obter os pontos cr´ıticos: ∇f (x, y) = −14 + 8x −8 + 8y = 0 0 ⇒ −14 + 8x = 0 −8 + 8y = 0 ⇒ x = 7 4 e y = 1.

Para constatarmos que o ponto P = (7/4, 1) ´e, de fato, um minimizador para o problema

proposto, devemos fazer o teste da derivada segunda calculando o determinante da matriz

Hessiana (H(x, y)) associada a fun¸cão f (x, y) e avaliá-lo em P . Temos então que

H(P ) = 8 0

0 8

, det(H(P )) = 64 > 0 e h11= 8 > 0 ⇒ P ´e minimizador.

Portanto, para que o golpe m´agico funcione adequadamente, o feiticeiro deve ser posicionado