UNI
PR O G R A M A D E
A NT O NI O M A R C E L O A R A ÚJ O B E Z E R R A
A F O R M A Ç Ã O M A T E M Á T I C R A C I O C ÍNI O M A T E M Á T I C
UNI V E R S I D A D E F E D E R A L D O C E A R Á F A C UL D A DE D E E D UC A Ç Ã O
PR O G R A M A D E PÓS -G R A D UA Ç Ã O E M E D UC A Ç Ã
A NT O NI O M A R C E L O A R A ÚJ O B E Z E R R A
A F O R M A Ç Ã O M A T E M Á T I C A D O PE D A G O G O : A R E L A Ç Ã O E NT R E O R A C I O C ÍNI O M A T E M Á T I C O E A S E S T R A T É G I A S NA S O L UÇ Ã O D E
PR O B L E M A S M A T E M Á T I C OS
F O R T A L E Z A 2017
G R A D UA Ç Ã O E M E D UC A Ç Ã O
A NT O NI O M A R C E L O A R A ÚJ O B E Z E R R A
A NT ONIO MA R C E L O A R A ÚJ O B E Z E R R A
A F OR MA Ç Ã O MA T E MÁ T IC A D O PE D A GOGO: A R E L A Ç Ã O E NT R E O R A C IOC ÍNIO MA T E MÁ T IC O E A S E S T R A T É G IA S NA S OL UÇ Ã O D E PR OB L E MA S
MA T E MÁ T IC OS
D issertaçã o apresentada ao Programa de Pó s-Graduaçã o em E ducaçã o B rasileira, da F aculdade de E ducaçã o da Universidade F ederal do C eará como requisito parcial para a obtençã o do T ítulo de Mestre em E ducaçã o. Á rea de concentraçã o:E ducaçã o, C urrículo e E nsino.
Orientadora: Profª. D rª. Maria J osé C osta dos S antos.
A NT ONIO MA R C E L O A R A ÚJ O B E Z E R R A
A F OR MA Ç Ã O MA T E MÁ T IC A D O PE D A GOGO: A R E L A Ç Ã O E NT R E O R A C IOC ÍNIO MA T E MÁ T IC O E A S E S T R A T É G IA S NA S OL UÇ Ã O D E PR OB L E MA S
MA T E MÁ T IC OS
D issertaçã o apresentada ao Programa de Pó s-Graduaçã o em E ducaçã o B rasileira, da F aculdade de E ducaçã o da Universidade F ederal do C eará como requisito parcial para a obtençã o do T ítulo de Mestre em E ducaçã o.
A provada em: _ _ _ _ /_ _ _ _ /_ _ _ _ _ .
B A NC A E X A MINA D OR A
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Profª. D ra. Maria J osé C osta dos S antos (Orientador)
Universidade F ederal do C eará ( UF C )
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Profª. D r. Hermínio B orges Neto
Universidade F ederal do C eará ( UF C )
A G R A D E C I M E NT O S
A D eus, por me inspirar todas as noites a sempre buscar ser o melhor no dia seguinte e nunca desanimar diante das dificuldades.
À minha família, por nunca me deixar desacreditar nos estudos e na vida como professor, em particular minha mã e, que sempre acreditou e me fez acreditar que, com perseverança e fé, D eus há de nos ajudar no que precisamos.
À professora Mazzé S antos por tudo que me ajudou e ainda contribui na árdua tarefa de ser um bom pesquisador.
A o professor Hermínio, mediador como na S equê ncia F edathi, mas, acima de tudo, instigador de novas ideias e fazeres de um bom professor.
À professora Maria A uxiliadora pela sua disponibilidade em me acompanhar nestes momentos tã o importantes do meu trabalho.
A todos os alunos (as) graduandos do curso de Pedagogia da UF C com quem tive a oportunidade de conviver, debater e refletir sobre as práticas envoltas do professor de matemática.
R E S UM O
A formaçã o inicial no C urso de Pedagogia da F aculdade de E ducaçã o ( F A C E D ) da Universidade F ederal do C eará ( UF C ) envolve a compreensã o por parte do aluno (futuro-professor) nã o somente dos conteúdos a serem trabalhados com seus alunos, mas também sobre como utilizar as práticas pedagógicas que melhor facilitem à transposiçã o didática desses conhecimentos. D iante de um ensino trabalhado por vezes repleto de regras a serem memorizadas e sem qualquer significaçã o para o aluno, em particular dos conteúdos matemáticos, objetivamos analisar as estratégias matemáticas apresentadas pelos alunos do curso de Pedagogia, visando a classificaçã o de problemas matemáticos no que diz respeito aos raciocínios: (i) concreto; (ii) gráfico (iii) aritmético; e, (iv) algébrico, com vistas à construçã o e nã o apenas à memorizaçã o de fatos e fórmulas, levantando questões relativas à formaçã o do professor de matemática. E sta pesquisa de natureza qualitativa se deu, em parte, com: (a) observaçã o das aulas de matemática; e, (b) realizaçã o de um conjunto de problemas matemáticos, essas atividades foram desempenhadas durante a disciplina de ensino de matemática na turma do C urso de Pedagogia no semestre de 2016.1. A nteriormente, também buscamos em livros, teses e periódicos, pesquisas sobre ensinar e aprender matemática nos anos iniciais do ensino fundamental. C oletadas as informações, iniciamos as análises sobre as estratégias utilizadas pelos alunos na resoluçã o dos problemas categorizamos as respostas a partir da classificaçã o feita por J ohannot (1947) quanto ao raciocínio matemático. Os resultados indicam para novos e melhores espaços de reflexã o tanto na formaçã o inicial de professores como na atuaçã o direta com os alunos da E ducaçã o B ásica, em especial nos anos iniciais do ensino fundamental. Mostramos com esta pesquisa a relevância no que se refere a compreensã o de como os alunos de Pedagogia constroem suas estratégias de resoluçã o de problemas e as consequê ncias disso para o ensino dos conteúdos matemáticos. E mbora que o objeto de estudo desta pesquisa seja o entendimento das estratégias apresentadas pelos alunos sobre o raciocínio matemático, para este entendimento tivemos como forte apoio as observações à s ações mediadas pela professora, em particular, na construçã o de novos saberes por meio da S equê ncia F edathi.
A B S T R A C T
T he initial training in the Pedagogy C ourse of the F aculty of E ducation (F A C E D ) of the
F ederal University of C eará ( UF C ) involves an understanding by the student (future-teacher)
not only of contents to be worked with his students, but also pedagogical practices that better
facilitate the didactic transposition of knowledge. F aced with a teaching that is sometimes
filled with rules to be memorized and with no meaning for the student, in particular the
mathematical contents, we aim to anal yze how mathematical strategies presented by the
students of the Pedagogy course, aiming at a classification of mathematical problems not
referring to reasoning : (i) concrete; (ii) graph (iii ) arithmetic; and (iv) algebraic, with a view
to the construction and not only the memorization of facts and formulas, raising questions
related to the formation of the mathematics teacher. T his research of a qualitative nature
occurred in part with: (a) observation of mathematics classes; and (b) accomplishment of a set
of mathematical problems, activities with the unemployed during a course of mathematics
teaching in the course of the C ourse of Pedagogy semester of 2016.1. Previously, we also
searched in books, theses and periodicals, research on teaching and learning math in the early
years of elementary school. C ollected as information, we began as analyzes on how strategies
for students in solving the problems categorized as answers from the series made by J ohannot
(1947) regarding mathematical reasoning. T he results indicate new and better spaces for
reflection both in initial teacher training and in updating with students of B asic E ducation,
especiall y in the initial years of elementary education. W e show with this research the
relevance in terms of an understanding of how Pedagogy students build their problem solving
strategies and as consequences for the teaching of mathematical contents. W hat is the object
of study of the research and the understanding of the strategies presented by the students on
the mathematical reasoning, for the understanding as the strong support as observations to the
actions mediated by the teacher, in particular, in the construction of new knowledge through
the F edathi S equence.
L I S T A D E I L UST R A Ç Õ E S
F igura 1 - R esposta do aluno 04 na questã o 09... 77
F igura 2 - R esposta do aluno 13 na questã o 04 ... 78
F igura 3 - R esposta do aluno 16 na questã o 09 ... 78
F igura 4 - R esposta do aluno 11 na questã o 02... 80
F igura 5 - R esposta do aluno 15 na questã o 04... 81
F igura 6 - R esposta do aluno 21 na questã o 07... 81
F igura 7 - R esposta do aluno 07 na questã o 04... 83
F igura 8 - R esposta do aluno 17 na questã o 04... 84
F igura 9 - R esposta do aluno 18 na questã o 08... 90
L I S T A D E G R Á F I C O S
Gráfico 1 - T ipos de raciocínios apresentados pelos alunos... 77
Gráfico 2 - Quantidade de questões por aluno que usaram o raciocínio gráfico... 80
Gráfico 3 - Quantidade de questões por aluno que usaram o raciocínio aritmético... 86
Gráfico 4 - Quantidade de questões por aluno que usaram o raciocínio algébrico... 88
L I S T A D E T A B E L A S
T abela 1 - A spectos considerados na escolha das questões para o conjunto de problemas matemáticos...
L I S T A D E A B R E V I A T UR A S E S I G L A S
B NC C - B ase Nacional C omum C urricular C E - C eará
E .U.A - E stados Unidos da A mérica E J A - E ducaçã o de J ovens e A dultos F A C E D - F aculdade de E ducaçã o ME C - Ministério da E ducaçã o
MMM - Movimento da Matemática Moderna
PC N’s - Parâmetros C urriculares Nacionais para o E nsino F undamental e Médio S F - S equê ncia F edathi
S umá
r io
1 I NT R O D UÇ Ã O ... 27
2 D A F O R M A Ç Ã O I NI C I A L À A T UA Ç Ã O D O PR O F E S S O R D E M A T E M Á T I C A : A S B A S E S T E ÓR I C A S ... 35
2.1 A Matemática dos anos iniciais do ensino fundamental: entre o ensino intuitivo e o ensino dedutivo ... 36
2.1.1 F ormaçã o docente ... 38
2.2 A contribuiçã o da E scola como promotora de problemas didáticos que suscitem novas estratégias matemáticas ... 41
2.3 O raciocínio matemático: as situações-problema e a formaçã o do pedagogo ... 43
2.4 A formaçã o do professor de matemática dos anos iniciais do ensino fundamental: percepções dos estudantes de Pedagogia sobre ensinar matemáticas... 52
2.5 A S equê ncia F edathi como metodologia de ensino, pesquisa e formaçã o ... 56
3 A S PR Á T I C A S E NV O L V E ND O O S S UJ E I T O S E O UNI V E R SO D E S UA S R E F L E X Õ E S ... 61
3.1 A açã o participativa de observaçã o ... 61
3.1.1 O acordo didático e suas implicações na sala de aula ... 62
3.1.2 A relaçã o entre o programa da disciplina e o objeto da pesquisa ... 63
3.1.3 O processo de construçã o e classificaçã o dos problemas matemáticos... 63
3.1.4 A abordagem metodológica da professora e a posterior açã o dos pedagogos... 64
3.1.5 O contexto da aplicaçã o dos problemas matemáticos ... 67
4 A NÁ L I S E D A S A Ç Õ E S : PE R C E PÇ Õ E S D O S R E S UL T A D OS ... 69
4.1. A s percepções dos sujeitos quanto à forma de aprender e ensinar: uma quebra de paradigmas ... 69
4.2 O método como instrumento de ‘ provocaçã o’ ao estudante... 71
4.3 Os aspectos envolvidos na escolha dos problemas matemáticos ... 73
4.4 A nálise das questões a partir da classificaçã o de J ohannot ... 76
5 C O NS I D E R A Ç Õ E S ... 94
R E F E R ÊNC I A S ... 97
A NE X O S ... 104
A nexo I – C onjunto de problemas apresentados ao final para os alunos do C urso de Pedagogia ... 105
1 I NT R O D UÇ Ã O
A matemática ensinada nas escolas comumente apresenta dificuldades no momento da transposiçã o didática
1
dos saberes para os alunos (C HE V A L L A R D ; B OS C H; GA S PÓN, 2001) já que sua compreensã o passa a ser feita rotineiramente num arranjo com déficit de significados em que “os conteúdos de matemática foram afastando-se da realidade dos educandos gerando uma falta de entendimento lógico e contextualizado com a vida que acaba por dificultar a representaçã o simbólica da matemática” (MOR A E ; PE R A Ç OL I, 2009).
C ontudo, a açã o de abstrair nã o busca retirar a significância que o sujeito, diante de um raciocínio já elaborado, consegue abstrair ou inferir sobre ideias mais gerais tornando-as mais complextornando-as e abrangentes que tornando-as anteriores, pois sem abstraçã o nã o há conhecimento (MA C HA DO, 2009), como bem coloca Piaget: as abstrações se dã o na medida em que se as operações lógico-matemáticas elaboram operações sobre outras, caracterizando os conjuntos de transformações possíveis e nã o mais apenas reais que o mundo físico coloca (PIA GE T , 1971)
.
E sse importante elemento e necessário à prática do aluno diante de um conhecimento a ser adquirido e vai em direçã o à s ações rotineiramente praticadas pelo aluno e mediadas pelo professor, as quais sã o fruto de comportamentos repetitivos que pouco ou nada representam ao sujeito.A o falar sobre a sala de aula, destacamos aqui com relevante importância a metodologia S equê ncia F edathi
2
- (SF ) como principal ferramenta de nossa análise nos vários momentos em que a professora titular da turma trabalhava diferentes saberes com os alunos do curso de Pedagogia.
Para L ima (1998), ao analisar os trabalhos de Piaget, as aprendizagens escolares sã o meras percepções de hábitos e informações que desaparecem por ter um valor de comportamento e nã o de estruturas intrínsecas à compreensã o da realidade. A esses comportamentos estã o relacionadas certas preocupações diante de como os professores da
1
Na aquisiçã o do conhecimento é possível identificar fontes de influê ncias que condicionam as transformações do saber. A este conjunto de elementos que permitem a mudança do saber a ser ensinado para se tornar objeto de ensino, dar-se o nome de T ransposiçã o D idática.
2
E ducaçã o B ásica, mesmo proporcionando aprendizagens, por vezes apresentam fragilidades em se tratando de um ensino com significância para o aluno.
Numa visã o mais pragmática e voltada ao ensino de turmas iniciais ou de alfabetizaçã o, a construçã o do saber se faz a partir de experiê ncias físicas que possam partir de questões concretas e vivenciáveis pelos alunos, de modo que o conhecimento possa adquirir sentido e, assim, servir como referê ncia à construçã o de novas estruturas. Há se de considerar que a matemática nã o se sustenta e nem progride apenas na sua compreensã o concreta. O sujeito em contato com o mundo usa concomitantemente ou de maneira separada dois processos aquisitivos que Piaget chama de “abstraçã o (empírica) a partir dos objetos” e “experiê ncia (lógico-matemática) a partir da qual constrói estratégias de manipulaçã o de objetos” a partir das ações ( L IMA , 1998, p. 101).
E stabelecendo um paralelo com o nosso trabalho, o sujeito precisa elaborar hipóteses e, intuitivamente, ultrapassar o campo do raciocínio matemático concreto adquirido pela abstraçã o empírica, a fim de alcançar algo mais avançado que agregue experiê ncias lógico-matemáticas como o raciocínio aritmético e o algébrico na resoluçã o de problemas matemáticos.
A questã o é que, diante da construçã o destes raciocínios mais aprimorados, muitas sã o as estratégias que, usualmente, acabam sendo memorizados pelos alunos sem qualquer significância, tendo como único intuito reduzir ou facilitar os caminhos para uma rápida resoluçã o de problemas ( V E R GNA UD , 1998).
D iante das inúmeras discussões e modificações pelas quais o ensino da matemática tem passado no decorrer de sua história, destacamos o movimento conhecido como Matemática Moderna iniciada no final dos anos de 1950. D entre as várias particularidades envolvidas neste movimento, evidenciamos as dificuldades de um currículo exigente que tinha como base a memorizaçã o pelos estudantes, a falta de motivaçã o e a uma matemática que nã o condizia com as necessidades da sociedade (K L INE , 1976). D esde já, consideramos que o MMM possuía sua significância no contexto histórico por intencionar transpor para as escolas uma visã o mais moderna sobre o currículo (D IA S , 2008).
E ntretanto, tal movimento proporcionou na matemática escolar uma categorizaçã o de complexas estruturas nas quais os excessos de rigor lógico-dedutivo davam destaque à memorizaçã o de fórmulas pelos alunos e que eram colocadas por vezes como verdades absolutas e de nenhuma contestaçã o.
nã o atende o espírito e os anseios da modernidade, pois é necessária uma construçã o intuitiva fruto de várias elaborações em espaços didáticos, nã o apenas na compreensã o de algo já formalizado, mas produto de erros, acertos e principalmente de descobertas que vislumbrem uma nova visã o matemática. É nesse contexto que tratamos com certa especificidade os diferentes raciocínios matemáticos expostos pelos alunos do curso de Pedagogia da UF C em relaçã o à forma como expõem suas estratégias para a soluçã o de variados problemas matemáticos. O termo ‘ estratégias’ mencionado nesta pesquisa tem como referê ncia o trabalho de B arreto (2001) que vislumbra a capacidade de incorporar habilidades variáveis diante de situações-problema optando por aquelas que melhor respondam à s particularidades da questã o colocada.
O que, de fato, diferencia uma determinada estratégia em seu espaço de atuaçã o nã o deve ser apenas o modo de tratá-la como uma ‘ ferramenta universal’ de resoluçã o memorizada, na qual o aluno possa apenas a operacionalizá-la, mas principalmente compreendê -la (C HE V A L L A R D ; B OS C H; GA S PÓN, 2001). A compreensã o significativa de estratégias na resoluçã o de problemas deve surgir de hipóteses que alavanquem novas mudanças diante de novas situações e problemas muito mais complexos que antes.
Para tanto, este trabalho nã o se voltou à exposiçã o de ‘ técnicas’ na resoluçã o de problemas matemáticos, bem como na melhoria das já compreendidas pelos alunos, mas na análise e considerações quanto ao papel do professor na compreensã o e trato dos diferentes raciocínios levantados pelos alunos com vistas à melhoria dos aspectos didáticos, em particular aqueles que futuramente serã o professores na educaçã o básica.
D iscorrer sobre a relaçã o entre professor, aluno e o saber, obrigatoriamente nos remete a entender o significado dessas correlações no campo teórico com vistas à compreensã o de seu contexto prático. E mbora ainda nã o se veja de forma “efetiva o professor assumindo um ensino que leve o aluno a refletir, pensar, raciocinar e questionar” (S A NT OS , 2007, p. 31) toda e qualquer relaçã o existente entre professor e alunos em prol da construçã o de novos saberes envolv e uma rede de responsabilidades para ambos os personagens, ou seja, uma constante reformulaçã o do acordo didático.
Na óptica sobre a relaçã o entre professor, aluno e saber a ser ensinado, na S F temos o acordo didático que relaciona professor-conteúdo-aluno como elemento imprescindível no planejamento da sessã o didática (S A NT OS , 2016), relaçã o que tende a atender à s expectativas tanto do professor como do aluno.
professor. T ais comportamentos, normalmente implícitos no contexto escolar, geram comumente uma relaçã o negativa entre ambos, pois tanto ao professor quanto aos alunos sã o atribuídas responsabilidades nã o condizentes com uma prática promotora de melhores e mais sólidas aprendizagens, o que compõe um contrato didático mal elaborado (C HE V A L L A R D ; B OS C H; GA S PÓN, 2001).
S obre os obstáculos apresentados no momento da intencionalidade do professor em transpor as dificuldades na construçã o do saber, S antos (2007) esclarece que o conhecimento está assentado em obstáculos a serem superados, sejam eles de caráter didático, pela devida apropriaçã o do professor de métodos e técnicas didáticas, ou de ordem epistemológica. No entanto, na sala de aula, a compreensã o das dificuldades dos alunos passa pelo entendimento destes aspectos a fim de compreender como o sujeito expõe seu raciocínio matemático perante determinados problemas e como o professor atua na elaboraçã o de uma boa sessã o didática.
E sta pesquisa trata especificamente da compreensã o das variadas manifestações do raciocínio matemático apresentadas pelos alunos do curso de Pedagogia da UF C a partir da classificaçã o antes feita por J ohannot (1947), a saber, o raciocínio concreto que utiliza ou necessita de elementos manipuláveis para operar, o gráfico em que há uma forte representaçã o por desenhos e gráficos, o aritmético ao utilizar de números e operações e o algébrico por conseguir associar números a diferentes outras formas de símbolos.
E ssa açã o terá como premissa a compreensã o de como diferentes raciocínios matemáticos sã o expostos pelos alunos ao resolver variados problemas e quais ações podem ser discutidas para o melhoramento dessas estratégias já internalizadas pelos alunos.
C omo consequê ncia, esse processo trará à reflexã o as hipóteses antes apresentadas pelos alunos sobre as diferentes manifestações que o raciocínio matemático poderá assumir perante um problema, dentre elas: o concreto (o mais elementar dos raciocínios), o gráfico (com forte apelo a questã o visual), o aritmético (que já realiza generalizações por meio de um sistema abstrato-numérico) e o algébrico (que utiliza de simbolismos e elaboraçã o de equações) ( B A R R E T O, 2001).
diferentes manifestações que os alunos expõem perante os distintos raciocínios matemáticos que já dominam.
C omo construçã o de um conjunto de indagações que sustente inicialmente este trabalho, as principais questões a serem discutidas buscam responder as seguintes perguntas:
D e acordo com a classificaçã o colocada por J ohannot (1947), a saber; o raciocínio concreto, gráfico, aritmético e algébrico, há alguma relaçã o entre o tipo de raciocínio e a dificuldade para a resoluçã o do problema matemático colocado? D iante do conhecimento destes raciocínios, como o professor poderia atuar na incumbê ncia de instigar o aluno a desenvolver o maior repertório possível de estratégias com vistas a promover raciocínios algébricos mais gerais? A o compreender como os raciocínios matemáticos se manifestam na resoluçã o de problemas matemáticos, como esse conhecimento pode contribuir com a formaçã o de pedagogos?
C iente da problemática que envolve a compreensã o das variadas estratégias levantadas no momento da resoluçã o de problemas matemáticos, tomamos como premissa a observaçã o das diferentes manifestações destes conhecimentos trazidos pelos alunos, destacando o papel do professor em promover uma ressignificaçã o destes conceitos e, consequentemente, esquemas operativos mais elaborados. F eita essa análise, prosseguimos com a soluçã o de um conjunto de problemas matemáticos (A nexo I) com vistas a compreender como se manifesta a operacionalizaçã o destas estratégias já internalizadas pelos alunos.
D e modo geral este trabalho tem como objetivo principal analisar as estratégias apontadas na soluçã o de problemas matemáticos pelos alunos do curso de Pedagogia da Universidade F ederal do C eará, interpretando-as a partir da classificaçã o do raciocínio matemático de J ohannot (1947). J á nas questões específicas, objetivamos: R efletir sobre as estratégias colocadas pelos pedagogos a partir das classificações de J ohannot quanto ao raciocínio matemático; C omparar as respectivas classificações dos raciocínios colocados pelos alunos com o tipo e a complexidade dos problemas sugeridos; Identificar possíveis melhorias e intervenções do professor no uso de práticas que facilitem e ou melhorem a aprendizagem matemática dos pedagogos; e, V alidar a relaçã o entre o uso da S equê ncia F edathi e a construçã o significativa de conceitos matemáticos a partir da relaçã o entre aluno e professor.
referê ncia a classificaçã o do raciocínio matemático colocado por J ohannot (1947), a epistemologia genética de Piaget (1971), o sujeito como produto social por V ygotsky (1987) os esquemas operatórios apontados por V ergnaud (1993) e a prática do professor na sala de aula de B orges Neto (2001), S ouza (2013) e S antos (2016), ambos concatenados em prol do entendimento sobre as estratégias que os alunos possuem a respeito dos variados problemas matemáticos.
D e posse de uma base teórica que subsidie reflexões tanto anteriormente como posteriormente à pesquisa, do ponto de vista pragmático, evidencia-se desde já a preocupaçã o em salientar um instrumento que concilie tais teorias à prática do professor para com o aluno, ou seja, de posse de sólidas bases teóricas proporcionadas por J ohannot, Piaget, V ygotsky, V ergnaud há a necessidade de integrá-los à prática da sala de aula, ou em como o professor deve operar na certeza de que as aprendizagens aconteçam de fato.
E sse pensamento corrobora fortemente com a importância do papel que o professor assume como mediador no processo de ensino, para o qual, nesse caso, o uso da S F nos oportuniza a dar maior ê nfase ao papel do professor, principalmente este tendo conhecimento sobre as possíveis manifestações do raciocínio exposto pelo aluno.
A o contrário das práticas defendidas pela matemática moderna em que o principal foco se voltava para uma matemática mais dedutiva, esta pesquisa terá como referê ncia a compreensã o do conjunto de procedimentos que os alunos do curso de pedagogia possuem sobre a resoluçã o de determinados problemas matemáticos a partir de uma óptica mais intuitiva e de reflexã o por parte do professor e dos alunos.
A ssim, nossa investigaçã o teve como abordagem os princípios da pesquisa participante, de natureza qualitativa e interpretativ a a partir dos momentos de observaçã o das aulas, utilizando-se da análise do diário de bordo, fonte bibliográfica e experimental relacionada ao tema num estudo de caso único. A opçã o pelo aspecto qualitativo remete ao trabalho de S antos (2007) em que o pesquisador deteve o contato direto com o contexto onde ocorreu a investi gaçã o e os dados foram colhidos diretamente no ambiente onde ocorreu a pesquisa.
D esta forma, a pesquisa foi desenvolvida a partir das seguintes etapas concomitantes à execuçã o dos procedimentos descritos abaixo, em conformidade com os objetivos da pesquisa: revisã o da literatura na qual destacamos aspectos teóricos que nortearam a fundamentaçã o teórica para a investigaçã o, realizaçã o de um conjunto de problemas matemáticos que suscitassem diferentes raciocínios (bem como variadas possibilidades de soluções por parte dos alunos) e a análise e consolidaçã o das estratégias elaboradas pelos alunos diante da soluçã o de vários problemas matemáticos expostos no primeiro momento.
E m paralelo, tratamos de observar a turma e descrever sobre as percepções dos alunos quanto à construçã o de suas estratégias para a soluçã o de questões afins ao raciocínio matemático no decorrer das atividades inerentes ao curso e, por fim, a análise e sintetizaçã o das informações colhidas a partir das respostas aos problemas colocados, propondo, em seguida, estratégias que perfazem melhores resultados quanto à forma de abordagem de novos problemas e o papel do professor como mediador destes processos, seja formando futuros professores e/ou alunos da educaçã o básica.
C omo estrutura, este trabalho está organizado em seis capítulos ordenados da seguinte forma: no primeiro, temos a introduçã o composta por: justificativa, problemática, objetivos e metodologia. No segundo, detalhamos o quadro teórico tendo como principais referê ncias os trabalhos de J ohannot (1947), B arreto (2001) e B orges Neto e D ias (1991) B orges Neto e C ampos ( 1999) no campo do raciocínio matemático, Gomes, M., (2001; 2010), Gomes, J ., (2006) no que tange a formaçã o do professor de matemática e S ouza (2013) e S antos (2007; 2013; 2016) em referê ncia a S F .
Para o terceiro capítulo, reservamos a descriçã o das ações que se sucederam tanto anterior como posteriormente à pesquisa. Mesmo que a exposiçã o, análise e discussã o dos resultados sejam o ápice deste trabalho, hávariadas particularidades importantes que complementam este processo de forma a corroborar com a necessidade desta pesquisa no campo das práticas escolares.
No quarto capítulo, ao realizarmos a análise das informações coletadas a partir dos quatro tipos de raciocínio apontados por J ohannot, dos vinte e trê s alunos pesquisados, todos estavam entre o raciocínio matemático geométrico (uso de representações gráficas; desenhos) e o algébrico (traduçã o de regras e fórmulas do ponto de vista simbólico), último dos apontados por J ohannot.
C omo consolidaçã o do conjunto de ações realizadas, no quinto capítulo sã o realizadas as considerações finais submergidas nos possíveis rumos que podem ser tomados no entendimento e melhor tratamento de problemas matemáticos, seja dentro das salas de aula com aos alunos da educaçã o básica ou frente aos alunos do curso de Pedagogia na disciplina de E nsino da Matemática.
2 D A F O R M A Ç Ã O I NI C I A L À A T UA Ç Ã O D O PR O F E S S O R D E M A T E M Á T I C A : A S B A S E S T E ÓR I C A S
Neste capítulo, almejamos realizar um aprofundamento sobre as principais linhas que darã o suporte teórico para nossa pesquisa, a saber, as particularidades em volta da formaçã o inicial do professor de matemática, apontados principalmente pelos trabalhos de Gomes, M. (2001; 2010) e B urigo (1989), bem como o ensino de matemática nos anos iniciais do ensino fundamental, usando da descriçã o e uso da S equê ncia F edathi por S ouza (2013) e S antos (2013; 2016), e com destaque para a classificaçã o do raciocínio matemático segundo J ohannot (1947), ambos voltados para a compreensã o e melhoria da dinâmica da sala de aula.
A té meados do século X X , o ensino de matemática ainda possuía fortes traços técnicos e utilitaristas em se tratando das didáticas utilizadas no ensino. C ontudo, mesmo com os avanços na qualidade do trabalho do professor e sua relaçã o com o aluno, atualmente ainda se mantê m vivaz a dicotomia entre docente e discente quanto as suas verdadeiras responsabilidades em relaçã o à s aprendizagens (C HE V A L L A R D ; B OS C H; GA S PÓN,2001).
E ssas responsabilidades, mesmo que atuando implicitamente, lançam sobre o professor o dever de destituir-se do centro da relaçã o vertical e hierarquizada comumente vista na maioria das escolas perante os estudantes. J á o aluno tem assumido, equivocadamente, a tarefa de pensar ou tentar pensar como o professor, eximindo-se de sua verdadeira responsabilidade, que é ser protagonista de seu próprio conhecimento (C HE V A L L A R D ; B OS C H; GA S PÓN,2001). Perpetuamos entã o, uma funcionalidade negativa dentro das salas de aula com equivocados papéis para ambas as partes.
E mbora seja salutar o conhecimento sobre os aspectos históricos envolvendo a formaçã o do professor de matemática, nã o nos reserva aqui o percorrer deste longo caminho até os dias atuais, uma vez que “o conhecimento da história dos conceitos matemáticos precisa fazer parte da formaçã o dos professores” (B R A S IL , 1997, p. 30). Nosso propósito se volta, contudo, à s particularidades da sala de aula, no que compete à compreensã o do professor quanto à forma como o aluno expõe suas estratégias diante de variados problemas matemáticos.
2.1 A M atemática dos anos iniciais do ensino fundamental: entr e o ensino intuitivo e o ensino dedutivo
T endo como partida os trabalhos do matemático alemã o F elix K lein (apud B UR IGO, 1989), em particular na sua obra ‘ Matemática elementar de um ponto de vista avançado’ de 1908, o autor alemã o já destacava que o professor só teria sucesso se apresentasse as coisas de uma forma intuitivamente compreensível aos alunos. C ontudo, nesse trabalho, suas considerações também teciam fortes críticas ao ensino dedutivo, o qual era fruto de uma instruçã o estritamente formal e hierarquizada, em que tudo era ensinado para o aluno de maneira inquestionável.
E sta característica, no entanto, nã o condizia com a perspectiva intuitiva, autônoma e universal ao aluno, ou seja, ao evidenciar as dificuldades enraizadas no ensino dedutivo
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, suas considerações giravam em torno da estruturaçã o de um ensino que assegurasse qualidade relacionada a uma maior abrangê ncia, permitindo que o ensino, de fato, se tornasse melhor a todos.
C om o advento do Movimento da Matemática Moderna (MMM), o ensino baseou-se na “ampliaçã o da abordagem lógico-dedutiva” em todos os ramos da matemática, tendo um “maior rigor nas demonstrações utilizando-se de uma linguagem bem mais precisa” (B A R R E T O, 2001, p. 47). Isso embasava a grande oposiçã o ao ensino clássico, pois este último forçava o aluno a confiar mais na memorizaçã o do que na compreensã o, além de desmotivar o aluno.
O MMM baseava-se em estruturas formais voltadas ao estudo das propriedades abstratas e nas suas demonstrações. E sse movimento foi disseminado pelo mundo sob a influê ncia americana e implantado no B rasil em meados da década de 1960, sob o amparo da ditadura militar (GOME S , 2006).
D e fato, as mudanças numa perspectiva mais moderna eram necessárias e iminentes quanto à forma com que a matemática era ensinada. C ontudo, era essencial que a implantaçã o, em particular no ensino secundário, fosse de forma gradativa e sem mudanças drásticas ( V A L E NT E , 2010). No B rasil, as discussões se deram com a realizaçã o do II C ongresso Nacional de E nsino da Matemática em 1957 ( B ÚR IGO, 1989), em que as
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principais ideias defendidas permeavam entre a realizaçã o de uma mudança na matemática
clássica para a moderna numa aparente ‘ atualizaçã o do ensino’.
No entanto, o MMM, em muitos aspectos, principalmente vinculados ao ensino secundário, nã o permitiu uma maior discussã o em torno da forma que se daria tal processo, pois se pensou no ensino mais técnico e nã o da educaçã o básica (B UR IGO, 1989).
A urgê ncia em implantar as mudanças apontadas pelo MMM levou, em 1962, à assinatura de um manifesto firmado por vários matemáticos canadenses e norte-americanos por conta de vários equívocos pedagógicos desencadeados pelo MMM, dentre eles: a introduçã o prematura de conceitos unificadores, a preocupaçã o excessiva com o rigor dedutivo e o desprezo da intuiçã o, a desconsideraçã o do processo histórico de construçã o do conhecimento matemático, tendo uma interpretaçã o puramente formal da matemática (B UR IGO, 1989).
D entre os vários trabalhos que corroboravam com estas críticas, um dos que tiveram maior destaque para com o movimento e suas implicações no contexto escolar foi de Morris K line, professor norte-americano que, mesmo quase quinze anos após o início das reformas curriculares, em 1973 publicou o livro “W hy J ohnny can't’add: the failure of the new math
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” tendo grande repercussã o no campo acadê mico.
C omo expõe B urigo (1989) em sua obra, K line coloca que a ê nfase formalista dos novos currículos e a matemática como elementos desvinculados das ciê ncias naturais se davam pela separaçã o do conhecimento matemático do conhecimento científico, questões estas reveladas principalmente pela preponderância da opiniã o dos matemáticos ligados à s áreas de pesquisa mais abstratas da matemática. Porém, destacamos algumas considerações quanto aos motivos que levaram à reflexã o, na época, sobre uma nova estruturaçã o do E nsino da Matemática a partir da cisã o com as antigas práticas de ensino. T ais ideias viam na industrializaçã o e no crescimento econômico um meio para se chegar ao bem-estar social, e em particular:
A valorizaçã o da ciê ncia como fator de desenvolvimento econômico, que vinha associada a ideia de modernizaçã o, enfatizava desde os anos 20 pelos escolanovistas, ganhando um novo sentido com a aceleraçã o da inovaçã o tecnológica a nível mundial ( B UR IGO, 1989, p. 236)
É preciso compreender, desde entã o, o contexto em que o MMM se deu para que de fato, possamos delinear uma percepçã o mais apurada e crítica quanto os motivos e as consequê ncias de sua implantaçã o. A ideia de (re) apresentar uma matemática mais
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simplificada e com menos ‘ cientificidade’ que a ensinada tradicionalmente (BUR IGO, 1989) , demonstrava uma clara preocupaçã o com um ensino mais prazeroso e que atendesse os anseios econômicos da época.
S eguindo o preceito que a modernizaçã o do ensino teria que partir dos professores, os quais teriam que se adaptar a um novo roteiro de conteúdos e de metodologias, grupos de estudo e de pesquisa foram criados em alguns países, com o objetivo de estudar, divulgar e implantar a MMM nas escolas W IE L E W S K I (2008) . D entre eles, o S choolMathematicsS tudyG roup
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(S MS G ), criado em 1958 nos E .U.A , em virtude do pó s-guerra na necessidade de equiparaçã o tecnológica com a R ússia (OL IV E IR A F IL HO, 2009).
T al grupo acabou por promover uma grande mudança no ensino de matemática, pois procurava motivar a integraçã o de novos tópicos através da publicaçã o de livros e textos de Matemática e pela divulgaçã o das ideias modernistas em vários países. T oda a discussã o em volta da justificativa para estas ideias centrava na certeza que o currículo tradicional continha uma matemática já ultrapassada e era necessário oferecer uma nova visã o.
2.1.1 F ormaçã o docente
No B rasil, a formaçã o de professores emergiu de forma mais direta após a independê ncia do país, quando se atentou sobre a organizaçã o da instruçã o popular. C om a promulgaçã o da L ei das E scolas de Primeiras L etras, em 15 de outubro de 1827, manifestou-se com maior contundê ncia no B rasil a preocupaçã o com a formaçã o de professores (S A V IA NI, 2009).
Os primeiros C ursos de formaçã o de professores foram criados em 1934 e eram oferecidos nas F aculdades de F ilosofia. Os professores que ensinavam matemática nos cursos de licenciaturas se preocupavam apenas com a transmissã o do conteúdo, desprezando principalmente as questões pedagógicas, essenciais para a construçã o do conhecimento (G OME S , 2006).
No período de 1995 a 1998, o ME C elaborou os Parâmetros C urriculares Nacionais para o E nsino F undamental e Médio (PC N’s,) como também as D iretrizes C urriculares, sendo referê ncia para a formaçã o dos professores. No mesmo período, em 1996, com a promulgaçã o da L ei de D iretrizes e B ases da E ducaçã o Nacional, no seu A rtigo 53, evidencia-se que as universidades deveriam fixar novas diretrizes nos currículos de seus
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cursos, contudo, outras questões ainda compõem o conjunto de dificuldades em volta da formaçã o de professores, pois, como destaca G OME S (2006, p. 56):
É necessário que se pense na formaçã o do professor que vai ensinar matemática em uma ampla dimensã o, pois sentimos a ausê ncia de alguns aspectos nesta formaçã o que promovam a imersã o cultural, social e política do professor no mundo, aspectos estes apresentados com grande destaque nos PC N’s, exigindo que o educador se sinta cidadã o, fato este que pouco é abordado durante a formaçã o docente. Um outro aspecto diz respeito ao conhecimento matemático do professor, das possíveis conexões e inter-relações entre os variados temas matemáticos, nã o se admitindo que sejam vistos de formas fragmentadas.
Observe que a formaçã o do professor se compõe de aspectos culturais, sociais e políticos, bem como sua formaçã o ou o conhecimento matemático que possui sobre a área de atuaçã o. Ocorre que este complexo conjunto resulta do domínio de dois campos distintos, mas complementares à formaçã o do professor. R eferimo-nos ao conhecimento pedagógico e matemático que, no caso, oferecem o suporte necessário a atuaçã o do profissional das matemáticas.
C omo mostra disto, os PC N’s, no volume trê s, que trata da matemática, descreve que:
Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática estã o relacionados ao processo de formaçã o do magistério, tanto em relaçã o à formaçã o inicial como à formaçã o continuada. D ecorrentes dos problemas da formaçã o de professores, as práticas na sala de aula tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, sã o muitas vezes de qualidade insatisfatória. A implantaçã o de propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma formaçã o profissional qualificada, na existê ncia de concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas restrições ligadas à s condições de trabalho ( B R A S IL , 1997, p.22).
C onsiderando que as práticas de formaçã o inicial e continuada de professores sofrem constantemente certa adaptaçã o diante das mais diferentes demandas da sociedade, a açã o institucional de melhoria destas práticas precisa estar constantemente sendo (re)avaliadas e melhoradas através de políticas educacionais. E ssa insatisfaçã o é revelada principalmente na iminente revisã o do currículo escolar e das práticas do professor no trato das questões pedagógicas e específicas da área de ensino.
E ssa incorporaçã o pode ser justificada na medida em que esses estudos apresentam contribuições para a melhor compreensã o, por parte dos/das estudantes, de noções e procedimentos concernentes à Matemática e porque incluem demandas de uma sociedade cada vez mais exigente relativamente ao domínio de competê ncias e habilidades que podem ser desenvolvidas por meio dessa área do conhecimento ( B R A S IL , 2015, p. 133) .
S egundo Ponte (1992), D ’A mbrósio (1996), S mole (2000), Pietropaolo (2002), entre outros, a formaçã o do professor de matemática precisa ser pautada na articulaçã o perene entre teoria e prática, ou seja, entre o saber específico de cada disciplina que necessita constantemente ser vinculado a um saber pedagógico, ambos articulados de modo que conceitos e reflexões sobre suas práticas possam, juntas, melhor interagir na formaçã o docente.
Particularmente, tratando do ensino da matemática, a formaçã o do pedagogo para que ensine as matemáticas necessita que os próprios cursos de formaçã o sejam modificados, principalmente na sua composiçã o curricular (C UR I, 2005) na certeza de que melhor atuem no desenvolvimento dos conceitos matemáticos já compreendidos na escolarizaçã o básica, pois muitas destas ideias conceituais permanecem equivocadas pelos pedagogos (S A NT OS , 2015). Ou seja, o pedagogo precisa estar constantemente modificando e criando uma nova concepçã o epistemológica quanto à sua prática.
E sta açã o abrange uma óptica muito mais extensiva que visualizar o ensino da matemática apenas como a realizaçã o de cálculos (F IOR E NT INI, 1995), mas que carreguem significado à s situações criadas e discutidas no contexto escolar, em que o professor incorpore uma prática investi gativa e reflexiva S chön (2009) ambas articuladas pela açã o do professor.
Para que esta articulaçã o progrida em favor de uma boa formaçã o doente, há de se considerar uma série de recursos cognitivos que Perrenoud (1993) chama de competê ncias e habilidades, que seriam desenvolvidas principalmente do decorrer das práticas de ensino. E sses saberes, necessários à prática do professor, constituem a garantia de boas e necessárias construções didáticas, pois um bom professor de matemática nã o se define apenas como aquele que domina o conteúdo em específico. B em como ao reconhecer as qualidades de um bom pedagogo, este apenas com seus conhecimentos de formaçã o terá dificuldades no planejamento e execuçã o de atividades matemáticas por desconhecer a fundo o conteúdo.
O domínio pedagógico seriam os conhecimentos gerais normalmente apresentados nos cursos de Pedagogia que trata de questões mais abrangentes sobre o processo educacional em vários níveis, como: questões da psicologia, sociologia, política e filosofia da educaçã o. S obre o domínio tecnológico, independente da tecnologia utilizada, o professor deve dominar tal ferramenta tendo em vista um bom planejamento e o alcance de seus objetivos pedagógicos, já a especificidade de formaçã o, além dos conhecimentos gerais em educaçã o, o docente deve ter o domínio específico nas disciplinas e, por fim, a transposiçã o didática, elemento imprescindível à transformaçã o do saber científico em saber ensinado (prático).
A mbas as competê ncias se complementam na certeza que nã o apenas nas aulas de matemática, mas em qualquer outra disciplina, o professor necessita ter plena consciê ncia que nã o será apenas o domínio de uma destas competê ncias que lhe trará ê xito em suas aulas. A questã o preocupante se volta entã o para a terceira competê ncia citada, que é comumente entendida como a principal, talvez a única, e relevante para o sujeito que pretende seguir a carreira do magistério. A s demais seriam apenas um complemento necessário ou nã o, principalmente a depender do público alvo.
Ou seja, para a educaçã o infantil, um pouco mais de pedagogia e técnicas de alfabetizaçã o; do primeiro ao nono ano do E nsino F undamental, a pedagogia é deixada um pouco de lado e passa-se a favorecer gradativamente o rigor das regras e fórmulas. J á no ensino médio, o professor deve, acima de tudo, ser bom na disciplina, ou seja, dominar o conteúdo.
D entre as quatro competê ncias citadas, a depender do ano ou período da E ducaçã o B ásica, o professor realiza uma opçã o, embora que, na maioria das vezes implícita, permanecendo entã o a prevalê ncia de uma sobre outra.
Numa óptica otimista, a urgê ncia se manifesta em muito mais que demonstrar aos professores esses conhecimentos, mas os próprios se veem na condiçã o de profissionais em formaçã o perene. O conhecimento e o domínio destas competê ncias, além de assegurar uma boa articulaçã o entre os saberes necessários, colocam o professor na condiçã o de vigilante constante de sua prática, principalmente quando constatado que o fracasso do aluno possui grande parcela na sua atuaçã o como principal mediador.
S eja nos trabalhos de V ygotsky (1987), B orges Neto e D ias (1991), Nébias (1999), C hevallard, B osch e Gastón(2001) e V ergnaud (2004), a escola desempenha o importante papel de criar espaços de interaçã o entre os alunos, o professor e o saber com o maior número possível de situações com vistas a promover a sistematizaçã o dos saberes como forma eficiente de aprendizagem, além dos conceitos já adquiridos no convívio habitual com outros. Nã o temos a pretensã o de diminuir ou retirar a importância que os saberes cotidianos exercem na vida dos sujeitos, mas completá-los na certeza que, para os conhecimentos de cunho técnico e maior capacidade de generalizaçã o, cabe à escola intervir e proporcionar, no mínimo, a reflexã o/açã o dos conceitos nã o espontâneos ou científicos.
Quanto à funçã o da escola de “provocar” a capacidade de reflexã o do aluno e, especificamente, do ensino das matemáticas, ela tem tomado diferentes caminhos na busca por melhores práticas que potencializem a aprendizagem dos conceitos, haja vista que aprender matemáticas ainda carrega a óptica equivocada de ignorar-se a estrutura e as funções do trabalho do aluno como sujeito investigativo, de modo que a atividade do seu estudo é vista como um meio auxiliar do ensino (C HE V A L L A R D ; B OS C H; GA SPÓN, 2001), sendo o professor ainda visto comumente como referê ncia única na produçã o e repasse do conhecimento ao aluno.
S abemos que a disciplina de matemática é carregada de vários estereótipos e preconceitos quanto a sua complexidade e o alto teor de artificialidade incorporado em sua operacionalidade, contudo, convém lembrar que boa parte destas ideias sã o frutos de um ensino de má qualidade que, diferentemente do conhecimento social (convencional), nã o precisa ser transmitido de forma repetitiva de geraçã o a geraçã o ( B OR G E S NE T O; D IA S , 1991). A forma como o sujeito incorpora os conceitos matemáticos necessita obrigatoriamente que sejam objetos de mudanças positivas em sua transposiçã o didática, ou seja, a matemática precisa deixar de ser encarada como um receituário de fórmulas e esquemas a serem memorizados.
A questã o é que as situações, quando formalizadas e expostas aos alunos com variedade e história
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, acabam por requerer novos raciocínios que estimulam implicitamente ideias e estratégias mais abrangentes que as anteriores. S ó deste modo se pode esperar uma compreensã o efetiva dos conceitos e procedimentos matemáticos por parte do aluno Ponte, Mata-Pereira e Henriques (2012), o que comprova, entã o, a necessidade constante do sujeito
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estar em processo de interaçã o com as mais diferentes situações ou problemas, pois sã o nelas que os conceitos adquirem significância num complexo arranjo de situações, conceitos e esquemas embebidos em diferentes representações simbólicas por trás desse processo.
Numa outra ótica, quanto o papel da E scola, atualmente, primeiro se ensina matemática para, em seguida, o aluno resolver os problemas e nã o se ensina matemática enquanto se resolve problemas (ONUC HIC ; A L L E V A T O, 2011). E sta lógica acaba por nã o permitir que particularidades muito maiores sejam consideradas, como: a compreensã o de fato do problema, a flexibilidade do sujeito em acionar outras formas de raciocínio e nã o relacionar sempre um determinado problema a uma técnica específica.
D entre os trabalhos que destacam a importância do resolver problemas como condiçã o para aprender matemática, Onuchic e A llevato (2009) apontam questões importantes como condiçã o para que o aluno se volte para a análise de problemas, desde que um arranjo se configure perfeitamente no ambiente em que está inserido. A prática de resolver problemas alude à construçã o de novos conceitos, pois:
Nessa concepçã o, o problema é visto como ponto de partida para a construçã o de novos conceitos e novos conteúdos; os alunos sendo co-construtores de seu próprio conhecimento e, os professores, os responsáveis por conduzir este processo ( ONUC HIC ; A L L E V A T O, 2011,p. 80).
Quanto ao papel do professor, nada mais construtivo que conduzir esses processos nã o pelo ‘ repasse’ de informações ou se colocando no centro do processo como único detendo do saber, mas pela mediaçã o entre o conhecimento e os alunos como ferramenta elementar nestas relações.
2.3 O r aciocínio matemático: as situações-pr oblema e a for maçã o do pedagogo
E m se tratando das formas como o aluno expõe suas ideias sobre as estratégias de resoluçã o de problemas matemáticos, aprofundar-nos-emos nos tipos de raciocínio matemático apresentados inicialmente por J ohannot (1947) e destacados por B orges Neto e C ampos (1999), B arreto (2001) e Gomes, C astro F ilho e B arreto (2004).
encontrar em outros problemas aspectos semelhantes ao que resolvera tornando sua resposta uma ‘ ferramenta universal’ para os demais.
E ste aspecto de automaçã o é uma das manifestações mais visíveis do caráter invariante da organizaçã o dos nossos comportamentos que abrangem uma parte de automatismos e outra de decisões conscientes ( V E R GNA UD , 1993). No entanto, essa açã o, mesmo que necessária diante da necessidade do aluno ter contato com outras situações em formas de ‘ exercícios’, revela um aspecto negativo quanto à aprendizagem da matemática, pois acaba permitindo que os alunos internalizem novas estratégias pelo excessivo hábito de resolver questões a partir de exemplos dados pelo professor e nã o pela construçã o destas estratégias por si só.
Ou seja, mesmo sendo necessária no percurso escolar, a prática de resolver exercícios nã o pode retirar do aluno a capacidade de inferir sobre os mais diferentes problemas mediados pelo professor. D e forma contrária, é perfeitamente mais cômodo ao professor diminuir o tempo gasto nestas discussões oferecendo de imediato a ‘ forma operacional’ ao aluno, esperando entã o que ele a empregue de forma mecânica em outros problemas semelhantes.
Numa definiçã o mais generalista, a compreensã o do raciocínio matemático, inicialmente colocado por R ussel (1999), expõe que o usamos para pensar sobre as propriedades de um determinado objeto matemático, desenvolvendo generalizações que se apliquem a toda classe de objetos. E nquanto que J ohannot, de forma mais superficial, define-o por “o raciocínio que intervê m durante a resoluçã o de problemas matemáticos que faz chamada a um simbolismo aritmético e algébrico” (J OHA NNOT , 1947, p. 25, traduçã o nossa).
J ohannot pesquisa o raciocínio matemático em adolescentes, tomando como referê ncia o estágio operatório formal de Piaget como forma de classificar o nível de desenvolvimento do raciocínio matemático em quatro tipos: o concreto, o gráfico, o aritmético e o algébrico (J OHA NNOT , 1947). No entanto, nosso trabalho apresenta algumas semelhantes e distinções quanto à obra de J ohannot, pois, em comum, recorremos à classificaçã o dos trê s últimos tipos de raciocínio já realizados em prol da compreensã o dos raciocínios expressados pelos pedagogos.
um grupo pequeno de pedagogos em processo de formaçã o, levantando suas estratégias frente a um conjunto de problemas matemáticos. F eita a coleta e classificaçã o dessas informações, buscamos identificar, a partir das considerações apontadas, os benefícios que o professor pode inferir para a sua aula frente a esses conhecimentos e o uso de uma boa metodologia de ensino.
Para tanto, o início destas ações necessitou da compreensã o sobre os ti pos de raciocínio matemático que J ohannot (1947) detalhou em sua obra, em que o desenvolvimento do raciocínio matemático, para assim melhor defini-lo, passa por um conjunto de estágios descritos da seguinte forma:
Nós classificamos por classes de respostas corretas em quatro estágios fundamentais correspondentes aos quatro estágios do raciocínio matemático. E stes estágios variando assim;
E tapa I: R espostas corretas a um nível concreto único, até os 13 anos.
E tapa II: R espostas corretas a um plano de representaçã o gráfica, de 12 a 14 anos. E tapa III: R espostas corretas a um plano intuitivo ou formal aritmético, de 13 a 17 anos.
E tapa IV : R espostas corretas a um plano algébrico de 17 anos apenas. ( J OHA NNOT , 1947, p. 51).
E mbora esta definiçã o de J ohannot remeta à relaçã o entre o raciocínio matemático e aspectos ligados à idade e ao gê nero do seu público alvo, citamo-los apenas como exposiçã o fidedigna de sua obra, mas que nã o intencionamos em nosso trabalho adentrar nestes aspectos. Nosso objetivo centra na compreensã o das estratégias expostas pelos alunos do curso de Pedagogia e como, diante desse conhecimento, o professor pode melhor direcionar suas reflexões e práticas.
C onvê m destacar que, no processo de compreensã o destes estágios, as aquisições anteriores ocupam a posiçã o de um patamar necessário para as aquisições subsequentes que ocorrem na forma de equilibrações sucessivas entre os mecanismos adaptativos do indivíduo expressados pela assimilaçã o e acomodaçã o (J OHA NNOT apud B OR G E S , 1999). C onvém destacar que o sujeito, quando nã o consegue dominar ou compreender um estágio complexo para si, suas estruturas buscam nas estruturas anteriormente já assimiladas um ponto de equilibraçã o e uma resposta iminente, somente com novas e mais adequadas desequilibrações ele poderá acomodar novos conhecimentos e assim constituir algo mais elaborado.
psicologia educacional em um único princípio este seria: O fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já conhece”. A definiçã o que A usubel dá aos elementos que aportam conceitos significantes na estruturaçã o de novas ideias sã o denominadas de subsunçores, em que,
[ ...] os produtos da interaçã o entre os subsunçores introduzidos e as estruturas cognitivas existentes tornam-se pontos de interesse de ancoragem, com um objetivo particular, para a aprendizagem por recepçã o do novo material. C om efeito, fornecem um suporte ( ancoragem) ideário, a um nível adequado de conceptualizaçã o ( A US UB E L , 2003, p. 65).
C omo melhor entendimento destas estruturas nas salas de aula, o professor necessita construir, dessa forma, um conjunto de saberes a que todos os alunos possuam conhecimento comum como forma de iniciar um espaço de discussã o e investigaçã o no qual todos participem ativamente. T al estrutura é definida como plateau
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em que, no campo didático, B ezerra (2017) destaca suas funcionalidades no momento em que o professor se coloca na condiçã o de planejar sua sessã o didática:
No momento da elaboraçã o da sequê ncia didática pelo professor, o plateau se destaca como importantíssimo elemento de iniciaçã o à investigaçã o e reflexã o, por duas grandes razões; primeiramente, por formatar e consolidar o que de primordial deve ser entendido por todos, para que as demais ações se desenvolvam e obtenham ê xito, e segundo, por desencadear um processo intermitente de reflexões, partindo de algo já compreendido pelos alunos e sabiamente explorado pelo professor em forma de provocações e desestabilizações típicas de uma salutar construçã o de conhecimentos ( B E Z E R R A , 2017, p. 56).
Na tratativa de corresponder com um ensino que parta de uma real significância para o aluno, o plateau pressupõe um elemento crucial à prática do professor, pois parte de algo essencialmente elementar, um campo de conhecimento singular a todos. Qualquer conhecimento que agregue entendimento, implicitamente remete a elementos que evoquem significâncias ao sujeito, algo representativo que faça sentido sem mesmo antes ser investigado um novo campo conceitual
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E m trabalhos mais recentes no que tange a compreensã o de como o sujeito conceitua o saber de forma significativa, a T eoria dos C ampos C onceituais (T C C ), elaborada pelo pesquisador francê s Gerard V ergnaud, busca responder a essas e outras questões quanto
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T ermo em francê s surgido entre os anos de as décadas de 1940 e 1950 em referê ncia a ‘ plano’ de planalto, algo como uma base para iniciar os trabalhos de forma segura, em que o sujeito já possua um conhecimento que lhe trará mais possibilidades de ê xito diante das construções posteriores.
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à conceitualizaçã o que o sujeito realiza no momento da internalizaçã o de um ou vários conhecimentos. A T C C trata-se de uma teoria cognitivista de cunho psicológico,de modo que busca compreender como se dá a conceitualizaçã o do real por parte do sujeito com vistas à s aprendizagens de estruturas complexas, sobretudo as que dependem da ciê ncia e da técnica (V E R G NA UD ,1993).
Por ser uma teoria que trata do ensino das ciê ncias e nã o especificamente de uma disciplina ou conteúdo, vários trabalhos tê m utilizado a T C C como suporte a elaboraçã o de didáticas mais específicas em diferentes áreas do ensino, como na B iologia com C ruz, R esende J únior e S ouza (2005), na Química através de S cheffer (2011) e F ísica por Moreira (2002).
E mbora V ergnaud seja da escola piagetiana e procure estudar o sujeito diante do desenvolvimento de situações de ensino, seu objetivo de estudo nã o estáno sujeito epistê mico, foco de grande parte dos trabalhos de Piaget, e sim no sujeito-em-situaçã o, razã o que seus trabalhos suscitem um novo olhar perante as práticas usuais de ensino. Mesmo nã o se voltando diretamente para o interior das salas de aula, a T C C fornece importantes subsídios para a formaçã o reflexiva do professor, partindo do princípio que o desenvolvimento cognitivo depende inicialmente de situações vivenciadas pelo aluno e, posteriormente, conceitualizações específicas que o sujeito necessita para lidar com elas.
V ergnaud destaca que, embora Piaget tenha feito um rico trabalho para a educaçã o, ele nã o focou dentro da sala de aula ensinando matemática. E ntretanto, no momento em que nos interessamos pelo que se passa na sala de aula, diretamente nos voltamos para o conteúdo do conhecimento. A definiçã o dada para a teoria dos campos conceituais de forma mais abrangente é colocada por V ergnaud (1993, p. 1) em que,
A teoria dos campos conceituais é uma teoria cognitivista, que busca propiciar uma estrutura coerente e alguns princípios básicos ao estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competê ncias complexas, sobre tudo as que dependem da ciê ncia e da técnica. Por fornecer uma estrutura de aprendizagem, ela envolve a didática, embora nã o seja uma teoria didática. S ua principal finalidade é propor uma estrutura que permita compreender as filiações a rupturas entre conhecimentos [ ...] .
A teoria dos C ampos C onceituais nã o trata de uma teoria de ensino voltada a conceitos explícitos e formalizados e sim de uma teoria complexa e de cunho psicológico voltada aos processos de conceitualizaçã o do real que permita localizar e estudar continuidades e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual (V E R G NA UD , 1993). Ou seja, falta algo estritamente prático que, embora executável do ponto de vista didático, possua um arrojado arcabouço teórico em sua formaçã o.
O próprio V ergnaud expõe que Piaget nã o se deu conta de quanto o desenvolvimento cognitivo depende de situações e de conceitualizações específicas necessárias para lidar com elas (V E R G NA UD apud MOR E IR A , 2002). D e fato, os trabalhos de V ergnaud se aproximam um pouco mais da prática de sala de aula, pois passa a oferecer à queles que labutam diariamente com os alunos objetos mais contundentes de reflexã o de e para a sua prática usual. T odavia, V ergnaud intencionalmente nã o adentra nos espaços de reflexã o sobre as práticas escolares em si, embora ofereça um vasto material de apoio para sua reflexã o, ainda falta um conjunto de orientações mais didáticas para o professor que reflete diariamente como operacionalizará suas aulas ou sessões didáticas.
R epresentar e compreender diferentes conceitos inconscientemente diante de diferentes situações e instrumentalizá-los com variados esquemas embebidos em fortes representações simbólicas requer a percepçã o de um conjunto variado de abstrações por parte daqueles que se debruçam a compreender o domínio progressivo de um determinado campo conceitual pelo aluno, como enfatiza:
[ … ] o primeiro passo para estudar o progressivo domínio de um campo conceitual por parte do aluno é identificar e classificar situações. Mas isso envolve duas ideias principais: diversidade e história. Ou seja, existe uma grande variedade de situações em um dado campo conceitual e as aprendizagens dos alunos sã o moldadas pelas situações com as quais se depararam e progressivamente dominaram, particularmente as primeiras suscetíveis de dar sentido aos conceitos e procedimentos que lhes queremos ensinar ( V E R GNA UD , apud MOR E IR A , 2002, p. 26) .
A elaboraçã o de estratégias por parte dos pedagogos remete ao professor a tarefa de constantemente estar submetendo-os a problemas em variadas situações com vistas à construçã o de novos conhecimentos. D iante de novos problemas no ambiente escolar, essas situações, por serem desafiadoras e variadas aos alunos, garantem uma abordagem eficaz no trato com diferentes conceitos, os quais corroboram com os conceitos de variedade e história.
conhecidos e desconhecidos: seriam aquelas para as quais o aluno tem, em algum ponto do seu desenvolvimento, as habilidades necessárias para a sua resoluçã o mais ou menos imediata, e as que o aluno nã o tem as habilidades necessárias, que impõe uma reflexã o, exploraçã o, trazendo-a para o sucesso ou fracasso (K R E MZ Á R OV Á , 2008).
A forma como estas habilidades sã o analisadas convergem perfeitamente com os conceitos de equilibraçã o e desequilibraçã o já colocados por Piaget em que, cotidianamente em ambiente escolar, o sujeito precisa ser confrontado com problemas que os desestabilizem ao ponto de construírem, a partir do erro, novas e mais elaboradas estruturas.
C om uma considerável quantidade de estudos que fomentaram melhores práticas pedagógicas e didáticas, alguns dos maiores destaques se deram aos estudos de V ygotsky (1896-1934) e J ean Piaget (1896-1980) sobre o modo e as condições que os sujeitos aprendem. A compreensã o dos conceitos de assimilaçã o, acomodaçã o esquemas e zonas de desenvolvimento representaram apenas uma pequena parte perante o universo estudado. C ontudo, de enorme contribuiçã o que deram, ainda contribuem para a qualidade do ensino.
O processo de aquisiçã o de determinado conceito passa por uma dura evoluçã o repleta de avanços e retrocessos. T ais particularidades na verdade sã o elementos necessários à construçã o diária do conhecimento, pois, diante de um saber constituído, muito brevemente esse mesmo será objeto de questionamentos ao ponto de ser modificado e/ou superado por outro melhor ou mais abrangente.
E stes aspectos partem da compreensã o dos conceitos de assimilaçã o e acomodaçã o, em que “a assimilaçã o consiste em incorporar novos objetos nã o previstos na programaçã o orgânica” (PIA GE T , 1971, p. 4). J á na acomodaçã o “há os ajustamentos individuais à s circunstâncias múltiplas que eles se orientam no sentido de uma acomodaçã o ao meio ou à experiê ncia” ( PIA GE T , 1971, p. 21).
O sujeito, na tentativa de compreender algo novo, passa por um processo de assimilaçã o e acomodaçã o constantemente, sendo que, logo após, há uma equilibraçã o entre a assimilaçã o e a acomodaçã o, criando-se, assim, a teoria da equilibraçã o, de modo que:
A teoria da equilibraçã o como teoria explicativa do processo de adaptaçã o e reconstruçã o da inteligê ncia face ao meio em relaçã o ao qual ela se organiza, auto regula e prepara para novas transformações, representa a síntese da explicaçã o do processo do conhecimento ( F E R R E IR A , 2003, p. 10) .
