Aula 00
Matemática Financeira e Estatística Básica p/ SEFAZ-AL (Fiscal de Tributos Estaduais) Com videoaulas
Professores: Arthur Lima, Equipe ArthurLima
AULA 00 (demonstrativa)
SUMÁRIO PÁGINA
1. Apresentação 01
2. Análise do edital e da banca examinadora 04
3. Juros Simples - Teoria 06
4. Resolução de Exercícios 22
5. Lista de questões apresentadas na aula 67
6. Gabarito 83
7. Principais pontos apresentados na aula 85
APRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo a este curso de MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA BÁSICA, desenvolvido para auxiliar a sua preparação para o próximo concurso da SECRETARIA DA FAZENDA DE ALAGOAS.
Este curso é integralmente baseado no último edital deste concurso que foi promovido pela banca CESPE.
Neste material você terá:
- curso completo em vídeo, formado por cerca de 25 horas de gravações onde
explico todos os tópicos exigidos no último edital e resolvo alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas;
- curso escrito completo (em PDF), formado por 07 aulas onde também explico todo o conteúdo teórico do último edital, além de apresentar cerca de 300 questões resolvidas e comentadas, sendo várias da banca CESPE;
- fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco.
Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos exigidos no edital da SEFAZ-AL e nada além disso, e você poderá estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a perda de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante para aqueles que trabalham e estudam, como era o meu caso quando estudei para a Receita Federal.
Você nunca estudou MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA BÁSICA para concursos? Não tem problema, este curso também te atende. Isto porque você estará adquirindo um material bastante completo, onde você poderá trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e resolver uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar as minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é plenamente possível que, mesmo sem ter estudado este conteúdo anteriormente, você consiga um ótimo desempenho na sua prova. Obviamente, se você se encontra nesta situação, será preciso investir um tempo maior, dedicar-se bastante ao conteúdo do nosso curso.
O fato do curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo!
Ou resolva uma bateria de questões!
Sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, sendo que, no período final, tive que conciliar com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para os cargos de Auditor-Fiscal e Analista- Tributário. Sou professor aqui no Estratégia Concursos desde o primeiro ano do site (2011), e tive o privilégio de realizar mais de 300 cursos online até o momento, sendo mais de 30 do CESPE o que me permitiu ganhar bastante familiaridade com o seu estilo. Neste período, vi vários de nossos alunos sendo aprovados nos cargos que almejavam.
Aqui no Estratégia nós sempre solicitamos que os alunos avaliem os nossos cursos. Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação bastante elevados – acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%. Espero que você também aprove o nosso material!
Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo meus contatos:
ANÁLISE DO EDITAL E DA BANCA EXAMINADORA
Veja o conteúdo exigido no seu edital, que será a base para a realização deste curso:
MATEMÁTICA FINANCEIRA:
1. Juros Simples: Juro ordinário, comercial e exato; Taxa percentual e unitária:
nominal, proporcional e equivalente; Prazo, taxa e capital médios; Montante;
Valor atual; Desconto comercial e racional; Equivalência de capitais. 2. Juros Compostos: Taxa proporcional, equivalente, efetiva e nominal; Convenção linear e exponencial; Montante; Valor atual; Desconto racional; Equivalência de capitais; Anuidade ou rendas certas.
ESTATÍSTICA BÁSICA:
1. Conceito. População; Censo; Amostra; Experimento aleatório; Variáveis e atributos; Variáveis aleatórias discretas e contínuas; Normas para apresentação tabular de dados. 2. Organização de Dados Estatísticos. Quadros e tabelas;
Distribuição de frequências; Intervalos de classe; Ponto médio; Frequências absolutas e relativas; Frequências acumuladas; Gráficos: barras, colunas, histogramas e polígonos de frequências. 3. Medidas de Posição. Média aritmética; Propriedades da média; Cálculo Simplificado da média; Mediana;
Moda; Médias geométricas e harmônica. 4. Medidas de Dispersão. Amplitude;
Desvio médio; Variância absoluta; Propriedades da variância; Cálculo simplificado da variância; Desvio padrão; Variância relativa e coeficiente de variação.
Para cobrir este conteúdo, nosso curso está dividido em 15 aulas em PDF (complementadas por vídeos), além desta aula demonstrativa.
São elas:
Reitero que você terá acesso também a quase 25 horas de videoaulas sobre todos os temas estudados.
Sem mais, vamos a nossa aula!!!
JUROS SIMPLES
Para resolver os exercícios de juros simples é necessário ter uma boa base de matemática básica, ao longo dos anos eu fui percebendo que, muitas vezes, os alunos entendem bem os conceitos que veremos adiante neste curso, mas “se enrolam” justamente na hora de resolver exercícios. Assistindo os vídeos de revisão de matemática básica desta aula, acredito que você ganhará mais confiança e rapidez para enfrentar os cálculos matemáticos.
JUROS SIMPLES
Para começarmos a falar sobre juros, é fundamental você compreender que o dinheiro muda de valor ao longo do tempo. O que você prefere: receber 100 reais hoje ou receber este mesmo valor daqui a 1 ano? Certamente você prefere receber hoje. Entre outros motivos, isto se deve ao fato de que os preços dos produtos costumam se elevar ao longo do tempo (é a chamada inflação), de modo que um produto que você pode comprar hoje com esses 100 reais provavelmente estará mais caro daqui a 1 ano. Mesmo que não queira comprar nada hoje, ainda assim você deve preferir receber o dinheiro o quanto antes.
Afinal, uma vez recebendo-o, você pode colocá-lo em uma aplicação financeira (ex.: poupança) e, com isso, obter um rendimento ao longo deste período, de modo que daqui a 1 ano você terá MAIS que 100 reais.
Portanto, uma premissa que é a base da matemática financeira é a seguinte: as pessoas e as instituições do mercado preferem ADIANTAR os seus recebimentos e RETARDAR os seus
pagamentos. Esta segunda parte também é bem intuitiva, não? Se você compra um tênis que custa 100 reais, você prefere pagar isto hoje ou pagar este mesmo valor daqui a 6 meses? Acredito que a sua resposta seja “daqui a 6 meses” (a menos que haja algum desconto no pagamento à vista). E isto é natural, afinal você pode deixar os seus 100 reais investidos na poupança, e daqui a 6 meses terá MAIS de 100 reais, de modo que conseguirá pagar o tênis e ainda sobrará uma graninha. É claro que algumas pessoas podem argumentar que preferem pagar logo para
“se livrarem daquela dívida”. Mas esta é uma questão psicológica, que vai além da racionalidade da Matemática Financeira, ok? Do ponto de vista estritamente racional, é melhor pagar o mais tarde possível caso não haja incidência de juros (ou caso esses juros sejam inferiores ao que você pode ganhar aplicando o dinheiro).
A propósito, “Juros” é o termo utilizado para designar o
“preço do dinheiro no tempo”. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros:
juros simples e juros compostos.
Neste momento trataremos do regime simples, que é um regime de caráter mais teórico, sendo utilizado mais para fins didáticos do que para fins práticos. No dia-a-dia, a maioria das operações realizadas pelas instituições financeiras ocorrem segundo o regime de juros compostos (ex.: poupança, aplicação em CDB, compra de títulos públicos, empréstimos e financiamentos para casa própria etc.). Na prática, o regime de juros simples fica mais restrito a transações de curto prazo, onde os valores resultantes da aplicação de juros simples e compostos são muito próximos entre si. Nestas situações o regime simples fornece uma boa aproximação do regime composto, com cálculos matemáticos bem mais simples. Um exemplo de aplicação de juros
simples é na fixação de multas por atraso em contas de água ou luz (quando a multa é definida como um valor fixo por dia de atraso).
Continuemos com o exemplo em que você contratou um empréstimo junto ao banco. Pode ser que fique combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão cobrados “juros sobre juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você pegou um montante de R$1000 emprestados com o banco a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, para pagar após 5 meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 5 meses?
Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10%
de 1000, ou seja, mais 100 reais. Ao final do terceiro, quarto e quinto meses serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 5 meses você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 5 parcelas de 100 reais, totalizando R$1500. Deste valor, 500 reais referem-se aos juros (“preço” que você paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 5 meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da dívida, que é outra forma muito comum de designar o capital inicialmente obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo:
(1 )
M C j t
Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros (10% ao mês), t é o período analisado (5 meses), e M é o montante (valor total) devido ao final dos “t” períodos. Observe que a taxa de juros e o período analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste
caso, ambos referem-se a meses). Se elas não estiverem na mesma unidade, o primeiro passo da resolução deve ser a uniformização destas unidades, como veremos mais adiante neste curso.
A fórmula acima pode ser dividida em duas partes, tirando os parênteses:
M C C j t
Nesta fórmula, C jé o valor dos juros pagos a cada período (1000 x 10% = R$100), que é sempre igual. Já C j t é o total pago na forma de juros (neste caso, R$500). Portanto, o valor dos juros totais devidos é simplesmente:
J C j t
Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e o Capital inicial:
J = M – C
Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e t). A maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas variáveis e perguntarão a quarta. O exercício poderia ter dito que João pegou R$1000 emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e perguntar quanto tempo levaria para que o valor devido chegasse a R$1500. Assim, você teria C = 1000, j = 10% e M = 1500, faltando encontrar t:
(1 )
1500 1000 (1 10% ) 1500 1 0,1
1000
1,5 1 0,1 0,5 0,1
5
M C j t
t t t t t
Como a taxa de juros refere-se a meses, então t = 5 meses.
Comece a exercitar as fórmulas de juros simples resolvendo o exercício abaixo.
UFG – ISS/Goiânia – 2016) Uma pessoa antes de tomar emprestado uma quantia de R$ 100 000,00, avalia três propostas: a primeira, à taxa de 5% ao mês, durante 8 meses; a segunda, à taxa de 4% ao mês, durante 12 meses; a terceira, à taxa de 3% ao mês, durante 24 meses;
todas a juros simples. O valor dos juros a serem pagos, em reais, à proposta em que pagará menos juros, é:
(A) 72 000,00 (B) 60 000,00 (C) 48 000,00 (D) 40 000,00 RESOLUÇÃO:
Podemos calcular o total de juros (J) auferidos em cada proposta, lembrando que no regime simples temos J = C x j x t. Veja:
PRIMEIRA PROPOSTA:
J = 100.000 x 5% x 8 J = 100.000 x 40%
SEGUNDA PROPOSTA:
J = 100.000 x 4% x 12 J = 100.000 x 48%
TERCEIRA PROPOSTA:
J = 100.000 x 3% x 24 J = 100.000 x 72%
Comparando as expressões acima, vemos que o menor valor de juros é o da primeira proposta, que é de 100.000 x 40% = 40.000 reais.
Resposta: D
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não adianta saber apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se essa taxa é mensal, bimestral, anual etc.
Vamos discorrer sobre dois conceitos importantíssimos na resolução dos exercícios: as taxas de juros equivalentes e as taxas proporcionais.
Dizemos que duas taxas de juros são proporcionais quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com segurança, basta efetuar uma regra de três simples. Vamos obter a taxa de juros bimestral que é proporcional à taxa de 12% ao ano:
12% ao ano --- 1 ano Taxa bimestral --- 2 meses
Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita na mesma unidade temporal, temos:
12% ao ano --- 12 meses Taxa bimestral --- 2 meses
Efetuando a multiplicação cruzada, temos:
12% x 2 = Taxa bimestral x 12 Taxa bimestral = 2% ao bimestre
Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M,
após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa de 12% ao ano leva o capital 100 ao montante final 112 após o período de 1 ano. Existe uma taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo capital inicial 100 ao montante final 112 após transcorrido o mesmo período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é equivalente à taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos obtê-la substituindo t = 12 meses, C = 100 e M = 112 na fórmula de juros simples:
M = C x (1 + j x t) 112 = 100 x (1 + jeq x 12) 112 / 100 = (1 + jeq x 12)
1,12 = 1 + jeq x 12 1,12 – 1 = jeq x 12
0,12 = jeq x 12 0,12 / 12 = jeq
0,01 = jeq
1% ao mês = jeq
Portanto, a taxa de 1% ao mês leva o mesmo capital C ao mesmo montante final M que a taxa de 12% ao ano, desde que considerado o mesmo intervalo de tempo (ex.: 1 ano ou 12 meses, 2 anos ou 24 meses etc). Assim, 1%am é equivalente a 12%aa no regime de juros simples.
Note que já havíamos calculado que essas mesmas taxas (1%am e 12%aa) eram proporcionais entre si. Quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros proporcionais são também taxas de juros equivalentes. Essa informação é importantíssima, pois em muito simplifica o cálculo de taxas equivalentes quando estamos no regime de juros simples. Isto é, neste regime de juros, 1% ao mês, 6% ao semestre ou 12% ao ano são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C ao mesmo montante M após o mesmo período de tempo.
Sobre este tema, tente resolver as questões abaixo.
CESPE – PREFEITURA DE SÃO PAULO – 2016) A prefeitura de determinada cidade celebrou convênio com o governo federal no valor de R$ 240.000,00 destinados à implementação de políticas públicas voltadas para o acompanhamento da saúde de crianças na primeira infância.
Enquanto não eram empregados na finalidade a que se destinava e desde que foram disponibilizados pelo governo federal, os recursos foram investidos, pela prefeitura, em uma aplicação financeira de curto prazo que remunera à taxa de juros de 1,5% ao mês, no regime de capitalização simples.
De acordo com as informações do texto, a taxa de juros anual equivalente à taxa de remuneração da aplicação financeira escolhida pela prefeitura é A) inferior a 5%.
B) superior a 5% e inferior a 10%.
C) superior a 10% e inferior a 15%.
D) superior a 15% e inferior a 20%.
E) superior a 20%
RESOLUÇÃO:
Se estamos falando do regime de capitalização simples, é preciso lembrar que taxas proporcionais são também equivalentes. A taxa anual que é proporcional a 1,5% ao mês é simplesmente 12 x 1,5% = 18% ao ano (afinal um ano tem 12 meses). Esta é também a taxa equivalente, o que permite marcar a letra D.
Você poderia também montar a seguinte regra de três:
1,5% --- 1 mês j --- 12
1,5% x 12 = j x 1 18% ao ano = j Resposta: D
FGV – ISS/CUIABÁ – 2014) O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de
(A) 34.
(B) 200.
(C) 333.
(D) 400.
(E) 500.
RESOLUÇÃO
Lembrando que 6% ao ano corresponde a 6% / 12 = 0,5% ao mês no regime de juros simples, e que para um capital C triplicar ele deve atingir o montante M = 3C, temos:
M = C x (1 + j x t) 3C = C x (1 + 0,5% x t)
3 = 1 x (1 + 0,005 x t) 3 = 1 + 0,005 x t
2 = 0,005 x t t = 2 / 0,005 t = 2000 / 5 t = 400 meses Resposta: D
Veja ainda esta questão comigo:
FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Um capital é aplicado à taxa de juros simples anual de 18%. Para que o montante obtido com a aplicação seja 50% maior que o capital inicial investido, é necessário que o capital fique aplicado no mínimo:
a. ( ) 16 meses.
b. ( ) 22 meses.
c. ( ) 28 meses.
d. ( ) 34 meses.
e. ( ) 42 meses.
RESOLUÇÃO:
Podemos resolver esta questão atribuindo valores para o capital e o montante. Veja comigo.
Sendo C = 100 o capital aplicado, queremos que o montante seja maior do que 150 reais (que é 50% maior do que o capital).
A taxa de 18%aa é proporcional e equivalente à taxa mensal de 18%/12 = 1,5%am. Assim,
Montante > 150 C x (1 + jxt) > 150 100 x (1 + 0,015xt) > 150
1 + 0,015xt > 1,5 0,015xt > 0,5 t > 0,5 / 0,015
t > 500 / 15 t > 33,33 meses
O prazo deve ser maior do que 33,33 meses. Por isto, ele deve ficar aplicado, no mínimo, por 34 meses (admitindo que as aplicações só podem ser feitas em números inteiros de meses).
Resposta: D
TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO
Imagine que você resolva aplicar o seu dinheiro disponível não em 1 investimento apenas, mas sim em vários investimentos diferentes, com taxas de juros simples distintas, porém todos com o mesmo prazo.
Exemplificando, vamos imaginar que você tenha 1000 reais e resolva fazer os 3 investimentos abaixo:
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses;
- 300 reais à taxa de 5% ao mês, por 3 meses;
- 200 reais à taxa de 20% ao mês, por 3 meses.
Seria possível aplicar todo o dinheiro (1000 reais) em um único investimento, pelos mesmos 3 meses, de modo a obter o mesmo valor a título de juros. A taxa de juros desse investimento único é chamada de taxa de juros média (jm).
Os juros simples gerados por cada investimento podem ser calculados através da fórmula J C j t. Nesse caso, teríamos:
1 2 3
500 0,10 3 150 300 0,05 3 45 200 0,20 3 120 J
J J
Portanto, o total de juros produzidos pelos 3 investimentos foi de J
= 315 reais. A taxa de juros média jm que, aplicada ao capital total (1000 reais) geraria os mesmos 315 reais após t = 3 meses é:
315 1000 3
0,105 10,50%
m
m m
J C j t j j
Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j t
j C t C t C t
Generalizando essa fórmula para casos onde houver não apenas 3, mas sim “n” investimentos diferentes, temos:
1
1 n
i i
i
m n
i i
C j t j
C t
Veja como isso pode ser cobrado em um exercício:
ESAF – RECEITA FEDERAL – 2003) Os capitais de R$ 2.500,00, R$
3.500,00, R$4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%
RESOLUÇÃO:
Chamando de “t” o prazo de aplicação de cada um dos capitais, podemos obter a taxa média diretamente através da fórmula:
1
1 n
i i
i
m n
i i
C j t
j
C t
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
( )
m
C j t C j t C j t C j t
j C C C C t
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
( )
m
C j C j C j C j
j C C C C
2500 0,06 3500 0,04 4000 0,03 3000 0,015 2500 3500 4000 3000
jm
455 13000 jm
0,035 jm
3,5%
jm
Ou seja, poderíamos simplesmente aplicar todo o capital à taxa de 3,5%, e obteríamos o mesmo rendimento conseguido nos quatro investimentos descritos no enunciado.
Resposta: E
Agora imagine que você tem os mesmos 1000 reais e pretenda colocá-los em 3 investimentos distintos, todos com a mesma taxa de juros simples de 10% ao mês, porém cada um com um prazo diferente:
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses;
- 300 reais à taxa de 10% ao mês, por 2 meses;
- 200 reais à taxa de 10% ao mês, por 5 meses.
Seria possível investir todo o dinheiro (1000 reais) em uma única aplicação, com a taxa de juros de 10% ao mês, por um tempo tm , de modo a obter o mesmo valor a título de juros. Esse prazo é denominado de prazo médio. Para obtê-lo, novamente vamos calcular os juros de cada aplicação com a fórmula J C j t:
1 2 3
500 0,10 3 150 300 0,10 2 60 200 0,10 5 100 J
J J
Assim, o total de juros produzidos pelos três investimentos foi de J
= 310 reais. Podemos obter o prazo médio tm que todo o capital (1000 reais) precisaria ficar investido, à taxa j = 10% ao mês:
310 1000 0,10 3,1 meses
m
m m
J C j t
t t
Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j t
t C j C j C j
Generalizando essa fórmula para casos onde houver “n”
investimentos diferentes, temos:
1
1 n
i i
i
m n
i i
C j t t
C j
Vejamos uma questão sobre o assunto:
ESAF – RECEITA FEDERAL – 2002) Os capitais de R$ 2.000,00, R$
3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente.
Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.
a) quatro meses
b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias
e) oito meses RESOLUÇÃO:
Vamos calcular o valor dos juros ganhos em cada investimento, utilizando a fórmula J C j t:
1 2 3 4
2000 0,04 2 160 3000 0,04 3 360 1500 0,04 4 240 3500 0,04 6 840 J
J J J
Assim, os juros totais somaram 1600 reais. O prazo médio “tm” é aquele após o qual, aplicando todo o capital (10000) à taxa de 4% dada no enunciado, leva aos mesmos juros totais. Isto é,
160010000 0,04 tm
m 4
t meses Resposta: A
Obs.: se preferir usar a fórmula:
0
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
( )
m
C j t C j t C j t C j t
t C C C C j
2000 0,04 2 3000 0,04 3 1500 0,04 4 3500 0,04 6 (2000 3000 1500 3500) 0,04
tm
m 4 t
JUROS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS
Em alguns exercícios temos que trabalhar com prazos expressos em dias. Neste caso, precisamos saber como converter uma taxa de juros expressa em outra unidade temporal (ex.: 10% ao ano) para uma taxa diária. Temos três formas básicas de fazer isso:
1- considerando que o mês tem a quantidade exata de dias (de 28 a 31 dias, conforme o caso) e o ano tem 365 dias (ou 366, se bissexto). Neste caso, estamos trabalhando com juros exatos. Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano, em juros exatos, é igual a 10% 0, 02739%
365 ao
dia.
2- considerando que o mês tem 30 dias, e o ano tem 360 dias. Neste caso, estamos trabalhando com juros comerciais (ou ordinários). Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano é igual a 10% 0, 0277%
360 ao
dia.
3- considerar a taxa de juros com base no ano comercial (360 dias) e o prazo de aplicação com base no tempo exato (número de dias): trata-se dos juros bancários.
Vejamos como isso pode ser cobrado.
FCC – SEFAZ/PB – 2006) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial.
Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é
(A) R$ 37,50 (B) R$ 30,00 (C) R$ 22,50 (D) R$ 15,00 (E)) R$ 7,50 RESOLUÇÃO:
Ao trabalhar com juros comerciais, consideramos que cada mês possui 30 dias. Assim, 5 dias correspondem a 5/30 mês, isto é, 1/6 mês.
Deste modo, os juros da aplicação seriam:
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (1/6) = 232,5 reais
Já ao trabalhar com juros exatos, devemos considerar o número de dias de cada mês, que neste caso é igual a 31. Deste modo, os 5 dias correspondem a 5/31 mês. Os juros da aplicação seriam:
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (5/31) = 225 reais
A diferença entre as duas formas de cálculo é de 232,5 – 225 = 7,5 reais.
Resposta: E
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
Chegou a hora de praticarmos tudo o que trabalhamos nesta aula.
Procure sempre tentar resolver os exercícios antes de ler as minhas resoluções, ok? E marque aqueles exercícios que geraram maior dificuldade para que você possa revisá-los posteriormente. Além disso, se você já está em uma fase mais avançada dos estudos, CRONOMETRE o tempo gasto, para ter uma ideia se você está dentro do esperado para a sua prova.
1. CESPE – ANTAQ – 2014) Uma concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma rodovia federal pelo período de 20 anos. A concessionária realizará melhorias na via como a duplicação de trechos, manutenção do asfalto, da iluminação, reforço na sinalização.
Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue os itens subsequentes.
( ) Suponha que o valor inicial do pedágio em um trecho da rodovia seja de R$3,50 para veículos de passeio e que sejam permitidos reajustes anuais desse valor. Nesse caso, se nos 2 primeiros anos, os reajustes foram de 5% e 4%, é correto afirmar que o valor do pedágio, ao final do segundo ano, era superior a R$ 3,85.
RESOLUÇÃO:
No primeiro ano temos um reajuste de 5%. Com isso, a tarifa de 3,50 reais passa para:
Tarifa no fim do 1º ano = 3,50 x (1 + 5%) Tarifa no fim do 1º ano = 3,50 x (1 + 0,05)
Tarifa no fim do 1º ano = 3,50 x 1,05 Tarifa no fim do 1º ano = 3,675 reais
No segundo ano temos um reajuste de 4%, desta vez sobre o valor do ano anterior (3,675 reais). Assim, ficamos com:
Tarifa no fim do 2º ano = 3,675 x (1 + 4%) Tarifa no fim do 2º ano = 3,675 x 1,04
Tarifa no fim do 2º ano = 3,822 reais
Assim, a tarifa ficou ABAIXO de R$3,85. Item ERRADO.
Resposta: E
Obs.: note que bastava calcular, rapidamente: 3,50 x 1,05 x 1,04.
2. CESPE – CORREIOS – 2011) Um cliente comprou, em uma agência dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre Landell de Moura e dos 150 anos de fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3⁄4 dessa quantia correspondiam ao custo dos selos comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1⁄5, ao custo dos selos comemorativos dos 150 anos da CAIXA.
Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o cliente corresponde a
a) 20%.
b) 5%.
c) 8%.
d) 10%.
e) 12%.
RESOLUÇÃO:
Seja Q a quantia entregue para pagamento. Vemos que (3/4)Q corresponde aos selos do padre, e (1/5)Q aos selos da CAIXA. Assim, sobram:
3 1
4 5
20 15 4 20
1 20 0, 05
5%
Q Q Q
Q
Q Q
Q
Assim, sobra 5% do valor pago, que deve ser devolvido como troco.
Resposta: B
3. CESPE – TRE/ES – 2011) Apesar da pressão sobre os parlamentares para diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários, deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles passarão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, indenizatórias, de cotas de passagens, telefone e despesas médicas, que, somados, ultrapassam R$ 100 mil por mês.
Internet: <www.correioweb.com.br> (com adaptações).
Tendo como referência o texto acima, julgue os itens que se seguem.
( ) O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a R$ 16,5 mil.
RESOLUÇÃO:
Seja S o salário anterior ao reajuste. Sabemos que S mais 62% de S corresponde a 26,7 mil reais. Isto é,
S + 62%S = 26700 1,62S = 26700 S = 16481,48 reais
Assim, o salário era INFERIOR a 16,5 mil reais. Item ERRADO.
Resposta: E
4. CESPE – BASA – 2012) Carlos, Eduardo e Fátima se associaram para abrir uma pequena empresa. Para a abertura desse empreendimento, Carlos entrou com R$32.000,00, Eduardo, com R$ 28.000,00 e Fátima, com R$ 20.000,00. Após cinco anos de atividade, eles venderam a empresa por R$ 416.000,00 e dividiram esse valor pelos três sócios, de forma diretamente proporcional à quantia que cada um investiu na abertura do empreendimento. Considerando essa situação, julgue os próximos itens.
( ) Relativamente ao valor investido na abertura da empresa, o lucro obtido na venda foi inferior a 500%.
RESOLUÇÃO:
O valor investido na empresa foi de 32000 + 28000 + 20000 = 80000 reais. Como ela foi vendida por 416000, então o lucro foi:
Lucro = 416000 – 80000 = 336000 reais
Para sabermos quanto este lucro representa, percentualmente, em relação ao valor investido, basta efetuar a divisão:
Lucro percentual = 336000 / 80000 = 4,2 = 420%
Assim, este lucro foi mesmo inferior a 500%. Item CORRETO.
Resposta: C
5. CESPE – IBAMA – 2012) Sabendo que o governo federal ofereceu aos servidores públicos uma proposta de reajuste salarial de 15,8%
parcelado em três vezes, com a primeira parcela para 2013 e as demais para os anos seguintes, julgue os itens a seguir.
( ) Um servidor federal com salário de R$ 10.000,00 em 2012, passará a receber, em 2015, após a concessão da última parcela de reajuste, salário inferior a R$11.500,00.
RESOLUÇÃO:
Com o reajuste, o salário deste servidor passou a ser:
Salário = 10000 + 15,8% x 10000 Salário = 10000 + 0,158 x 10000 Salário = 10000 + 1580 = 11580 reais
Este valor é superior a 11500 reais. Item ERRADO.
Resposta: E
6. CESPE – INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.
( ) Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará 20%.
( ) O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda.
( ) É necessário vender 15 refrigerantes para obter-se um lucro líquido de R$ 30,00
RESOLUÇÃO:
( ) Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará 20%.
Reduzindo-se em 40% o custo de produção, chegamos a um custo de:
Custo = 0,50 – 40% x 0,50 = 0,50 – 0,4 x 0,50 = 0,30 por lata
O lucro atual por lata é de:
Lucro = Venda – Custo = 2,50 – 0,50 = 2,00 reais por lata
Com a redução do custo de produção, o lucro por lata passará a ser de:
Lucro = 2,50 – 0,30 = 2,20 reais por lata
O lucro por lata aumentou em 0,20 reais, que correspondem a 10%
dos 2,00 que eram o lucro por lata originalmente. Assim, há um aumento de 10% no lucro por latinha. Item ERRADO.
( ) O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda.
Aqui basta calcularmos a porcentagem:
P = 0,50 / 2,50 = 1 / 5 = 0,20 = 20%
Item CORRETO.
( ) É necessário vender 15 refrigerantes para obter-se um lucro líquido de R$ 30,00
Vimos que o lucro com a venda de um refrigerante é de 2,00 reais.
Assim, ao vender 15 unidades o lucro será de 15 x 2,00 = 30,00 reais.
Item CORRETO.
Resposta: E C C
7. CESPE – INPI – 2013) Em televisões FullHD, a proporção entre a largura e a altura da tela é 16:9. Com base nessa informação, julgue os itens a seguir.
( ) Se a altura for aumentada em 20%, então, para manter a proporção de 16:9, a largura também deverá ser aumentada em 20%.
RESOLUÇÃO:
Seja L a largura e A a altura da televisão original. Sabemos que estas medidas estão na proporção de 16:9, ou seja,
L --- A 16 ---9
9L = 16A A = 9L/16
Aumentando a altura em 20%, a nova altura será 1,2A. Assim, para manter a proporção, a nova largura (X) será:
X --- 1,2A 16 ---9
9X = 16x1,2A X = 16 x 1,2 (9L/16) / 9
X = 1,2L
Portanto, a largura também precisará aumentar em 20%. Item CORRETO.
Resposta: C
8. CESPE – INPI – 2013) Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume de 60 m3 que esteja conectado a um cano para enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo, julgue os itens seguintes.
( ) Se, em um cano com 10 cm de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e aumenta em 10% para cada centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 12 cm de raio.
( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com volume de 60 m3, então, ao reduzir- se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com volume 50% maior que o
antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em aproximadamente 67%.
( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$
0,03 por segundo, então a utilização de uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 por segundo.
RESOLUÇÃO:
( ) Se, em um cano com 10 cm de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e aumenta em 10% para cada centímetro a mais no raio do
cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 12 cm de raio.
Veja que 50000cm3 = 50dm3. Aumentando em 2cm o raio (de 10 para 12cm), a vazão aumenta em 10% + 10% = 20%, ou seja, chega a 60dm3. Assim, em 1000 segundos, serão preenchidos 60 x 1000 = 60000dm3, que é a capacidade total do reservatório. Item CORRETO.
( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com volume de 60 m3, então, ao reduzir- se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com volume 50% maior que o
antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em aproximadamente 67%.
Para encher o tanque de 60m3 em 3 horas é preciso uma vazão de 60/3 = 20m3 por hora. Reduzindo-se essa vazão em 10%, chegamos a 20 x 0,9 = 18m3 por hora. Aumentando o volume do reservatório em 50%, chegamos a 1,5 x 60 = 90m3.
O tempo para encher o reservatório de 90m3 com vazão de 18m3 por hora é:
18m3 --- 1 hora 90m3 --- X
X =5 horas
O tempo de enchimento aumentou em 2 horas. Em relação ao tempo inicial de 3 horas, este aumento é de 2/3 = 0,67 = 67%. Item CORRETO.
( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$
0,03 por segundo, então a utilização de uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 por segundo.
Inicialmente vamos converter a unidades de vazão:
40.000mL = 40L = 40dm3 por segundo 0,0125m3 = 12,5dm3 por segundo
O tempo de preenchimento do reservatório com cada vazão é:
60.000 / 40 = 1500segundos 60.000 / 12,5 = 4800segundos
O custo de enchimento em cada caso é:
1500 x 0,03 = 45 reais 4800 x 0,03 = 144 reais
Assim, utilizando-se a vazão de 40.000mL por segundo temos uma economia de 144 – 45 = 99 reais. Esta economia representa, em relação aos 144 reais gastos com a vazão de 0,0125m3 por segundo:
P = 99 / 144 = 0,6875 = 68,75%
Item ERRADO.
Resposta: C C E
9. CESPE – INPI – 2013) Uma multinacional detentora da patente de três produtos A, B e C licenciou esses produtos para serem comercializados em quatro países, a saber, P1, P2, P3 e P4. Em cada país, o percentual é cobrado por cada unidade comercializada, conforme a tabela abaixo.
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
( ) Se 1.000.000 de unidades do produto B forem vendidas no país P2 a R$ 5,00 cada e no país P4 for vendido o mesmo número de unidades do produto B, mas a US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = R$ 2,04,
então os valores recebidos pela multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no país P4.
( ) Suponha que o produto B seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que o lucro no país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1.
( ) Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, B e C no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto C foi 10% menor que a de B, então, se o produto C for vendido a R$ 2,00 cada, o valor recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 1.800,00.
( ) Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo preço, então o lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3.
RESOLUÇÃO:
( ) Se 1.000.000 de unidades do produto B forem vendidas no país P2 a R$ 5,00 cada e no país P4 for vendido o mesmo número de unidades do produto B, mas a US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = R$ 2,04, então os valores recebidos pela multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no país P4.
O total vendido em cada país é dado pela multiplicação entre o preço unitário de venda e a quantidade vendida. Multiplicando-se este valor pelo percentual recebido pela multinacional, temos o total por ela recebido. Calculando o valor recebido em cada país:
P2 (produto B) = 1.000.000 x 5 x 5% = 250.000 reais P4 (produto B) = 1.000.000 x 3 x 3% = 90.000 dólares
Repare que o valor recebido em P4 encontra-se em dólares, pois o preço unitário é de US$3,00. Considerando que 1 dólar é igual a 2,04 reais, temos:
1 dólar --- 2,04 reais 90.000 dólares --- X reais
X = 183600 reais
O valor recebido em P2 é 66400 reais maior que o recebido em P4.
Em relação aos 183600 recebidos em P4, essa diferença corresponde a:
P = 66400 / 183600 = 0,36 = 36%
Item CORRETO, pois o enunciado diz que a diferença será “pelo menos” 30% maior.
( ) Suponha que o produto B seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que o lucro no país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1.
O lucro em P3 é:
P3 = 1000 x 2 x 2% = 40 reais
Um lucro 20% maior corresponde a 1,2 x 40 = 48 reais. Para isso, temos:
P4 = unidades x 2 x 1,5%
48 = unidades x 2 x 1,5%
Unidades = 1600 Item CORRETO.
( ) Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, B e C no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto C foi 10% menor que a de B, então, se o produto C for vendido a R$ 2,00 cada, o valor recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 1.800,00.
Chamando de A, B e C as quantidades vendidas de cada um desses produtos, vemos que A = 1,2B (ou seja, A é 20% maior que B) e C = 0,9B (ou seja, C é 10% menor que B). Como a soma é igual a 3.100.000 unidades, temos:
A + B + C = 3.100.000 1,2B + B + 0,9B = 3100000
3,1B = 3100000 B = 1000000 unidades
Logo,
A = 1,2B = 1200000 unidades C = 0,9B = 900000 unidades
O valor recebido pela multinacional com a venda de C é:
Valor = 900.000 x 2 x 1% = 18.000 reais
Item ERRADO.
( ) Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo preço, então o lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3.
Já vimos que:
Valor recebido = unidades x preço unitário x porcentagem
Assim, se em P4 são vendidas X unidades ao preço Y do produto A, cuja porcentagem é 1%, temos:
Valor recebido em P4 = X.Y.1% = 0,01XY
Se em P3 for vendido 10% a mais de unidades (1,1X) no mesmo preço Y, o lucro será:
Valor recebido em P3 = 1,1X.Y.3% = 0,033XY
Assim, o lucro em P4 em relação ao lucro em P3 é:
0,01XY / 0,033XY = 0,01 / 0,033 = 0,30 = 30%
Portanto, o lucro em P4 é aproximadamente igual a 30% do lucro em P3. Isto é, trata-se de um lucro 70% menor do que o lucro em P3.
Item ERRADO.
Resposta: C C E E
10. CESPE – CORREIOS – 2011 – adaptada) Em uma cidade de 30.000 habitantes, suponha que entre 2% e 6% enviaram cartões de natal em um determinado ano. Considerando-se que 25% dos referidos cartões tenham sido enviados a moradores de cidades do estado de São Paulo, é correto afirmar que o número que expressa a quantidade de cartões enviada a esse estado está entre
a) 900 e 1.300.
b) 1.300 e 1.700.
c) 1.700 e 2.100.
d) 100 e 500.
e) 500 e 900.
RESOLUÇÃO:
Se 2% de 30000 habitantes enviaram cartões, então o número de cartões enviado é:
Total de cartões = 2% x 30000 = 600 cartões
Neste caso, se 25% foram para São Paulo, o número de cartões dirigidos a este estado é:
CartõesSP = 25% x 600 = 150 cartões
Já se 6% dos habitantes daquela cidade tiverem enviado cartões, o total de cartões enviados é:
Total de cartões = 6% x 30000 = 1800 cartões
Assim, se 25% foram para São Paulo, temos que:
CartõesSP = 25% x 1800 = 450 cartões
Como podemos ver, o número de cartões enviados para São Paulo está entre 150 e 450. A alternativa D contém este intervalo de valores.
Resposta: D
11. CESPE – CORREIOS – 2011) Considerando-se que 45 dos cartões enviados pela população da referida cidade tenham sido devolvidos ao remetente, por erro no endereçamento, e que esse número corresponda a 5% dos cartões enviados, é correto afirmar que a porcentagem de habitantes que enviaram cartões de felicitações é igual a
a) 6%.
b) 2%.
c) 3%.
d) 4%.
e) 5%.
RESOLUÇÃO:
Veja que 45 cartões correspondem a 5% do total enviado. Vejamos quanto é o total enviado (que corresponde a 100%). Isto poderia ser feito com uma regra de três simples, ou com a definição de porcentagem:
Favoráveis Porcentagem
Total
5% 45
Total
Total = 900
Portanto, 900 habitantes enviaram cartões. Vejamos quanto isto representa dos 30000 habitantes, em termos percentuais:
900 0, 03 3%
30000
Porcentagem
Resposta: C
12. CESPE – CORREIOS – 2011) Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais que um selo do tipo B, então 8 selos do tipo A custam
a) R$ 9,00.
b) R$ 10,50.
c) R$ 12,00.
d) R$ 12,60.
e) R$ 8,40.
RESOLUÇÃO:
Sendo PA o preço do selo do tipo A, e PB o preço do selo do tipo B, o enunciado nos diz que PA = PB + 50%PB, ou seja, PA = 1,5PB. Assim, se 4 selos de cada tipo, juntos, custam 7 reais, podemos dizer que:
4 x PA + 4 x PB = 7 4 x (1,5PB) + 4 x PB = 7
10PB = 7 PB = 0,7 reais
Portanto,
PA = 1,5PB = 1,5 x 0,7 = 1,05 reais
Logo, 8 selos do tipo A custam 8 x 1,05 = 8,40 reais.
Resolução: E
13. CESPE – CORREIOS – 2011) Na compra de 2 frascos de tira- manchas, cada um deles ao custo de R$ 9,00; 6 frascos de limpador multiuso, cada um deles ao custo de R$ 2,00; 4 litros de desinfetante, cada um deles ao custo de R$ 1,50; e de 6 unidades de esponja dupla face, cada uma delas ao custo de R$ 2,00; um cliente pagou com 3 notas de R$ 20,00, tendo recebido R$ 19,20 de troco.
Nesse caso, o cliente recebeu desconto de a) 13%.
b) 14%.
c) 15%.
d) 16%.
e) 12%.
RESOLUÇÃO:
Vejamos qual foi o custo total da compra, multiplicando as quantidades compradas pelos preços unitários de cada mercadoria:
Custo = 2 x 9,00 + 6 x 2,00 + 4 x 1,50 + 6 x 2,00 = 48 reais
Como o cliente pagou com 3 notas de 20 reais e recebeu 19,20 como troco, o valor efetivamente pago foi:
Pagamento = 3 x 20 – 19,20 = 40,80 reais
Observe que o cliente pagou menos do que o custo das mercadorias, ou seja, recebeu um desconto de 48 – 40,80 = 7,20 reais.
Vejamos quanto este desconto representa, percentualmente, em relação ao custo total:
7, 20
% 15%
Desconto 48 Resposta: C
14. CESPE – CORREIOS – 2011) O Programa Nacional do Livro Didático e o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. A operação consiste na entrega, todos os anos, de 100 milhões de livros didáticos a escolas públicas de ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume equivalente à metade de toda a produção gráfica do Brasil. Para a distribuição desses livros são realizadas viagens de carretas das editoras para os centros de tratamento da empresa instalados em pontos estratégicos do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e, depois, entregues nas escolas.
Internet: (com adaptações).
Considerando que 7⁄40 e 13% dos livros didáticos sejam distribuídos, respectivamente, para as regiões Nordeste e Norte, então a quantidade, em milhões, de livros didáticos destinada a essas duas regiões pelos programas mencionados no texto é
a) superior a 15 e inferior a 25.
b) superior a 25 e inferior a 35.
c) superior a 35 e inferior a 45.
d) superior a 45.
e) inferior a 15.
RESOLUÇÃO:
Para a região Nordeste vão 7⁄40 dos 100 milhões de livros, e para o Norte vão 13%. Somando as quantidades destas regiões, temos:
Norte e Nordeste = 13% x 100 + 7⁄40 x 100 Norte e Nordeste = 0,13 x 100 + 700⁄40
Norte e Nordeste = 13 + 17,5
Norte e Nordeste = 30,5 milhões de livros Este valor encontra-se no intervalo da alternativa B.
Resposta: B
15. CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que, em uma empresa, 50% dos empregados possuam nível médio de escolaridade e 5%, nível superior. Guardadas essas proporções, se 80 empregados dessa empresa possuem nível médio de escolaridade, então a quantidade de empregados com nível superior é igual a
a) 8.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 5.
RESOLUÇÃO:
Veja que 80 empregados correspondem aos 50% que possuem nível médio. Desta forma, podemos utilizar a regra de três abaixo para saber quantos empregados correspondem aos 5% que possuem nível superior:
80 empregados---50%
X empregados---5%
X = 8 empregados Resposta: A
16. CESPE – CORREIOS – 2011) Em um escritório, a despesa mensal com os salários dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. Nesse escritório, alguns empregados recebem, individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e os outros, R$ 1.000,00.
A partir das informações do texto, considere que aos empregados que recebem salário mensal de R$ 600,00 seja concedido reajuste salarial de 10%, e aos que recebem salário de R$ 1.000,00, reajuste de 15%. Nesse caso, a despesa mensal do escritório com os salários de seus empregados aumentará entre
a) 7% e 9%.
b) 9% e 11%.
c) 11% e 13%.
d) 13% e 15%.
e) 5% e 7%.
RESOLUÇÃO:
Seja X o número de empregados que recebem 600 reais, de modo que os 10 – X restantes recebem 1000 reais (pois o total é de 10 empregados). Como 7600 reais é o total pago pela folha de salários, podemos dizer que:
600X + (10 – X) x 1000 = 7600 10000 – 400X = 7600
400X = 2400 X = 6 empregados
Assim, 6 empregados recebem 600 reais e os outros 4 recebem 1000. Aumentando em 10% o salário de 600 reais, os empregados passarão a receber:
600 x (1 + 10%) = 660 reais
E aumentando em 15% o salário de 1000 reais, os empregados passarão a receber:
1000 x (1 + 15%) = 1150 reais
Logo, a folha de salários passará a ser de:
6 x 660 + 4 x 1150 = 3960 + 4600 = 8560 reais
O aumento da folha de salário foi de 8560 – 7600 = 960 reais.
Percentualmente, este aumento foi de:
% 960 0,1263 12, 63%
Aumento 7600
Este valor encontra-se entre 11% e 13%.
Resposta: C
17. CESPE – CBM/ES – 2011) João, Pedro e Cláudio receberam o prêmio de um jogo de loteria. Do total do prêmio, João terá direito a 1/3, Pedro, a 1/4 e Cláudio receberá R$ 125.000,00. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens
seguintes.
( ) João deverá receber quantia superior a R$ 98.000,00.
( ) O prêmio total é inferior a R$ 295.000,00.
( ) Pedro deverá receber 25% do prêmio.
RESOLUÇÃO:
Se João receber 1/3 e Pedro 1/4, o restante (recebido por Cláudio) corresponde a:
1 - 1/3 - 1/4 = (12 – 4 – 3)/12 = 5/12
Se 5/12 correspondem aos 125000 reais recebidos por Cláudio, então o prêmio total (que corresponde a 12/12) é:
5/12 --- 125000 12/12 --- Total
Total = 300000 reais
Com isso em mãos, vamos julgar os itens:
( ) João deverá receber quantia superior a R$ 98.000,00.
João recebe 1/3 do prêmio, que é:
João = 1/3 x 30000 = 100000 reais Item CORRETO.
( ) O prêmio total é inferior a R$ 295.000,00.
ERRADO. O prêmio total é de 300 mil reais, como vimos acima.
( ) Pedro deverá receber 25% do prêmio.
Se Pedro recebe ¼ do prêmio, então de fato ele recebe 25%, pois:
¼ = 0,25 = 25%
Resposta: C E C
18. CESPE – SEJUS/ES – 2009) De acordo com relatório da Organização Mundial de Saúde (OMS) acerca do avanço da gripe A ou influenza A, provocada pelo vírus H1N1, inicialmente denominada gripe suína, os dados de maio de 2009, no mundo, eram os seguintes.
I O México, considerado o epicentro da epidemia, era o país mais afetado, com 590 casos confirmados, dos quais 25 resultaram na morte dos pacientes.
II Nos Estados Unidos da América (EUA), segundo país do mundo em número de casos, 226 pessoas tiveram testes com resultado positivo para o vírus H1N1.
III Outros países com casos confirmados da doença, sem nenhuma morte, eram: Canadá (85), Espanha (40), Reino Unido (15), Alemanha (8), Nova Zelândia (4), Israel (3), El Salvador (2), França (2), Áustria (1), China (1), Hong Kong (1), Colômbia (1), Coreia do Sul (1), Costa Rica (1), Dinamarca (1), Irlanda (1), Itália (1), Holanda (1) e Suíça (1).
Com base nos dados do relatório da OMS transcritos acima, julgue os itens a seguir.
( ) No México, o número de mortes representa mais de 5% dos casos confirmados da doença em todo o mundo.
( ) Os países em que foi confirmado apenas um caso da doença representam menos de 2% do número de casos mencionados no relatório.
RESOLUÇÃO:
( ) No México, o número de mortes representa mais de 5% dos casos confirmados da doença em todo o mundo.
Somando o número de casos da doença apresentados no enunciado, temos 986 casos ao todo, sendo que destes 25 são os que resultaram em morte no México. Logo, o percentual representado por estas mortes no total é de aproximadamente:
25 0, 025 2, 5%
986 Favoráveis Percentual
Total
Item ERRADO.
( ) Os países em que foi confirmado apenas um caso da doença representam menos de 2% do número de casos mencionados no relatório.
Em 11 países foi confirmado apenas 1 caso da doença, somando 11 casos ao todo. Vejamos quanto esses casos representam no total de 986 confirmações da doença:
11 0, 011 1,1%
986 Favoráveis Percentual
Total
Item CORRETO.
Resposta: E C
19. CESPE – BRB – 2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.
( ) No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00.
RESOLUÇÃO:
Aplicando a taxa de juros simples j = 3% ao mês, durante 2 anos (t
= 24 meses), no capital inicial C = 100 reais, temos o montante:
M = C x (1 + j x t) M = 100 x (1 + 3% x 24) M = 100 x (1 + 0,03 x 24) M = 100 x 1,72 = 172 reais
Já se aplicarmos a taxa de juros simples j = 36% ao ano, durante t
= 2 anos, no capital inicial C = 100 reais, temos o montante:
M = 100 x (1 + 36% x 2) M = 100 x (1 + 0,36 x 2) M = 100 x 1,72 = 172 reais
De fato ambas as taxas levam 100 reais a 172 reais ao final do mesmo prazo. Isso nos permite dizer que essas taxas são equivalentes entre si. Além disso, essas duas taxas guardam uma proporção em relação aos seus respectivos prazos. Veja essa proporção abaixo:
3% --- 1 mês
36% --- 12 meses (1 ano)
Repare que 3% x 12 = 36% x 1. Isto nos permite afirmar também que essas taxas são proporcionais entre si. Assim, o item está CORRETO.
Como veremos posteriormente, em se tratando de juros simples as taxas equivalentes são, também, proporcionais entre si.
Resposta: C
20. CESPE – BRB – 2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.
( ) Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação, por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante de R$ 580,00.
RESOLUÇÃO:
Nesta questão temos duas aplicações sucessivas. Na primeira, o capital inicial C = 500 reais é aplicado pelo prazo t = 2 anos à taxa
simples j = 4% ao ano, gerando o montante que pode ser calculado assim:
M = C x (1 + j x t) M = 500 x (1 + 0,04 x 2) M = 500 x 1,08 = 540 reais
O montante da primeira aplicação será o capital inicial da segunda aplicação (afinal todo ele foi reinvestido). Assim, na segunda aplicação temos C = 540 reais, j = 4% ao ano e t = 2 anos (mesmas condições do primeiro investimento). Portanto, o montante ao final deste prazo é:
M = 540 x (1 + 0,04 x 2) M = 540 x 1,08 = 583,20 reais
Este valor é ligeiramente superior a R$580, portanto o item está ERRADO.
Resposta: E
Obs.: Repare que se você tivesse considerado uma única aplicação com C = 500, j = 4% ao ano e t = 4 anos (prazo total), teria obtido M = 580 reais. Entretanto esta resolução é incorreta, pois o exercício informa que após 2 anos todo o valor (inclusive os juros) foi reinvestido, de modo que os juros dos primeiros 2 anos passaram a render novos juros ao longo dos 2 anos seguintes, resultando em um montante final ligeiramente superior a 580 reais.
21. CESPE – CBM/ES – 2011) Considere que um capital de R$10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%.
( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.
RESOLUÇÃO:
O enunciado informa que o capital inicial é C = 10000 reais, o regime é de juros simples, e o prazo de aplicação é t = 5 meses. Com isso em mãos, vejamos cada item.
( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%.
Sendo o montante final M = 13000 reais, podemos obter a taxa de juros “j” assim:
M = C x (1 + j x t) 13000 = 10000 x (1 + j x 5)
1,3 = 1 + 5j 5j = 0,3 j = 0,06 = 6%
Item CORRETO.
( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.
Sendo j = 5% ao mês, o montante ao final do período é:
M = 10000 x (1 + 0,05 x 5) M = 10000 x 1,25
M = 12500 reais
Item ERRADO. Novamente repare que, apesar desse item ser errado, o valor encontrado (12500) é próximo daquele apresentado no enunciado (12000).
Resposta: C E
