Cláudio R. Lucinda
Prova FINAL
∙ Esta é uma prova SEM consulta.
∙ A duração da prova é de 4h. Organizem o seu tempo de acordo.
∙ Vocês podem responder às questões fora da ordem. Somente lembrem-se de escrever clara-mente qual questão vocês estão respondendo.
∙ Vocês podem responder questões a lápis. ∙ Vocês podem usar calculadora
∙ Celular não pode ser utilizado durante a prova e deve ficar dentro da mochila. ∙ Este caderno de perguntas deve ser devolvido juntamente com a folha de respostas ∙ A compreensão da prova é parte da mesma.
∙ Portanto, não serão respondidas dúvidas durante a prova. ∙ BOA SORTE!
1. Equilíbrio Geral. (2,0) Considere uma economia de trocas composta pelos dois indivíduos a seguir. Os sobrescritos são os nomes dos indivíduos - não existem expoentes aqui:
Indivíduo 1 Indivíduo 2 Dotação 𝑟1 = (1, 9) 𝑟2 = (9, 1) Função Utilidade 𝑢1(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑢2 = min(𝑥𝑦, 16)
Adote a notação: (𝑥1, 𝑦1) é a cesta de consumo do consumidor 1 dos bens 𝑥 e 𝑦. Considere
o seguinte vetor de preços 𝑝 = (1/2,1/2). Neste vetor de preços, o consumo do indivíduo 1 é
(5, 5) e o do indivíduo 2 é (5, 5). Considere as afirmações a seguir, determine qual(is) é(são) correta(s) e explique seu raciocínio. (Apenas para as que você considerar correta(s)).
(a) Os preços e alocações de consumo não são um equilíbrio competitivo e, portanto, o primeiro teorema do bem-estar não se aplica. Não é possível determinar se a alocação é Pareto eficiente.
(b) Os preços e alocações de consumo são um equilíbrio competitivo, os mercados “clear”, o Primeiro Teorema do Bem-Estar se aplica e, portanto, a alocação é Pareto eficiente. (c) Os preços e alocações de consumo são um equilíbrio competitivo, mas não é Pareto
efi-ciente. O Primeiro Teorema do Bem-Estar exige a não saciedade local e não pode ser aplicado neste exemplo.
(d) A não-convexidade das preferências significa que o Primeiro Teorema do Bem-Estar não é aplicável.
(e) Nenhuma das afirmações está correta. GABARITO: A resposta correta é “C”. As hipóte-ses do primeiro teorema do bem estar não são satisfeitas. O domicílio 2 está saciado em
𝑥𝑦 = 16, mas um dos seus equilíbrios de consumo é (5,5), enquanto o domicílio estaria
tão satisfeito se estivesse em (4,4). Ou seja, há um desperdício de (1,1) que poderia ser alocado ao domicílio 1, gerando uma melhora de Pareto.
2. EXTERNALIDADES/BEM PÚBLICO Presidente Médici, RO, é a capital mundial do alho. Infelizmente, o cheiro do alho impregna todos os aspectos da vida na cidade. Existem apenas dois residentes que estão dispostos a viver nesta cidade, Abe e Betty. O primeiro deles, Abe, tem uma renda de 460 enquanto que o segundo, Betty, tem uma renda de 440. Um vendedor itinerante está visitando a cidade e está oferecendo unidades de conversão de odores que re-cebem o cheiro de alho e retornam ar limpo. As preferências sobre o ar limpo (𝐶) e todos os
outros bens privados de consumo (𝑥𝑖) para o indivíduo 𝑖 são dadas por:
𝑈𝑖 = 5 ln 𝑥𝑖+ ln 𝐶
A provisão total de ar limpo é a soma das compras individuais 𝐶 = 𝐶𝐴+ 𝐶𝐵, e quando o
governo compra diretamente, 𝐶 = 𝐶𝐴+ 𝐶𝐵+ 𝐶𝐺. O preço do ar limpo é 2 enquanto o preço
de todos os outros bens de consumo (𝑥𝑖) é 1. Responda.
(a) (1,0) Para os dois, calcule a provisão privada de ar limpo, tomando a provisão do outro como dada. Explique o efeito que a provisão de ar pelo outro tem sobre a decisão de oferecer por parte de um indivíduo.
GABARITO: Seja 𝑦𝐴,𝑦𝐵a renda dos dois. Para um dado 𝐶𝐵,o problema de maximização
de Abe é:
max
𝑥𝐴,𝐶𝐴
𝑈𝑖 = 5 ln 𝑥𝐴+ ln 𝐶𝐴
𝑡.𝑞 𝑥𝐴+ 2𝐶𝐴 ≤ 𝑦𝐴
Vamos ter as seguintes condições de primeira ordem: [𝑥𝐴] 5 𝑥𝐴 = 𝜆 [𝐶𝐴] 1 𝐶𝐴+ 𝐶𝐵 = 2𝜆 [𝜆] 𝑥𝐴+ 2𝐶𝐴 = 𝑦𝐴
Reorganizando o sistema pra acabar com 𝜆, temos que:
𝐶𝐴=
460 12 −
5 6𝐶𝐵
Fazendo a mesma coisa para o indivíduo 𝐵, temos o seguinte:
𝐶𝐵 =
440 12 −
5 6𝐶𝐴
Como é um bem público, a provisão do mesmo por um dos indivíduo reduz a provisão por parte do outro !
(b) (1,0) Se o governo não intervem, qual é o nível de ar limpo que será fornecido? Quantas unidades por Abe? E quantas por Betty? GABARITO: Resolvendo o sistema com as duas equações acima, temos:
𝐶𝐴 = 280 11 𝐶𝐵 = 170 11 𝐶 = 𝐶𝐴+ 𝐶𝐵 = 450 11
(c) (0,5) Qual é o nível ótimo de fornecimento de ar limpo? (pode somar as utilidades para chegar no bem-estar social). Este valor depende do obtido com os valores de poluição do item anterior? Explique. GABARITO: Podemos encontrar isso como sendo a soma das taxas marginais de substituição individuais igualando os preços relativos:
1 𝐶 5 𝑥𝐴 + 1 𝐶 5 𝑥𝐵 = 1 2 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵 = 10𝐶
Com a restrição orçamentária conjunta, nós temos:
𝑥𝐴+ 𝑥𝐵+ 2𝐶 = 900 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵 = 900 − 2𝐶 = 10𝐶 = 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵 𝐶 = 900 12 > 450 11 Ou seja, a solução descentralizada é pior.
(d) (0,5) Suponha que a cidade tenha recebido um relatório de uma ONG e ficou triste com o nível de ar limpo fornecido de forma privada. E, para isso, ele coloca um imposto “lump sum” de 30 em cima de cada um deles (ou seja, a renda deles cai neste valor) e com o dinheiro oferece 30 unidades de ar limpo. Se eles quiserem, eles podem comprar unidades adicionais de ar limpo se assim quiserem. Qual é o nível total de ar limpo oferecido? Explique claramente o impacto da taxação/fornecimento direto pelo governo sobre o oferecimento privado do ar limpo por parte de cada residente. Como isso se compara ao item (b)? GABARITO: Alterando a renda no mesmo montante, o problema
de otimização de Abe leva a: 𝐶𝐴 = 430 12 − 5 6𝐶𝐵− 5 630 Fazendo a mesma coisa para o indivíduo 𝐵, temos o seguinte:
𝐶𝐵 = 410 12 − 5 6𝐶𝐴− 5 630 Resolvendo o sistema com as duas equações acima, temos:
𝐶𝐴= 115 11 𝐶𝐵 = 5 11 𝐶 = 𝐶𝐴+ 𝐶𝐵 = 120 11 + 30 = 450 11
Que é a mesma coisa da solução descentralizada! Ou seja, a provisão pública “crowds out” a provisão privada!
3. EXTERNALIDADES/BEM PÚBLICO. Uma companhia de água e saneamento em São Paulo possui muitos canos de distribuição de água em áreas populadas. A companhia pode investir $
𝑢 na manutenção da rede, que tem dois efeitos: (1) Mais manutenção significa que a companhia
perderá menos água nos canos. Suponha que o valor da água perdida seja de 1/𝑢, de forma
que mais manutenção significa menor perda de água. Em segundo lugar, maior manutenção significa menos dano nos imóveis em cima da rede. Suponha que o valor dos danos às pro-priedades imediatamente acima da rede danificada seja de 31/𝑢, de forma que mais manutenção
reduz a quantidade de danos às propriedades acima. Pergunta:
(a) (1,0) Qual é o nível socialmente ótimo de manutenção, 𝑢? Qual é o valor da água per-dida? Qual é o valor do dano à propriedade? GABARITO: O nível socialmente ótimo de manutenção minimiza os custos totais:
min 𝑢 𝑢 + 1 𝑢 + 3 𝑢
Com a CPO implicando em:
1 = 4
O nível ótimo é 2 e o valor da água perdida é12 e o dano à propriedade é 32
(b) (1,0) Qual é o nível de 𝑢 escolhido pela companhia quando ninguém tem a propriedade da terra acima dos canos? Qual é o valor da água perdida? Qual é o valor do dano à propriedade? GABARITO: A companhia de água irá resolver
min
𝑢 𝑢 +
1
𝑢
Com a CPO implicando em
1
𝑢2 = 1 → 𝑢 = 1
O Valor da água perdida é 1 e o dano à propriedade é 3.
(c) (0,5) Suponha que a companhia de gás tem a propriedade da terra acima dos canos. Qual é o nível de 𝑢 que eles escolheriam? É o ótimo social? GABARITO: Vai minimizar a mesma função do item (a), chegando no mesmo lugar.
(d) (0,5) Suponha agora que Rodinelson Silva, um morador comum, seja dono da propriedade acima da planta e possa processar sem custos para recuperar quaisquer prejuízos que vaza-mentos de água causem à sua propriedade. Qual é o nível de 𝑢 que será escolhido pela companhia de água? Quanto a companhia de água pagaria a Rodinelson? GABARITO: Neste caso, a companhia de água vai escolher minimizar a seguinte função objetivo:
min
𝑢 𝑢 +
1
𝑢 + 𝑃 (𝑢)
Em que 𝑃 (𝑢) é o custo imposto pelas cortes à companhia de água. Como Rodinelson consegue recuperar qualquer prejuízo, a função objetivo da companhia de água é a mesma do item (a) e gera o socialmente ótimo.
4. Um contribuinte tem uma renda 𝑦 que ele tem que declarar à Receita Federal. O imposto a ser pago é uma fração constante da renda, representada (a fração) por 𝑡. O contribuinte, ao preencher a declaração do IR, reporta um valor 𝑥 como sua renda e está consciente que a Receita Federal audita algumas declarações (Malha Fina). Suponha que a probabilidade de a declaração dele ser pega na Malha Fina é 𝜋 e que neste momento descobre-se o valor verdadeiro da renda e, se 𝑥 < 𝑦, o contribuinte tem que pagar a diferença e uma multa de 𝑠 vezes o valor desta diferença. Pergunta:
(a) (1,0) Se o contribuinte escolhe 𝑥 < 𝑦, mostre que a renda disponível 𝑐 nos dois estados da natureza futuros NA (Não Malha Fina) e A (Malha Fina) é dada por:
𝑐𝑁 𝐴= 𝑦 − 𝑡𝑥
𝑐𝐴= (1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 + 𝑠𝑡𝑥
GABARITO: Se o contribuinte escolhe 𝑥 < 𝑦 e não cai na malha fina, sua renda disponível é 𝐶𝑁 𝐴 = 𝑦 −𝑡𝑥. Se ele é auditado e é pego, ele tem como renda disponível a renda, menos
o imposto sobre tudo menos a multa sobre a diferença entre o declarado e o efetivamente recebido, ou seja:
𝑐𝐴= 𝑦 − 𝑡𝑦 − 𝑠𝑡(𝑦 − 𝑥)
𝑐𝐴 = 𝑦(1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 − 𝑠𝑡𝑥
(b) (1,0) Mostre que se 1 − 𝜋 − 𝜋𝑠 > 0 o contribuinte certamente reportará uma renda menor que 𝑦 GABARITO: Para isso, o problema de maximização de utilidade do cara é dado por:
max
𝑥 (1 − 𝜋)𝑢(𝑦 − 𝑡𝑥) + 𝜋𝑢((1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 + 𝑠𝑡𝑥)
Com as seguintes CPO no ótimo:
−(1 − 𝜋)𝑡𝑢′(𝑦 − 𝑡𝑥) + 𝜋𝑠𝑡𝑢′((1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 + 𝑠𝑡𝑥) = 0 Ou, equivalentemente:
(1 − 𝜋)𝑢′(𝑦 − 𝑡𝑥)
𝜋𝑢′((1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 + 𝑠𝑡𝑥) = 𝑠
O que quer dizer que a TMS entre consumo nos dois estados da natureza é igual a 𝑠. Supondo a coisa do enunciado, 1 − 𝜋 − 𝜋𝑠 > 0, temos:
1 − 𝜋
Substituindo na razão mais acima, temos:
𝑢′(𝑦 − 𝑡𝑥)
𝑢′((1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 + 𝑠𝑡𝑥) < 1 𝑢′(𝑦 − 𝑡𝑥) < 𝑢′((1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 + 𝑠𝑡𝑥)
Dado que a primeira derivada de 𝑢 é positiva e a segunda negativa, esta última desigual-dade implica:
𝑦 − 𝑡𝑥 > (1 − 𝑡 − 𝑠𝑡)𝑦 + 𝑠𝑡𝑥
O que implica
𝑦 > 𝑥
Ou seja, vai falar que recebe menos que recebe.
(c) UM PONTO EXTRA. Se a renda verdadeira 𝑦 crescer, a renda reportada 𝑥 vai crescer ou descer? Explique a razão e como isso depende do formato de “𝑢(·)”?
