TÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES14. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Vanderlei S. Bagnato

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TÓPICO

Fundamentos da Matemática II

Vanderlei S. Bagnato

INTRODUÇÃO ÀS

PROBABILIDADES

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14.1 Introdução 14.2 Definição de Probabilidade 14.3 Adição de probabilidade 14.4 Multiplicação de Probabilidades

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Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

14.1 Introdução

Probabilidade é um conceito que se torna relevante quando temos situações onde existe a ocorrência de fenômenos aleatórios. Estes fenômenos são aqueles onde não é possível a previsão absoluta do resultado a ser obtido.

Situações típicas onde encontramos uma certa aleatoriedade são:

• lançamento de uma moeda e a observação da face para cima: cara ou coroa. • jogo de dados e observação do número obtido.

• sorteio de uma urna contendo pedras com números distintos. • escolha de uma carta num jogo de baralho.

• número de grãos de areia em um punhado de areia.

• tamanho dos pedaços de palito quando tomamos um feixe de palitos e quebramos.

Todas estas situações, não permitem saber o resultado exato a ser obtido. Sabemos obviamente, que o resultado tem que estar dentro de um elenco de possibilidades. O conjunto que envolve todas as possibilidades é chamado de universo de eventos, ou simplesmente conjunto universo. Neste conjunto estão todas as possibilidades de ocorrência de resultados. No caso de jogarmos um dado e observarmos o número obtido, o universo de eventos é constituído dos números {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qualquer que seja o resultado tem que estar contido neste conjunto universo de eventos.

Imagine agora outra situação, onde um jogador vai jogar simultaneamente dois dados e ler o resultado de cada um. Cada evento vai constituir de um par de números. Neste caso, o conjunto universo de eventos vai ser da forma:

U = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ( 5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) ( 6,4) (6,5) (6,6)}

Qualquer subconjunto do conjunto universo pode ser considerado como um evento possível de ser escolhido de ocorrer. Podemos tomar o subconjunto como sendo a soma dos números igual a 4. Neste caso o subconjunto será A = {(1, 3) (2, 2) (3, 1)} possuindo apenas três

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elementos. Se escolhermos este subconjunto como um evento, todos os demais elementos do conjunto U exceto os de A, constituem o chamado conjunto complementar ao conjunto A, e normalmente é denotado por um A e uma barra superior (A). Em termos matemáticos podemos escrever que A U A= − . O conjunto complementar de um certo conjunto são todos os elementos do universo, retirados os elementos de A.

Na natureza existem diversas situações onde os fenômenos envolvidos são de natureza ale-atória. Esta característica aleatória dos eventos é fundamental na determinação do desenrolar de diversos processos na natureza. Para entendermos um pouco destes eventos, é importante termos uma boa noção das definições de probabilidade.

14.2 Definição de Probabilidade

Dado um conjunto Universo de Eventos U, representando um determinado efeito aleatório, ao escolhermos qualquer subconjunto deste universo, temos um evento possível de ocorrer. Definimos como probabilidade P(A) de ocorrência do evento A como sendo:

P(A) = n(A) / n(U)

onde n(A) é o numero de elementos no subconjunto A, enquanto n(U) é o numero total de elementos no universo de eventos.

Para o exemplo colocado acima, onde tomamos como Evento o lançamento de dois dados simultaneamente e a soma dos pontos ser 4, temos, como probabilidade de isto ocorrer

3 1

(soma 4)

36 12

P = = =

Isto significa que se espera que a cada 13 lançamentos dos dois dados, espera-se que um dos resultados obtidos represente o desejado de ter a soma igual a 4.Existem algumas propriedades importantes de serem observadas:

A probabilidade é um numero real contido no intervalo [0, 1]. Como o universo constitui todas as possibilidades, temos que P(U) = 1. Para qualquer evento, temos que P(A) P(A) 1+ = , ou seja, a probabilidade de eventos complementares , somam em uma unidade.

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Como exemplo, considere o jogo de dois dados simultaneamente. Qual é a probabilidade de um dos números ser 6 ? Se olharmos o conjunto universo U, temos n(U) = 36. Ao olharmos todos os elementos, vemos que o número 6 aparece em 11 elementos. Desta forma temos n(A) = 11. Com isto podemos calcular que a probabilidade de termos pelo menos um dos números igual a 6 é

11 P(pelo menos um 6)

36 =

14.3 Adição de probabilidade

Em muitas situações envolvendo eventos aleatórios, é comum considerarmos dois even-tos simultâneos. Por exemplo, no jogo de um único dado, poderíamos selecionar o evento o número é par ou o número é impar. Estes dois eventos são dois subconjuntos denominados de

mutuamente exclusivos. Eles são ditos mutuamente exclusivos quando não há elementos

comuns entre eles. No exemplo, ou um numero é par ou é impar. Não há como serem os dois ao mesmo tempo. Os eventos mutuamente exclusivos, na linguagem de conjuntos são aqueles que pertencem ao universo, mas que apresentam intersecção nula.

Se A e B são dois subconjuntos de U, e A ∩ B então eles são mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos).

Já para o seguinte exemplo, a situação é diferente. Um baralho contém 52 cartas. Se consi-derarmos os eventos:

A. retirar do baralho uma carta de ouros; e

B. retirar do baralho um rei;

estes eventos não são mutuamente exclusivos, pois podemos ter uma carta de ouros sendo rei. De um modo geral, podemos escrever que se dois eventos A e B pertencem ao universo U de certo fenômeno aleatório, então temos que a probabilidade de ocorrer um elemento de A ou de B é escrito como:

P(A B) P(A) P(B) P(A B)∪ = + − ∩

O número de elementos do conjunto A ∪ B é a soma dos números de elementos de A com o número de elementos de B menos o número de elementos comuns a ambos, represen-tados (assim, n(A B)∪ =n(A)+n(B)−n A B( ∩ )).

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Um exemplo desta soma de probabilidades é o seguinte: Qual é a probabilidade de jogar-mos um dado e obter o número 4 ou um número par de pontos? Os eventos são: A = obter quatro pontos e B = o número ser par. Enquanto A = {4}, B = {2,4,6}. Temos que o elemento 4 pertence a ambos. Desta forma

1 3 1 3 1 P(4 ou par)

6 6 6 6 2 = + − = =

Isto mostra que em cada duas jogadas, teremos o resultado esperado de um deles ser o número 4 ou ser um número par.

No caso de dois eventos serem mutuamente exclusivos, temos que P(A B) P(A) P(B)∪ = +

14.4 Multiplicação de Probabilidades

Em determinadas situações, ao invés de somarmos probabilidades, teremos que multiplicá-las. Vamos considerar o seguinte exemplo: Um grupo de pessoas é composto de homens e mulheres, sendo eles brasileiros, argentinos e chilenos. A distribuição deles esta descrita abaixo:

Homens (H) Mulheres (M)

Argentinos (A) 5 15 Brasileiros (B) 10 10 Chilenos (C ) 35 25

Vamos calcular a probabilidade da seguinte situação. Escolhido um homem, qual a probabi-lidade de ele ser argentino. Neste caso, queremos a intersecção dos eventos ser argentino e ser homem. Temos que:

5 1

P(A H)

50 10

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De um modo geral, temos que a probabilidade de intersecção de eventos independentes é dada por:

P(A B) P(A) P(A B)∩ = × \

Vamos considerar mais um exemplo. Jogamos dois dados e perguntamos a probabilidade da soma ser 7 e um deles ser o número 2. Estamos exigindo eventos que ocorram simultaneamen-te. Neste caso queremos a intersecção de dois eventos: a soma ser 7 e um deles ser dois. Olhando o conjunto U da jogada de dois dados dado no inicio, vemos que sendo A – obter 7 pontos na soma, e B – obter um dos dados o numero 2, temos

(A) 6; (A B) 2; (U) 36 n = n ∩ = n = Desta forma, 6 2 1 P(A B) P(A).P(B A) = 36 6 18 \ ∩ = ⋅ =

Isto mostra que em cada 18 jogadas esperamos que uma delas mostre o resultado desejado.

Bibliografia do Tópico

Costa Neto, P. L. o. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher. FiLho, a. B. Probabilidades. Porto Alegre: DIartes.