Notas sobre Geometria Espacial e Descritiva

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Notas sobre Geometria Espacial e Descritiva

0.1 Preliminares sobre Geometria Espacial e Descritiva

Considerando a geometria do plano e o desenho geométrico plano totalmente conhecidos e explo-rados, passaremos ao espa¸co euclidiano tridimensional e sua representa¸cão através de desenhos no plano.

Mas não vamos apresentar nenhum tratamento axiomático rigoroso, como num curso de Fun-damentos da Geometria. Um dos estudos axiomáticos mais bem elaborados é encontrado na obra The Foundations of Geometry de David Hilbert(1862 - 1943), que pode ser obtida gratuitamente em http://www.gutenberg.org/etext/17384 (texto em inglês)

Neste contexto, que deve ser complementada com a leitura e exerc´ıcios de Matemática do Ensino Médio, volume 2, da Cole¸cão Matemática Universitária, vamos abordar a Geometria Descritiva, concebida por Gaspar Monge (1746-1818) e aplicar na obten¸cão de modelos geométricos em cartolina através de planifica¸cões.

Para isso, além das contru¸cões com régua e compasso, vamos explorar o uso de alguns softwares de Geometria Dinâmica como o GeoGebra e o Cabri-Géomètre(2D e 3D) dentro do contexto de Geometria Descritiva, ao mesmo tempo que exploramos o estudo da Geometria Espacial.

0.1.1 Introdu¸c˜ao intuitiva `a Geometria Descritiva

Introduziremos aqui alguns elementos da Geometria Descritiva (GD) para podermos formalizar os conceitos geométricos no decorrer das próximas seçcões.

A Geometria Descritiva, elaborada por Gaspar Monge, utiliza o plano para descrever e estudar os elementos espaciais, assim como com a planta e as vistas frontal e/ou lateral o engenheiro civil pode passar todas as informa¸c˜oes sobre as medidas de uma casa (antes da era CAD, a partir da ´

epoca da revolu¸c˜ao francesa quando ela foi concebida, para fins militares).

Mas como se sabe, uma vista (uma proje¸cão) não fornece todos os elementos espaciais. Assim, são utilizadas pelo menos duas proje¸cões ortogonais em dois planos de proje¸cão, também ortogonais entre si, chamados convenientemente de Plano Horizontal (PH) e Plano Vertical (PV), em alusão

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ao ch˜ao e um pared˜ao (muro do fundo do terreno, por exemplo).

A interseçcão entre os dois planos é chamada de Linha de Terra (LT).

Então cada ponto P de uma figura no espa¸co é projetado ortogonalmente nesses dois planos, gerando as proje¸cões P1 no PH e P2 no PV.

As duas proje¸cões são analisadas simultaneamente num mesmo plano, fazendo um movimento de rota¸cão em torno da LT para que PV e PH fiquem no mesmo plano. Convencionamos que o PH ´

e girado at´e coincidir com o PV.

Existe uma conven¸cão também sobre o sentido desse giro, que depende da conven¸cão sobre diedros definidos por PH e PV. Supondo que o observador se encontra no interior de uma sala de aula, que o chão é o PH, e que a parede da lousa é o PV, se o espa¸co da sala está no primeiro diedro, o espa¸co atrás da lousa é o segundo, abaixo dela o terceiro, e abaixo da sala o quarto diedros. Assim, o sentido do giro é convencionado como sendo a que leva o chão da sala ao reflexo da parede da lousa, abaixo do solo. Ou equivalentemente, o giro que derruba a lousa para trás. Se utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais Oxyz, com o plano Oxy representando o PH e o plano Oxz representando o PV, o primeiro diedro é o de y > 0 e z > 0 e o giro, faz o semiplano horizontal anterior y > 0, z = 0 coincidir com o semiplano vertical inferior y = 0, z < 0. A LT seria o eixo Ox, representada na épura no sentido da direita para a esquerda do seu desenho.

Claro, que em escalas devidamente ajeitadas para a folha de desenho. O desenho simultaneo das duas proje¸cões no plano é chamada épura.

A distância do ponto P ao PV é chamado afastamento do ponto e é representado na épura pelo segmento P0P1, onde P0 é o ponto na LT tal que as proje¸cões P1 e P2 estão na linha perpendicular

`

a LT por P0 (na verdade, é a proje¸cão ortogonal de P sobre a LT). O afastamento é positivo no

primeiro e quarto diedros (y > 0) e nesse caso, P0P1 fica “abaixo” da LT.

A distância de P ao PH é a cota de P , e é representado na épura por P0P2. A cota é positiva

no primeiro e segundo diedros (z > 0), com o segmento representado “acima” da LT.

Dependendo da situa¸cão, é desejável mais uma proje¸cão num plano perpendicular ao PH e PV, que chamaremos de Plano de Perfil (PP) ou, plano da 3a. vista, onde estará a proje¸cão P3 de P . No

sistema Oxyz, seria o plano Oyz. Para representar esse plano PP simultaneamente com PH e PV, convenciona-se fazer o giro em torno de P V ∩ P P que seria Oz, no sentido de “abrir” o primeiro

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octante. Nesse movimento, a cota não é alterada, e portanto, P3P2 deve ser paralelo à LT. E a

distˆancia de Oz a P3 ´e o afastamento de P , com crescimento da esquerda para a direita. Ou seja,

para a constru¸cão de P3 dados P1 e P2 na épura, construimos uma linha auxiliar t paralela à LT

por P2, uma linha auxiliar paralela à LT por P1 até encontrar Oz em P1∗, que é rotacionado em 90◦

no sentido antihor´ario em torno de O, at´e P13 na LT, de forma que OP13 representa o afastamento

de P . A proje¸cão P3 fica representada na interseçcão de t pela uma paralela por P13 a Oz.

0.1.2 Alguns elementos da Geometria Espacial

Vamos enumerar alguns fatos da Geometria Espacial Euclidiana, para podermos explicar os elemen-tos da Geometria Descritiva. Muielemen-tos deles são axiomas em qualquer texto de Geometria. Vamos supor também que o aluno já tenha sido apresentado às no¸cões geométricas do espa¸co em momento anterior. Para a leitura não ficar monótona, introduzimos como exerc´ıcio a utiliza¸cão do software Cabri3D: construir cada objeto e situa¸cão descrita abaixo.

1. Dois pontos distintos determinam uma ´unica reta. Pontos situados numa retas s˜ao ditos colineares.

Dados 3 pontos colineares, um est´a entre os outros dois. (resultado da Geometria da Plana, que diferencia uma reta de uma circunferˆencia)

Dados 2 pontos A e B, o segmento AB deve conter todos os pontos da reta por A e B que estão entre A e B. O segmento é fechado se contém os pontos A e B, e aberto se não os contém. A e B são chamados extremidades do segmento.

2. Três pontos não colineares determinam um único plano. Pontos situados num plano são ditos coplanares.

Valem todos os resultados da Geometria Plana dentro de cada um dos planos do espa¸co.

Por exemplo: uma reta contida num plano, divide o plano em 2 semiplanos. Em geral a defini¸cão de semiplano exclui a reta (semiplano aberto) que a definiu. Dados dois pontos A e B sobre um plano α e não pertencem à reta r ⊂ α, então:

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• A e B pertencem a um mesmo semiplano de α relativamente a r, se o segmento AB n˜ao intercepta r.

• A e B est˜ao em semiplanos opostos de α relativamente a r, se o segmento AB intercepta r.

3. Existem 4 pontos n˜ao coplanares no espa¸co.

Isto implica na existˆencia de pontos al´em do plano.

4. Posi¸c˜oes relativas entre duas (portanto distintas) retas do espa¸co:

(a) concorrentes quando se interceptam segundo um ponto. (b) paralelas se forem coplanares e n˜ao se interceptarem.

(c) reversas se n˜ao forem coplanares.

Dadas duas retas distintas no espa¸co, se estas forem coplanares, podem ser concorrentes ou paralelas (Geometria Plana Euclidiana), mas surge uma outra possibilidade: as retas podem não ser coplanares (reversas). E como duas retas concorrentes são coplanares, as retas reversas são também disjuntas. Ou seja, para duas retas r e s no espa¸co, r ∩ s = ∅ pode resultar em retas paralelas (coplanares) ou reversas (não coplanares). Cuidado!

5. Se uma reta intercepta um plano em mais de um ponto, a reta est´a inteiramente contida no plano.

Isto nos leva `a seguinte classifica¸c˜ao:

6. Posi¸c˜oes relativas entre uma reta e um plano no espa¸co:

(a) a reta ´e paralela ao plano se n˜ao intercepta o plano.

Neste caso, a reta ´e paralela a uma fam´ılia de retas no plano.

(b) a reta e o plano são concorrentes num ponto, ou a reta é transversal ao plano, se a reta intercepta o plano num único ponto.

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(c) a reta est´a contida no plano se todos os pontos da reta forem pontos do plano.

7. Um plano no espa¸co determina dois semiespa¸cos abertos (sem incluir o plano) e disjuntos. Dados dois pontos A e B no espa¸co n˜ao pertencentes ao plano α, ent˜ao:

• A e B pertencem a um mesmo semiespa¸co relativamente a α se o segmento AB n˜ao intercepta α.

• A e B estão em semiespa¸cos opostos relativamente a α se o segmento AB intercepta α. 8. Dois planos distintos no espa¸co ou são paralelos ou são concorrentes segundo uma reta. (axi-oma relativo a espa¸cos tridimensionais — num espa¸co 4-dimensional, dois planos poderiam se interceptar num ponto!)

Isto fornece as poss´ıveis posi¸c˜oes relativas entre dois planos: ou s˜ao coincidentes, ou paralelas, ou concorrentes segundo uma reta.

Como construir um plano paralelo a um plano α dado? Supondo que o plano paralelo β deve passar por um ponto B fora de α, construa duas retas r e s concorrentes em B e paralelas a duas retas r0 e s0 em α. Mostre que o plano das retas r e s é o plano β procurado. Além disso, é único contendo B e paralelo a α.

Verdadeiro ou falso? “Para que um plano β seja paralelo a um plano α é necessario e suficiente que β contenha um par de retas concorrentes paralelas a um par de retas concorrentes de α”. 9. Dados dois planos paralelos α k β, se um terceiro plano γ é concorrente com o primeiro (r = γ ∩ α), este será concorrente com o segundo (s = γ ∩ β) e as duas retas serão paralelas entre si (r k s).

Demonstra¸cão: È claro que, se γ ∩ β = s, então r k s, pois, se não o for e existir B ∈ r ∩ s, teremos B ∈ r ∩ s = (γ ∩ α) ∩ (γ ∩ β) = γ ∩ (α ∩ β), o que é um absurdo, pois α ∩ β = ∅. Mostremos então que γ intercepta β. Para isso, considere uma reta t em α, concorrente com r em A. Então podemos construir em β uma reta t0 paralela a t (exerc´ıcio). O plano de t e t0 intercepta o plano γ segundo uma reta u (por quê?) e portanto, nesse plano, temos as retas paralelas t e t0 interceptando a reta u, já que t intercepta u em A (por quê?). O ponto

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B = t0∩ u está na interseçcão γ ∩ β (por quê?).

Uma das consequências em GD é que dado um plano α não paralelo ao PH, todas as retas horizontais (paralelas ao PH) deste plano α serão paralelas entre si, já que o as retas horizon-tais do plano são retas contidas em planos paralelos ao PH, paralelos entre si. Em particular, se h é uma dessas retas, h k sα, onde sα = α ∩ P H.

Analogamente, num plano α n˜ao paralelo ao PV, todas as retas paralelas ao PV (retas frontais do plano) s˜ao paralelas ao tra¸co tα= α ∩ P V .

Outra consequência é que retas paralelas r e s se projetam ortogonal num plano π em retas paralelas r0 k s0, ou coincidentes (r0 ≡ s0), ou como dois pontos (r0 e s0 são pontos). O ´

ultimo caso pressupõe conhecido que se uma reta é perpendicular a um plano, todas as retas paralelas também o serão (exerc´ıcio de perpendicularismo). Nos outros casos, considere os planos contendo as retas e as retas projetantes. Estes planos podem ser coicidentes ou paralelos (por quê?), e as interseçcões com o plano π podem portanto coincidir ou serem paralelas, respectivamente.

Além disso, dados r1 e r2numa épura, não perpendiculares à LT, temos uma única reta r que

pode ser representada por r1 e r2 na ´epura, pois os planos α contendo r1 (no PH, no espa¸co)

e a dire¸cão de proje¸cão, e β contendo r2 e a dire¸cão da proje¸cão, são planos distintos, não

paralelos, que se interceptam segundo r. (Se r1 for perpendicular `a LT, necess´ariamente r2

tamb´em deve ser perpendicular `a LT ou ser um ponto. Analogamente, se r2 for perpendicular

`

a LT, r1 ´e perpendicular `a LT ou deve ser um ponto (exerc´ıcio de perpendicularismo))

Veja no livro-texto outros resultados e exerc´ıcios de pontos, retas e planos.

10. Dois planos concorrentes α e β determinam 4 diedros no espa¸co, sendo que cada diedro ´e delimitado por dois semiplanos, um determinado por r = α ∩ β em α e o outro, determinado por r em β.

Quando estes 4 quatro diedros são “congruentes” os planos são perpendiculares entre si. Mas quando dois objetos são “congruentes”?

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congruentes se existe um movimento r´ıgido que leva um no outro.

Mas como n˜ao o fizemos, vamos introduzir perpendicularismo de outra forma, aproveitando os conhecimentos de Geometria Plana.

Lembramos que duas retas concorrentes são perpendiculares entre si se formam 4 ângulos iguais (90 graus ou reto ou π/2 radianos) no plano das retas. Duas retas no espa¸co são ortogonais se forem perpendiculares ou, caso não sejam concorrentes, forem paralelas a duas retas perpendiculares.

11. Uma reta r ´e perpendicular a um plano α se for perpendicular a todas as retas de α concor-rentes com r.

Ou, uma reta r ´e perpendicular a um plano α se for ortogonal a todas as retas de a.

Essa defini¸cão não é muito prática na verifica¸cão de perpendicularismo. Mas o Teorema a seguir (demonstra¸cão no livro-texto) resolve o problema:

12. Teorema:Uma reta r ´e perpendicular a um plano α se, e somente se, r for ortogonal a duas retas de α concorrentes em A = r ∩ α.

(Sugestão: Numa das partes da demonstra¸cão (qual?), considere as retas s e t em α, passando por A, perpendiculares a r. Considere uma reta u qualquer de α, passando por A. Para mostrar que r também é perpendicular a u, escolha uma reta l que intercepta s, u e t segundo pontos S, U e T , respectivamente, com U entre os outros dois pontos. Escolha pontos A1

e A2 em r, simétricos em rela¸cão a A. Por congruências de triângulos 4A1RT ∼= 4A2RT ,

donde 4A1RU ∼= 4A2RU e, portanto, A1U ∼= A2U , donde r ⊥ u. Preencha os detalhes)

Este teorema explica por que o método de erguer uma casa com as paredes previamente constru´ıdas no chão (com ângulos devidamente retos na quina do chão) funciona.

Citando, se for o caso, os resultados da Geometria Euclidiana Plana, mostre que:

a) dados uma reta r e um ponto A fora de r, existe uma ´unica reta s no espa¸co, paralela a r e passando por A.

b) dados uma reta r e um ponto A, existe um ´unico plano α passando por A e perpendicular `

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c) duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coicidentes ou paralelas entre si. Ou seja, existe uma única dire¸cão perpendicular a um plano.

d) dois planos perpendiculares a uma ´unica reta s˜ao paralelos ou coincidentes.

13. Dois planos α e β s˜ao perpendiculares entre si se s˜ao concorrentes e, no plano γ perpendicular `

a intersec¸c˜ao r = α ∩ β, determinam duas retas perpendiculares entre si.

Mais geralmente, as medidas dos diedros determinados pelos planos α e β são determinadas pelos ângulos determinados em qualquer plano perpendicular a r = α ∩ β. Essas defini¸cões logicamente independem do particular plano com as mesmas condi¸cões tomado (Por quê?) 14. Teorema:Um plano β é perpendicular a um plano α se, e só se, β contém uma reta

perpen-dicular ao plano α (ou α cont´em uma reta perpendicular a β).

A demonstra¸c˜ao fica como exerc´ıcio. Com base no resultado acima, segue que o plano γ perpendicular a r = α ∩ β tanto citado anteriormente, ´e um plano simultaneamente perpen-dicular aos planos α e β.

EM GD, dado um ponto P no espa¸co, o plano γ contendo P e as projetantes ortogonais aos planos de proje¸cão PH e PV, é simultaneamente perpendicular aos dois planos de proje¸cão, já que contém uma reta perpendicular a cada um dos planos PH e PV. Isso implica que γ é perpendicular à LT e determina a linha de chamada perpendiculares à LT contendo P1 e P2,

na ´epura.

Al´em disso, planos α perpendiculares ao PV devem conter retas perpendiculares ao PV, in-cluindo o tra¸co sα = α ∩ P H se esta existir. Analogamente, planos perpendiculares ao PH

tˆem seu tra¸co tα= α ∩ P V perpendicular `a LT, quando existir.

15. Teorema: Sejam: α um plano, r uma reta perpendicular a α com r ∩ α = A, s uma reta de α passando por A, B um ponto de s distinto de A, t uma reta de α e perpendicular a s por B, u uma reta passando por um ponto D de r e por B. Então, s e t são perpendiculares entre si, se, e somente se, t e u são perpendiculares entre si.

Este teorema (exerc´ıco do livro-texto) mostra que uma rota¸cão de um segmento AB perpen-dicular a um eixo r paralelo (ou contido) a um plano de proje¸cão (ortogonal) π resulta em proje¸cão A0B0 perpendicular à proje¸cão r0 do eixo.

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Este tipo de rota¸cão é muito usado para obten¸cão de Verdadeiras Grandezas (VG) de figuras planas: rotaciona-se a figura em torno de um eixo contido na figura e paralelo a um plano de proje¸cão, até que a figura fique paralela ao plano de proje¸cão. Assim, a figura rotacionada aparecerá em VG na proje¸cão. (Método do Rebatimento e Método da Rota¸cão)

Al´em disso, retas r perpendiculares a um plano α dado na ´epura por seus tra¸cos (tα= α ∩ P V

e sα = α ∩ P H) são representados na épura por proje¸cões perpendiculares aos tra¸cos do plano

(r1⊥ sα1 e r2 ⊥ tα2), j´a que r ⊥ sα e r ⊥ tα.

16. A distˆancia entre dois pontos A e B no espa¸co ´e a medida do comprimento do segmento AB (que depende da unidade de medida adotada).

Em GD, dado um segmento AB no espa¸co através de sua épura, se este não for paralelo a um dos planos de proje¸cão, uma das formas de se achar a VG do segmento é construir um triângulo retângulo com um dos catetos sendo a proje¸cão A1B1 e o outro cateto com a

diferen¸ca entre as cotas de A e B. A VG de AB é a hipotenusa do triângulo. Justifique. Qual seria a maneira análoga de se obter a mesma medida, usando a diferen¸ca de afastamentos? Outra forma de se obter essa medida é efetuar uma rota¸cão do segmento em torno de um eixo e vertical (⊥ PH) ou de topo (⊥ PV). Se o eixo for vertical, a cota dos pontos rotacionados não se altera (por quê?) e no PH cada ponto descreve um arco de circunferência centrado em e1.

Consequentemente, dada a épura de uma pirâmide qualquer no espa¸co com base no PH (ou paralela ao PH), pode-se facilmente obter a VG de cada aresta lateral por rota¸cão em torno do eixo vertical passando pelo vértice V até ficar paralela ao PV. Como a VG da base já aparece na proje¸cão no PH, e como as faces laterais são triangulares, ficam todas as faces determinadas, possibilitando a constru¸cão de sua planifica¸cão.